2023版高考数学一轮总复习10年高考真题分类题组4.pdf

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1、解三角形考点一正弦定理与余弦定理1.（2 0 16 课 标 I 文,4,5 分）4 A B C 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=VS,c=2,c os A=1,则 b=（）A.V2 B.V3答案 D 由余弦定理得 5=2 2+42 X 2 b c os A,.c os A=1,.3 b 2-8b-3=0,；.b=3（=-：舍去）.故选D.评析本题考查了余弦定理的应用，考查了方程的思想方法.2.（2 0 16 天津理,3,5 分）在4A B C 中，若 A B=V13,B C=3,/C=12 0 ,则 A C=（）答 案 A 在A A B C 中，设 A、B、C所对的边分别为a

2、,b,c,则由c J a Z+b-Za b c os C,得13=9+b-2 X 3 b X（-0,即 b2+3 b-4=0,解得 b=l（负值舍去），即 A C=1.故选 A.评析本题考查了余弦定理的应用和方程思想,属容易题.3.（2 0 16 课标I I I 理,8,5分）在A A B C 中,B 吟B C 边上的高等于粉则c os A=（）.3m VT o VT o 3V TO*o-T o_答 案 C 解法一:过A 作 A D B C,垂足为D,由题意知A D=B D B C,则C D=g B C,A B=yB C,A C=yB C,在A A B C 中，由余弦定理的推论可知,c os/

3、B A C-.一 *七 一 学:一=_ 1,故选仁2,2x 苧 BCx 苧 BC 10ARD C解法二:过A作 A D 1B C,垂足为D,由题意知A I A B D B C,则 C D 二|B C,在 R tA A D C中，A C=B C,s i nN D A c S ,c os N D A C=E，又 因 为 所 以 c os ZB A C=c os f Z 4-)=c os ZD A C c os-s i nZD A C s i n X1-.x.=-2 故选 Q4/44 D 2 5 2 10解法三:过A作 A D B C,垂足为D,由题意知A D=B D=1B C,则CD=|BC,A

4、B=yB C,A C=yB C,而-=(-+-)(-,+-)=-12+-+-+-k=i B C2-9翔 气 B C；所以c os/B A Cq二 二 争 BJ呼，故选。解法四：过 A作 A D 1B C,垂足为D,设 B C=3 a (a 0),结合题意知A D=B D=a,D C=2 a.以D为原点,D C,D A 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 B (-a,0),C (2 a,0),A(0,a),所以=(-a,-a),-(2 a,-a),所以 I-*|=伍,|-11 =修,所以c os/B A C 二 _,彳：_:-之后 二+氏一 一 吟,故选 C.I V2axv5a

5、104.(2 0 16 山东文,8,5 分)A A B C 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.已知 b=c,a 2=2 b“l-s i nA).则 A=()A.B.-C.-D.J4 3 4 62 2 2 2 2答案 C 在a A B C 中，由 b=c,得 c os A 二 一-2 2 ,f Xa2=2 b2(l-s i nA),c os A=s i nA,即 ta nA=l,又知A (0,n)，所以A 二;，故选C.4评析恰当运用余弦定理的变形形式是求解本题的关键.5.(2 0 15 广东文,5,5 分)设 A B C 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2

6、g,:海=日且b c,则 b=()V2D.V3答案 C 由余弦定理 b2+c2-2 b c c os A=a2,得 b2-6 b+8=0,解得 b=2 或 b=4,Vb b,.B=45 ,，A=75 .易错警示 本题求得s i nB 亭后,要注意利用b c 确定B=45 ,从而求得A=75 .11.（2 0 17课标1J 文，16,5 分）A A B C 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2 b c os B=a c os C+c c os A,则 B 二.答 案 6 0 解析 解法一：由正弦定理得 2 s i nB c os B=s i nA c os C+s i nC c os A

7、,即 s i n2 B=s i n（A+C）,即s i n2 B=s i n（180 -B）,可得B=6 0。.解法二：由余弦定理得2 b ；2=a 2+2-2+c：即 b 2-2=b,所以a H-b J a c,所以 c os B=；,又 0 0）,有 2-t2+t,即 tJ+t-2=0,解 得 t=l 或 t=-2（舍去）,故一=1.思路分析 本题先由余弦定理列出关于b、c 的方程，再将方程转化为以一为变元的方程求解.评析本题考查余弦定理的应用及换元思想的应用，属中档题.14.（2 0 15 福建理，12,4 分）若锐角A B C 的面积为10 V 5,且A B=5,A C=8,则B C

