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1、2022-2023学年广东省深圳市高二上学期期末数学试题一、单选题1 .直线 4：x +叼-2 =0,，2：，X+（L2）尸 3 =0,若/则?的 值 为（）A.0 B.1 C.2 D.0 或 1【答案】D【分析】根据两直线垂直可得出关于加的等式，即可得解.【详解】因为4 U,则，+，（，”2）=?（k1）=0,解得机=。或 1.故选：D.2 .在四面体O/8 C 中 记 刀=O B=E ,O C =c,若点M、N分别为棱04 8c 的中点，则布=（）【答案】B【分析】根据空间向量的线性运算，即得.MN=ON-OM=-（O B+O C）-O A =-a+-b+-c【详解】由题意得：2 2 2
2、2 2.故选：B.3 .九章算术中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5 节的容积是（）6 7 1 7 1 0 9 1 3 3A.6 6 升 B.6 升 c.3 3 升 口.6 升【答案】A【分析】设此等差数列为 6J,利用方程思想求出4和4，再利用通项公式进行求解.【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列设其首项为,公差为a,1 q +。2+。3+。4=3由题意可得1%+%+%=4所以4a+6 d =33%+2 1 d =4,解得1 3a22d=L6 6-13)7 6 74 =a 1+4 d=-i-
3、4 x =所以 2 2 6 6 6 6,6 7即第5 节竹子的容积为6 6 升.故选：A.7CA4.如图，在直三棱 r 柱A n n 中，Z.BAC =2 ,AB=A C =AA.=1 ,已知G与分别为A4 o4和C的中点，。与F分别为线4c 和月8上的动点（不包括端点），若G D L EF、则线段。尸长度的取值范围为（）正 正 正 叵 OA.5 ）B.4 1 5 C.5,）D.I瓜国【答案】A【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设出a 尸的坐标，根据已知条件求得参数之间的关系，并建立。尸关于参数的函数关系式，求其值域即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,则失设点 D坐标为（叽。，
4、。），”“，。），0 m l,0 n/5故 当 M时，1取得最小值5 .又当加=0 时,M=1,但无法取到加=o,则1 明无法取到1.申）综上，线段。/长度的取值范围为L 故选：A5.圆/+/-4+6 夕+4 =0 上到直线3 x +”+1 6 =0 的距离为1 的 点 有（）A.1 个 B.2个 C.3 个 D.0个【答案】C 详解化 一+/-叔+6 了 +4 =0 为（x-2）2+（y+3）2 =9,得圆心坐标为。，一），半径为厂=3 .圆_|6-1 2 +1 6|心到直线京+令+1 6 =的距离 仔 丁 直线与圆相交.注意到/=+1,可知圆上有3个点到直线3 x +4y+1 6=的距离为
5、.故选：c6.已知数列%的前项和组成的数列优 满足豆=3,邑=5,S3-3 S,“+2 S,=0,则数列 的通项公式为（）A.2-,2Ba=2,n2C.a=2+2 D.a-=2【答案】A【分析】由S，+2 _ 3 S“*+2 s“=0 得即味=2%,根据等比数列的定义可得答案.【详解】%=耳=3,a2=S2-Sl=21因为S 2 一 3 s 用 +2 5.=0 ,所以，+2 -S 的=2(S,“-S,),%_ 2可得%+2=2。”“，而 4 3,所以 2 2 时，包 是以2 为首项，2 为公比的等比数列，4=2 所以。=之2故选：A.7.已知函数 x）=ln x,g（x）=6 e,若 直 线
6、尸 信 ）与函数/（），g（）的图象都相切，则1Q +一h的最小值为（）A.2 B.2e C.D.庭【答案】B,kb【分析】利用导数的儿何意义分别得到。=乂、e,再运用基本不等式即可求解.【详解】设直线 =履 与函数/（x）,g G）的图象相切的切点分别为（，%加），8（”,而）km=alnm由1町一嚏，有加 ,解得加=e,a=e k.kn=hen 4 e 广/_ L_V n _ i b=_ ci H =ek 4 N 2 Je*=2e又由g（x尸。e,有 1Oe=，解得 =1,e,可得b k，当且仅当”=e,b=-e 时取故选：B 上18.设双曲线C：/h2的右顶点为A,左、右焦点分别为,F2
