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1、2022-2023学年广东省深圳市高一上学期期末数学试题一、单选题小人 N =&|2*4 1.已知集合 2 ,5 =x|l n x 4 =22=x 2=J =(2,+o o)l n x 0 x 5 =(0,e)所以 Z c8 =(2,e)故选：B2.记c o s(-80)=A,那么 t a n 1 0 0 =J l-JA.kyj-k2B.kkc.D.：一-【答案】B,、壬的、：C O S(-80 )=%【详解】1 ),c o s 80 0 =k，从而s i n 80 =Vl-c o s280 =y/l-k2,2n s i n 80 0 Vl-A-2.t a n 80 =-=-c o s 80
2、k.Ji _ t2t a n 1 0 0 =t a n(l 80 -80)=-t a n 80 0 =-那么k故选B.0 一 13.使不等式 x 成立的一个充分不必要条件是().0 x lC.x 2 D.x 0【答案】C【解析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件.0 一 0-1,故不等式的解集为：（L+8）,则其一个充分不必要条件可以是X 2,故选：c.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若。是4 的必要不充分条件，则夕对应集合是。对应集合的真子集；（2）?是的充分不必要条件，则P 对应集合是,对应集合的真子集：（3）。是夕的充分必要条件，则p 对应集
3、合与q 对应集合相等；（4）是4 的既不充分又不必要条件，1 对的集合与对应集合互不包含.4.下列函数是偶函数且在区间（一 8，）上为减函数的是（）A.y=2 x B.Xc.y=ki D.%*【答案】C【解析】根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.【详解】卜=2 不是偶函数；1y=.X不是偶函数；了=区是偶函数，且函数在（-8,）上是减函数，所以该项正确；是二次函数，是偶函数，且在（-8,0）上是增函数，故选：C.9（%吟y=2cos 2x 5.将函数 I 3 J 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向左平移7 13 个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）乃
4、42%x=x=X=A.3 B.6 C.3 D.*=兀【答案】D【分析】根据三角形函数图像变换和解析式的关系即可求出变换后函数解析式，从而根据余弦函数图像的性质可求其对称轴.y=2cos 2x-【详解】将函数.I 3 J 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），则函数y=2cos x-解析式变为.I 3 47 Vo y=2 cos（x-7-V-1 t =2.cosx向左平移3 个单位得“I 3 3J,由余弦函数的性质可知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，故对称轴为：x=k n，髭Z,k=时，x=n.故选：D.6.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在 砺智石一书中首先把“=”作为等
5、号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“,y-1-深远.若实数 I 3人贝3y 1的最小值为（）A.6B.4C.3 D.2【答案】AX 3V r 1 1 r J D-+:-2+-+-x+3y=3 x,y 【分析】将 x-l 3 y-l分离常数为 x-3 7-1,由 I-3人 可 得x-+3 y-l=t且x-l 0,3 y-l 0,再结合基本不等式求解即可.x 3y x-1+1 3J/-1+1 -1 1 详解由 x T 3y x T 3y-1 x-3 y-x+3y=3|x l,ey I又 I“3人 所 以 x l+3y l=l,且x 10,/+若+丛+2.+=(x-1 +3y-1)所以“一
6、 1 3尸 13 y-l 0 x-13 y-lx-1 _ 3y-1 3 1 x=y 当且仅当“T x-l,即 2,2 时，等号成立,上+工故 x-1 3八 1的最小值为6.故选：A.一、锄 a=f(-y)b=/(log3-)c=/(log|5)7.已知函数，(x)=2,记.4,32,5,则a,b,c 的大小关系为()A.c b a B.b a c c.abc D.c ab【答案】A【解析】首先判断函数/（X）的性质，再比较 og3 j,i og35的大小关系，从而利用单调性比较a,b,c 的大小关系.【详解】/。）=2 讨是偶函数，并且当x 时，是增函数,C =f log1 5 =/（10 g