8、等于.答 案 7解析 设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及;b c sinA=10/得 sinA 喙 因 为 A为锐角，所以 A=6 0 ,c osA=1.由余弦定理得 a=b2+c2-2 b c c osA=2 5+6 4-2 X4 0 X=4 9,故 a=7,即B C=7.评析 本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出c osA 是求解关键.15.(2 0 15 安徽文，12,5 分)在 A A B C 中，A B=V 6,Z A=7 5 ,Z B=4 5 ,贝 U AC=.答 案 2解析 由已知及三角形内角和定理得/C=6 0 ,由=知 A C=二 二 空 誓

9、 一 2.sin sin sm sin6016.(2 0 15 福建文，14,4 分)若 A A B C 中,A C=“,A=4 5。，C=7 5 ,则 BC=.答 案 V 2解 析 B=18 0 -4 5 -7 5 =6 0 .由正弦定理得一=，可得B C=方.sin sin17.(2 0 15 重庆文,13,5 分)设4 A B C 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,c osC=-,3 sinA=2 sinB,贝 c=.4-答 案 4解析 由 3 sinA=2 sinB 及正弦定理,得3 a=2 b,又 a=2,所以b=3,故c2=a2+b2-2 a b c osC=4+9

10、-2 X 2 X 3 X -=16,所以 c=4.18.(2 0 15 北京理，12,5 分)在 A A B C 中，a=4,b=5,c=6,则任一=sin-答 案 12.2_ 2.2 Q解析 在4 A B C 中，由余弦定理的推论可得c osA=金 普;，由正弦定理可知2 2x5x6 4sin2 _2sin cos _2,cos _2x4x_sin sin 6评析本题主要考查正弦定理、余弦定理的推论以及二倍角公式的应用，考查学生的运算求解能力和知识的应用转化能力.19.(2 0 14 课 标 I 理,16,5 分)已知a,b,c分别为4 A B C 三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+

11、b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则 A A B C 面 积 的 最 大 值 为.答 案 V 3解 析 因 为 a=2,所以(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC 可化为(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即 b2+c2-a2=b c,由余弦定理可得c osA-=；,又 0 A ，故 Aq.因为c osA 手V,所以b c W4,当且仅当b=c 时取等号.由三角形面积公式知SA A K-=|b c sinA=|b c ,禽,故A A B C 面积的最大值为8.评析 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形

12、面积公式以及基本不等式的应用，考查学生对知识的综合应用能力以及运算求解能力.能把2 代换成a是正确解决本题的关键.2 0.(2 0 11 课标文，15,5 分)A A B C 中,B=12 0 ,A C=7,A B=5,则Z iA B C 的面积为.答案4解析 由余弦定理b2=a2+c-2 a c c osB,及已知条件得4 9=a2+2 5-2 X5 X a c osl 2 0 0 .整理得 a2+5 a-2 4=0,解得a=3 或 a=-8 (舍).SA耽=:a c sinB=；-X 3 X 5 sinl 2 0 2 2 4评析 本题考查余弦定理、解三角形等知识,根据余弦定理正确求出a的值

13、是解答本题的关键.2 1.(2 0 16 课标 H ,13,5 分)A A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 c osA=&c osC=,a=l,5 13贝 lj b=.答 案卷解析 由 c osC 系0 C n,得 sinC 考.由 c osA,0 A 冗，得 sinA=，.所以 sinB=sin n-(A+C)=sin(A+C)63=s i nA c osC+s i nC c osA=-z,65根据正弦定理得b-sinsin 132 2.(2 0 2 0 课标I J文，17,12 分)A A B C 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c os2 G +A)

14、+c osA=1.求 A;(2)若 b-c=y a,证明：A A B C 是直角三角形.解 析(1)由已知得 sin-A+c osA=7,即 c os A-c osA+|=0.4 42所以(c os-J =0,c osA q.由于 0 A 兀,故 A =y.(2)由正弦定理及已知条件可得sinB-sinC=y sinA.由(1)知 B+C=,所以 sinB-sing-B,qsi*.即;sinB c osB=1,sin（卷.由于0=6,SAABC S,求 A 和 a.解析 因为,-6,所以b c c osA=-6,又 SZ SA B C=3,所以 b c sinA=6,因此t a nA=-l,又

