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1、湖北省重点高中智学联盟2022年秋季高二年级期末联考数学试题命题学校:一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5分，共 40分）1.数列“J满 足，+，1%，4=3,则%0 2 i=（）A 25223【答案】A【解析】【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求的021的值1-,21 2,数 列 a,是以3为周期的周期数歹U,2+3*6 7 3 =5 故选：A.2.直线XCOSC+6y+2=0的倾斜角范围是【答案】B【解析】【分析】由题意，设直线的倾斜角为6,根据直线方程，求得 一 走vtanO W走，即可求解.【详解】由题意，设直线的倾斜角为e直线x c o s a+Gy+
2、2 =0的斜率为Zc o s a6即 走t an O W且，又由8 e 0,乃），所以6 G3 35u 一 兀，兀6故选B.【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23 .与双曲线2?=1有相同的焦点，且短半轴长为2石 的椭圆方程是O【答案】B【解析】【分析】先求得双曲线的焦点坐标以及焦点所在坐标轴，然 后 求 得 椭 圆 的 人，从而求得椭圆方程.【详解】双曲线y 2 =i的焦点在y轴上，且焦点为（0，土 石），所以椭圆的焦点在）轴上，且 =逐，依题意，椭圆短半轴匕=26，则a=J 8=5,所以椭圆的方程为工+三=1.2
3、 5 2 0故选：B4 .等比数列。,的各项均为实数，其前项和为S“，已知S,=1 4,$6=亍，则%=（）1IA.2 B.g C.4 D.-24【答案】B【解析】【分析】通过讨论夕的取值情况，确 定 利 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式S =U-）i-q建立方程组，求出夕=/和4 =8,进而求得名 的值.【详解】当公比。=1时，S3=3 q可得4=可，代入S6=6q=2 8,与矛盾，所/5=-=1 4,4（1一/）1 4以q w l；由等比数列的前 项和公式5=-U,可得 “，1 7 q（lY）_635 6=-rr-=TQ 两式相除，得1 +/=可解得g =8 2当4 =,时，代入原式
4、可求得弓=8,则由等比数列的通项公式44Xq=71-2/IV=8X41-2-故选：B5.已知点F为抛物线C：9=2 *5 0）的焦点，过点尸且倾斜角为60。的直线交抛物线。于A,B两点，若|巧|冏=3,贝U P=（）1 3A.：B.1 C.-D.22 2【答案】C【解析】【分析】通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线A 3的方程，代入C的方程，设4（%,另）,3（,%），根据根与系数关系即可得出+%2，玉与，的关系，通过抛物线上的点到焦点的距离与该点到抛物线准线距离相等可知|必|=+%,|口 目=+，代入|4|冏=3即可转化为关于P的二元一次方程，即可求解.【详解】由题意知尸仁,OJ,A 8
5、的方程为y =G（x-g,代入。的方程，得3 x2-5p x+=0,设 人（石,）,3（孙 ），则,+/=学，9工2=（二；因 怛 川=+/,同=+，且|项 疗 却=3,所 以(+玉(_ +无2 =3,整 理 得+x2)+xlx2=3 ,所以2+4.江+2=3,结合，0,解得=.4 2 3 4 2故选：C6 .若M,N为圆。：(-2)2+。-2)2=1上任意两点，尸为直线3 x+4 y-4 =()上一个动点，则/MPN的最大值是()A.4 5 B.6 0 C.9 0 D.1 2()。【答案】B【解析】【分析】由图上易知，当尸不动时，P M,P N 为两切线角最大,再将NMPN的最值问题转化为P
6、C的最值问题可求.如图，P A,P B 为 两 切 线,p为直线3 x+4 y 4 =()上一个点,所以N M P N N A P B 当 P M,P N为两切线是取等号；又 Z A P B=2 N AP C,故只需求(sin Z AP C)n ux,s r isin/AP C=-!-,又(P C).=d =P C P C 7m,n|3 x2 +4 x2-4|=2,(sin Z AP C)=Z A P C =Z A P B =2 6 3故选：B7 .在平面直角坐标系中，定义W+|y|称为点p(x,y)“方和”，其中O为坐标原点，对于下列结论：(1)“b和为1的点P(x,y)的轨迹围成的图形面积
7、为2；(2)设p是直线2 x-y-4 =0上任意一点,则点尸(尤,y)的“5和”的最小值为2；(3)设尸是直线公y +力=0上任意一点，则使得“b和最小的点有无数个”的充要条件是。=1;(4)设P是椭圆/+5=1上任意一点，贝 5和的最大值为其中正确的结论序号为()A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)C.(1)(3)(4)D.(2)(4)【答案】B【解析】【分析】根据新定义“3和”，通过数形结合判断(1)正确，通过研究函数最值对选项(2)(3)(4)逐一判断即可.【详解】(1)当W+|y|=l时，点尸(x,y)的轨迹如图，其面积为2,正确；(2).P是直线2 x-y-4=0上的一点，.