7、35）I ，0 （与 1 1 log,log i 5 。11 1 唾3 7 5因为4，,力2，B|J【4 J 2又因为，=/G）在（0，+）是增函数，所以故选：4【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数/（X）=2 忖的性质，后面的问题迎刃而解.8.如图所示，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1）,此时圆上一点尸的 位 置 在（0,0）,圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2,1）时，点 P的坐标为C (1-cos 2,2-si n 2)B (1-si n 2,2-cos 2)D (2-si n 2,1
8、-cos 2)【答案】D兀NBAP=2【分析】如图，根据题意可得 2,利用三角函数的定义和诱导公式求出。尸=-cos2,D 4 =si n2,进而得出结果.【详解】如图,由题意知，BP=0B=2,Z D A P=2-因为圆的半径&=1,所以 2,71兀DP=AP sin(2)=-cos 2,DA=AP cos(2)=sin 2所以 2 2，所以。=2-5由2,PC=1 -cos 2,即 点 P(2-sin 2,1-cos 2)故选：D二、多选题9.下列函数中，在（0,+oo）上的值域是（0,+8）的 是（）1_ 3A.y=x B.y x202x+l C.一 8 D.y=x，【答案】ACD【分析
9、】先判断函数的单调性，再求每个函数的值域得解.【详解】解：A.V=x 在（0,+0 0）上是增函数，所以函数的值域为（0,+0 0）,所以该选项正确;B.y=x2：J2x+l在（0,+oo）上的值域是1，”），所以该选项错误；3y=C.X在（0,+0 0）上是减函数，所以函数的值域为（0,+0 0）,所以该选项正确；D.y 在（0,+8）上是增函数，所以函数的值域为（0,+0 0）,所以该选项正确.故选：ACD1 0.下列各式的值为1 的 是（）tan 20+tan25A.tan20tan25-lB log627+log68-j 3C.sin72cosl8-cosl08sinl8D.2cos2
10、22 5-1【答案】BC【分析】根据两角和的正切公式、诱导公式、两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，结合指数和对数的运算性质逐一判断即可.tan 200+tan 25【详解】tan20tan25-1tan 20+tan 251 -tan 20 tan 2 5=-ta n(20。+25)=-tan450=-l,A错误;log627+log68-=31og66-2 =l,B对;sin72cosl80-cosl080sinl 8=sin72cosl8+cos72sinl 8=sin(72+18)=sin90=L C对52cos222.5,-l =cos450=2，D错误.故选：BC.I I.下列说法
11、正确的是()A/(x)=x v g(x)=l n e 为同一函数11B.已知a,6为非零实数，且。分，则 仍？。力恒成立C.若等式的左、右两边都有意义，则sin c-c o s4 a=2 4 1?。-1恒成立D.关于函数/(x)=3 +x-l l有两个零点，且其中一个零点在区间0,2)【答案】ABCD【分析】根据题意，分别利用函数的概念，不等式的性质，同角三角函数的基本关系和零点存在性定理逐项进行检验即可判断.【详解】对于A,因为函数/()=苫与8 0)=1116=的定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数，故选项A正确；对于B,因为“，b为非零实数，且a 3所 以 出 一 百 一 就,，故
12、选项B成立；对于 c 因为 sin4 a-cos4 a =(sin2 a+cos2 a)(sin2 a -cos2 a)=sin2a-c o s2a =2sin2a-l ,故选项C 正确;对于D,因为函数x)=y+x2-的零点个数等价于g(x)=3 与h(x)=1 1-图象交点的个数，作出图象易知，交点的个数为2,且g =3/?(2)=7,所以函数/(x)=3 +x 2-l l有两个零点，且其中一个在(L 2)上，故选项D正确,1 2.已知函数/(x)=x2+?x T,则下列说法中正确的是()三+五=3A.若再，X?为方程八幻=-6的两实数根，且%X 2 ,则加=5(_ 5 _2 B.若方程幻
