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1、2021-2022学年广西玉林市高一下学期5月月考数学试题一、单选题1.设 i 是虚数单位，若复数z=l+2 i,则复数z 的 模 为（）A.1 B.272 C.g D.75【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，计算出z的模.【详解】依题意，|Z|=V12+22=7 5,故选D.【点睛】本小题主要考查复数模的概念及运算，属于基础题.2.如图所示，己知在.ABC中，。是边4 5 上的中点，则C=（）C.-BC-BA2【答案】BB.-BC+-BA2D.BC+-BA2【分析】由 题 意 得=再由CO=CB+BO=-BC+：8 A,即可得到答案.2 2【详解】由于。是边A 8上的中点，则2CD=CB
2、+BD=-BC+-BA.2故选：B.3.在./5 C 中，A=6 0，C=45,a=1 0,则c等 于（）A.5&B.lo g C.D.5瓜【答案】C【分析】利用正弦定理可直接求得结果.【详解】由正弦定理得：ca sin Csin Al0 xT io2故选：c.4.在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.e,=（O,O）,e2=（l,2）B.e,=（-1,2）,e2=（5,-2）C.q=（3,5）,e2=（6,10）D.ef=（2,-3）,e2=（-2,3）【答案】B【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.【详解】对于A,0=0,不可以作为基底，A错误；对于B,q与e
3、2为不共线的非零向量，可以作为一组基底，B正确；对于C,.q=；e2，共线，不可以作为基底，C错误；对于D,q=-e2，.外6共线，不可以作为基底，D错误.故选：B.5.如图所示，在正方体ABCQ-AAGA中，E,F分别是A8,AO的中点，则异面直线8 c与后 厂所【答案】BC.45D.30【分析】连接B Q-可 得 为 异 面 直 线8 c与防所成的角，利用正方体的性质结合条件即得.【详解】连接84，B R,E,尸分别是AB,4）的中点,:.EF/BD,又由正方体的性质可知8。与0，故NC4A就是异面直线8 c与EF所成的角或所成角的补角连接。c,由题可知.CB|R为正三角形，即N C 4A
4、=60故8 c 与 所 成 的 角 为 60。.故选：B.6.若在A B B,2a-cos8=c,则三角形的形状一定是（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形【答案】B【分析】根据余弦定理角化边可得结果.【详解】由2a-cos3 =c 以及余弦定理得2a.=。，2ac化简得。=匕，所以三角形的形状一定是等腰三角形.故选：B7.一批产品共7 件，其中5 件正品，2 件次品，从中随机抽取2 件，下列两个事件互斥的是（）A.“恰有2 件次品”和“恰 有 1件次品”B.“恰 有 1件次品”和“至 少 1件次品”C.“至 多 1件次品”和“恰 有 1件次品”D.“恰 有 1
5、件正品”和“恰 有 1件次品”【答案】A【分析】本题考查互斥事件的概念：事件A 与事件B 不会同时发生.【详解】5 件正品，2 件次品，从中随机抽取2 件共有如下可能性结果：“两件次品”，一件正品一件次品”，“两件正品”根据互斥事件可知：A 正确；“至 少 1 件次品”包含“两件次品 和”一件正品一件次品“，B 不正确；”至 多 1 件次品”包含 一件正品一件次品”，两件正品”，C 不正确；“恰 有 1件正品”和“恰 有 1件次品”是同一事件，D 不正确；故选：A.8.民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底
6、面圆的直径43=1 6 cm,圆柱体部分的高BC=8cm,圆锥体部分的高CD=6 c m,则这个陀螺的表面积是（）AB-，DA.1 9 2 z r c m2 B.2 5 2 z r c m2 C.2 7 2 c m2 D.3 3 6 c m2【答案】C【分析】根据己知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底面面积,进而可求出陀螺的表面积【详解】由题意可得圆锥体的母线长为/=病行=1(),所以圆锥体的侧面积为1 0 x 8 万=8 0 万，圆柱体的侧面积为1 6 万、8 =1 2 8 万，圆柱的底面面积为x 8?=6 4 万，所以此陀螺的表面积为8 0 万+1 2 8 万
