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1、2022-2023学年广东省东莞市高一上学期期末数学试题一、单选题/八 、H 1 o-F 1 0A.3x e(0,+oo)；XB.*右(0,+8),xC Vx(0,+oo),7+1 D.Vx e(0,+oo)；7 +1【答案】c【分析】直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可.【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，-F 1 =2 x-7在R上均为增函数，故函数/（X）在R上为增函数,因为1）=一3 0,由零点存在定理可知，函数/G）的零点所在的区间为（L2）.故选：A.3.已知全集=0，1，2,3,4,5,集 合=0,2,4,5 ,集合8 =2,3,4,则如图所示的阴影部分
2、表示的集合为（）A.2 4 B.W 3 5 C.0,1,3,5 口.0 2 3,4,5【答案】C【分析】求出C8 =2,4,阴影部分集合为Q，（“C8）,由此能求出结果【详解】因为集合6包 2,4,5,集合3=2,3,4,所以，c8=2,4,由图可知：阴影部分表示的集合为G （“门8）=0,1,3,5,故选：C.4.下列四组函数，表示同一个函数的一组是（）A.y=E,y=（4x）2 B.y =l g l 0*,y =_ x3+xc.y =si n|x|,y=si nx|D y =x,-x2+l【答案】D【分析】根据函数相等的概念和函数的性质逐项检验即可求解.【详解】对于A,因为函数、=疗 的
3、定 义 域 为R,而函数了=（4）2 的定义域为电用），定义域不同，所以与y=（4）2 不是同一个函数，故选项A错误；对于B,函数y=1 g i 0 的定义域为R,而函数了=1 忸,的定义域为（，+8）,定义域不同，所以y=i g i 0 与y=i i 不是同一个函数，故选项B错误；对于C,函数N =si n|x|的定义域为R,函数y=|si nx|的定义域也为R,二者定义域相同，对应法则不同，所以N =si n|x|与y=|si nx|不是同一个函数，故选项C错误；x3+Xy =x对于D,函数y =x的定义域为R,函 数.X-+1 的定义域也为R,二者的定义域相同，对应X3+Xy=-法则相同
4、，所以V=x 与 丁+1 是同一个函数，故选项D正确，故选：D.5.记某时钟的中心点为,分针针尖对应的端点为A .已知分针长/=5 c m,且分针从1 2 点位置开始绕中心点顺时针匀速转动.若以中心点。为原点，3 点 和 1 2 点方向分别为x 轴和了轴正方向建立平面直角坐标系，则点A到x 轴的距离V（单位：c m）与时间/（单位：m i n）的函数解析式 为（）A.y =5|si n B y =5|c os/|【答案】Dy=5 si n-t+（p【分析】画出图像，由题意分析得 I 3 0利用已知条件求解出夕化简即可.【详解】如图所示：2 K _ 7 1由题意得分针每分钟转6 0-30 ra
5、d,7 1 t则f分钟后转了 30 ra d,则点A到x 轴的距离了与时间/的关系可设为:y =5 si n1-4 f+可当，二时，点A在钟表的1 2 点处，此时了=5,5 =5所以si n(一 三乂0 +8=卜吊同=17 1(P=所以可以取 2 ,y =5L c os 兀t此时.3 0,故选：D.fx=x+、6.“-2”是“，x在（。，+8）上单调递增，的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】充分性直接证明，必要性举特值验证.【详解】,-2 。）=+噎在（，+8）单调递增，充分性成立，1 /（工）=%+巴 7A,若 =-1 时 X
6、在（，）单调递增，但是不满足。-2,所以必要性不成立.故选：A7.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（单位:k m/s）和燃料的质量（单位:kg）、火v=alg 1 +箭（除燃料外）的质量？（单位：k g）的函数关系是 I机）（。是参数）.当质量比加比M较大时，函数关系中真数部分的1可以忽略不计，按照上述函数关系，将质量比蔡从2000提升至50000,则 n大约增加了（附:lg2 0.3010）（）A.52%B.42%C.32%D.22%【答案】BM【分析】质量比获提升后的最大速度与提升前的最大速度相除，即可算出增加的百分比.M【详解】当质量比了为2000时，最大速度匕=1g200,M
