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1、第 1 页 共 26 页 2022-2023 学年湖北省重点高中智学联盟高二上学期 12 月联考数学试题 一、单选题 1已知直线斜率为33，则直线的倾斜角为（）A56 B23 C3 D6【答案】A【分析】根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案.【详解】设倾斜角为，依题意3tan3，由于0，所以56.故选：A 2设抛物线2:8C xy的焦点为F，点P在C上，0,6Q，若PFQF，则PQ（）A4 2 B4 C4 3 D6【答案】A【分析】根据题意，结合焦半径公式得4,2P，再计算PQ即可.【详解】解：由题知抛物线2:8C xy的焦点为0,2F，因为0,6Q，所以4PFQF，因为点P在C上，所以，由焦半
2、径公式得42PPFQFy，解得2Py，所以，4,2P，4 2PQ.故选：A 3如图，正方体1111ABCDABC D中，,M N P分别是所在棱的中点，设经过,M N P的平面与平面11ADD A的交线为l，则l与直线1BC所成的角为（）第 2 页 共 26 页 A30 B45 C60 D90【答案】D【分析】通过线面之间的关系，在面上延长一部分线，题目条件中实实在在的线，补全立体图形，找到平面MNP与平面11ADD A的交线l，再将1BC平移到1A D，在同一个平面中，去求直线l与直线1BC所成的角.【详解】如图，延长MN交CD于E，连接PE交1DD于H，取DC的中点F，连接FM与FP，由三
3、角形相似知H是1DD的中点，连接NH，NH即为所求的 l，由正方体可知11lADBC，又正方形11BCC B中11BCBC，第 3 页 共 26 页 1lBC，l与直线1BC所成的角为90，故选：D.【点睛】本题为立体几何线线角关系问题，当两个平面的交线没有直接画出时，需要我们利用题目所给条件来补出图形，将两条直线通过平移变换等手段，在同一个平面中处理其角度问题，对学生的空间想象力要求较高，学会几何中线线基本关系来处理线线角，为中档题.4如图，在棱长为1的正四面体OABC中，点M、N分别在线段OA、BC上，且2OMMA，2CNNB，则MN等于（）A63 B23 C53 D2 39【答案】C【分
4、析】由题知121333MNabc，再求向量的模即可.【详解】解：设OA a，OB b，OCc，点M在OA上，且2OMMA，2CNNB，1133OMOAa，121333ONOBBNOBOCOBbc，121333MNONOMabc，又空间四面体OABC的棱长均为1，1abc，,3a bb ca c 22222121141442333999999MNabcabca bb ca c 14141412159999292929 所以，53MN 故选:C 5设mR，过定点A的动直线0 xmy和过定点B的动直线30mxym交于点(,)P x y，则第 4 页 共 26 页 PAPB的最大值是（）A4 B10
5、C5 D10【答案】C【分析】由题意可知两条动直线经过定点(0,0)A、()1,3B，且始终垂直，有PAPB，利用勾股定理求出|AB，再利用基本不等式求得答案.【详解】由题意可知，动直线0 xmy经过定点(0,0)A，动直线30mxym即(1)30m xy，经过定点()1,3B，因为110 mm，所以动直线0 xmy和动直线30mxym始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PAPB，222|10PAPBAB，故22|52PAPBPAPB（当且仅当|5PAPB时取“”)，故选：C 6瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉
6、线”若ABC满足ACBC，顶点1,0A，1,2B，且其“欧拉线”与圆 M：2223xyr相切，则下列结论正确的是（）A圆 M上的点到原点的最大距离为32 B圆 M上不存在三个点到直线10 xy 的距离为2 C若点,x y在圆 M 上，则1yx的最小值是2 D若圆 M 与圆222xya有公共点，则3,3a 【答案】D【分析】由题意求出AB的垂直平分线可得ABC的欧拉线，再由圆心到直线的距离求得r，得到圆的方程，求出圆心到原点的距离，加上半径判断 A；求出圆心到直线10 xy 的距离判断 B；再由1yx的几何意义，即圆上的点与定点(1,0)P 连线的斜率判断 C；由两个圆有公共点可得圆心距与两个半