7、+6 4 万=2 7 2 万(c m2),故选：C二、多选题9.下列说法正确是()A.三棱锥是四面体，正三棱锥是正四面体B.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形C.平行的线段在直观图中仍然平行D.圆心和圆上两点可确定一个平面【答案】B C【分析】根据棱锥分类、平行六面体的定义、直观图的特征和平面的确定方法依次判断各个选项即可.【详解】对于A,正四面体是各棱长均相等的三棱锥，是正三棱锥的一种，A错误；对 于 B,平行六面体两个相对的面为全等的平行四边形，B正确；对于C,平行的线段在直观图中的位置关系不变，仍然平行，C正确；对于D,若圆心和圆上两点共线，此时过三点的平面有无数个，D错误.故选
8、：B C.1 0.设向量a=(2,o),b=(l,l),则()A.口=B.(a-b)/bT Tc.(a-b)lb D.“与。的夹角为:4【答案】CD【分析】根据给定条件对各选项逐一推理计算并判断作答.【详解】因向量 =(2,0),U(l,l),则=2,忖=及，A 不正确；.=/Xi：。：,二号,又 0 4 a,防4 万，于是得 a,6=g,即a 与 人 的 夹 角 为 DA/22+O2-Vl2+12 2 4 4正确.故选：CD11.某校举办了校园歌手大赛，某参赛歌手的得分如下：7,8,6,9,5,7,7,9,6,7,7,6,则()A.该歌手得分的平均数为7 B.该歌手得分的第80百分位数为74
9、C.该歌手得分的众数为6 D.该歌手得分的方差为【答案】AD【分析】将数据从小到大排列，即可得到众数，再根据平均数、方差公式计算判断A、C、D,根据百分位数计算公式判断B；【详解】解：该组数据从小到大排列为5、6、6、6、7、7、7、7、7、8、9、9,一共12个数据，所以众数为7,故 C 错误；平均数为,(5+6+6+6+7+7+7+7+7+8+9+9)=7,故 A 正确；因为12x80%=9.6,所以第80百分位数为第10个数是8,故 B 错误；方差为4 (5 7)2+3(6-7)2+(8-7)，2(9-7)1=；故 D 正确；故选：AD12.已知根，是两条不同的直线，,“是两个不同的平面
10、，则()A.若 mn,n u a,贝 lj 施 a B.若 相 _ 1_九，n a a,贝C.若 m_La,n-L a,贝 lj 血/D.若?a,ml I p,加=几,则/%/【答案】C D【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断.【详解】，u a 时，?u a 或6/&,A错；mn,n ext,加与a可能平行，也可能有?ua或相交，不一定垂直，B错;若，”J _ a,由线面垂直性质定理知，C正确；mll a,mllfi,a P l=，如图，过“作平面/交 尸 于直线/,由，/?得加/，同理过加作平面5与a交于直线P,得m p,所以/p,而/aa,所以/&,又/u .b a=n,则/”，所以
11、?/.D正确.故选：C D.三、填空题1 3 .棱长为1 的 正 方 体 的 外 接 球 的 表 面 积 为.【答案】3,7【详解】试题分析：正方体的对角线就是外接球的直径，所以UR=3整=匚,假产=5 洗【解析】球与几何体的组合体1 4 .在复平面内，复数z 满足z(l-i)=4,则复数z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 的 坐 标 为.【答案】(2,2)【分析】利用复数的除法运算和几何意义求解.4 4（l+i）【详解】由 z（l i）=4,得2=-=-X3.=2+2i,所以z 在复平面内对应的点为（2,2）.故答案为：（2,2）.15.若样本数据和孙 ，的方差为8,则数据2芭-1,2T
12、,2/-1的方差为.【答案】32【分析】根据方差的性质计算即可.【详解】若样本数据再，积 ,3 的方差为8,贝!J数据2为-1,2吃-1,2/-1的方差为22x8=32,故答案为：3216.从一个放有两个白球、两个黑球的罐子中任意摸两个球，则至少摸到一个黑球的概率是【答案】IO【分析】求出所有的基本事件的个数，再求出至少摸到一个黑球的基本事件的个数，利用等可能性事件的概率公式即可求解.【详解】设两个白球为4,4,两个黑球为配优，则从 6 个球中任取2 个球的基本事件有：（%外）,（知4）,（4 也）,（外,乙）,（火也）,（4 也），6种等可能结果，其中至少摸到一个黑球的的事件是：（4,4）,
13、（4 也）,（生,）,（生也）,他也）,5种等可能结果，故至少摸到一个黑球的概率为：P=J6故答案为：6四、解答题17.已知卜|=4,忖=3,（2-3）-（2+*）=61.求 与匕的夹角6;若 AB=a,A C =b，求.ABC的面积.【答案】（1）胃2兀3后【分析】（1）根据向量数量积运算律可求得.力，由向量夹角公式可求得结果；（2）由（1）可得s i n。，代入三角形面积公式即可.【详解】（1）（2 一 3 人）.（2 +匕）=4 卜|一 4 .。-3 忖=3 7 4 .=6 1,:,a b=-6，八 a，b 6 1 I 2 兀.8.=丽=一 不=一 2,又兀，T.（2）由（1）得：s i
