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1、2021-2022学年广东省深圳市龙华区高一上学期期末数学试题一、单选题I.设集合”=x|1 4 x 9-2 x；则 如8=（）A.仲=2 B X|1X2C x|2 x 3 D x|2 x9-20=小 2 ,因为“=x|1 4 x 3 所以4 c B =x2 x 3”是“一元二次方程/+办+1 =有实数根，的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据一元二次方程根的个数结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】一元二次方程/+6+1 =0有实数根，贝!A=/-4 2 0,解得0 4-2或a N 2,即“a 3”是“一元二次方程/+办
2、+1 =0有实数根”的充分不必要条件故选：A4 .下列函数中与函数 是同一个函数的是（）A,丫=岳 B,m=一C.D.S=2%【答案】B【分析】分别从函数的定义域，对应法则和值域进行判断即可求解.【详解】函数丁=苫定义域为R,值域也为R.对于A,函数 =国 的 定 义 域 为 R,值域为，+8）,对应法则也不相同，故选项A 不满足题后、；对于B,函数=汐=丫的定义域为R,值域也为R,对应法则相同，故选项B 满足题意；n2/八、加=_ _ /7 70）对于C,函 数 一 一 定义域为（-8，）U（0，+8）,值域为（-8,0）U（0,*）,故选项C 不满足题意；对于D,函数s=2期=f（f 0）
3、定义域为（0,+8）,值域为（0,位），故选项D 不满足题意，故选：B.5.如图，四边形Z8CO是直角梯形，N D A B =90 ,AD BC,A D =a,BC=b.若用，N 分别在 Z 8,8 上，M N BC ,且 把 直 角 梯 形“8 c o 分成面积相等的两部分，则脑V=（）B,而a+bC.2【答案】D【分析】过A 点作/尸 交于E,交 B C 于F,由相似三角形和面积相等建立等量关系求解即可.【详解】如图所示，过A 点作交MN于E,交B C 于F ,设 MN=c,AM=m,AB=n,ME AM c-a tn(c-a)n-=-m-因为AA M E B F ,所 以 BE 力 8
4、即6-a n,解得 b-a ,S=(+c)m=(+c)(c-a)n(c2-a2)n _(a+h)n因为2(b-a)t*BCD=一，且邑 BCC=2s皿叫(a+b)n _(c2-a2)n-=zx-所以 2 2(b-a)解得故选：D兀 i、l-cos2xxe(O,/(x)=-6.当 3 时，函数 s in 2 x 的最大值是()V3A.3B.1C.百D.2【答案】C【分析】化简/(X)的解析式，根据正切函数的单调性求得正确答案.“、l-cos2x l-(l-2 sin2x)/(x)=-=-=tan x【详解】由于 sin2x 2sinxcosx,而/(x)=ta n x 在区间(b 上单调递增，所
5、以八X)的 最 大 值 是(3 J.故选：C7T 71-/0,3 0,2 2)的形式，则()(p-A.A=2,0 =1,67 1(p =-B.4=2,0 =1,371(P-C.A=2,3 =2,67 1c P =D.4 =2,0 =2,3【答案】DI j _ f ,2【分析】由题知/=2,2 -2 ,进而得尸2 s i n(2 x+*再代入点1 1 2 加 可 得 好 进 而 得答案.1 7 _ 1 1 万 5 4 1【详解】解：由题知4 =2,2 一记一五一5,丁 2 万T=7T=所以 3 ,解得。=2,所以，y =2 s i n(2 x+e),:，2 2 =2 s i n 2x +(p 2