15、 0 A K，所以A=.4又 b=3,所以c=2 近.由余弦定理 a*2=b2+c-2 b c c osA,贝!J a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入+2 2。匚中，有，+-_=,变形可得sm sin sinsinA sinB 二 sinA c osB+c osA sinB=sin(A+B).S A A B C 中,由 A+B+C =n,有 sin(A+B)=sin(n-C)=sinC,所以 sinA sinB=sinC.(2)由已知,b2+c2-a2=|b c,52.2_ 2 o根据余弦定理,有c osA=;-=7.2 5所以 s inA=V l-c os2A=7.5由(1

16、),sinA sinB=sinA c osB+c osA sinB,得 a=9+8-2 X3 X2 让 X（-亨卜2 9,所以a=V29.24.（2 0 16 四川文，18,12 分）在4 A B C 中，角 A,B,C所对的边分别是a,b,c,且竺_+空（1）证明：sinA sinB =sinC;若 b2+cJ-a2=b c,求 t a nB.5解 析（1）证明：根据正弦定理，所以?s i nB c osB+jrS i nB,3 5 5故 t a nB 卫 二=4.C O S方法总结 解三角形中，要根据题干条件恰当选取正、余弦定理，当涉及边较多时，可考虑余弦定理,当涉及角较多时,可考虑正弦定

17、理.A A B C 中，也常用到si n（A+B）=si n C.评析 本题考查了正、余弦定理及同角三角函数的基本关系式，根据条件恰当选择正、余弦定理是解题的关键.2 5.（2 0 1 6课 标 I 理,1 7,1 2 分）A A B C 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2 c o sC（a c o sB+b c o sA）=c.求 C;（2）若 c=近,A A B C 的面积为竽,求A A B C 的周长.解 析（1）由已知及正弦定理得，2 c o sC（si n A c o sB+si n B c o sA）=si n C,（2 分）2 c o sCsi n（A+B）=si

18、n C.故 2 si n Cc o sC=si n C.（4 分）可得c o s g,所以e g（6 分）（2）由已知，得;a b si n C=苧.又 C=1,所以a b=6.（8分）由已知及余弦定理得,a2+b2-2 a b c o sC=7.故 a2+b2=1 3,从 而 出+=2 5.（1 0 分）所以4 A B C 的周长为5+V7.（1 2 分）解后反思 本题属解三角形问题中的常见题型，要先利用正弦、余弦定理，将已知中的“边或“角”的关系式，转化为只有“边”或只有“角”的方程形式，进而通过三角函数或代数知识求解方程.解题中要注意三角形的一些性质应用，例如:si n（A+B）=si

19、n C,S a b si n C.评析 本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，同时，对三角恒等变换的公式也有所考查.在解题过程中，要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系，通过正弦定理转化为“角”之间的关系,再运用三角函数知识求解.2 6.（2 0 1 6浙江理，1 6,1 4分）在A A B C 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2 a c o sB.(1)证明:A=2 B;2(2)若4 A B C 的面积S,求角A的大小.解 析(1)由正弦定理得si n B+si n C=2 si n A c o sB,故 2 si n A c o sB=si n B+

20、si n(A+B)=si n B+si n A c o sB+c o sA si n B,于是 si n B=si n(A-B).又 A,B (0,冗)，故 0 A-B 2b c,即 b c 0,所以c=3.故A A B C 的面积为乐c s i n A 考.解法二：由 正 弦 定 理,得 =士，sin-r-sin从而s i n B 当，又由a b,知 A B,所以c o s B=.故 s i n C=s i n(A+B)=s i n(+)=s i n B c o s +c o s B s i所以a A B C 的面积为%b s i n C 考.32.(20 14 课标I I 文，17,12

21、分)四边形A B C D 的内角 A与 C 互补,A B=1,B C=3,C D=D A=2.(1)求 C 和 B D;(2)求四边形A B C D 的面积.解 析(1)由题设及余弦定理得B D=B C2+C D-2B C C D c o s C二 13T 2c o s C,B D2=A B2+D A2-2A B D A c o s A=5+4 c o s C.由,得 c o s C=g,故 C=6 0 ,B D=V 7.(2)四边形A B C D 的面积S=；A B D A s i n A+i B C C D s i n C=Q x 1 x 2+；x 3 x 2）s i n 6 0。=2V