7、当质量比机 为 50000时，最大速度彩=炫 5000,v2=a 1g50000 _ 4+lg5=5-lg2 1-alg2000-3+lg2-3+lg2 ,v2=1.42v,=（1+42%）v,M所以将质量比m从 2000提升至50000,则丫大约增加了 42%.故选：B8.已知定义在R 上的函数/（X）满足/*）=/*+2）,则函数/（X）与 2X,x0I 5 的图象在区间-3,3 上的交点个数为（）A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个【答案】B【分析】根据可知：函数”X）是周期为2 的函数且在IT，上 x）=N,然后分别画出“X）和g（x）在区间-3,3 上的图象，由图象即可观察
8、交点的个数.【详解】由可知：函数/（X）是周期为2 的函数且在 T 上 x）=|x|,在同一坐标系内分别作出函数/（X）和g（x）在区间3,3 上的图象，如图所示：由图可知：函数x）和g。）在区间3,可上有4 个交点,故选：B.二、多选题9.下列命题为真命题的是（）A.若 b c ,则”b B.若。分，c ,贝!|。一C.若 ab,C d ,则 D.若且。6,则。方0【答案】B D【分析】利用不等式的性质及取特殊值逐项分析即可.【详解】选项A,由加，若c 万，。0,贝i j a c 力，c=2,d=-4=c d,则 =2,/=8nac-0 0-0因为。b a b ab若ab,则6-0,所以而
9、0,故D正确,故选：B D.1 0.下列大小关系正确的是（）A.FB.3 1 n 2 /2 V 2-1D.s i n 1 c o s 1【答案】A B D【分析】由不等式的性质和函数的单调性，比较大小.【详解】3-0.2 3-0.4=MV4-0.2 -0.4,.,A 选项正确;3 I n 2 =I n 23=I n 8 /2 +1 0 ,得-/3 +V 2 y/2+1 ,即V 3-V 2 s i n =c o s c o s I4 4 ,D选项正确.故选：A B D/(x)=1 1 .狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为 U 3 e Q,则下列关于狄利克雷函数的结论正确的是()A.“X)的
10、值域是 可B.V x e R,/(/(x)=lC.x)是偶函数D,卜卜卜|/(x)共【答案】B C【分析】根据给定的函数求函数值域，判断奇偶性，求函数值即可/.J，x e Q【详解】由函数 o 3 e Q Q,当x为有理数时，函数值为1,当x为无理数时，函数值为0,所以函数 X)的 值 域 是 /,故A错误，由函数/a)的值域是 0 知道，i e Q,所以 V x e RJ(/(x)=l,故 B 正确，当 ，则-x e Q,所以-x)=x)=l,当x e l Q,则-x e 1 Q,所以/(-x)=/(x)=,又“X)的定义域为R,故 X)是偶函数，所以C正确，由”I,所以/(刈=。，所以x
11、e Q Q,/5,所以制=1,所以x cQ,所以I 2 J I 2 J,故D错误，故选：B C./、s i n xJ(x)=12 .已知函数.a n x|,则下列结论正确 的 是()A./（X）的图像关于5，）中心对称B.A M的最小正周期为几IC./（X）在区间12 1上单调递增D./（幻的值域为（T 1）【答案】AC【分析】根据函数解析式，结合三角函数的性质，分别判断各选项./（上【详解】lt a n xL函数定义域为x*弓，上 e Z/（27t-x）=（2 兀-x）=-sinx=|tan（2兀-x）|tanx|,所以函数图像上的点卜，八口）关于（兀，）的对称点（2兀-x,-/（x）也在函
12、数图像上，即 的 图 像 关 于5,0）中心对称，A选项正确；,z、sin(x+7t)-sinx-、兀不是/（X）的周期，B选项错误;xe，-兀,兀 、.sinx sinx(n A/(x)=-=-=-cosx,7t当 12 J时，.|tanx|-tanx,所以/在区间12 J上单调递增，c选项正确;TCY 兀、”、sinxXG 2fac,2E+U 2E+,2而+兀 f(x)=-当 2)I 2 J时，sin x 0,|tanx|sinx I-=cosxtanx有 0(x)l,X G 2痴+兀,2kn+jU I 2E+,2E+2兀 /(x)=七当 I 2 J I 2 J 时，sinx0,I tan
13、x|-l /（x）0,所以x）的值域为（T）U（O,l）,D选项错误.故选：ACsinxtanx=-|cos x|有三、填空题_ _ J_1 3.函数+三 的 定 义 域 为【答 案 0,2）U（2,+0【详解】根据题意，由 卜*2,解得xWO且x w 2,因此定义域为 2）U（2,+8）故答案为 2川（2,甸,1sin x-cos x=1 4.已知 5,则sm2x=.24【答案】25242 sin v cos x【分析】平方可推得-2 5,根据二倍角的正弦公式即可得到结果.(sin x-cos x)-=【详解】由已知可得，25,sin2 x+cos2 x-2sinxcosx=即25,.2 2
