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1、2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一下学期5月月考数学试题一、单选题1.已知。为。8 c 的外心，网=1 6,|=10贬，若 加=+y就，且32x+25y=1 6,则M=（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】A【分析】把 言 布，亚,祝 算 两 次，得出光疗及就厢的关系，从而求得X，在.衣，然后可得结论.【详解】作于。，/C 于,因为。是 2 8 c 外心，所以，E 分别是/8,/C 中点,瓦 丽=卜司：而卜os AO AB快H|珂=128又 AO AB=(xAB+yAC)-AB=xAB 4-yA B-AC,记 荔.就=/,则AO-AB=256x+yt 256x+j4=1 2
2、 8,而就|对二 00同理 2l -2AO-AC=(xAB-yACy AC=xAB-AC+yAC=xt+200y所以双+20”1 0 0,又 32x+25y=16,），即 256x+200y=1 2 8,由 得/=200代人得2（）x+200y=l。，f W,，x=,y=0由联立方程组解得 2,所以在+或=；吗回/画=8.故选：A.oli2 .已知耳=3人g i j ,其中j,j 分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，若片，鸟共同作用于一物体，使物体从点“-2）移到点“4,7）,则合力所做的功为（）A.-5 B.5 C.-1 3 D.1 3【答案】A【分析】根据功与数量积的关系求解可得.【详解】
3、因为耳=+力,F=3i-4 j,M（3,-2）,M 4,7）,所以4=。,3）,居=（3,-4）,M M =（1,9）f所以年 +同网=（4,-1）（1,9）=-5,故选：A.3 .已知向量”（T-2）,=（2以），且Z 与否的夹角为钝角，则实数2 的取值范围是（A.（Y，7）B.（T+）C,（一 3）D.（-M）U（4,+O O）【答案】D【分析】由 与否的夹角为钝角得屋5 ,且 0 石不共线，再按照向量的坐标运算求解即可.【详解】因为向量“=（-1 -2）,=（2,4）,且 与5夹角为钝角，由上述条件得，a-b 0,且 不 不 反 向，由 石 0 得，-2-22-12_=4当。，月共线时有
4、，-I -2,2=4.此时。，B反向,因此实数几的取值范围（一 1 4）7（4+8）.故选:D.4 .如图，在A/B C 中，A B =a,A C =b ,D C =3B D ,A E=2 EC,则 瓦=（）AA.普-匕B.C.3 43 一 1 7-a +-b4 31 23 -4D.a+4-Lb1 2【答案】D【分析】根据向量加减法法则运算求解即可.【详解】解：由平面向量的三角形法则，可知瓦=比+笄/+6就）4西一石R就 亮 就 一 冲=一 部 引故选：D.5.已知向量G 3 满足7 =（1，K），E|=1，T+*|=2,则万在B方向上的投影为（）1.1A.1 B.2 C.-1 D.2【答案】
5、DI|c os 0 =-I I A【分析】由题求出，a-b,结合）在人方向上的投影为 I I 计算即可.【详解】由X石”同=2,卜+可=2=yja2+b2+2a-b=同2+6.+2 1%=2a-b=-,代值运算得2,故万在5方门 A a b 2 1同 COS9=F-=I I J 1 7向上的投影为 II 一故选：D6.已知复数z 在复平面内对应的点为，2）,是z 的共物复数，则三一（）3 4.3 4.3,4.3 4-1 1-1 r-1-1A.5 5 B.5 5 C.5 5 D.5 5【答案】B【分析】先求得z，z,然后结合复数的除法运算求得正确答案.【详解】依题意z =l +2i,z =l-2
6、iz _ l-2 i _（l-2 i）2 _ l-4 i-4 _ 3 4.7 -l+2i-（l+2i）（l-2 i）-5 一 一歹不故选：B.,1.z-l=1 17 .若复数z 满足 2,则z 在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【分析】首先根据复数的加减法化简复数z,再根据复数的几何意义判断即可；z-=1-i z=1-i+i=1 +i【详解】解：因为 2,所以 2 2,故z 在复平面内所对应的点的坐标为12人位于第一象限.故选：A8.如图，在正四棱柱4 8 c A 中，底面N88是边长为1 的正方形，尸为4 2 上一点，且ZAPD=-满