22、3.评析 本题考查余弦定理的应用和四边形面积的计算,考查运算求解能力和转化的思想,把四边形分割成两个三角形是求面积的常用方法.33.（20 14 浙江理，18,14 分）在a A B C 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a b,c=V 3,c o s A-c o s2B=V 3s i n A c o s A /3s i n B c o s B.（1）求角C的大小；（2）若 s i n/4 求A A B C 的面积.D解 析（1）由题意得l+cos2 l+cos2 V3.n A V3.o n-二 5 s 1 n 2A-y s i n 2B,C P y s i n 2A-c o s

23、 2A=y s i n 2B-|c o s 2B,s i n（2-f）=s i n（2-1）.由 a#b,得 A#B,又 A+B G （0,n ）,得2A-1+2B-1=n ,即 A+B 号，所以c q-.（2）由（1）及 c=V 3,s i n A=2,-=-,得 a 士5 sm sin 5由 a c,得 A C.从而 c o s A=,故 s i n B=s i n （A+C）=s i n A c o s C+c o s A s i n C-4-,所以，A A B C 的面积为S=|a c s i n B 二空3评析 本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式

24、等基础知识，同时考查运算求解能力.34.（20 13课标 H 理,17,12 分）/X A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知 a=b c o s C+c s i n B.求 B;若 b=2,求A A B C 面积的最大值.解 析(1)由已知及正弦定理得s i n A=s i n B c o s C+s i n C -s i n B.又 A=n-(B+C),故 s i n A=s i n(B+C)=s i n B c o s C+c o s B s i n C.由和C W (0,冗)得 s i n B=c o s B.又 B (0,五)，所以(2)A A B C 的面积

25、S=1a c s i n B=Y a c.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2a c c o s 4-又 a2+c2 2a c,故 a c W 六，当且仅当a=c 时，等号成立.因此a A B C 面积的最大值为调+1.35.(20 12课标理，17,12分)已知a,b,c分别为A A B C 三个内角A,B,C的对边，a c o s C+V 3a s i n C-b-c=0.求 A;(2)若 a=2,A A B C 的面积为质,求b,c.解析(1)由 a c o s C+V 3a s i n C-b-c=0 及正弦定理得 s i n A c o s C+V 3s i n A s i n C-

26、s i n B-s i n C=0.因为 B=n -A-C,所以V 5 s i n A s i n C-c o s A s i n O s i n C=0.由于s i n C#0,所以s i n(-看 片又 0 A 0,所以s i n B=,所以t a n B=4 倔 故 选 C.解法二：作 B D 1A C 于 D,由 c o s C=1,B C=3,知 C D=2,即 D为边A C 的中点，所以三角形A B C 是等腰三角形，且 B D=V ,o 2x-._于是tan-故 t a n B 二一鲁4 痣，故选C.2 V o2.（20 19课 标 I 文，H,5 分）A A B C 的内角A,

27、B,C的对边分别为a,b,c.已知a s i n A-b s i n B=4 c s i n C,c o s A=-,贝 ij二()4答 案 A 本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用；考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力;考查的核心素养是数学运算与逻辑推理.由正弦定理及 a s i n A-bs i n B=4cs i n C 得 a2-b2=4c：;,由余弦定理可得 co s A=-2 2 4所以一 二 6.故选A.3.(2017课 标 I 文,11,5分)4 A B C 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知s i n B+s i n A(s i n C-co s C)=0,a=2,

28、c=V 2,贝 ij C=()答 案 B 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在A A B C 中，s i n B=s i n(A+C),则 s i n B+s i n A (s i n C-co s C)=s i n(A+C)+s i n A(s i n C-co s C)=0,EP s i n A co s C+co s A s i n C+s i n A s i n C-s i n A co s C=0,co s A s i n C+s i n A s i n C=0,V s i n C O,.co s A+s i n A=0,即 t a n A=-l,即 A J i.又 O c/3n