8、y=2x 4,4-3x,x 0,国+回=国+|2%一4|=4一 九,0%2,可知I,x0,0 c x 2,故W+M的最小值在X=2时取得，(凶+3)而n=2,正确；(3)同(2),W+N=W+|o r+4,可知当a=l时，都满足，“6和”最小的点有无数个，故错误；(4)可设椭圆参数方程为x=cos 0,y=41 sin 0,.|x|+|y|=|cos|+|A/2 sin 0易知其最大值为6,正确.故选：B.【点睛】本题的解题关键是认真读题，理解新定义“3和”，再通过数形结合和函数最值的研究逐一判断即突破难点.(_ 1X77+20158.若数列4,2的通项公式分别是4=(-1)+2。1%,2=2
9、+口-且a,对任n意 N恒成立，则实数。的取值范围是()1 1 。1)A.1,B.-2,一L 2；L 2；D.【答案】C【解析】【分析】对分奇数和偶数进行讨论，结 合/对任意 eN 恒成立，即可求得实数“的取值范围.【详解】当 为奇数时，由已知为，所以一。2+,，a-2+-,n n因 为 2对任意n N怛成立，所以“-（2+|，L ,m ax所以。2 2,当为偶数时，an=a,bn=2-,n因为q 2对任意 N*恒成立，3所以。一,23综上：2 W。一.2故选：C二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2
10、分，有选错的得0分）9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=第一枚正面朝上，事件8=第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（）A.P（A）=；B.P（AB）=；C.事件 A 与 8互斥 D.事件 A与8相互独立【答案】ABD【解析】【分析】采用列举法，结合古典概型概率公式可知AB正确；根据互斥事件和独立事件的定义可知CD正误.【详解】对于AB,抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有 正，正,正，反,反,正）,反，反,其中满足事件A的有 正，正,正，反 两种情况，事件A和事件8同时发生的情况有且仅有 正，正 一种情况，2 1 1:.P（A）=z =,A 正确，B 正确；.事件A与事件8可以同时发
11、生，事件A与事件B不互斥，C错误；事件A的发生不影响事件B的发生，事件A与事件8相互独立，D正确.故选：A B D.1 0.关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（）A.若数列%的前项和Sn=a n2+hn+c（a,b,c为常数）则数列 an为等差数列B.若数列 4 的前项和Sn=2）1+|-2,则数列 4 为等差数列C.数列%是等差数列，S“为前”项和，则 S,2 S“,S 3,-S?”仍为等差数列D.数列%是等比数列，S,为前项和，则 S”,S 2”-S”,3”-2”,仍为等比数列.【答案】A B D【解析】【分析】根据题意，结合等差数列、等比数列通项公式和前项和的性质，逐项判定
12、，即可求解.【详解】根据题意，结合等差数列、等比数列的性质依次分析：对于A中，若数列 4 的前项和S=a n2+bn+c,当c =（）时，由等差数列的性质，可得数列 4 为等差数列；当c w O 时，则数列 q 从第二项其为等差数列，所以A不正确；对 于 B中，若数列 为 的前项和5 =2向一 2,可得q =5 =2,%=52-S j =4,=S3-S2=8,则 4,%,生成等比数列，则数列%不是等差数列，所以B不正确；对于C中，数列 4 是等差数列，S,为前“项和，则 S“,S 2”-S”,S 3“一 S 2.,即为 q +4+a”，/+1 +4+2+。2，。2+1 +a2+2+可得S 2“
