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1、2021-2022学年湖北省襄阳市第五中学高一下学期6月月考数学试题一、单选题1.已知复数Z满足（z+i=l+i,则 Z 的虚部是（）A.-1 B.-i C.-2 D.-2i【答案】C【分析】由复数的综合运算求得z,再根据复数的定义得结论.【详解】由题意 i,所以其虚部为-2.故选：C.2.cos 15。cos30。cos75。的 值 为（）1-8A.百一8B.D.1-C2【答案】B【分析】运用正弦的二倍角公式可求解 详解cos 15 cos30-cos75=cos 15 cos300-sin 15=-x2sinl50-cosl50-cos300=-x2sin300-cos300=-xsin6
2、0=2448.故选：B3.下列命题中正确的有(1)AB+BA=0.(2)O-AB=6.(3)A B-A C =BC.(4)(a-b)-c=a-(b-c)A.1 个 B.2 个C.3 个D.4 个【答案】A【分析】根据向量的运算律及数量积的定义逐一验证即可得出结果.【详解】由向量加法三角形法则可知，石+茄=0,故（1）正确；0.通 用.阿 cos但 碉=0,故 错 误；由向量的加法法则可知4 8-/C =C8,故（3）错误；向量乘法不满足分配律，（小很）1 =鼠（小 1）不一定成立，故（4）错误.故选：A【点睛】本题考查向量运算律，考查基本分析判断能力，属基础题.f(x)=/s i n (a)x
3、+m(A 0,0,0 )4.如图是函数.2 的图像的一部分，则要得到该函数的图像,只需要将函数g G)=6s i n 2 x-c o s 2 x 的 图 像()A.向左平移4个单位长度C.向左平移5 个单位长度71B.向右平移7 个单位长度7TD.向右平移5 个单位长度【答案】Af(x)=2 s i n(2 x +J【分析】先由图像求得 I 3 人再由辅助角公式化简g(x),最后由三角函数的平移变换即可求解.土 _ 工 3,.7=空【详解】由题图知：1 2 3 4 同，又 O,;.0 =2,，/(x)=/s i n(2 x +s),=-法布(g+s)=0,v 0 *擀9=3，/(x)=/s i
4、 n 卜 x +g 解得 3 I 3 人 又f(0)=V 3,./s i n g =6,二 A=2,.,.f(x)=2 s i n(2 x +f 1,g(x)=V 3s i n 2 x-c o s 2 x =2 s i n(2 x -g 71将 g(x)向左平移7 得故选：A.5.图 1 是南北方向、水平放置的圭表(一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成)示意图，其中表高为，日影长为/.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点/处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻(太阳直射点的纬度为南纬2 32 6)在某地利用一表高为2 d m的圭表按图1 方式放置后，测得日影长为2 9
5、 8 d m,则该地的纬度约为北纬()(参考数据：冗x +47t6=2 s i n(2 x +y-=2 s i n(2 x +y j =/(x)tan 34 0.67,tan 56 1.49)【答案】Btana=-a 0.67 八，A【分析】由题意有 2.98,可得/MA N,从而可得2tana=-a 0.67 八【详解】由图1可得 2.98，又tan34。=0.67,所以a =34。，所 以/42=90。-34。=56。，所以夕=56-2326=3234,该地的纬度约为北纬3234,故选：B.6.半正多面体亦称“阿基米德多面体 是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对 称 美.
6、二十四等边体就是一种半正多面体，是由八个正三角形和六个正方形构成的（如图所示）,则 异 面 直 线 与C尸所成的角为（）71B.471A.671C.371D.2【答案】C【分析】依题意将图形放到正方体中，如图所示，由正方体的性质可得/尸。”为 异 面 直 线 与3 所成的角，即可得解；【详解】解：二十四等边体可认为是由正方体切去八个全等的三棱锥得到的，如图所示，可知ABUPQ；CF/MQ(Z.PQM=-所以NPQM为 异 面 直 线 与CF所成的角，因为 尸。“是等边三角形，所以 3,71故异面直线力8与C尸所成的角为5；故选：C7.如 果 的 三 个 内 角 的 余 弦 值 分 别 等 于
7、根/2c2的三个内角的正弦值，则A.4114G和A/1282c2都是锐角三角形B.S G和A4282G都是钝角三角形c.根4 G是钝角三角形，根2 82G是锐角三角形D.M S G是锐角三角形，根2层是钝角三角形【答案】D【详解】根 6的三个内角的余弦值均大于0，则 M G是锐角三角形，若根2 82 c2是锐角三角形,sin 4=cos.4；=sin（5 4），sinS：=cos3=sin（彳一%），Ksm C:=cosC=in（：-C1）由.4-4 二二 一 42通*-B JT冗3 =c,4 +S+G=一得 2,那么，2,矛盾，所以.24G是钝角三角形，故选D.8 .已知矩形/8 8,8 =