29、i,t a n Z t a n 30在 R t A A B D中,B D=-叱-060=6。(2-8)m,B C=C D-B D=6 0V 3-6 0(2-V 3)=120(V 3-D m.t a n Z t a n 75 2+v 3A 30呼6 0 m；、n R c5.(2018 课 标 I 文，16,5 分)A A B C 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bs i n C+cs i n B=4a s i n B s i n C,b+c2-a=8,U l i j A A B C 的面积为.答 案 等解析本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用以及三角形面积的求解.由已知条

30、件及正弦定理可得 2s i n B s i n C=4s i n A ,s i n B s i n C,易知 s i n B s i n C O,.,.s i n A=,又b2+c2-a2=8,/.co s A=-4 co s A 0,/.C O SA=Y 即-4 b c=fA A B C 的面积S=|bcs i n A-X苧 X：畔.乙 乙 J 4 J解题关键 正确利用正弦定理将“边”转化为“角”，求出s i n A 是解决本题的关键.6.(2017浙江,14,5 分)已知A A B C,A B=A C=4,B C=2.点 D 为 A B 延长线上一点,B D=2,连接C D,则B D C

31、的面积是,c osZ BDC=.分 案 逗.叵口乐 2 1 4解析 本题考查余弦定理，同角三角函数的基本关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解能力.2J.R 2-A 2 jV A B=A C=4,B C=2,A co s ZA B C=-2,4V Z A B C 为三角形的内角，.s i n/A B C 岑，4A s i n ZC B D=,故 SA C B D4X 2 X 2 X -.4 2 4 2V B D=B C=2,A ZA B C=2ZB D C.又 co s ZA B C-,4.2COS2ZBDC-14,得 COS2ZBDC=,48又N B D C 为锐角，；.co s

32、N B D C 上工47.(2015 课 标 I 理，16,5分)在平面四边形A B C D 中,ZA=ZB=ZC=75 ,B C=2,则 A B 的取值范围是.答 案(伤-2,V 6+V 2)解析 依题意作出四边形A B C D,连接B D.令B D=x,A B=y,ZC D B=a ,N C B D=8 .在A B C D 中，由正弦定理得由题意可知，ZA D C=135 ,则N A D B=135 -a .在 A B D 中，由正弦定理sin sm75得sin75 sin(135-)*所以sin(135。-厂s i n，即2sin(1350-)2sin900-(-45)2cos(-45)

33、播(cos+sin)y=-=-=-=-.sin sin sin sin因为 0 3 75 ,a+B+75 =18 0,所以 30 a/3.AB C 的面积为g x 2%X2 Xs i n l 5 0 =3.(2)在AB C 中,A=18 0-B-C=3 0-C,所以s i n A+V3 s i n C=s i n(3 0 -C)+V3 s i n C=s i n(3 0 +C).故 s i n(3 0+C)=r.而 0。C 3 0,所以 3 0 +C=4 5 ,故 C=15 .13.(2 02 0 江苏，16,14 分)在AAB C 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a=3,

34、c=V2,B=4 5 .(1)求 s i n C 的值；(2)在边B C 上取一点D,使得c o s/AD C=W 求 t a n/D AC 的值.D解析 本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识,考查运算求解能力.在 AB C 中，因为 a=3,c=V2,B=4 5 ,由余弦定理 b2=a2+c2-2 a c c o s B,得 l/=9+2-2 X3 X伍 o s 4 5 =5,所以 b=V5.在4 A B C 中，由正弦定理一=一sm sm得 一 条 所 以s i n C .sin45 sm 5(2)在4 A D C 中，因为c o s/AD

35、 C=C，所以/A D C 为钝角,而N AD C+N C+N C AD=18 0,所以N C 为锐角，故 c o s O4 1 -s i n 2 c 二竺,则 t a n C=出一二：,5 cos 2因为 c o s NA D O,所以 s i n Z AD C=V 1-c o s2 ZAD C=,5 53Tt a n N AD OsinZcosZ从而 t a n N D AC=t a n(18 00-ZAD C-ZC)=-t a n(ZAD C+ZC)=-tanZ+tan1-tanZ,tan4 4 _2wr斤14.(2 018 天津,理15,文 16,13 分)在4 A B C 中，内角A

36、,B,C所对的边分别为a,b,c.己知b s i n A=a c o s(-y j.(D 求角B的大小；(2)设 a=2,c=3,求 b 和 s i n(2 A-B)的值.解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在4 AB C 中，由正弦定理-=-，可得b s i n A=a s i n B,又由 b s i n A=a c o s一：),得 a s i n B=a c o s(-7)即 s i n B 二 c o s(-可得 t a n B=VS.又因为B e (0,n),可得B 三