6、x +(p=+2k7r,k e Z cp=-+2k7r,k e Z再将1 1 2 J 代入得 I 1 2 4 即 时 2 ,解得 37t n-(pbc B.ci cbC.c a b D.c b a【答案】A【分析】利用对数函数的单调性判断.详解解：因为=唾 3 万 唾 3 3 =1,0 6 =l o g.3 l o g.=l,c =l o g0 3e Z c,故选：A二、多选题9.在同一坐标系中，对于函数x）=x2 与g（x）=2,的图象，下列说法正确的是（）A./（）与g（x）有两个交点B.3%,当x x（）时，/（x）恒在g（x）的上方C.x）与8（口有三个交点D.*oO,当X/时，g（x
7、）恒在/（x）的上方【答案】C D【分析】通过试值找到两函数在时两个关键的交点坐标（2 4），（4/6）,从而在同一坐标系中作出两函数图像，通过图像即可判断选项.【详解】）=L g（l）=2 ,f（2）=g（2）=4,3）=9,g（3）=8,/（4）=g（4）=1 6,5）=2 5,g（5）=3 2则可在同一坐标系内作出两函数图像如下图所示:显然两函数有三个交点4 8，C,故 A 错误，C 正确,由图易得当x4时，g（x）恒在/（X）的上方，故 B 错误，D 正确,故选：CD.（兀、y-cos 2x+一1 0.将函数.I 6 J 的图像上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），再把它向右
8、兀平移5 个单位，得到函数/a）的图像，则下列是y=/a）对称轴的是（）5 7 1兀x=-x=A.6 B.67KX=-x-C.24 D.6【答案】ABD【分析】由图像变换求解函数解析式，整体代入法求对称轴方程.（兀、y=cos 2x+【详解】函数 I 6 J 的图像上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数（兀）y=cos x+一l 6 J 的图像，兀 （兀）/（X）=C O S X 再把它向右平移3 个单位，得到函数.I 6J的图像，7 1 ._,T I.-X=A 7 l,A T G Z x=兀+令 6,解得y=/（x）对称轴方程为 6,5兀_ 7兀当=T 时，对 称 轴 为
9、6；当左=时，对称轴为“6.当”=1时，对称轴为*6.故选：ABDI I.已知/的定义域是R,X)既是奇函数又是减函数.若6 e R,且则()A.f(a+b)0 B./(幻+/3)0C./(+*)0【答案】AD【分析】根据一(X)定义域为R,且其既是奇函数又是减函数，可知/()二0,结合。+6 即可判断 A,C选项，。+60,则。/()=,故 A 正确，C 错误，a+b V 0，则 a /(一伙即/(。)-/9),，/(a)+/。),故 D 正确，B 错误.故选：AD.1 2.提 鞋(斜)公 式，也叫李善兰辅助角公式，是我国19世纪著名数学家李善兰先生提出的一种高等三角函数公式，其正弦型如下：
10、asinx+/cosx=Ja2+sin(x+/),其中一哈旌兀.若3 。-卜|,00 G (0,一)2,则下列判断正确 的 是()A.当a0,6 0时，9 =%B.当a 0时，。=例一兀C.当a0,6 0时，夕=一%D.当。0,6 0时，。=n-。0【答案】AC【分析】根据两角和正弦公式求出夕的表达式后根据力的正负分类讨论可得.a sin x+6 cos x=d 6 +b1(/sin x+cos x)详解 sla2+b2 yja2+b2,a b设 yJa2+b2 la2+b2 一 兀 0,b 0,八 4 c 冗则 0 v 0 2,此时t.an展 t.an%,0(O%.0,则 2,tane=-t
11、ang0=tan(万 一%),2 ,P =P0,B 错；71几 门若a 0,b0,-00.4,z 0n 0则 2 杉 ，tang=-tan%=tan(-%),2%,0=一%,C 正确；7T7 1若。0,b 0,误.71 0-./一冗 科 7T 0,计算：.【答案】a【分析】利用暴的运算性质直接求得.2|2 详解Q2Q3 4-a6=a2 3 6=4故答案为：a1 4.已知a 为第二象限的角，且 3,则s in(a+.2V2【答案】一 亍【分析】由同角三角函数关系及诱导公式可得答案.1cos a =【详解】因a 为第二象限的角，则s in a 0,又s i/a +cos2a=1,3,贝 ij.r.