8、1,8 C =夜.将“8。沿矩形的对角线8。所在的直线进行翻折，在翻折过程中A.存在某个位置，使得直线4C与 直 线 8。垂直B .存在某个位置，使得直线48与 直 线 8 垂直C.存在某个位置，使得直线4。与 直 线 8 c 垂直D.对任意位置，三对直线“4C与 BD，,“A B与CD，,，AD与80 均不垂直【答案】B【详解】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项B是正确的二、多选题9.如图是某市5 月 1日至1 0日 尸 的 日 均 值（单位：H g/m?）变化的折线图，关于尸此j日均值说法错误的是（）A.这 1 0天日均值的8 3%分位数为7 8；B
9、.这 1 0天的日均值的中位数为4 1；C.前 5 天的日均值的方差大于后5 天的日均值的方差；D.前 5 天的日均值的极差小于后5 天的日均值的极差.【答案】B C【分析】根据折线图可得1 0天中的P M 2.5日均值按从小到大排列为3 0,3 2,3 4,4 0,4 1,4 5,4 8,6 0,7 8,8 0,根据统计相关概念运算辨析.【详解】对于选项A：将 1 0天中的尸 2.5日均值按从小到大排列为3 0,3 2,3 4,4 0,4 1,4 5,4 8,6 0,7 8,8 0,6 0+7 8根据第8 0百分位数的定义可得，这 1 0天中PM2.5 1=1 均值的第8 0百分位数是 2由
10、于这1 0天日均值的8 3%分位数估计值大于这1 0天日均值的8 0%分位数估计值下一个所以这1 0天日均值的8 3%分位数估计值为7 8,故选项A正确；4 1 +4 5-=4 3对于选项B：这 1 0天中尸M 2.5日均值的中位数为 2 ，故选项B错误；对于选项C：由折线图和方差的定义可知，前 5 天的日均值的方差小于后5 天日均值的差，故选项C错误；对于选项D：前 5 天的日均值的极差为4 1 3 0=1 1,后 5 天的日均值的极差为8 0 4 5=3 5,故选项D正确.故选：B C.1 0.八卦是中国文化的基本哲学概念，如 图 1 船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形A B C
11、 D E F G H,其中1 =1，则下列结论正确的有（）C.AH-Tid=BC BOB.O B+O H =-41 O E_ _ 也D.而在方向量上的投影向量的模为下【答案】A B【分析】首先明确正八边形的特征，然后数量积的定义进行计算，可判断A,C;根据向量的加发运算可判断B;根据向量投影的概念可判断D.兀【详解】图 2 中的正八边形N88E FG”中，每 个 边 所 对 的 角 皆 为 其 中 川=1,A.:OA-OD=1x1 x cos=对于 4 2,故正确；=-,OB+OH=y/204=-42 OE对于 2故正确.对于CR而|=|及|,|而|=|丽而，月3 的夹角为兀-乙 7。乒，而
12、的 夹角为/。8 c =440故 而 加=-布 茄，故错误.|丽 辰 S型=-正 I斯|r 包对于D:而在次向量上的投影向量的模为 4 故错误.故选：AB.1 1.春 8 c 中，内 角.B,C 的对边分别为a,b,c,。=2,8 c 边上的中线/。=2,则下列说法正确的有：（）3 *）W C0S/4 1A.AB AC=3 B.+厂=10 C.5 D.4历的最大值为 60。【答案】ABC【分析】利用向量的数量积公式，余弦定理及基本不等式对各个选项进行判断即可.a、AB.AC=CAD+D B（AD-DB）=AD2-DB2=4-1=3 2【详解】_=1_由余弦定理及基本不等式得 一 2bc 2bc
13、-be（当且仅当b=c 时，等号成立），由A 选项知加cos/=3,cos 43cosA -解得 5,故 C 正确；对于 ,CSNB4D=TC2+32A/3C=734c-4c-2（当且仅当c=K 时，等号成立）,/.BAD e 0,g cosNBAD ZBADZABD,.I 2 人 又 2,“创。的最大值30。，口选项错误.故选:ABC1 2.如图，在多面体力8CDES中，SN 1平面Z 8 C Q,四边形BCD是正方形，豆DEIISA,SA=4B=2 D E=2,加囚分别是线段BC,S8的中点，2 是线段上的一个 动 点（含端点2 C）,B则下列说法正确的是（）MCA.存在点0,使得N Q
14、BB.存在点,使 得 异 面 直 线 与 弘 所 成 的 角 为 604C.三棱锥0-M N体积的最大值是D.当点。自。向C 处运动时，二面角 一例2 一 的平面角先变小后变大【答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积解决垂直，夹角问题，利用等体积法求三棱锥体积最大值.【详解】以为坐标原点，翔，亚，在正方向为X?轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设 DE=1 ,则 S4=AB=2.4（0,0,0）8（2,0,0）C（2,2,0）D（0,2,0）（0,2,1）S（0,0,2）N（l,0,l）M（2,1,0）对于选项A,假设存在点。3,2,0）（0 4 超4 2）,使得SB,则 而=（