37、.(2)在 AB C 中，由余弦定理及a=2,c=3,B=g,有 b2=a2+c;!-2 a c c o s B=7,故 b=V7.由 b s i n A=a c o s(一亍)，可得 sinA=.因为 a c,故 c o s A=.因此 s i n 2 A=2 s i n Ac o s A=,c o s 2 A=2 c o sJA-l=1.所I U,s i n (2 A-B)=s i n 2 Ac o s B-c o s 2 As i n B=XX*号.解 题 关 键(1)利用正弦定理合理转化b s i n A=a c o s(-9)是求解第(1)问的关键；(2)由余弦定理及已知条件求得s

38、i n A,利用a 0是求解第(2)问的关键.失 分 警 示(D 由于忽略a b,a=5,c=6,s in B上（1）求 b 和 s in A 的值；（2）求 s in（2 +?）的值.解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.（1）在A A B C 中，因为a b,故由s in B=1,可得c os B=|.由已知及余弦定理,有5 5b2=a2+c2-2 ac c os B=1 3,所以 b=VT 3.由正弦定理得 s i n A=3 二=萼.sin sin 13所以,b 的值为J R,s in A

39、 的值为警.（2）由（1）及 a 空=-逋.5 575 5 5规律总结解有关三角形问题时应注意：(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合或两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑到两个定理都有可能用到.(2)解三角形问题时应注意三角形内角和定理的应用及角的范围.1 8.(2 0 1 6 北京理，1 5,1 3 分)在 A A BC 中，a2+c2=b2+V 2 ac.(1)求/B 的大小；(2)求方c os A+c os C的

40、最大值.解 析 由 余 弦 定 理 及 题 设 得 c os B=:二又因为0 Z B n,所以/B=；.(6 分)4 由 知 N A+N C 当.4V 2 c os A+c os C=V 2 c os A+c os -A j=V 2 c os A-y c os A+Y S i nAV2.A=cosA+sinA2 2=c os(_?).(1 1 分)因为 0 N A W，4所以当N AW时,V 2 c os A+c os C取得最大值1.(1 3 分)4思路分析 第(1)问条件中有边的平方和边的乘积,显然用余弦定理求解.第(2)问用三角形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式,再注

41、意角的取值范围，问题得解.评析 本题考查余弦定理,三角恒等变换及三角函数的性质.属中档题.1 9.(2 0 1 6 山东理，1 6,1 2 分)在4 A B C 中，角 A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(t anA+t anB)=+.COS cos(1)证明：a+b=2 c;求 c os C的最小值.解析 由题意知2(且+四 二)-s”+一,cos cos/cos cos cos cos化简得 2 (s inA c os B+s inBc os A)=s inA+s inB,即 2 s in(A+B)=s i nA+s inB.因为 A+B+C=n,所以 s in(A+B)=s in(

42、n-C)=s inC.从而 s inA+s inB=2 s inC.由正弦定理得a+b=2 c.由(1)知 c=,所以CO SL ；2-岂2+j(色J3(一 +斗当且仅当a=b时，等号成立.故 c os C的最小值为;.疑难突破 利用切化弦将已知等式等价转化,最终转化为三角形三角正弦之间的关系,从而结合正弦定理得出三角形三边之间的关系.评析 本题考查了三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及基本不等式,综合性较强,重点考查了化归与转化的思想方法,属中档题.2 0.(2 0 1 6 天津文，1 5,1 3 分)在Z A BC中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知as in2 B=V 3 b

43、s inA.求 B;(2)若 c os A=,求 s inC 的值.解析(1)在A A BC 中，由-_ ,可得 as inB=bs inA,又由 as in2 B=g bs inA,得sm sin2 as inBc os B=V 3 bs inA=V 3 as inB,所以 c os B=,得 B=看.(2)由 c os A=1,可得 s inA=1,则 s inC=s in n-(A+B)=s in(A+B)=s in(+看)V3.,i,2V6+1=s i nA+-c os A=-.2 2 6思路 分 析(1)利用正弦定理与二倍角公式将原式转化为角B 的三角函数式进行求解；(2)利用三角形