7、足 2,PA=P D,则以四棱锥P-4 8 C O 外接球的球心。为球心且与平面尸8 c 相切的球的体积为（）后兀 垂）兀 小 后 兀 4#）兀A.三 B.而 C.D.E【答案】BPA=PD=【分析】在直角AP/。中，求得 2,结合球的性质，求得即为四棱锥尸-N8CZ）的外OM-产接球的球心，分别连接过点。作证得。M J.平面P N O,求得 2V5,1得到所求球的半径 2石，结合体积公式，即可求解.【详解】在直角中，AD=,PA=P D,可得P4、PD2=AD2,PA =PB =即 2,过正方形力8 8的中心。作。0,平面”8 8 ,取ZQ的中点N,连接O N,则O N,平面尸/。，则 直
8、线0 N=,则即为四棱锥P-A B C D的外接球的球心,分别连接PMNQ,尸0,在PAQ中，过点。作OA/LP。又由8C工平面PN。，可得O M L8C,因为BCnP0=Q,所以平面P8C,1OM=O QN=2IOM =O Q P Q V5 2 追又由M N。和A。“相似，可 得RV P。，所以 Tr =OM =-所以。为球心且与平面P8C相切的球的半径为 2。5所以该球的体积为故选：B.二、多选题9.如图，/C为圆锥SO的底面圆。的直径，点5是圆。上异于4C的动点，SO =O C =,则下列结论正确的是（）BA.圆锥S 的侧面积为2 V L r.B.三棱锥S-4 8 C 体积的最大值为i.
9、D.若 A B =B C,E为线段48上的动点，则S E +C E 的最小值石+1.【答案】C D【分析】对于选项A：直接利用扇形的面积公式求解；对于选项B：直接求出三棱锥S-/8 C 体积的最大值；对于选项C：先求出/S B 的范围，由2 N S 4 8 +4S8=%，即可求出N S/B 的范围；对于选项D：将届 声 以N8为轴旋转到与“B C共面,判断出(S +C E)m m =C利用余弦定理求出最小值.【详解】在R tA SO C中,S C =JSO2+O C2=&，则圆锥的母线长/=&，半径r=O C=.对于选项A：圆锥S O的侧面积为”=万*1*近=&乃.故 选 项A错误；S =1
10、x 2 x 1 =1对于选项B：当时，力 8c的面积最大，此时2 ,则三棱锥S-4 3。体积的最r=-x S .srx 5 O =-x l x l=l大值为：3 仅 3 3 .故选项B 错误；,c 八 Z A SB =-对于选项C：当点8与点4重合时,4 S 8 =e 为最小角;当点8与点c重合时，2,达到最大N A SB e值.又因为点8与 4c不重合，则 V 2).又2 4“8 +/4 5 8 =万，可得 1 4 2 人故选项c正确；对于选项 D：因为Z 8 =8 C,4 8 c =9(T,N C =2 ,所以/8 =8 C =&.又S 4 =S B=亚,所以WB为等边三角形，；.N S
11、历I =60 .将S N B以 为 轴 旋 转 到 与/8 C 共面，得到AS/N B,则 S/8 为等边三角形,=60。CB如图：（S +C E）m,n=S C因为 SB =B C =2g Z SB C=Z StB A +Z A B C=1 5 0.S,C2=S F+8 C 2 _ 2 x S 1 8 x 8 C x c o s l 5 0 o =2 +2 +2 石=（G +1）2.故选项D正确.故选：C D1 0.如图，已知正方体的棱长为2,则下列四个结论正确的是（）A.直线4G与 为 异 面 直 线B.4 c l 平面4 C RC.正方体的外接球的表面积为1 2 7 cD.三棱锥8一的体
12、积为3【答案】ABC【分析】根据异面直线定义即可判断A；根据题意得到4 G 。，再利用线面平行的判定定理即可判断B；首先求出正方体外接球半径，再计算表面积即可判断C；计算三棱锥8-的体积即可判断D,进而可得正确选项.详解对选项A,因为4Gu平面4A G2,平面力。面 486 2，D牛C,所以直线4G与g 为异面直线.故选项A正确；对选项B,因 为 四 C G,4=CG,所以四边形/4GC是平行四边形，所以4 G/4 C,平面力c q,zcu平面zc,所以4G 平面NCA,故选项B正确；/?=7F+F+F=对选项c,正方体外接球半径 2 ,所以球体表面积S =4 兀斤=4 兀 x 3 =1 2;