13、-S“S“=S 3,S 2 -S 2,=二9（常数），仍为等差数列，所以C正确；对于D中，数列 4 是等比数列，S.为前项和，当“=一 1 时，若 为偶数时，5“,5 2,-5“,邑，一5 2”,.均为0,不是等比数列，所以%是等比数列，S,为前项和，则s”,s2n-sn,s3 n-s?,不一定为等比数列.故选：A B D.1 1.已知正方体A B C。AAGA的棱长为2,M为。的中点，N为正方形A B C Q所在平面内一动点，则下列命题正确的有()D _ C,T-N口、:*/z。，/84A.若 M N=2,则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为兀兀B.若MN与平面A 8 C C所成的角为一，则
14、N的轨迹为圆3C.若N到 直 线 与 直 线CC距离相等，则N的轨迹为抛物线D.若AN与A B所成的角为三，则N的轨迹为双曲线【答案】B C D【解析】【分析】设 中 点 为“，OM中点为,连接尸。，计算出P Q可知P的轨迹为圆可判断A；根据已知算出C W,可判断B；根据抛物线定义可判断C；以D 4、D C、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，利用向量的夹角公式计算可判断D.【详解】对于A,设 中 点 为4,OM中点为Q,连接H Q,则H Q 0 N ,且“。=g,n如图，若 M N=2,则所以O N?=A/N2 OM2=4-1 =3，D N=6，则”。=5-，所以点H的轨迹是以。为圆心，半 径
15、为 正 的 圆，面积5 =兀 产=电，故A错误；2 4,z对于 B,tan NMND=皿,ZMND=-DN 3nv_ DM 一 框则 一K-T.所以N 的轨迹是以。ta n-3为圆心，半 径 为 丑 的 圆，故 B 正确;3对于C,点 N 到直线8 片的距离为8 N,所以点N 到定点8 和直线。C 的距离相等，且 2 点不在直线。C上，由抛物线定义可知，N 的轨迹是抛物线，故 C 正确；对于D,如图，以D4、DC.所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系,设 N(x,y,O),R(0,0,2),A(2,0,0),8(2,2,0),所 以 型=(x,y,2),而=(0,2,0),c
16、os60D、N.AR 忆N DtN AB+4x2 22 2匕）=1化简得3y2 f=4,即 g 4-i,所以N的轨迹为双曲线，故 D 正确;3故选：BCD.2 21 2.已知椭圆C：1 +方=1（。”0）的左，右焦点分别是6,工，其中 忻 勾=2 c.直线/过左焦点耳与椭圆交于A,B两点，则下列说法中正确的有（）A.若存在A A B F?,则X A B F 的周长为4ab?B.若A8的中点为M,则 左 二 二C.若 斯 ;*二？。？，则椭圆的离心率的取值范围是D.若|A 8|最小值为3 c,则椭圆的离心率e=【答案】AC【解析】【分析】根据椭圆的定义判断A；用点差法判断B；先 算 出 说.京=
17、才+弁 _。2,进而2 2根据A在椭圆上进行消元得到:玉2 +/2,2,然后结合桶圆的范围得到与玉2 +a2 _2 c2a a2b2的范围，最后求出离心率的范围；根据A 8的最小值为通径的长度求得答案.【详解】对A,根 据 椭 圆 的 定 义 的 周 长 为|AKI+|他|+|4鸟|+|8工|=4，故A正确；对B,设A&,y）,以 孙 必），则M 弋*，21?1，所以后=&，k0M=土 匹，_ 0=(%+%)(%-%)+=（再+九2）（可一巧）kO M-k -，故 B 错误;a对C,A F-AF2=(-c-x1,-yl)(c-xi,-yi)=+y-c2,根据 W 1一今_ r2A F.-A F