7、径之间的关系，求得a的取值范围可判断 D.【详解】对于 A，由题意可得ABC的欧拉线即为AB的垂直平分线，因为1,0A，1,2B，所以AB的中点坐标为(0,1)，2011 1ABk ，所以线段AB的垂直平分线方程为1yx，即10 xy，第 5 页 共 26 页 因为“欧拉线”与圆 M：2223xyr相切，所以3 12 22r，所以圆 M：2238xy，所以圆 M上的点到原点的最大距离为32 2，所以 A 错误；对于 B，因为圆心(3,0)M到直线10 xy 的距离为3 122d，而圆的半径为2 2，所以圆 M上存在三个点到直线10 xy 的距离为2，所以 B 错误；对于 C，1yx表示圆上的点
8、(,)x y与定点(1,0)P 连线的斜率，设过(1,0)P 与圆相切的直线方程为(1)yk x，即0kxyk，则 232 21kkk，解得1k ，所以1yx的最小值为1，所以 C 错误，对于 D，圆222xya的圆心为(0,)a，半径为2，因为圆 M：2238xy的圆心为(3,0)M，半径为2 2，所以要使圆 M与圆222xya有公共点，则只要圆心距的范围为 2,3 2，所以22233 2a，解得33a，所以 D 正确，故选：D.7已知点 P在圆225516xy上，点4,0A，0,2B，则错误的是（）A点 P 到直线 AB 的距离小于 10 B点 P 到直线 AB 的距离大于 2 C当PBA
9、最小时，3 2PB D当PBA最大时，3 2PB 【答案】B【分析】求出过AB的直线方程，再求出圆心到直线AB的距离，得到圆上的点P到直线AB的距离范围，判断选项 A 与 B；画出图形，由图可知，当过B的直线与圆相切时，满足PBA最小或最大，求出圆心与B点间的距离，再由勾股定理求得PB判断选项 C 与 D【详解】圆22(5)(5)16xy的圆心为(5,5)C，半径为 4，直线AB的方程为142xy，即240 xy，圆心C到直线AB的距离为22|5254|1111 545512，第 6 页 共 26 页 则点P到直线AB的距离的最小值为11 5425，最大值为11 54105，所以点P到直线AB
10、的距离小于 10，但不一定大于 2，故选项 A 正确，B 错误；如图所示，当ABP最大或最小时，PB与圆相切，(P点位于1P时PBA最小，位于2P时PBA最大），连接CP，BC，可知PCPB，22|(05)(25)34BC，|4CP，由勾股定理可得22|3 2BPBCCP，故选项 CD 正确 故选：B 8 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家 Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；椭圆的短轴长与嵌入圆柱
11、的球的直径相等；当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（）A B C D 第 7 页 共 26 页【答案】C【分析】根据切线长定理可以证明椭圆上任意一点到12,F F 的距离之和为定值，即12,F F是焦点再运用勾股定理证明短轴长，最后构造三角形，运用三角函数表示离心率即可.【详解】如图：在椭圆上任意一点 P作平行于12OO 的直线，与球1O 交于 F 点，与球2O 交于 E点，则PE，2PF 是过点 P作球2O 的两条公切线，2PEPF，同理1PFPF，1212PFPFPEPFOO，是定值，所以12,F F 是椭圆的焦点；正确；由以上的推导可知
12、：121122,OOOOa OOa ，1OFc，11O F 平面，11111,O FOFOOF 是直角三角形，2221111O FOFOO，即22211O Fca，11O Fb，正确；11FOO 就是平面 与轴线12OO的夹角，在11Rt OOF 中，椭圆的离心率11cosOFceaOO，由余弦函数的性质可知当锐角 变大时，e 变小，错误；故选：C.二、多选题 9下列说法错误的是（）A若一条直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为 B过不同两点 1122,A x yB x y的直线方程为112121yyxxyyxx 第 8 页 共 26 页 C线段AB的两个端点11,A x y和22,B xy，
13、则以AB为直径的圆的方程为 12120 xxxxyyyy D经过点2,1且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为30 xy【答案】ABD【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系，直线两点式方程、直线方程的对称及圆的方程逐项判断即可.【详解】若一条直线的斜率为tan，此时可以为负值，而直线的倾斜角的范围为0,，所以 A 不正确.由直线的两点式方程可知过不同两点 1122,A x yB x y 的直线方程为112121yyxxyyxx，但是两点所在直线不能与坐标轴垂直或平行，故 B 错误.根据221212AyBxxy与 2221212224ABxxyyxy 易得圆的方程为：12120 xxxxyyyy，