14、 i又 sm x+cos x=1 ,r.24 242 sin x cos x=sm 2x-所以 2 5,所以 25.24故答案为：2515.已知函数x)=x-8,g M =3 x-x x e R,用川表示/(x),g。)中的较小者，记为加（x）=min/（x）,g（x）,则函数机（x）的最大值为【答案】-4【分析】画出函数图像，找较低图像的最高点.【详解】画出两函数图像可得，函 数 加、-8与8（幻=3*的 交 点 为（4,-4）（-2,-10）,所以m(x)=min/(x),g(x)=3X-X2,X W(-8,-2 u 4,+e)x 8,x G(2,4)所以加0）侬=机（4）=-4,16.某
15、公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形/8 C D 和 构 成 的 面 积 为 80m2的十字型区域，计划在正方形MNP。上建一座花坛，造价为99元/m二 在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8 元/m二 在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计.设总造价为S（单位：元），长为x（单位：m）,则绿化花园总造价S 的最小值为 元.【分析】设D Q长 为y m则 4 孙+/=80,求出乙再结合各个区域的造价求得S,利用基本不等式可得最值.【详解】设D Q长为 加，则 4 x y +x2=8 02 0 xV =-即.X 4，0 x-4(2)/U B=R
16、,/C 8 =x|-4 4 x 4-l 或X23,/c(；8)=x I x 3,y =?-2 x-3 =(x-l)*2-4)得”T,所以 8=例-4,(1)求 sin(3)+a)+cos(万一 a)的值；(2)求 sin(a +0 的值.2【答案】,56(2)65【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式和诱导公式即可求解;（2）根据同角三角函数基本关系式和两角和的正弦公式即可求解.(2)由 得 力 U 8=R,y4nB=x|-4 x 3=x|x -4 4 c G )=x I x -4A(n 乃)3 5P G cos a-cos=1 8.已知a,I 2人 5,13.sin 代-a +cos 红-
17、a(2 J 1 2 JB；W xK-l 或3cos a-【详解】（1）因为 5sin a=Vl-co s2 a 所以 5,.(K A /3 4sin-a +cos-a(2 J I 2sin(34+a)+cos r-a)所以3_4cos a-sin a _ 5 5 _ 1-sin a-c o sa _ 4 _ 3 7-5-5/。，彳cos/?=(2)因为 I 2 人 13,s i n f t =J l-c o s2/?=-所以 13,_4 3 12 _ 56所以s i n（a +0 =s i n a c o s+c o s a s i n/7-5 3 5 T 3 -651 9.已知函数/（x）=
18、l n x.3m-2n 若 m=/（3）,=f（4）,求e 2的值；求不等式/（x-2）2的解集；F（x）=/（上记函数 1X +U,判断尸（X）的奇偶性并证明.3 百【答案】（1）丁（2,e-+2）（3）函数尸（%）是奇函数，证明见解析【分析】（1）根据指数对数相互转化即可求解；（2）根据对数函数的性质以及定义域和单调性即可求解；（3）根据函数的奇偶性的证法即可求解.【详解】（1）由加=3,n =l n 4,得e =3,e =4,3m/3合号“eT（e”,3 5 3 5/3所以 e e 4 4.（2）由题得M（x-2）2,即 l n（x-2）0所以U-22解得卜 e、2,所以 2 c x e
19、?+2,所以不等x-2）0n由题得x +1 ,所以X 1,所以尸（x）的定义域关于原点对称,F(x)+F(-x)=l n因为x-1x +1+l n-x-1r +1=I nX-1X +1+l nX +1x-1=I nx-l X+1-X-X 4-1 X-1=l n l =O所以尸户-尸,所以函数尸（x）是奇函数.2Q 己知函数/(x)=/3 s i n x c o s x+c o s2 x+m（1）求/（X）的单调递减区问;0,-若八刈在区间L 2-上的最大值为E,求使x）2 成立的x的取值集合.兀7 2兀,一+伍 一+KTI【答案】L 6 3k e Zxlatx-vk7t,keZ【分析】（1）降
20、基，辅助角公式化成/（）=s i n（0 x +e）+b,根据正弦函数单调性求解.八 兀2.X H-（2）根据 范围求出 6的范围，再求函数的最大值，可确定加的值，然后解不等式.f(x)=V 3 s i n x c o s x +c o s2 x+m =sin2x+c o sx【详解】(1)由公式得.2 2=s in2x+l c o s 2 x +W +l=s i n 2 x +-+w+-22262所以27 T _.一-兀-3兀 F 2,kit 2 x H W-F 2kit7C .2K.-F 左 兀，-F KH所以/（x）的单调减区间为L 6 3k e Z6 2即6兀 ,，2兀,+AK x +