12、-2 应sm a=VI-cos a=-3.又由诱导公式，./v.2 正得si n(a+n 尸si=n-a=-3-.2y/2故答案为：一 亍/(x)=+l，x 201 5.已知函数 2x+%,x0是增函数，则实数m 的取值范围是【答案】(，2【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得团的取值范围.【详解】由于/（X）在 R上递增，所以 2 x0 +”?4 2 0+1 ,g|j m 2t所以，的取值范围是（-8,2 故答案为：（r，2 16.煤油在作为喷气发动机的燃料之前需通过黏土除去其中的污染物.某种煤油中污染物的含量为P。，测得这种煤油通过x m 的圆形黏土管道后污染物的含量P如下表：x/m0
13、123PPoO.8 p o0.64 P oO.5 12 p o若要使这种煤油中污染物的含量不超过原来的2%,则至少需要 m 的圆形黏土管道.（参考数据：3 2 a o 3）【答案】*分析根据表格得到P=P 0-8,解不等式P。4外 2%,可得结果.【详解】由表可知，P =A,0 8,由 P =4 P o,2%,得 084 2%,2 、.、吆2-2 l g 2-2 0.3-2x l g 0 8 V Ig-x 2-=-x-两边取常用对数得 10 0,得 l g 8-l 31g 2-1 3x0.3-1=17.所以若要使这种煤油中污染物的含量不超过原来的2%,则至少需要17 m的圆形黏土管道.故答案为
14、：17四、解答题17 .立德中学高一年级某学生社团开展了“使用移动支付平台支付宝与微信支付的对比分析”的课题研究.随机调查了 10 0 名市民，结果显示：使用支付宝的有4 5 6人，使用微信支付的有7 8 3人,两种都使用的有2 9 8 人.（1）只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？（2）两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程）【答案】（1）15 8 人（2）5 9 人【分析】（1）由题意“使用支付宝”的去掉”两种支付方式都使用”的即为“只使用支付宝不使用微信支付”的人.（2）由题意分别得出“只使用微信支付不使用支付宝”，“只使用支付宝不使用微信支付”“两种支付方式都使用”
15、，由总人数减去“至少使用一种移动支付方式”即可的结果.【详解】（1）因为“使用支付宝”的有4 5 6人，”两种支付方式都使用，的有2 9 8 人，所以“只使用支付宝不使用微信支付 的有4 5 6-2 9 8 =15 8 （人）.（2）同理，“只使用微信支付不使用支付宝”的有7 8 3-2 9 8 =4 8 5 （人），所以，“至少使用一种移动支付方式 的有4 8 5 +15 8 +2 9 8 =9 4 1（人），故“两种移动支付方式都不使用，有 10 0 0-9 4 1=5 9 （人）.1 8.已知函数x）=l g X （0,1）,且/S）+/（4 a）=4.（1）求实数。的值；（2）解关于x
16、 的不等式:/2-4/（X）-5 0【答案】（1）。=2卜|；x 1 2 J【分析】（1）由“+八加厂九代入函数解析式解方程；（2）换元法先解二次不等式，再求解对数不等式.【详解】（1）由/（。）+/（4。）=4 得 l o g 0 4 +l o g114 a =2 +l o g a 4 =4.所以 l o g/=2,即/=4,因为所以“=2（2）令，=/（x）,不等式转化为产-今-5 0,即C+l）（5）。，解之得gp-l l o g2x 5；而一1 =噫 万，5 =l o g,32 ；-x 3 2所以2故该不等式的解集为x g x-2 兀T=n（2）由（1）知周期 2 ,而1 9兀 6 0