14、故C 正确.当截距为0时直线方程为12yx，故 D 错误.故选：ABD.10 圆O的半径为定长,r P是圆O上任意一点，A是圆O所在平面上与P不重合的一个定点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点M，当点P在圆上运动时，点M的轨迹可能是（）A一个点 B椭圆 C抛物线 D双曲线【答案】ABD【分析】由题设条件线段的垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解.【详解】（1）因为A为圆O内的一定点，P为O上的一动点，线段AP的垂直平分线交半径OP于点M，可得,MAMPMAMOMPMOOPrOA，即动点M到两定点,O A的距离之和为定值，当,O A不重合时，根据椭圆的定义，可知点M的
15、轨迹是：以,O A为焦点的椭圆；当,O A重合时，点M的轨迹是圆；（2）当A为圆O外的一定点，P为O上的一动点，第 9 页 共 26 页 线段AP的垂直平分线交直线OP于点M，可得,MAMPMAMOMPMOOPrOA，即动点M到两定点,O A的距离之差绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点M的轨迹是：以,O A为焦点的双曲线；（3）当A为圆O上的一定点，P为O上的一动点，此时点M的轨迹是圆心O.综上可得：点M的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线.故选：ABD 11已知12F F是双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点，过2F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且2
16、212AFF B，则该双曲线的离心率为（）A2 33 B3 C2 D2 3【答案】AC【分析】由题意可知：分2212AFF B和2212F AF B两种情况，分别求解，设2a，根据双曲线的几何性质，即可求得b的值，代入离心率公式，即可求解.【详解】如图，当2212AFF B时，设2F OA，则2BOA，设2a，双曲线的渐近线方程为byxa，所以tanba，在2Rt OAF中，2tanAFbOAa，设2,(0)AFbt OAat t，因为22222AFOAOF，所以222()()btatc，又因为222cab，所以1t，则2OAata，22,OFc AFbtb，所以22BFb，则3ABb，33t
17、an,tan 222bbbbaa，第 10 页 共 26 页 所以2222tan4tan2=1tan414bbbb，即23424bbb，则243b，所以222 313cbeaa.如图，当 2212F AF B时，设2F OA，BOA，设2a，2F OB，1()FOB，在2Rt OAF中，2tanAFbOAa，设2,(0)AFbt OAat t，因为22222AFOAOF，所以222()()btatc，又因为222cab，所以1t，则2OAata，22,OFc AFbtb，所以22BFb，则ABb，tan,tan22bbbbaa，所以1tantan()tan()tanFOB，则tantantan
18、()tan1tantan，即222122bbbbb，解得：212b，所以2212cbeaa.故选：AC.12 在直四棱柱中1111ABCDABC D中，底面ABCD为菱形，160,2,BADABADAAP为1CC中点，点Q满足1,0,1,0,1DQDCDD.下列结论正确的是（）第 11 页 共 26 页 A若12，则四面体1ABPQ的体积为定值 B若AQ平面1A BP，则1AQC Q的最小值为103 10 C若1ABQ的外心为O，则11AB AO为定值 2 D若17AQ，则点Q的轨迹长度为23【答案】ABD【分析】对于 A，取1,DD DC的中点分别为,M N，由条件确定Q的轨迹，结合锥体体积
19、公式判断 A，对于 B，由条件确定Q的轨迹为MN，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对于 C，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于 D，由条件确定点Q的轨迹为圆弧23A A，利用弧长公式求轨迹长度即可判断.【详解】对于 A，取1,DD DC的中点分别为,M N，连接,MN DQAM AN，则12DDDM，2DCDN，1/MN DC，因为1,0,1,0,1DQDCDD，12，所以22DQDNDM，221，所以,Q M N三点共线，所以点Q在MN，因为11/DC AB，1/MN DC，所以1/MN AB,MN平面1A BP，1AB 平面1A BP，所以MN平面1A BP，所