44、的性质及两角和的正弦公式求s inC的值.评析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理等基础知识.考查运算求解能力.2 1.(2 0 1 5 江苏理，1 5,1 4 分)在Z A BC 中，已知 A B=2,A C=3,A=6 0 .(1)求 B C 的长；(2)求 s in2 c 的值.解 析(1)由余弦定理矢口,BC=A B2+A C-2 A B A C c os A=4+9-2 X 2 X 3 x 1=7,所以BC=V7.(2)由正弦定理知,，sin sinr-rz HI-A 2sin60 V21所以 s inC=s mA=万 =.V7 7因为

45、A BBC,所以C 为锐角，则 c os C=V l-s in2 C=”=竽.Y 7 7因此 s in2 c=2 s inC c o s C=2 X?X 9=竿.评析本小题主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函数关系与二倍角公式，考查运算求解能力.2 2.(2 0 1 5 浙江文，1 6,1 4 分)在A A B C 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知t an(?+A)=2.求.a，的值;sm2+cos/A（2）若 B=；,a=3,求aA BC 的面积.解 析（1）由 t an y +A）=2,得 t anA=,所以-_二2.二 三sin2+COS2A 2tan+1 5 由 t

46、anA,A （0,兀），得.x/2)2+62-2 X 3 夜 X 6 义 c os 1 8+3 6-(-3 6)=9 0,4所以 a=3 Vl 0.又由正弦定理得s i n B=*=焉=噜，3V10 10由题设知0 B c.已知,*=2,c os B=,b=3.求：(D a 和 c的值;(2)c os(B-C)的值.解 析(1)由 *-2 得 c a c os B=2,又 c os B=,所以 a c=6.由余弦定理,得a2+cJ=b2+2a c c os B.又 b=3,所以 a2+c=9+2X 2=1 3.解 2+-2,_ 1 3 得 a=2f 0=3 或 a=3,C=2.因 a c,所以

47、 a=3,c=2.(2)在a A B C 中，s i nB=Vl-c os2B=J l-g)2由正弦定理，得 s i nO s i nB X 券二?.因 a=b c,所以C 为锐角，因此 c os C=Vl-s i n2C=J l-胃.于是 c os (B-C)=c os B c os C+s i nB s i nC-1X7+2V2X1 V2,233 9 3 9 27,27.(20 1 4 天津文,1 6,1 3 分)在4 A B C 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a-c=b,s i nB=V6 s i nC.6(1)求 c os A 的值；求 c os(2-总的值.解析

48、在 4 A B C 中，由-=-,及 s i nB=V6 s i nC,可得 b=V6 c.又由 a-c=萼b,有 a=2c.sin sin 66 K z A 2+2_ 2 6 2+2-4 2 V6所以,C O S A=-.=(2)在 A B C 中，由 CO SA，可得 s i nA=芈.4 4于是 CO S2A=2CO S2A-1Z：-,s i n2A 二 2s i nA ,c os A=.4 4所以 c os(2-1=c os 2A c os=+s i n2A ,s i n?一 空 6/6 6 8评析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的余弦公式以及正弦定

49、理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.28.(20 1 4 北京理，1 5,1 3 分)如图，在a A B C 中，A B=8,点 D 在 B C边上,且CD=2,c os Z A DC=.求 s i nZ B A D;(2)求 B D,A C的长.A解 析（1）在AAD C中，因为c os Z A DC=1,所 以s i n/A DC畔.所以 s i nZ B A D=s i n(Z A DC-Z B)=s i nZ A DCc os B-c os Z A DCs i nB:4 gx z 1 1 73 3/3X -X-=.7 2 7 2 14（2）在4ABD中，由正弦定理得B D 二,s

50、inZsinZ8端3在aABC中，由余弦定理得A C2=A B2+B C-2A B B C c os B=8 2+5 2 x 8 X 5 x 1=4 9.所以A C=7.评 析 本 题 考 查了三角变换，及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、运算求解能力.29.（20 1 4湖南理，1 8,1 2分）如图，在平面四边形A B CD中,A D=1,CD=2,A C=V7.求c o s/C A D的值;若 c os Z B A D=-,s i n/CB A再 求 B C 的长.146解析 在4AD C中，由余弦定理,得/An+A Y 2 7+1-4 2 ac os Z CA D=-2 2V7