17、 而 1 2,即第2 0 个周期可以到达点A,所以质点产经过A 点的次数为2 0 .2、-2x/（x）=-2 0.己知函数.2、+2 一 1（1）判断/的奇偶性，并说明理由；（2）判断/（X）的单调性，并用定义法给予证明.【答案】（1）奇函数，理由见解析（2）/3是R上的增函数.，证明见解析【分析】（I）利用奇偶性的定义进行证明；（2）结合指数函数单调性及复合函数单调性法则判断，再利用单调性的定义进行证明.【详解】（1）因 为 的 定 义 域 是 R,且当 V x e R 时，/（-x）=77=一/（x）,故/是奇函数；，/、2X-2-X 4X-1 4,+1-2 ,2（2）变形得 7 2V+2
18、x 4X+1 4X+1 4x+1 ,/6）=l-令f =4 +l,则 t ,因为，=4、+l 在R上是增函数，7又 f 在（l，+8）上是单调递增，所以/（x）是 R增函数，下面用定义法证明：任取两个实数X|,eR,且王 2,2 2 2 一）则“看）/（看）=门一百二G ”+1 X 4*+1）,因为*七，所以4 3 4%所以牛-平0,乂 4*+1 0,4 +1 0,所 以/&）-/（七）0,即/区）七），故 X）是R上的增函数.f（x）=si nxc o s（+x）+万 si n xc o s x2 1.已知函数.2（I）求/（x）的单调递减区间；若不等式S3-同 2 在上恒成立，求实数，”的
19、取值范围.-+/ai,+kn【答案】（1）6 3 （左 eZ）仁 ）【分析】（1）利用诱导公式以及三角恒等变换公式化简函数/（X）的解析式，根据正弦函数的递减区间列式可得结果；0 -0（2）根据函数/（X）在2 上的单调性求出函数人外在 2 上的值域，将不等式1尤）一向2在xe 0,x e 0,L 2 上恒成立，化为“-2 /（x）“+2在 L 2 上恒成立，再利用 X）的最值列式可求出结果.2/T .c o s2 x-l 7 3J(X)=-si n x+V3 si n xc o s x=-+sm 2x【详解】(1)因为.2 2/(x)=si n(2 x+-1)-所以6 2ITT T Sit-
20、+2kn 2x+-+2k7t令2 6 271/2兀.+K IIX-F kn解得 6 3 ,k e Z,+AT I,+f a t 即x)的单调递减区间为6 3 (后eZ).xe 0,2x+&,(2)当 6时，6 6 2,所以/(x)在L 6 上单调递增;xe ,当 6 2 时,c 7 C r7 T 7兀 _,2X+-G-,1 一6 2 6,所以 X)在兀716,2上单调递减:因为。）=。，吗H）=T,-1 -1所以 X）的 值 域 是 2,又由I x）-同2在xq，2 上恒成立，得 吁2 /（x）加+2在 上 恒 成 立,加 一 2 一一 m l,用M 3 表示/(X),且中的较大者，记为M(x
21、)=max /(x),g(x),当方程加田=有三个不同的实数根时，求实数。的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)%可取艮53 75 中的任一个值【分析】(1)根据对数函数和二次函数的性质和图象即可得出答案;(2)因为x)-g(x)=可以等价于y =x)与N =g(x)的交点问题，由图知，因为/(3)g(4),所以x e 3,4 ,再由二分法的定义即可求出函数僦x)=/(x)-g(x)的零点看;”的交点问题，结合图象即可得出答案.(注意画图象的细节，如 、y=H x _ 2 3 V =ln(x-1)的渐近线，l ln6 2,2 的 最 大 值 为 1 6,与x 轴的交点为份，(4,0),图象
22、画得不够准确，适当扣分.)(2)因为f(x)-g&)=可以等价于y =X)与y =g(x)的交点问题,由上图知，因为/（3）g（4）,所以xw3,4,因为/（3.5）=ln2.51即/（3.5）l,g（3-75）-而 1,即/（3.75）g（3.75）,所以3.5,3.75,而3.75-3.5=0.25 0.3,所以可取3.5,3.75中的任一个值(3)因为方程(x)=a 可转化为N=(x)与y=a 的交点问题,如图，因为g 0)=75,后小廊=|.所以/(x0)=ln(x o-l)41n2.75/6),又8,m(-)=77-a 1 6,所以当2 16,=M(x)与y=a 有三个交点,J竺)所以实数的 取 值 范 围 是 161