14、 n=曰，.-.5 A B C=|/lB|-|A C|s i n6 =x 4x 3 x =3 A/3.1 8.在&A B C 中，a=3,h-c=2,cosB=.求6,c 的值；（2）求 s i n（B+C）的值.【答案】（1 W =7,c =5 地1 4【分析】（1）利用余弦定理可构造方程求得6,由c =6-2 可得c；（2）由同角三角函数关系可得s i n B,根据正弦定理得到s i n A,由s i n（3+C）=s i n A可得结果.【详解】（1）b-c=2,:.c=b-2,由余弦定理得：b2=a2+c2-2 a c c os 8 =9 +（6-2）2 +3 伍 2）,解得：b 1,
15、.c-5.（2）S e（0,7 c）,c os B =-；,.s i nB =当，a 6由正弦定理得：.“s i nB ”万3 百，b 7 14/.s i n（B +C）=s i n（7 i -A）=s i n A=.1 9.如图，A 3 C 是正方形，。是正方形的中心，PO 1底面A B C。，E是 PC的中点.求证:(1)尸 4/平面BOE；(2)3。1 平面 PAC.【答案】(1)证明见解析证明见解析【分析】(1)根据三角形中位线性质可证得OE以，由线面平行的判定可证得结论;(2)由 线 面 垂 直 性 质 可 得 结 合 M L A C,由线面垂直的判定可得结论.【详解】(1)连接。E
16、,四边形A5CO为正方形，.为A C中点，又 E 为 P C 中点，.。7/为，O E u 平面2 4 0 平面瓦；,.心平面5。及(2)PO L 平面ABCD,8 0 匚平面4 8 6 ,./0 _ 1 3 0；四边形A3CD为正方形，.BDJ.4C,又 PO AC=O,PO,AC u 平面 PAC,.1BE)，平面 PAC.20.2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程,某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了 100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6 组：40,50),50,60),60,70),90,100,统计
17、结果如图所示：（1）试估计这1 0 0 名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）;（2）试估计这1 0 0 名学生得分的中位数（结果保留两位小数）;（3）现在按分层抽样的方法在 8 0,9 0）和 9 0,1 0 0 两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在 9 0,1 0 0 的概率.【答案】7 0.5(2)7 1.6 7【分析】（1）根据频率分布直方图直接平均数求法解决即可；（2）根据频率分布直方图中位数求法解决即可；（3）根据分层抽样得在 8 0,9 0）分组中抽取的人数为5 乂 1行=3 人，在 9 0,1 0 0 分组中抽取的人数为2人
18、，有古典概型概率求法解决即可.【详解】（1）由频率分布直方图可得这1 0 0 名学生得分的平均数x =（4 5 x 0.0 1 +5 5 x 0.0 1 5 +6 5 x 0.0 2 +7 5 x 0.0 3+8 5 x 0.0 1 5 +9 5 x 0.0 1）x 1 0 =7 0.5（2）因为成绩在 4 0,7 0）的频率为0.4 5,成绩在 7 0,8 0）的频率为0.3,所以中位数为7 0 +1 0 x 幽”7 1.6 70.3（3）在 8 0,9 0）和 9 0,1 0 0 两组中的人数分别为1 0 0 x（0.0 1 5 x 1 0）=1 5 和 1 0 0 x（0.0 1 x 1
19、 0）=1 0 人，所以在 8 0,9 0）分组中抽取的人数为5 乂 1行=3 人，记为a,6,c,在 9 0,1 0 0 分组中抽取的人数为2人，记为1,2,所以这5人中随机抽取2人的情况有必%儿,矶2,引力2,c l,c 2,1 2 共 1 0 种，其中两人得分都在 9 0,1 0 0 的情况有1 种，所以两人得分都在 9 0,1 0 0 的概率为P =.2 1.如图，四棱锥的底面4?。为矩形，P A _ L 底面A B C。，P A A B,点E是棱心的中点.（2）若 AB=2,BC=G，求三棱锥PACE的体积.【答案】（1）证明见解析【分析】（1）由 线 面 垂 直 性 质 可 得 结 合 CB_LAB,由线面垂直的判定可得CB_L平面以8,由线面垂直的性质可证得结论；（2）根据体积桥匕_ A C E 二C-PAE，结合棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）241,平面A8C。，。5(0,2),C(2,2),设尸(%y),则 AP=(x,y),因为|器卜/，则G+/=半 UL1BC=(2,2),SP=(x-4,y),又 BP=tB C，BP 与 BC共线所以-2y=2(x-4)由解得P4 8-f-3 3或尸注，若 P4 8一,3 38 4一,一3 34则“尸 舍），若 P则，=(2.