7、,是C 在第一象限的一点，满 足 附 上 网 阊，附|=附|,则 C 的离心率为（）A.&B.G C.2 D.石【答案】C【分析】根Ml=fe据已知条件，可得AKPF2 s 3伍,则|即|M乙I.根据条件得出线段长度，即可得到c=2 a,从而求出答案.【详解】如图，由已知得，附 卜 网=2 ,四|=|“|=2c,所 以 熙|=2c 2a lz居|=c-a F E E和用均为等腰三角形，且 2R PF =ZPAF2=ZPF2A=Z g P,所以 N PF、F2=ZAPF2所 以 耳 外 工，幽=因 2c 2c-2 j 2所以有归周 M周，即2c-2a c-a,所以c=2a,故选：C.二、多选题9
8、.如图，点。,BO）,（-2,0）,8是以0。为直径的圆上一段圆弧，C8是以8 c为直径的圆上一段圆弧，8月是以ON为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线。，则（）A.曲线。关于卜轴对称B.曲线。上任一点到原点的距离最小值拒3一71C.曲线。与X轴围成的图形的面积等于2D.8所在的圆截直线V=x所得弦的长为加【答案】ABD【分析】由题意可判断A；0,8 到原点的距离最小，最 小 值 为&可 判 断 B：求出CB、8/所在的圆的方程，曲线。与x 轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个5 圆，求出面积可判断 C；求出。所在的圆截直线y=x 所得弦的长可判断D.【详解】解：对于A,由图可知，曲线Q 关
9、于V轴对称,A 选项正确；对于B,明显是C,8 到原点的距离最小，最小值为血，所以B 正确;对于c,CD、CB、口所在的圆的方程分别为（x+iy+V =i,丁+（”1）2=1,（x-i y+r-i-S=-+2+2 x-=-+2曲线。与*轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个4 圆，其面积为 2 4，故C 错误；对于D,。所在的圆的方程为（x+l）+V=l,圆心圆心到直线丁=的距离 6 2,则所求的弦长为=&,故 D 正确.故选：ABD1 0.在棱长为2 的正方体/BCD-中，为底面4 5 8 的中心，。是 棱 上 一点，且DQ=g 4,“*01,N 为线段4 Q 的中点，则下列命题正确的是（）
10、A.CN与 0W 异面C.不存在2 使得9得截面的面积为5【答案】BDB.三棱锥Z-D M N 的体积跟2 的取值无关A=-D.当 2 时，过Q,河三点的平面截正方体所【分析】证明必V C 可判断A；由等积法可判断B；建立坐标利用向量数量积可判断C；求出截面梯形的面积可判断D【详解】连 4C,C Q,则 M,N 分别为NC,4。的中点，为 的 中 位 线.:.M N H C Q,则 CM 2M 共面，A 错.VA-DMN=VN-ADM=1 S.ADM X 1=X X 1 X 2 X 1=T33 2 3 为定值，B 对.如图建系A(，2)，4(2,0,2),而=向,则0 3,0,2)=(-1,1
11、,0),QM=(1-22,1,-2),AM=22-1+1 =22截面如图所示，图形/C F 0,过。作 NC的垂线 垂足为G.S=lx(s/2+2 /2 =95,D 对.故选：BD1 1.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为1的线段4 8 上取两个点AC=D B=-ABC、。，使得 4,以。为边在线段Z 8 的上方做一个正方形，然后擦掉。，就得到图形2；对图形2 中的最上方的线段用 作同样的操作，得到
12、图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1,图2,图3,，图，各图中的线段长度和为4,数列“的前项和为S 则（）A图1图2图3A.数 列 是 等 比 数 列B.图4STc.存在正数?，使得5，机恒成立D.“0因为“一 2-2 恒成立，且 勺 单调递增则数列 EJ单调递增，所以，数列 E，无最大值,因此，不存在正数？，使得故C错误;a=3-=s in ,c =I n 1 2.若 1 1 1 0 1 0 ,则（）A.caB.acC.cb【答案】B CD.b 0)【分析】令.+1 ，利用导数研究单调性可判断AB；令g(x)=I n(x +1)-s in.r 0 x 0)/(x)=厂【详解】令
