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1、2021年中考数学压轴题1.如图，在平面直角坐标系中，AAO P为等边三角形,A(0,2),点B为y轴上一动点,以BP为边作等边P B C,延长C 4交x轴 于 点E.(1)N CAP的 度 数 是60。：(直接写出答案，不需要说明理由.)(2)当8点在y轴上运动时，猜想A E的长度是否发生变化？并说明理由；(3)在(2)的条件下，在y轴上存在点。，使得AEQ为等腰三角形，请写出所有点Q的坐标：(0,-2)或(0,6).(直接写出答案，不需要说明理由)(1)证明：.8PC和AAO P是等边三角形,：.OP=AP,BP=PC,/A P O=/C P B=6 0 ,ZAPO+ZAPB=NBPC+N
2、APB,即 NOPB=NAPC,在PBO 和PCA 中，OP=B4,ZOPAZAPC,PB=PC,:.PBOW4PCA(SAS),：.OB=AC,当点8在y轴正半轴上时，：ZPBO=ZPCA,:.N BAC=N BPC=60,又；NQ4P=60,：.ZCAP=60.当点B在y轴负半轴上时，,/AAO P和ABCP是等边三角形，：.AP=OP,PC=PB,ZAOP=ZAPO=ZBPC=60,ZAPC=ZOPB,:.A P 8/O P B (SAS),第1页 共4页：.ZCAP=ZBOP=SOa-ZAOP=20Q,.延长C 4交x轴于点E,.此种情况不符合题意，舍去，故答案为6 0 ；(2)解：当
3、B点运动时，A E的长度不发生变化，理由是：(0,2),；.OA=2,V Z E A O=Z S 4C=6 0 ,ZAOE=90,A ZAEO=30,；.A E=2 A O=4,即当B点运动时，A E的长度不发生变化；(3)解：由(2)知，AE=4,ZOAE=60,当点。在y轴负半轴时，：OA1AE,，点。与点4关于x轴对称，：.Q(0,-2),当点。在y轴正半轴时，EQ=AE=4,：.OQ=OA+EQ=6,：.Q(0,6).即：满足条件的点Q的坐标为(0,-2)或(0,6),故答案为(0,-2)或(0,6).2.在平面直角坐标系xO.y中，已知点A (1,1),B(3,2).(1)如 图1,
4、在y轴上是否存在一点P,使 以+P B最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(2)如图2,点C坐 标 为(4,1),点。由原点。沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，求点。运动几秒时，四边形A B C。是平行四边形；(3)点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A、B、P、。为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P以及对应的点。的坐标.第2页 共4页作点A 关于y 轴的对称点A(-1,1),连接A B 交 y 轴于点P,则点P 为所求点,B,e.-2.7 0 x则 抬+尸8=附+PB=A 3 为最小，设直线4 8 的表达式为y=fcr+6,则；二 丁：,，解得故直线 8 的表达式为产 条
5、+半当 x0 时，y=|,5故点P 的坐标为(0,-)；1-45-4-kb)I是平行四边形时，则 4BC,故直线4。表达式中的2 为-1,设直线A D的表达式为y=-x+m,将点A 的坐标代入上式并解得：机=2,故直线A D的表达式为y=-x+2,第 3 页 共 4 页当 y=0 时，x=2,故点。（2,0）；同理可得：直线A B的表达式为产方+最 直线CO的表达式为尸%-1,即两直线表达式中的值相同，：.AB/CD,而 A OB C,故当。的坐标为（2,0）时，四边形A B C O是平行四边形，即点。的坐标为（2,0）；（3）设点尸、。的坐标分别为（x,0）、（0,y）,而点A、B的坐标分别为（1,1）、（3,2）,当A B是边时，点A向右平移2个单位向上平移1个单位得到点B,同样点P（。）向右平移2个单位向上平移1个单位得到点。（P）,故x 2=0且0 1=解得后：或：甘故点P以及对应的点Q的坐标分别为（-2,0）、（0,1）或（2,0）、（0,-1）；当A B是对角线时，由中点公式得：（1+3）=2 （x+0）且5（1+2）=（0+y）,解得（y =3，故点P以及对应的点Q的坐标分别为（4,0）、（0,3）；综上，点P以及对应的点Q的坐标分别为（-2,0）、（0,1）或（2,0）、（0,-1）或（4,0）、（0,3）.第4页 共4页