18、 +a1-2c1 e a2-2c2,a2-c2,贝 UG 2c2 3c e=w,一,故 C 正确；a 1 5 2对D,容易知道，AB的最小值为通径长度祖，所 以 1=3 c,整理为a a2b2 3 a c=2（a2-c2）3 a c,即2c?+3ac2a?=（）,两 边 同 时 除 以 得2 e 2+3 e-2 =0,解得：e=,或e =-2 (舍)，所以椭圆的离心率e =L,故D错误.2 2故选：A C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)1 3.设点M在直线x+y-1=()上，OM与y轴相切，且经过点(一2,2),则OM的半径为【答案】1或5#5或1【解析】【分析】由点在直线
19、尤+y 1=。上设圆与V轴相切，应用数形结合可得出 与半径的关系，再根据圆经过点(-2,2)也可写出。与半径的关系，求解即可.【详解】由点M在直线了+)，-1 =0上，设又O与y轴相切，且经过点(-2,2),半径r=同=J(a +2)2+(l a 2)2 ,且a 1 0的 的 最 小 值 是.【答案】5【解析】【分析】根据“和差等比数列”的定义，依次求得。3，4，%的值，从而求得正确答案.2+4 5 广【详解】依题意，一-L=；=5，a2 a 1W+凡 4+3 -Q -=7 =5 ,解 得 =不，a3-a2%3 29%+%+c 5但 5 4-=-6=5,解得 =，%3 a 84 25 4Cls
20、 H-%+4 _、8-5 45 8=5,解得生型1。3 2所以使得不等式%10的的最小值是5 .故答案为：52 215.已知圆（x 2）2 +y 2=9与x轴的交点分别为双曲线C:卞-方=1（。0力0）的顶点和PFtf焦点，设 分 别 为 双 曲 线C的左，右焦点，P为。右支上任意一点，则J J 的取熙1+4值范围为.9【答案】（亭【解析】【分 析】根据题意求出双曲线方程，令，=归|口4,小），根据双曲线定义可得:孱r1+十，然后利用函数的单调性即可求出结果.【详解】因为（一2）2+产=9与x轴交点的坐标分别为（1,0）,（5,0）,由题意可知：a=,c =5,因为P为C右支上任意一点，根据双
21、曲线的定义有用 一 归 用=2 a =2,即归耳|=归 周+2,令。=忙 闾 4,中）,则|p用2 _ +2)2 _ /+今 +4 _ +4PF2f+4 /+4 一 /+4 一 +/+3，t4 4 4因为f +在 4,+8)上为增函数，所以+一2 4 +=5,t t 44 八 4 4 9所以所以I+尸即IH t H 陷|2 9i-(2-e(1，PF2+4 59故答案为：（1,-.16.在棱长为1的正方体A B C。A片G A中，尸是线段BG上的点，过4的平面a与直线PD垂直，当尸在线段BG上运动时，平面a截正方体A B C。-A AG A所得截面面积的最小值是.【答案】逅2【解析】【分析】画出
22、图形，判断截面的位置，结合正方体的特征，转化求解截面面积最小即可.【详解】当P在8点时，8D人平面AC G A，平面。截正方体48。一4耳。所得的截面面积为：1x 0 =是最大值.当P在G点时，0G _L平面A A C 8,平面a截正方体ABC。一 A A G。所得的截面面积为：1x 0 =血 是最大值.当P由8向C1移动时，平面a截正方体A B C D-A A G A所得的截面AEF,E由A向B移动，当P到3G的中点时，取得最小值，如图此时：为4 8的中点，尸为。1 G的中点，（P在底面ABCD上 的 射 影 为4是BC的中点，此时E C 1 D H ,可得D P I E C,同理可得D P