13、 x +八),则(X +1)-,故/(X)为增函数，/f 1 =l n -/(O)=O由Un 1 0 1 1,得c。，故A错误，B正确.g(x)=l n(x +l)-s in x|0 x j g 7 x)=c o s x令I 1 0人 则 x+10 x l -1 -L-10si nxi当、4面 时，(x +1)L 2 1 2 2+s in x 0则g G)在I 1 0 上单调递减,则g(x)g(O)=O,得gG)在 上 单 调 递 减，g|=l n-s i n c,故c正确，D错误.故选：BC.三、填空题1 3.试写出一个点。的坐标：,使之与点(T l。)，(-M l)三点共线.【答案】I 2
14、 2)(答案不唯一)【分析】设出点C的坐标，利用空间向量共线得到()=6+1/-1 )，求出*-L y+z=1写出一个符合要求的即可.【详解】根据题意可得，设CO z）,则 设 在=%就，即（O,-l,l）=/i（x +l,y-l,z）y=-Z=1 Cf-l j,-1故x =_ l,y +z =l ,不妨令 2,则 2,故I 2 2 人故答案为：I 2 2）1 4.已知函数/（X）的导函数为尸（X）,且满足关系式/（x）=c。+3 刈“（兀）+瓜 则,（兀）=.1【答案】2 兀【分析】首先求导数，再代入、=兀，求 解/（兀）./,（x）=-s i nx +3/（7 t）+/,（n）=-s i
15、n T t+3f（7 t）+【详解】由条件可知，x,兀，-解得：2 兀.1故答案为：2 兀2 2 2c 工+2 _ _ _ y1 5.已 知 椭 圆 万+一 和双曲线0 2：/一-（4 力）有相同的焦点看，尸 2,点尸是G和G 的一个交点.若点。满 足 尸 是 正 三 角 形 且 依国=6,则h=【答案】6【分析】根据已知求出耳，鸟，。2+/=8,根据椭圆以及双曲线的定义可推得|。德=归 娟=+3.在耳耳。中，根据余弦定理可列出关于“的方程，解出片=5,进而得到=3,即可求出结果.【详解】由已知可得，椭圆和双曲线的焦点坐标均为片6),咦6,0),g p c =2 /2 f a2+b2=8设点P
16、在第一象限.因为点P在椭圆上，所以有 隹1+户名1=6,又点尸在双曲线上，所 以 有 阀 日 明=2。,所 以 阿|=a +37 C又/如是正三角形，所以呼|=网=|呐=。+3 ,=所 以 有 阴+|叫=|呐+|*=6=|明，则。2 三点共线.则在 K E Q 中，有忸 l =2 c =4后，|0 周=6,由余弦定理可得，比用2=以+|2 用2-2 侬|梭 用 CO S N E Q 尸，(4-7 2 =(a +3)+62-2 x 6 x(a +3)x 即 2,整理得J3,则由6 0 可得，6 二6.故答案为：61 6.已知数列 满足勺+2+(-1)。“=3-1,且前16项和为5 2 4,则=.
17、【答案】5【分析】当为奇数时，采用累加法可求得见；当为偶数时，与+2 +%=3 -1；采用分组求和的方式，分别求解奇数项和儡数项的和，从而利用前16项和为524构造方程求得结果.【详解】当为奇数时，%+2-4=3-1；-2=3(/i-2)-1 an_2-a _4=3(/J-4)-1%-4 =3x 1-1F(l+2)a“一%=3 x 1 +3+-2)-=3x Z-各式相加得：L、2 2 2=g 5丁L1)=*_8+5)an=a-8 +5)当“为偶数时，a，+2+a，=3 l；.(q+%+牝 +.,+卬5)+(a2+a4)+(a6+a)+(flIO+2)+(“M+)=(8%+2+10+24+44+
18、7 0+102+140)+(5+17 +29+41)8 q+48 4=5 24,解得：%=5故答案为：5.【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系式求解数列首项的问题，解题关键是能够分别在为奇数和”为偶数两种情况下得到奇数项和偶数项满足的关系式，采用分组和并项求和的方式可构造方程.四、解答题2S=n+n_1 7.已知数列 J的首项4=1,前”项 的 和 为 一一二 求数列%的通项公式；（2）求数列1华+的前项和北.【答案T=+1【分析】（1）由乙与s“的关系进行求解即可；（2）使用裂项相消法进行求解即可.c 1 +1 Ia,=S,=-=1【详解】（1）当 =1 时，2,S +2 _rr n
19、当之2 时，由得 2=F2 2 2 2c _ n+n n-n n n n ncin=3“-3“=-=I-1 =n-2 2 2 2 2 2（2 2）,且4=1 满足上式，综上所述，数列“的通项公式为4=.(2)由 第(1)问知，/=,.。，向=+1 1 (+1)-1 1-=-=-=-.%。“+1 (+1)(+!)+1=1-n+1n=，n+1M 1数 列%J的 前 项 和 n+1.1 8.矩形/BCD的两条对角线相交于点“（2,0）,N8边所在直线的方程为x-3夕-6=0,4C所在直线的方程为7-2 =0（1）求8 c边所在直线的方程；（2）求经过M,A,8三点的圆的方程.【答案】3x+y-14=