20、以点Q到平面1A BP的距离为定值，因为1A BP的面积为定值，所以四面体1ABPQ的体积为定值，所以 A 正确，第 12 页 共 26 页 对于 B，因为/AMBP，因为AM 平面1A BP，BP 平面1A BP，所以AM平面1A BP，又AQ平面1A BP，AQAMM，,AQ AM 平面AMQ，所以平面/AMQ平面1A BP，取11DC的中点E，连接PE，则1/PE DC，11/DC AB，所以1/PE A B，所以1,A B P E四点共面，所以平面/AMQ平面1ABPE，平面1ABPE平面11DCC DPE,平面1AMQ平面11DCC DMQ,所以/MQ PE，又1/PE DC，所以1
21、/MQ DC，所以点Q的轨迹为线段MN，翻折平面AMN，使其与五边形11MNCC D 在同一平面，如图，则11AQC QAC，当且仅当1,A Q C三点共线时等号成立，所以1AQC Q的最小值为1AC，因为160,2BADABADAA，所以5,2AMMN，2212cos1204 1 2 2 172ANADDNAD DN ，所以222AMMNAN，在1C MN中，115C MC N，2MN，所以222111152510cos210252MCMNNCC MNMCMN，所以2113 10sin1 cos10C MNC MN，所以1113 10coscossin210AMCC MFC MF ，在1AM
22、C中，5AM，15MC，13 10cos10AMC，所以2211113 102cos5525510ACMAMCMA MCAMC ，所以1103 10AC，即1AQC Q的最小值为103 10，所以 B 正确，第 13 页 共 26 页 对于 C，若1ABQ的外心为O，过O作1OHAB于H，因为221222 2AB，所以21111111142AB AOABAHHOAB AHAB，所以 C 错误，对于 D，过1A作111AKC D，垂足为K，因为1DD 平面1111DCBA，1AK 平面1111DCBA，所以11DDAK，因为1111C DDDD，111,C D DD 平面11DDC C，所以1A
23、K 平面11DDC C，因为KQ 平面11DDC C，所以1AKKQ，又在11AKD中，1111112,23ADAKDAD K，所以111cos13KDAD，111sin33AKAD，在1A KQ中，13AK，17AQ，12AKQ，所以2KQ，则Q在以K为圆心，2 为半径的圆上运动，在111,DD DC上取点32,A A，使得13123,1D AD A，则322KAKA，所以点Q的轨迹为圆弧23A A，因为1131,3DKD A，所以323A KA，则圆弧23A A等于23，所以 D 正确，第 14 页 共 26 页 故选：ABD.【点睛】本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的
24、轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.三、填空题 13 在y轴上的截距为 2 且倾斜角是直线:31lyx 的倾斜角的一半的直线的方程为_.【答案】32yx【分析】根据题意，得到所求直线的斜率和经过的点，利用点斜式，写出所求的直线方程.【详解】直线:31lyx 的斜率为3，设倾斜角为，0,，故23，则23，设所求直线为 l，其y轴上的截距为 2，故 l过点(0,2)，且斜率为tan33，所求直线 l：32yx.故答案为：32yx 14如图，二面角AB的大小为60，线段PM与NQ分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB.若2,3,4PMMNNQ，则PQ _.【答案】21
25、【分析】利用空间向量的线性运算可得PQPMMNNQ，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解.第 15 页 共 26 页【详解】根据题意，PQPMMNNQ，由二面角l 大小为120，可得,120PM NQ，22()PQPMMNNQ 222222PMMNNQPM MNNQ MNPM NQ 149 162 2 4212 ，所以21PQ，故答案为：21 15已知实数,x y满足2222xyxy，则4yx 的最大值为_.【答案】1【分析】由曲线方程画出曲线所表示的图形，将4yx 看作曲线上的点与坐标为4,0的点连线的斜率，求出最大值.【详解】由“x”和“y”代入方程仍成立，所以曲线2222xyxy
26、关于 x 轴和 y轴对称，故只需考虑0 x，0y 的情形，此时方程为2222xyxy，即22112xy，所以,x y的轨迹如下图，044yyxx，表示点,x y和4,0连线l的斜率，由图可知，当l曲线第四象限部分半圆（圆心为1,1，半径为2）相切时，斜率最大.设l：4yk x，则23121kk，解得1k 或17（舍去），所以4yx 的最大值为 1.故答案为：1.16 已知F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，直线2 20 xy与双曲线C相交于,A B两点，第 16 页 共 26 页 若90AFB，则双曲线C的离心率的取值范围是_.【答案】3 26,42【分析】先联立方程根据交
