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1、2021年中考数学压轴题1 .如图，在四边形A B C O 中，AD/BC,E为 CD的中点，连接AE、B E,延长A E 交 BC的延长线于点F.（1）Z M E 和 C F E 全等吗？说明理由；（2）若 AB=BC+4 O,说明 BE _ L ；（3）在（2）的条件下，若EF=6,CE=5,Z D=90 ,你能否求出E到A 8 的距离？如果能请直接写出结果.证明：（1）D 4 E 丝C F E 理由如下：,CAD/BC（已知），.N AZ）C=N E C F （两直线平行，内错角相等）,是CD的中点（已知），：.DE=EC（中点的定义）.在 4 与F C E 中，2ADC=乙ECFDE=
2、EC.AED=4 CEF：./ADE/FCE（AS A）;(2)由(1)知4 O E 空F C E,：.AE=EF,AD=CF,：AB=BC+AD,：.AB=BC+CF,AB=BF即 AB=BF,在ABE 与F BE 中，lAE=EF,.BE=BE第1页 共5页:./ABEm LFBE(S S S),:.NAEB=NFEB=90,：.BElAEi(3)在(2)的条件下有ABE丝F B,NABE=NFBE,到B F的距离等于E到A B的距离，：CELBF,CE=5,.点E到A B的距离为5.2.某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三
3、角形称为“中 垂 三 角 形 如 图1、图2、图3中，AF,BE是a A B C的中线，A F L B E于点P,像ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”.【特例探究】(1)如图 1,当/以8=4 5,4 8=6鱼 时，AC=6百，BC=6加；如图 2,当 s i n N R W=J,AB=4 时，AC=2 V1 3,BC=2近；【归纳证明】(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想AB?、B&AC 2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论.【拓展证明】(3)如 图4,在 4 BC中，AB=4%，BC=2瓜 D、E、尸分别是边AB、AC、B C的中点，连结Q E并延长至G,使得G
4、E=O E,连结8 G,当B G L A C于点”时，求G F的长.第2页 共5页c(1)解：如图 1,：AFLBE,：.ZAPB=ZAPE=NBPF=9Q,；NH8=45,AB=6五,.,.AP=P8=6,图1如 图1,连接EF,：AF,BE是ABC的中线，是ABC的中位线，：.E F/A B.且 EF=%B,.PE PF 1,PB PA 2：.PE=PF=3,由勾股定理得：AE=BF=JAP2+PE2=V62+3Z=3瓜：.AC=BC=2AE=6y5,1如图 2,VsinZB45=2，AB=4,AFI.BE,：.ZPAB=30,第3页 共5页-1：.BP=AB=2,AP=2 V5,：AF,
5、B E是 ABC的中线，；.PE=PB=l,PF=&AP=a,由勾股定理得：AE=y/PE2+AP2=J 12+(2 V3)2=V1 3,BF=VP F2+PB2=J(遮/+2 2 =77,：.AC=2AE=24V3,BC=2BF=2小,故答案为：6V5,6V5,2g,2 V7；(2)解：猜想：AB2,BC1,AC 2三者之间的关系是：AC1+BC2=5AB2,证明：如图 3,设 PF=m,PE=则 A P=2?，PB=2n,在 R t/X AP B 中，(2机)2+(2)2=4解，在 R t Z AP E 中，(2?)2+2=()2 ，BC在 R t BP F 中，？+(2)2=()2 ，2
6、2 2由得：?2+“2=华 _,由+得：5(n j2+n2)=：.AC2+BC2=5AB2；(3)解：如图4,连接C G,E F,过点F作/W 8 G交CG于点N,FG与A C交于点。,图4:FN/BG,BGAC,：.FNLAC,.尸是3 c的中点，是CG的中点，第4页 共5页；）、E分别是AB、AC的中点，：.DE=FC,DE/FC,:ED=EG,：.EG=FC,EG/FC,四边形EFCG是平行四边形，是FG的中点，.FCG是中垂三角形，百，BC=2底:.CG=EF=BD=2炳,FC=V5,由（2）中结论可知：5FC2=CG2+FG2,即 5X5=（2V3）2+FG2,：.GF=V13.第5页 共5页