20、0（2），+y 6x+Gy+8=0【分析】（1）联立两条直线得点（，一2）,由c与/关 于 点M对称得0（42）,由8 c与Z 8垂直,得8 c边所在直线的方程；（2）联立直线方程解出8点坐标，设圆的一般方程，将 ，A,8坐标分别代入，解出圆的方程.Jx-3y-6=0（x=0【详解】由fx-y-2 =0,得 y=-2,则4（0，-2）,因为矩形A B C D两条对角线相交于M（2，）,所以C与4关于点M对称，12=22/、g=o 4设C（o）,所以 I 2,得卜。=2,则C（4,2）,因 为 边 所 在 直 线 的 方 程 为x-3y-6=0,斜率为3,8 c与4 5垂直，所以直线8 c的斜率
21、为-3,则BC边所在直线的方程为匕2=3 6一4）,即3x+y-14=0；,24X =I 5 x-3y-6=0 +尸=0,且Q2+6-4尸0,4+2 0+尸=0 4-2 +F =0 付=-657 6 4 24 c 2 cL e E =i 则（25 25 5 5,得 俨=8 ,则所求圆的方程为：+/-6X+6+8-019.如图，在 四 棱 锥 尸 8co中，底面“S C。边长为2后是菱形，Z D A B =60 ,。是对角线S=3A/7/C和 80 的交点，AB=AP,N 氏 4尸为锐角，由 一 ,点M 为线段P0 上一动点，且始终有A M 1 B D（1）求 三 棱 锥 尸 的 体 积;（2）
22、若二面角-4 3 一 0 为 4,求此时直线B.M与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值.3【答案】57 4273不【分析】（1）由A/8 尸 面 积 为 2,求得sin Z.BAP=r4,解三角形力 8 尸得8 P =J6,证明B D 上平面P 4 C 得 B D 工P,得尸0 =道，证明P 0 J./C,得P0 1 平面/8CD,利用等体积法求尸的体积;-MO=-（2）由二面角。为 4,解得 2,建立空间直角坐标系，计算直线8M 与平面所成角的正弦值.1a/yA n【详解】（1）在“8 尸中，AB=AP f=2 d、3,口 -S&A BP 2=-x x BP 义 sin/BAP=2-,-s
23、 i n Z B A P c o s N BAP=J l -s i i?N BAP=则 4,且NB N尸为锐角，4,由余弦定理，BP2=AB2+AP2-24B，A P.cos N BAP=6,即 8 尸=指，由于四边形/8 C O 为菱形，则8 O J.Z C,且A Cn A M=A,A C ,N M u 平面 P/C,则 平面尸4C,因为P u 平面P4 C,所以8 O_L P,因为 Z8 O为正三角形，8 0 =百，A O =3,则P 0 =W-8O 2 =6,因为 0 2+4 0?=工尸2,所以p o j _/c,由于N C n B D =。，AC,8 u 平面/BCD,所以P。/平面/
24、8 CZ),如图，过点。作连接知，由(1),2工平面4 B C D,且 4 8u平面/8 CZ),则尸。J.48,7 13NMH O=-MO=OH=-所以 4,则 2,由于P,O B,0 c 两两垂直，如图建系，Bg0,0)c(0,3,0)吒6,0,0)则 函=(-6-3,0),由=(。，-3,|),设=(x,y,z)是平面p c。的一个法向量，_,-/3x-3y=0n-C D=0.3则 心。尸=0,g p r3 v+2-,取 尸 1,则 =心 1，-2),S 一竺.历设所求角为e,那么 W,H 7,V 42则所求角正弦值为.S“=%-12 0.已知各项均为正数的数列“的前项和为S,，4=1,
25、且 S 向。向+1（1）求数列 的通项公式；b 一 4（2）设 3”,且数列也 的前项和为北,求1的取值范围.【答案】【分析】（1）利用退一相减法可得数列“/为等差数列，进而可得其通项公式;（2）利用错位相减法可得1,再根据。的单调性可得取值范围.S”=4+|-1 2【详解】由 S“+I4+|+1,得5+|+$“=%母+|-5 3）=*，所以当“2 2 时，S +S“_|=a：由减，得 用+4=匕|一片=31M+%）（“向 一%）.因为数列 为各项均为正数的数列，所以“向一%=1（*2）,又由 4=1,S2%+1,得%=2所以“2一=1,所以“向-，=1（2）故数列 是首项为1,公差为1 的等