27、点个数可得3 24e，再根据题意结合双曲线的对称性分析可得0F A FA，运算求解即可.【详解】联立方程222212 2xyabxy，消去 x 得：222228a byba 所以2280ba，即222228809caaca，解得3 24e，设,AAAx y，则可得222222888AAa bxyba，取双曲线的左焦点为F，连结,AF BF，由对称性知四边形AF BF为平行四边形，由,0,0FcF c 可得,AAAAF AxyFAxycc，90AFB，则90F AF，20AAAF A FAxcxcy，则222222298AAa bxycba 即222222989acacca，整理得4281890
28、ee，解得612e，综上可得：3 2642e.故双曲线C的离心率的取值范围是3 26,42.故答案为：3 26,42.四、解答题 17求满足下列条件的曲线标准方程：第 17 页 共 26 页(1)两焦点分别为12,0F，22,0F，且经过点61,3P的椭圆标准方程；(2)与双曲线22146xy有相同渐近线，且焦距为2 5的双曲线标准方程.【答案】(1)2213xy(2)22123xy或22132yx 【分析】(1)利用椭圆的定义以及点在椭圆上求解；(2)根据双曲线及渐近线方程的定义求解.【详解】（1）设所求椭圆的标准方程为222210 xyabab 两焦点分别为12,0F，22,0F，2c 又
29、椭圆过点61,3P，221213ab，又222ab 23a，21b，所以椭圆的标准方程为2213xy.（2）方法一：(i),若焦点在x轴上，设所求双曲线方程为22221(,0)xym nmn，因为22221(,0)xym nmn与双曲线22146xy有相同渐近线，所以62nm，设该双曲线的焦距为12c，又因为焦距122 5,c 所以15c，所以22215mnc，联立226,25nmmn 解得222,3,mn则双曲线方程为22123xy，(ii),若焦点在y轴上，设所求双曲线方程为22221(,0)yxm nmn，因为22221(,0)yxm nmn与双曲线22146xy有相同渐近线，所以62m
30、n，设该双曲线的焦距为12c，又因为焦距122 5,c 所以15c，所以22215mnc，联立226,25mnmn 解得223,2,mn则双曲线方程为22132yx，第 18 页 共 26 页 双曲线的标准方程为：22123xy或22132yx 方法二：设与双曲线22146xy有相同渐近线的双曲线方程为：2246xy（0）焦距为2 5，5c 465，12 双曲线的标准方程为：22123xy或22132yx 18 已知直线12:10,:40lxylxy，在1l上任取一点A，在2l上任取一点B，连接AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过点C做1l的平行线l.(1)求直线l的方程；(2)已知两点1,
31、0,0,1MN，若直线l上存在点P使得PMPN最小，求点P的坐标.【答案】(1)20l xy:；(2)(1,1)P.【分析】(1)由条件可得直线l到直线2l距离是直线l到直线1l的距离的两倍，由平行线距离公式列方程求解即可；(2)求点M关于l的对称点，由两点之间线段最短可确定PMPN的最小值及点P的位置.【详解】（1）因为l与直线1l平行，直线1l的方程为10 xy，故可设直线l的方程为01,4xyccc，由已知2BCCA，过点C作直线EFl，交直线1l与点F，交直线2l与点E，因为12/ll，1/ll，所以2CEl，1CFl，因为12/ll，所以CBECAF,又2BCCA，所以2CECF,所
32、以141222cc，则2c 或 2c，结合图形检验可得2c 与条件矛盾，所以2c，故直线l的方程为20 xy；第 19 页 共 26 页 （2）设点M关于直线l的对称点(,)Mx y，则PMPM，所以PMPNPMPNMN，当且仅当,P M N三点共线时等号成立，连接MN与直线l交与P，即点P与点P重合时，PMPN取最小值，由已知，121112022yxxyxy ，所以点M的坐标为2,1，点N的坐标为0,1，所以:1M Ny，联立201xyy可得11xy，所以点P的坐标为(1,1)，故点P的坐标为(1,1)时PMPN最小.19 如图1，在边长为4的菱形ABCD中，60BAD，点E是AB中点，将A