23、 L C F,可证明Z）P_L平面 E C F）,A E =C E =,A C =E F =yfi，四边形4ECT是菱形，所以平面a截正方体2A B C D-AS G Q所得的截面面积为：-E F-A C =-x 4 2 x y/3=是最小值.2 2 2故答案为：立2四、解答题(本大题共6 小题，共 70分)17.已知线段A6的端点8(4,3),端点A在圆C:(x +1)2 +V=4上运动.(1)点M在线段AB匕 且 前=1而，求点 的轨迹方程；3(2)若直线y =A(x 2)与点M的轨迹相交，求实数我的取值范围.【答案】-|J+(y-l)2=、,7(2)k 2 4【解析】【分析】(1)利用相
24、关点法即可求得点M的轨迹方程；(2)利用直线与圆相交列出关于实数Z的不等式，【小 问1详解】设点 A(%,%)、M(x,y),由 题 意 可 得 前=而，即J；丁一%=鼻(3-%)因为点A在圆C上，所以(%+1)2 +巾=4,【2 )(2 -2)1 3)故点M的轨迹方程为(x +(y 1)2=?.【小问2详解】由(1)得点M的轨迹方程为 x|)+(y-l)2=解之即可求得实数k的3 .可得 3 3,%=5尸5+(y T)2=,16-f9此 圆 圆 心 坐 标 为 半 径 为由直线y =Mx-2）与点M的轨迹相交，可 得（3 J 4,V1+户 7 7解之得上一，则实数上的取值范围为人 .24 2
25、41 8.甲、乙两人加工一批标准直径为5 0 m m的钢球共1 5 0 0个，其中甲加工了 6 0 0个，乙加工了 9 0 0个.现分别从甲、乙两人加工的钢球中各抽取5 0个进行误差检测，其结果如下：直径误差（mm）-0.3-0.2-0.1040.140.240.3从甲加工的钢球中抽到的个数2682 0 563从乙加工的钢球中抽到的个数1472 4 662（1）估计这批钢球中直径误差不超过0.1 m m的钢球的个数；（2）以甲、乙各自加工的钢球的总数为依据按分层抽样的方法从直径误差为-0.2 m m的钢球中抽取5个，再从这5个钢球中随机抽取2个，求这2个钢球都是乙加工的概率；（3）你认为甲、乙
26、两人谁加工的钢球更符合标准？并说明理由.【答案】（1）1 0 6 2；1 0（3）乙更符合标准，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意表格中的数据，分别求出甲、乙加工钢球直径误差不超过 0.1 m m的个数即可；（2）先求出比例，结合古典概型的概率计算即可；（3）观察表格中的数据，即可下结论.【小 问1详解】由题意知，加工直径误差不超过 0.1 mm的钢球中，3 3 3 7甲：二x 6 0 0 =3 9 6个，乙：二x 9 0 0 =6 6 6个，5 0 5 0所以这批钢球中直径误差不超过 0.1 mm的钢球一共有3 9 6+6 6 6 =1 0 6 2个：【小问2详解】甲、乙加工钢球的总
27、数之比为6 0 0:9 0 0 =2:3,所以抽取的5 个钢球中，甲占2 个，记为A,B,乙占3 个，记为a,b,c,从 5 个钢球中抽取的2 个钢球的基本事件有：AB,Aa,Ah,Ac,Ba,Bh,Be,ah.ac,he,共十个，则全是乙加个的基本事件为：ab.ac,bc,共 3个；3所以所求概率为 P=一；10【小问3详解】乙加工的钢球更符合标准.理由：甲、乙各加工的5 0 个钢球中直径误差为0mm的个数：甲有2 0 个，乙有2 4 个，2 0 2得出玉+y,y2 2 ,再转化为k的不等式得出k的另一个范围，最后综合即可得出答案.【小 问 1 详解】双曲线C 的焦点为F（2,0）,：.c=