13、t,故选项C正确;对选项D,1 1 1 4VDADC=D D S D C=-X2X-X2X2=-故选项D错误.故选：ABC.1 1.一个棱长为2的正方体，用过同一顶点三条棱的中点平面截去各个顶点得到的一个新的几何体,对这个新的几何体说法错误的是（）A.所有截面面积和为2 后C.新几何体表面积为昼+26【答案】A B CB.新几何体表面积为1 2+62 0D.新几何体的体积为3【分析】由题意画出图形，求出截面面积判断A；求出新几何体的表面积判断B与 C；由正方体体积减去八个三棱锥的体积判断D.【详解】如图示：图1图2正方体截去各个顶点后得到的几何体如图2所示，为一个1 2 面体，其中8 个面为边
14、长为友的正三角形，4个面为边长为正的正方形.x /2 x /2 x s i n 6 0 x 8=4 百对于A：所有截面面积和为：2 ,故 A错误；x V2 x V2 x s i n 6 0 x 8 +&x&x 6=4 百 +1 2对于B、C：新几何体表面积为：2 ，故 B、C错误；c c c c 1 1 ,2 02 x 2 x 2-8 x x x l x l x l=对于D：新几何体的体积为：3 2 3 ,故D正确.故选：A B C1 2.如图，矩形4 8 c o 中，A B =2 A D =2,E为 边 的 中 点.将 a/O E 沿直线。E翻折成&D E（点4不 落 在 底 面 内），若
15、M 在线段4c 上（点 与 4,C不重合），则在/OE 翻转过程中，以下命题正确的是（）A.存在某个位置，使B.存在点“，使得8 M/平 面 成 立C.存在点M，使得胡8平 面 成 立包D.四棱锥,B S E 体积最大值为彳【答案】CD【分析】利用反证法可得A、B 错误，取”为4 c 的中点，取 4。的中点为/,连接A，/,可证明 8 平面 Q E,当平面4 O E，平面8COE时，四棱锥4-8 C Q E 体积最大值，利用公式可求正得此时体积为彳.如 图(1),取。E 的中点为尸，连接4 E C F,则 ZCDF=45。仁 弓，故CF+XX2*=52,N C F D#-故尸+尸即 2.若 C
16、 4 J.O E,因为 4D=&E,D F=F E,故 Z/L O E,而/尸 c/C =4,故。E 工平面4 尸 0,因为C F u 平面4 尸 0,故。E J.C F,矛盾，故A错.若平面4 O C,因为u 平面4 D C,故8 M 1 O C,因为。C_LC8,BM c C B =B ,故 CZ）_L 平面 4 c 8,因为4 C u 平面4%故C：C,但 4。8,矛盾，故 B 错.当平面ADE 1平面B C D E 时,四棱锥A.-B C D E体积最大值，由前述证明可知AF 1 D E ,而平面4。口平面B CD E=D E ,4F u 平面/Q E,故 4 尸，平面8CQE,AA
17、F =也因为4 O E 为等腰直角三角形，4。=1,故 2,一 1 一 32 x _x x =_又四边形B C D E的面积为 2 一 2,1 3 7 2 V2x _ x _ _故此时体积为3 2 2-4,故D正确.对于c,如 图（2）,取 用 为 4 c 的中点，取 4。的中点为/,连接IM/CD,IM=-CD B E/CD,B E=-C D则 2,而 2,故IM/i B EJM=BE即四边形/8”为平行四边形，故/E/8 M,因为/E u 平面/Q E,8.2 平面4。后，故也平面故 C 正确.故选：CD.为【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不