33、DE沿DE折起到1ADE的位置，使1ADDC，如图 2.(1)求证：1AE 平面BCDE；第 20 页 共 26 页(2)求二面角1BACD的平面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)427.【分析】（1）1AE 平面1111AEEDBCDEBEEDAEBEBEAEDBEAD面（2）以EB，ED，1EA所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，用向量解决.【详解】（1）在菱形 ABCD 中，60BAD，DEAB于点 E，DEBE，BEDC，DEDC，又1ADDC，1ADDED，1、ADDE平面1ADE，DC 平面1ADE，1AE 平面1ADE，1DCAE，又1AEDE，DCDED
34、，、DCDE平面BCDE，1AE 平面BCDE；（2）1AE 平面BCDE，DEBE，以EB，ED，1EA所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系（如图），则0,0,0E，10,0,2A，2,0,0B，4,2 3,0C，(0,2 3,0)D 12,0,2BA ，2,2 3,0BC，10,2 3,2DA，4,0,0DC 设平面1BAC的法向量为111,mx y z，平面1DAC的法向量为222,xny z 由10BA m，0BC m，得111122022 30 xzxy，令11y，得3,1,3m ，同理10,?0n DAn DC,2222 32040yzx,令21y，可得0,1,3n
35、第 21 页 共 26 页 27cos,772m nm nm n，求二面角1BACD的平面角的正弦值427.20已知圆22:9O xy，过点1,0P的直线l与圆O交于,A B两点.(1)若35AB，求直线l的方程；(2)记点A关于x轴的对称点为C（异于点,A B），试问直线BC是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)310 xy 或310 xy (2)直线BC过定点9,0 【分析】（1）由题设直线l的方程为1,0,0 xmyO到直线l的距离为d，进而根据弦长得12d，再根据点到线的距离公式得3m ，进而得答案；（2）设 1122,A x yB x y，则11,C xy
36、.进而联立2219xmyxy得12122228,11myyy ymm ，假设直线BC过定点，由对称性可知所过定点在x轴上，设该定点为,0D t，再根据,B C D三点共线，结合韦达定理求解得2111219xxytxyy即可得答案.【详解】（1）解：由题意可知圆O的圆心坐标为0,0O，半径3r，当直线l的斜率为0时，直线l过圆心0,0O,6AB，不满足题意，所以，直线l的斜率不为0 设直线l的方程为1,0,0 xmyO到直线l的距离为d.因为35AB，所以22222 935rdd，解得12d.由点到直线的距离公式可得O到直线l的距离21121dm，解得3m .故直线l的方程为310 xy 或31
37、0 xy.（2）解：设 1122,A x yB x y，则11,C xy.第 22 页 共 26 页 联立2219xmyxy，整理得221280mymy，所以，12122228,11myyy ymm .假设直线BC过定点，由对称性可知所过定点在x轴上，设该定点为,0D t.因为,B C D三点共线，所以211211yyyxxtx，所以21112211221121212121212219xxymy yyyx yx ymy ytxyyyyyyyy.故直线BC过定点9,0 21如图，已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，260o，BCABABCPBAC.(1)求CP与平面A
38、BCD所成角的正弦值；(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过,B Q两点的截面，且AC平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF 平面PAD？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由.【答案】(1)34(2)在侧棱 PD上存在点 Q且当23DQDP时，使得平面 BEQF平面 PAD.【分析】对于（1），取 AB中点为 H，先由条件证得 PH平面 ABCD，后可得答案.对于（2），由（1）分析可知 ABAC，建立以 A为原点的空间直角坐标系，找到平面 BEQF，平面PAD法向量，后可得答案.【详解】（1）证明：取棱 AB 长的一半为单位长度.则在ABC中，AB=2，BC=4，ABC=