28、2,且焦点在x 轴上，双曲线C 的离心率e =2叵，3c 28=-，a3a /3，b=/c2-a2=1，2.双曲线C的方程为：-y2=l;3【小问2详解】联立直线与双曲线方程消去y得：一60米一9 =0,直线/:y =京+0与曲线C恒有两个不同的交点A和B,=7 2 +3 6（1-3 用 01-3 2 2 A o解得公 2.xtx2+yty2 2,3 心 +7.-5 2,3公-11 ,解得一公 3,3.J /2:而 一 荏J也,更14 4 2设直线E P与平面ABC,所成的角为e,I /._ 忸71 5所以直线E P与平面A B C所成角的正弦值为s i n e=|c o s（E P,卜（研
29、片=卷 一.2 2.已知椭圆G:+方=1（。0）的 离 心 率 为 为 椭 圆 上 一 点，A 8为椭圆上不同两点，。为坐标原点，（I）求椭圆。的方程：（2）线段A 3的中点为M，当“1 0 8面积取最大值时，是否存在两定点G,H,使+为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.2 2【答案】?+匕=1；存在；GM+HM=2-j2.【解析】（3、【分析】（1）由离心率公式以及将点尸1,-代入方程，列出方程组，进而得出方程；I 2；（2）当直线A 3的斜率存在时，联立A 3直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求兰+上=1出S.A0 8,再由二次函数的性质得出M的坐标，消去攵，得出点M
30、在 椭 圆2 3 一 上，2结合定义得出平面内存在两点G,H使得GM+HM=20,当直线A 3的斜率不存在时，设出A 8坐标，由三角形面积公式以及正弦函数的性质求出的坐标，进而得出平面内存在两点G,H使得GM+HM 2 V2 .12 2【详解】（I）由6=一，可设a=2 r,c =r,则方程化为J+与=12 4 r 3/（3 2又 点 尸I L2;）在椭圆上，则丁1 +,犷 4 =1-解得，=12 2因此椭圆。的方程为人+匕=1.4 3（2）当直线A B的斜率存在时，设A B直线的方程为y =+加联立直线A B和椭圆C的方程消去y得，+4（%+m）2 1 2 =0化简得：（3+4攵l x?+8
31、k7z x +4/?2-1 2 =0=g M l 昆 一 M J叶 加2+内)2-4 2 =1 H-青N N N V D 十 TK,J D 十 vK=.l4k2m2-(m2-3(3+4k2=-L.的-3疗+1 2公3 +4%2 Y 八3 +4公2/3|/n|3+4公m-1当 上F=上时，S取得最大值公，即此时2加2=3 +4%23+4k2 2 -8km,/、小 6m .(x,+x2又 西+玉=7，%+必=刈 +为)+2=2,贝i J3 rK 3 TK 乙X +%2即M一 4 km 3m)3 +4/3 +4冷x=令 y =-Akm3 +4/3km3+4左2x y i则 万+3=12因此平面内存在两点G,“使得|G A7|+|”M=2后.当直线46的斜率不存在时，设A（2 c o s 6,出s i n。），则8（2 c o s e,-G s i nS.AnR=2 V3 s i n G e o s 8=G s i n 2。，即当夕=工取得最大值&.i v i V x?二+.=此时A 3中点M的坐标为（、后,0），满足方程万 一2即向 叫+|小4=2五.【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键是由弦长公式以及点到直线的距离公式表示三角形的面积，进而由韦达定理、二次函数的性质进行求解.