18、成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.三、填空题1 3.已知“8 0中角481所对的边为4,6,。,/8 =应,4 0 =1,点)在5 0上,S,自 N B A D +N B A C”,记 工5。的 面 积 为8 c的 面 积 为2,52 3,则8 C =.【答案】2任=2 A D=【分析】利用面积公式和已知面积比可以求得4 c 3,从而得到 3,在N8 O和“8 c中同B D A D _ 2时应用正弦定理并结合得到正 一 就-3.设C O=x,则8 D =2 x,B C =3 x,在和A8C中同时应用余弦定理并结合，消角求值；【详解】设4 4)=。，则/历S,=xy/2 A D s
19、i n 0则2S,=；x 2 x 1 x s i n (n -5,2 27-=7 A D =-因 为 邑3,所以 3aDABA D B D在4 8。中，由正弦定理得s i n 8 s i n。，A C B C在“J B C 中，由 正 弦 定 理 得.8 s i n （）一 夕），B D A D _2两式相比得正一就一 3.设 C D =x,则 B D =2 x f B C -3x,在 18c 中，由余弦定理得2 +l-2 x 0 x l x c o s Q-6）=9 x 2,所以2 立 c os/-?.2 +-1 2/2 co s =4 x2在力8Q 中，由余弦定理得 9 ,3 7 2 co
20、 s =-9 x2所以 2 ，2x=一联立得 3,所以8 c=2.故答案为：2.1 4.为创建全国文明城市，宿州市对新汴河风景区开展一系列提升亮化工程，使其呈现古与今、动与静、粗犷与细腻、人与自然和谐统一的特点.现已成为广大市民休闲、娱乐的好去处.我校建模小组要测量新汴河两岸之间的距离（河的两岸可视为平行），由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取4 B两 点,观察对岸的点C,测得N C Z 8 =4 5。，N CB A =7 5。,且/8 =2 4 0 m,由此可得河宽约 m.（精确到个位）（参考数据：后 R 2.4 5,sin 7 5 0.9 7）【答案】
21、1 9 0【分析】先由正弦定理求得“C,再由 C 4 8 求得“8边上的高即C到 的 距 离.N C _ A B/C _ 2 4 0【详解】由己知/8 C 4 =6 0。，由正弦定理sin/C 8 N sin 4c8得 sin 7 5。sin 6 0 ,A C =斗01 7 5=6 0 6 sin 7 5 sin 6 0 ,=1 6 0 /3 sin 7 5 x =8 0 V 6 sin 7 5 8 0 x 2.4 5 x 0.9 7 1 9 0所以4 8 边上的高为 =Z C sm4 5。2故答案为：1 9 0.1 5.如图所示，.EG是水平放置的平面图形 8C的直观图（斜二测画法），若 4
22、A=2,G=1,则M8c的面积是.【答案】2【分析】先根据三角形的面积公式求解418c的面积，利用直观图与原图形面积之比为0:4求解即可.1fyc，n-s i 力 N 8 O G x O G x 8 Q =【详解】由图可知：三 角 形 的 面 积 为 2 4，所以M8C的直观图的V 2面 积 为 2 ,由直观图与原图形面积之比为灰：4 可知，A/J B C 的面积是2【点睛】本题考查了直观图和原图形面积的关系，学生应熟练掌握结论.1 6.如图，在长方体 88-44GA中，。是BQ的中点，尸是线段4c上一点，且直线0 4交平面,与口于 点 给 出 下 列 结 论：A,M,。三点共线；（2）A,M
23、,0,4不共面；4 M,C,0共面；8,片，0,M共面.其 中 正 确 结 论 的 序 号 为.【答案】【分析】由公理1 判断，由公理2判断和，用反证法判断【详解】解：连接4G,因为。是8a 的中点，所以 e 4 G,平面ABD 与平面AACC有公共点A与。，则平面 a A平面 4 G C =/0,对于，“*?4，尸 4/3 sin(J+C)=2 sin 5 cos A即百 sin 8=2 sin 8 cos A.B 为 ABC 内角，sin 6 h 0,cos A=.2又为”8 C 内角，即“(0,万)，SABC=Zcsin A=xy/3 C-=(2)v 2 2 2 2,.c =2ta2=b