39、60，根据余弦定理，得222126041616122ocosACABBCABBC 得2 3AC，故222ABACBCABAC.第 23 页 共 26 页 又 PBAC，PBAB=B，PB 平面 PAB，AB平面 PAB，故 AC平面 PAB.又AC平面 ABCD，AC平面 PAB，则平面 ABCD平面 PAB.取 AB中点 H，连接 PH，CH.因PAB是等边三角形，则 PHAB，又 PH 平面 PAB，平面 ABCD 平面 PABAB，平面 ABCD平面 PAB，故 PH平面 ABCD.得PCH是 CP 与平面 ABCD 所成的角.在直角三角形PCH中，3PH，2211213CHAHAC，4
40、PC.故134sinPHPCHPC，即为所求.（2）假设存在点 Q，使得平面 BEQF平面 PAD.如图，以 A为原点，分别以AB AC，为 x，y轴的正方向建立空间直角坐标系 A-xyz，则0 0 02 0 02 2 3 01 03,，,，,，,ABDP，2 2 3 01 034 2 3 032 33,，,，,，,ADAPBDDP，设1111,nx y z是平面 PAD 的法向量，则 11111122 3030nADxynAPxz，取13 11,n.设DQDP，其中01.则34 2 32 33,BQBDDQBDDP 连接 EF，因 AC平面 BEQF，ACPAC 平面，平面 PAC平面 BE
41、QF=EF，故 ACEF，则取与EF同向的单位向量0 1 0,j.设2222,nxyz是平面 BEQF 的法向量，则2222220342 3 130njynBQxyz，取230 43,n.由平面 BEQF平面 PAD，知12nn，有123340nn，解得23.故在侧棱 PD 上存在点 Q且当23DQDP时，使得平面 BEQF平面 PAD.第 24 页 共 26 页 【点睛】关键点点睛：本题涉及线面角，及立体几何中的动点问题.对于（1），关键能在各种线面关系中做出相应线面角的平面角.对于（2），求动平面的法向量时，可利用线面平行关系找到动平面内向量的共线向量.22 在12PFF中，已知点 121
42、3,0,3,0,FFPF与2PF边上的中线长之和为 6.记12PFF的重心G的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)若圆22:1,0,1O xyE，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线l与圆O相交于点,A B，直线,EA EB与曲线C的另一个交点分别是点,P M，求EPM面积的最大值.【答案】(1)22104xyy(2)max6425EPMS 【分析】（1）由三角形的重心性质得1212264|3GFGFFF，进而结合椭圆定义即可得答案；（2）由题意知直线PEME，的斜率存在且不为0，PEME，不妨设直线 PE的斜率为(0)k k，则:1PE ykx，进而与椭圆联立方程得222841,41 41
43、kkPkk，228141kPEkk，再用1k代替k，可得22814EMkk，进而得221324417EPMkkSkk，再设1kk，并结合基本不等式求解即可；第 25 页 共 26 页【详解】（1）解：根据三角形重心的性质及已知条件，得122643GFGF 124|FF，曲线 C 是以12,F F为焦点，长轴长24a 的椭圆（不含 x 轴上的两点）由2,3ac，得2221bac C的方程为22104xyy；（2）解：法一 因为(0,1)E，由题意知直线PEME，的斜率存在且不为0，PEME，不妨设直线 PE的斜率为(0)k k，则:1PE ykx.由22114ykxxy，解得2228414141
44、kxkkyk或01xy，222841,41 41kkPkk 2222222184811414141kkkPEkkkk，用1k代替k，可得22221818111441kEMkkkk，222222218832(1)112 414(4)(14)EPMkkkSkkkkkk3422213232()44174417kkkkkkkk，设1kk，由0k，可得1122kkkk，当且仅当1kk，即1k 时，取等号，2，232329174(2)4EPMS，令 942f，函数 f在2,上递增，92542f，32649254，当2时，取等号，第 26 页 共 26 页 EPM面积的最大值为6425.法二设1122(,)
45、,(,)P x yM xy，易知PM斜率存在，设直线PM为ykxm 由2214ykxmxy得222148440kxmkxm，222222644 1 4446416160m kkmkm，12221228144414mkxxkmx xk (0,1)E，PEME 0EP EM，得1212110 x xyy，即1212110 x xkxmkxm 整理得：25230mm，35m（1m 舍去）3:5PMykx与y轴交于3(0,)5 22212221641 84164116252 55541541EPMkkmSxxakk 设21644255k 21616199552525EPMuSuuu在45时单调递减，当45u，即0k 时，max6425EPMS