26、差数列，所 以%=l+（T）x l=；rr J O 所以数列 4 的前项和“一至+要+?+F.1 T 1 2 3 n-n-1=Ir +H-H-所以 3 3 32 33 3”,两式作差可得：T 9 2 +3 9T =-,1=4=1H S|是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.【答案】椭圆方程为9 8 I 2九抛物线方程为 12人(2)MMI=3是，且 3“阿x2 2【分析】(1)设椭圆方程为。/，利用椭圆定义可求得。的值，设(J 人K(-c,O)、居(G O),利用两点间的距离公式和抛物线的定义可得出关于x、夕、c 的方程组，结合已知条件得出 1,解出。的值，即可得出椭圆和抛物线的
27、方程；(2)设 8(，M)、E8,%)、C 值,%)、。(匕,乂)，设直线8 E 的方程为=刃+1,其中?片0,将直线5 E 的方程分别与椭圆、抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合韦达定可计算出BE-GF2CD-HF2的值，即可得出结论.2 27 s二+二=1(“6 0)2a=AE+AFA=-+-=6【详解】(1)解：设椭圆方程为。从。则*1 1 2 2，得。=3,（16 f f l Y 25 6 8 2+9）+8%2+9 16 m,3（16/n Y 16 m +16l-8/n2+9 j设 (x/)、6(0)、尸 2(。，0),抛物线方程为V=4cx,其中c 0,（x-c）2+/xc=AFA=
28、x+c=两式相减得 2,由抛物线定义可知 -1 2,C=1%解 得 2,+=1 x -I y2=4 xx 5,%），设直线8 E 的方程为、=皎+1,其中加*0,x=my+联立 j 8/+9/=7 2 可得（8/+9 2+16 叼-6 4 =0,_ 16m _ 6 4由韦达定理可得J+）2 _ 8 相2 +9 ,川 2 -8 加 2 +9 ,x=my+1联立l/=4x 可得V-4皎-4 =0,由韦达定理可得%+%=4?，以=-4,网 标限刈标.”攸 f）2 +/3阿 2 I 而7也 一 闵.日”.史必V（必+”）（%-%）所以，2（必+%）2-4 乂%（%+yj（必+%）2 （为+以丫-4 y
29、 3匕【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22./(v)=+x-l已知函数 e 若x=2是/(x)的极小值点，求。的取值范围;M x/(x)lnx-(2)若J 只有唯一的极值点，求证：*x+aaanx(2)由(1)可知当。=时，/(“)此时有唯一的极大值点，题意转化成e*-n，2X,令/X -1 1 1g(%)=-In x+-xe 2,利用导数求其最值即可/、(2ax-lex-(ax1+x-l)ev +x-l 小)=-【详解】(1)由 炉 可 得-ax1+(2a-l)
30、x+2(x-2)(ar+1)F=,当 a=0 时，-(办+1)0,则当x,/(x)单调递增；当x 2时，/(x)0时，令/G)=,则x=2或、一 一1由一5 2可得当一片、0,/(x)单调递增；当或 2时，/(X)单调递减，故x=2是/(x)的极大值点，不符合题意，舍去；-a(x-2)|x+当a 2 c i 若 a，即 2 时，_J _1_当 一 1 或x 2 时，欠）。，/（X）单调递增；当 一 7时，/（X）单调递减,故x=2是/,（X）的极大值点，不符合题意，舍去;1 c 1 2 a 若。，即 2 时，当-时，/（X）单调递减；当、2 时，/G）单调递增,故x=2是/G）的极小值点，符合
31、题意.综上所述，。的取值范围aa(2)由(1)可知，当。=时，/(X)此时有唯一的极大值点，要证:/X 1 1 1 ，/、2 x x 2 z-、2x e g(x)=-lnx+x g(x)=-+-=(2-x)x-设 I，ex 2,1)ev 2x l n x-x2,设(x)=2x-e*,x0,(x)=2-e 当xw(0 n2)0;当xe(ln2,+8)I(x)0;于是在（O，ln2）单调递增，在（In2,+8）单调递减,于 j h(x)/?(i n2)=2In2-2 0则由g（x）=可得x=2,当x e（O,2）,g（x）0;且g（x）在（，2）单调递减，在（2,+8）单调递增，g（x）2 g（2）=1-ln2+l0那么 e-,即证【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.