24、2+c2-2bccos4=3+4-2 x /J x 2 x=7-6 =1由余弦定理得 2,=1,1 9 .已知复数z =+b i（“，6 eR,。0）,且满足目=2可，复数（2 i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.（1）求复数z：_ m-i（2）若1 +i为纯虚数，求实数加的值.【答案】（1）z =2-6i；（2）m=5.【分析】（1）由复数的模的定义得/+=4 0,由 乘 法 法 则 计 算 得 其 对 应 点 的 横 纵 坐 标,由 点 的 位 置 得 出 关 系，与模的式子联立可解得.力，得复数z；_ m （2）由除法法则和共辗复数的定义得出1 +i ,再由复数的分类得出
25、结论.【详解】解：设z =+6 i（a，6e R,a 0）,由国=2屈 得：/+从=4 又复数0-2 i）z =（a +2 b）+（-2 a +6）i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上,则a +2 b =-2 a +b,即一3。=力由联立的方程组得 =2,b =-6或 =-2,b =6.。=2,b =-6f贝 ij z =2 -6i；(2)_ m-i _ (/z?-i)(l-i)5 加 1 3+/Wz-=2+61-=-4-1+i 2 22_ m-1+i为纯虚数,等 二 1 3+加.2。0解得?=5.2 0 .如图，已知直三棱柱 中，Z B A C=90a,M=i,=A C =2,E,
26、F 分别为棱C G,8 c的中点，G为线段4 4的中点/4（1）试在图中画出过E,F ,G 三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出该多边形的周长;（2）该截面分三棱柱成两部分，求其中较小那部分几何体的体积.573【答案】（1）作图见解析，4+&；（2）2 4.【分析】（1）取 中 点 M,连 接 叱、G、E G,易知GE/ZC/ME,得到截面为梯形EFA/G求解；（2）连接力广，G F ,分别求得曝 A B C-A M-VGE-A MFC,再比较即可.【详解】（1）如图所示：，内 小 一 一取 4 8 中点“，连 接 心、M G、EG,则GEV A C/ME,即/、F、G E 四点共面,则梯形
27、EFMG为所求截面的多边形.EG=A C=2,MF=A C=则 2,M G =ylA M2+A G2=.f 1+m=1B C=yA B2+A C2=V 7EF=y/CE2+CF2所以该多边形EFMG的周长为l+2+l+&=4+及.(2)连接力尸，G F ,rz ”1 1 1 V3,1VGE-A MFC=VG-A MF+VF-A CEG=X X 2 X X+2 X 2%C T向G=SM BC/&=5 x 2 X 遭 X1 =6而寸_可573所以其中较小那部分几何体的体积为万屋.2 1.如图，在正方体8 C 0-4 4 0 4中，s是8 a的中点，E,尸,G分别是5C,DC,SC的中点，求证：(1
28、)E G/平面50ABi；(2)平面 EFG/平面 B D D B【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.如图，连接S3,.瓦G分别是B C S C的中点，.EG/S8.又.SB c 平面B D D、B,EG ,BD=BC=6 ,从而B,C=6，在AB/eC 中，。=石，BQ 尸 BD=,B C=&,：.D 2=B Q；+B Q,B i CLB Qi.在4 B i CA 中,B,C=,A B 尸 也,AC=,.-.AC2=AB+BIC2,B CL4 B/：B D n A B j=BJ,CL平BJDJA.A/3 6(
29、2)在中，A B 尸 BQI=6 ,A D 尸 五，贝 以8/。4 的面积 S=4 x(V2)2=2,_ 正 i.三棱 锥 C-/D向 的体积/=x 2 x 6 =5,在zUC。中，/C=C。尸 石，而ADJ=6 ,-J g 2 _ (与 E 逑4CQ/的边力。/上的局/z=V 2=2=2.1 逑2.ZCD/的面积S/=5 x&x 2=5,设点8/到平面/c p 的距离为，1 _ L ，3 _ L由等体积法得3 s/功。小=5，.3x 2 x=E,则=1,.应到平面/C。的距离为1.【点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明以及点到平面距离的求解，考查了学生空间想象,综合分析，转化划归，逻辑推理能力，属于中档题