13、=1的两实数根都在(0,2),则实数加的取值范围是2,C.若Vx e(0,+o o),f(x)2 x 则实数机的取值范围是(-2,2)_旦D.若也日加,加+1 ,小)0,则实数加的取值范围是(一彳期【答案】A B D【分析】对于A,由已知结合方程的根与系数关系可求；对于B,结合二次方程的实根分布可求；1加 0,故A正确；对于B,因为方程x)=-2的两实数根都在(0,2),即方程/+加、+1 =0的两实数根都在(0,2),0 -0 所以需满足b+2 +l 0,可得一5 0 2,故B正确;对于 C,因为Vxe（，+）,x）0,11 7x+x+一22即 X,因为 X ,则加 2,故c错误；对于D,因
14、为图像开口向上，Vxw m,m+l（都有/（x）0,J/（w）0 F2/M2-10所以/（加 +1）0,即.（加+1），_，（加 +1）_1 0,友-m0解 得2,故D正确.故选：ABD.三、填空题1 3.已知函数/Q x 7)=x,贝|/(-2)=【答案】2#-0.5【分析】令2x-l=-2求出x的值，即为结果.x=-l /(-2)=【详解】令2 x-l=-2,得 2,所以 2.故答案为：2y=lg（sin x）+.cos x 1 4.函数 V 2的定义域为【答案】x|2k 兀 x0cos x 0【解析】由题意得 2，解得即可.s i n x 0 s i n x 0 0 c o s x 【详
15、解】由题意，要使函数有意义，则 2，即 22k兀 x 7T+2k7t,(k e Z)5 兀-+2k 兀 x 解 得 l 3y+Ikrc,(k e Z )所以2k冗 x 4-32kn(k e Z)所以函数的定义域为X I 2k7T X y+2k7T,k w Z x|2k 兀 x 0 x(-x_2),x 0的图象如下,当 x 40 时，令 x(x-2)=3,得 玉=T(舍)，=3当x/2)=4+/2.故答案为：4+0四、解答题17.完成下列计算，保留应有过程.-2 sin 4-cos 34sin 341 7 1 兀sinacosa=a-(2)已知 8,且 4 2,贝 ijcosa_sina=?；【
16、答案】也2【分析】(1)利用两角和差余弦公式和辅助角公式可化简分子为-G s in 3 4,由此可得结果;(2)根据c o s a v s in a,结合同角三角函数平方关系可求得结果.【详解】-2 sin 4-cos 340 _-2 sin 40-cos 30 cos 4+sin 300 sin 4sin 34 sin 343 13.o-sin 4+cos 42 2sin 340=6 sin(4。+30)6 疝 34。一sin 34 sin 34,n n a 一(2)4 2,则 co sav sin a,即 co sa-sin a 0,2cos a -sin a =-J (cos a-sin
17、 a)2=-J l-2 sine cos a =1-1f(x)=cos(0,e -(3)若 2,求x 的取值范围.71_(0=-【答案】(1)。=2,3(2)作图见解析(I.71.7 7T ,r、x k兀+xk7i-,k Z(3)2 4 2 4【分析】(1)利用最小正周期和.14)2解 ，即可；(2)利用列表，描点画出“X)图像即可；(3)由余弦函数的图像和性质解不等式即可.T =2-=万【详解】(1).函数/G)的 最 小 正 周 期 一。一“，二。=2./I I=C O S I 2 x+1 =C O S I y+9 l=-s in =0f,即co s介冷2k冗-2 x-Ikjr+(k e
18、Z)4 3 42k兀+2x Ikjr+(k G Z)则 12 12 ,.7V.7 7C.左乃 十 X k7T+(k G Z)即 2 4 2 4V.TC.17T._.x 攵 4 +X x+c,不等式/。)0(2)不等式组1/(x+A)0（2）根 据 不 等 式 组 的 正 整 数 解 仅 有 2个，可得到7 5-伎 8,即可求解;（3）对 进行分类讨论，结合函数的单调性求得，的取值范围.【详解】（1）因为/（冷=2/+队+不 等 式/（幻 0 2X2-10X0(2)不等式 l x+左)0 ,即|_2(x+%)2-10(x+%)5,x 0解得-%，因为正整数解仅有2个，可得该正整数解为6、7,可得