21、kn3(2)当2时，67716八0,x/兀 兀W 淤兀+61 1？+=一2 2,2x+-=-x=/(x)=1+所以当 6 2,即 6时，,解得加=7,f(x)=s i n|2 x 4-所以,I 6)2,“、八 sin I 2x H 1由/（x）2 0,得 I 6）2 fr r i.1 +2 fa r M 2 x+:+kn.x-kit所以6 6 6 3x|Zxx所以解集为：3 J2 1.已知函数/（“）是定义在R 上的奇函数，当x 2 0 时，/（x）=l-a-2、求。的值；求/（X）在R上的解析式；（3）若函数g（x）=x）-h 2 有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）1/（x）=l-2
22、g o-l+2-x T【分析】（1）由/（）=求得a.（2）根据/（X）的奇偶性求得/（X）的解析式.（3）由g（x）=/（x）_ h 2，=0 分离常数左，利用构造函数法，结合函数的单调性以及指数函数、二次函数的性质求得%的取值范围.【详解】（1）由于函数/（）是定义在R 上的奇函数，所以/（0）=1 一。，2=1-4=0,=1（2）由 得/a）=l-2%20）,当XV。时,-x0,所以/（x）=一/（一 x）=-（1 -2一,）=一 1 +2x（x 0），/（X）=J 2 ，XN 0所以-l+2r,x0（3）函数g（x）=x）-h 2 有零点等价于方程x）_h2=0有根，”/）J（x）分离
23、参数得 2,原问题等价于y=%与）2”的图象有公共点，产出所以求发的范围，即 求 函 数.2，的值域，h(x)=02X1 1 c-H-7,X 2、的 当 x N O 时,所以x 2 O 时，当 x 0 时,显 然 一 一1 在x e 。,+8)上单调递减，所以吩一1 T 3A(x)e(-l,O；/=(x 0)、令 2*,则HZ),记9(f)=*-f,/e(l,+o o)；t=一 g =1-1 =0 ,即*)e(0,+o o),所以x T 时，函数g(x)=x)-h 2 有零点.2 2.如图，已 知 一 块 足 球 场 地 的 球 门 宽 7米，底 线 上 有 一 点 A,且 NN长9米.现有球
24、员带球沿垂直于底线的线路8/向底线也 直线运球，假设球员射门时足球运动线路均为直线.(1)当球员运动到距离点A为4 米的点C 时，求该球员射门角度N M C N 的正切值;(2)若该球员将球直接带到点A ,然后选择沿其左后60。方 向(即 N A/N =60。)的线路4。将球回传给点。处的队友.已知力。长1 4 米，若该队友沿着线路。/向 点 A直线运球，并计划在线路可上选择某个位置E 进行射门，求月E 的长度多大时，射门角度NME N最大.7【答案】(1)而/E=1 2 米【分析】(1)求出t a n乙4cW、t a n N/CN的值，利用两角差的正切公式可求得t a n N M C N的值
25、;(2)作 切 M,垂足为，设Z E=X(OX 1 4),计算出t a n N H E M、t a n N/Z EN,利用两角差的正切公式可得出t a n NME N关于x的表达式，利用基本不等式求出t a n NME N的最大值，利用等号成立的条件求出x的值，即可得出结论.【详解】(1)解：由题知MN=7,A N =9,A C =4,则/=1 6,在 R t A J A/C 中,A M 1 6t a n Z.ACM=-=4A C 4,AC、,AN 9At a n Z.A C N -二 一在 R t Z U N C 中，A C 4,所以 t a n Z M C N=t a n (Z J CA/
26、-4 A C N)t a n Z A C M -t a n Z.ACN _ 4 _ 71 +t a n /.ACM t a n Z.ACN 1,9 4 04 .(2)解：如图，作E 人力，垂足为“，设4 x(0 5 1 4),则S6。:：麻 二 皿 皿6八冬X1*YA H =-7 M H =16,N H=9-因为 2 ,所以 2,2,在 中,H Mt a n /H E M =-H E11 06-2_32 yf3 x 3 x2在 R t A H N E 中,所以9-H N2 _ 1 8-Xt a n/H E N =-=尸 尸H E V 3 x V 3 x2t a n /M E N =tan(Z H E M -N H E N)=t a n Z H E M-t a n Z H E N1 +t a n N H E M tan 4 H E N3 2 x 1 8 x石x x/J xI 3 2 x 1 8-x14瓜 _ 14怎 _ 7氐 _ 7 G,576-50 x+x2-4x2-50 x+576-2x-25x+288 一 ,”881 H-Zx-253x2 x7打 _ 7百 7 G2T当且仅当 x即x=12时，tan N M E N 最大,所以当ZE=12米时，射门角度NM EN最大.