19、到7 5-仁8,解得-3 4左-2,则实数上取值范围是I,-2）.（3）因为对于任意xe【T,I不等式./（x）W2恒成立，所以-5及-14 0,当，=时，-1 时，函 数 尸-5及-1在xe T,1上单调递减，所以只需满足/（7）”（-1）2-5 -1）-”0,解得 W：当，0时，函数y =1 fx-l在xe T,1上单调递增，所以只需满足/（1）=M2-5/l-l 0,0 1 +2 =26 0 6（.人），故“（6 6），当13 时，I 6 6），故点尸到水面的距离为2 m（2）点尸从”开始转动的一圈，所用时间。=1 2解得：2 t 0（口）转化条件为 3 ,按照“0、”0 分 类,即可得
20、解；（H I）由对数的运算性质转化条件得方程 7 3 有且只有一个实根，换元后，结合一元二次方程根的分布即可得解.【详解】（I ）/（X）是偶函数，.J（X）=/（T）,.1唱（4+1）+丘=唾4（4 7+1）-6,4A+1 4Y(4A+1)皿石1 =-2丘 log4K-=x =-2去即（2左+l）x =0对一切x e R恒成立,人=.2,/、a 2 t z 0（口）要使函数g（x）有意义，需 3 ,4 42X -x log,-当。时，3 ,解得-3 ,4 4八 2X x log,一当。时，g（x）的定义域为I 八 （、I-J og2-1当0时，g（x）的定义域为I 3人/=log 4(4x+
21、l)-log4h/-2v-a(田).F(x)=/(x)-g(x)2 I 3 J 只有一个零点,log4(4r+l)=-x +log4二方程 23 J有且只有一个实根,log4(4v+l)=log442+log/a-2x-al =log4 a-2x(2x即方程 I 3 ；L ,3有且只有一个实根,（2X j+=a（2xj-2X亦即方程 7 3 有且只有一个实根，（7 -1）?-t 1 =0令，=2、（f 0）,则方程 3 有且只有一个正根,当。=1时，-4,不合题意;当a*1时，因为。不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根,由A =。可 得 闺+4W解 得 V 或-3=3若“一，贝 二-
22、2不合题意，舍去;若。=-3,则 一5满足条件；若方程有两根异号,+4伍1)0。1 ,综上所述，实数。的取值范围是 T “1，”）.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决：（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2 2.截至2022年 12月 12 H,全国新型冠状病毒的感染人数突破人.疫情严峻，请同学们利用的数学模型解决生活中的实际问题.【主题一】【
23、科学抗疫，新药研发】（1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间，（单位：h）的变化用指数模型。（f）=。胆 一”描述，假定某药物的消除速率常数左=0.1（单位：h-y,刚注射这种新药后的初始血药含量c=2000m g/L,且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：In2=0.693,ln3 1.099）A.5.32h B.6.23h C.6.93h D.7.52h【主题二】【
24、及时隔离，避免感染】（2）为了抗击新冠，李沧区需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a平方米（）,侧面长为x 米，且 x 不超过8,房高为4 米.房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低.当 0aW l时，=8及时总价最低；当时，x=8时总价最低【分析】（1）利用已知条件充）=*=2000b“，求解指数不等式得答案.(2)y根据题意表达出总造价76800 八八/八-+1200 x,(0 xx8)再根据基本不等式，结合对勾函数的性质分类讨论分析即可.【详解】（1）解：由题意得，c（，）=，e
25、-M=2000c,设该药在病人体内的血药含量变为l0mg/L时需要是时间为4,e-0 l 1由血）=2 0 0 0 e fl0 0 0,得-2,.-.r 6.93h0.1,该新药对病人有疗效的时长大约为6 93h.故选：C.y=400 x 4 x+2x150 x4%(2)解：由题意，正 面 长 为 x米，故总造价 x,即y=-7-6-8-0-0-a-b 112r0M0 x,(0 x 2由基本不等式有 x76800,.n n 76800a，-xl200 x-=1200 x rx,当且仅当 x,即x=8。时取等号.故当8&4 8,即a 41,x=86时总价最低；当86 8,即a l时，由对勾函数的性质可得,X=8时总价最低；综上，当0 。41时，、=8/时总价最低；当时，x=8时总价最低.