15、加-1,2,-1）,又 面=（2,0,-2）,:.NQ SB=2（m-）+2=0 解得：,=（）,即点与。重合时，N Q S B ,选项A正确;对于选项B,假设存在点机2),使得异面直线NQ与 所 成 的 角 为 60,SA=（0,0,-2）21 I阕 网g y+5方程无解;不存在点2,使得异面直线NQ与SA所成的角为60。，选项B 错误;对于选项C,连接E设 DQ=/H(0 w 2)SAMQ=SABCD-SABM-S&QCM SMDQ=2 一 万.当加=0,即点。与点。重合时，S 收取得最大值2；_ d=SA=又点N到平面的距离 2,1 2(IV n_AUM )4 x =(1匕-/)3=x
16、2x l =3,选项c错误；对于选项 D,由上分析知：N =(T 2，-1),1),ni-NQ=(m-1 )x+2y-z=0若 =(x,y,z)是面M W0 的法向量，贝|j 江N M=x+y-z=O令x=l,则而=(L 2-加,3-,而面”阪 的 法向量”=(0,0,1),m-n3-m令 f =3-m e l,3 COS =7=777=所以而，l _ 31由。从。到c的过程，机由小变大，则，由大变小，即，由小变大,所以c o s 先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角,故二面角先变小后变大，选项D正确.故选：A D.三、填空题13.为了考查某种小麦的长势，从中抽取10 株麦苗，测得苗高(单位
17、：c m)为16,9,14,11,12,10,16,8,17,19,则 这 组 数 据 的 极 差 是.【答案】11【分析】根据已知数据，利用极差的定义计算.【详解】苗高数据中最大的为19,最小的为8,所以极差为19-8 =11,故答案为：1114.已知非零向量，石 满 足 团=3 +五 历|=3-力，且卜+可=2&，则|可=.【答案】2而【分析】先 求 得 从 而 求 得 卜“1【详解】由卜十*2遥两边平方得了+2 彳+片=2 4,12 +6A/3+2a b +12 6 /3 -2 4，a,b=G.所以,_ 司=,色 _ 研=yla2-2a-b+h2=J 12 +6 G +12-6 百=2
18、6故答案为：2指15.在某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情己受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定 符 合 上 述 指 标 的 是（填写序号）.平均数亍4 3；标准差S 4 2；平均数5 43且极差小于或等于2；平均数了43且标准差S 4 2；众数等于1且极差小于或等于4.【答案】【分析】按照平均数、极差、方差依次分析各序号即可.【详解】连续7天新增病例数：0,0,0,0,2,6,6,平均数是2 3,错；连续7天新增病例数：6,6,6,6,6,6,6,标准差是0
19、2,错；平均数亍3且极差小于或等于2,单日最多增加4人，若有一日增加5人，其他天最少增加3人，不满足平均数亍 3,所以单日最多增加4人，对；连续7天新增病例数：0,3,3,3,3,3,6,平均数是3且标准差小于2,错；众数等于1且极差小于或等于4,最大数不会超过5,对.故答案为：.16 .如图，在棱长为2的正方体/以 力-4 84中，点邑 尸分别是棱8 C,C G的中点，尸是侧面内（不含边界）一点，若平面/跖，则线段4P长度的最小值是.【分析】分别取棱8片，4 G 的中点/、N,连接M M 8 G,易证平面4 M N/平面工 尸，由题意知点P必在线段九W 上，由此可判断P位 于 线 段 中 点
20、 处 时 最 短，通过解直角三角形4 知 即可求出结果.【详解】如下图所示,分别取棱 四 出 G 的中点四、N,连接M N,g,.M,N,E,F分别为所在棱的中点,贝心BC,E FBC.：.M N U E F,又 N u 平面4EF,F u 平面力7.”N/平面4产.,.AAJ/N E ；AA、=N E.四边形/E N 4 为平行四边形,A.N/AE又 a 平面 /，）u 平面花尸，.4 N/平面花尸，又 A N C M N =N ,.平面4 脑V/平面/E F.P是侧面8C G A内一点，且/平面AE F,.点尸必在线段MN上.在 R，AABM 中 A.M =QAE +B M=VF+F=V
21、5同理,在放“出声中，可得4N=石，.A4 N为等腰三角形.当点p为 中 点。时，即4尸,此时4P 最短;又AXO=AXM2-O M2=3 V 2二线段4P 长度的最小为 T.逑故答案为：T.四、解答题1 7.已知方程x 2-2 x +2 =的两复数根分别为Z|,Z,其中4的虚部大于0（1）求复数4,Z 2；若复数Z 3=+4 i,且忆 R2石，求实数。的取值范围【答案】（1）4 T+*Z 2 =1-i（2）（。，4）【分析】（1）直接解方程即可求解；（2）利用复数的模，再解不等式即可求解.【详解】（1）由f-2 x +2 =0,得（x-l=T,所以x -l =i,所以=1 土 而4的虚部大于
22、0,所以4=i,z2=l-i.（2）由（1）中可知平2 =0 +1）0T）=2,所 以 上 一 囚 2/可化为卜+苗-2 卜 2 石,即|（2）+4 i|2 石，所以（2）?+1 6 2 右,解 得 0 =_L平面4 8 c.（1）证明：A B 1 P C.Q）若A C =2BC=26 EC,求锐二面角8-/尸一C的大小.【答案】（1）证明见解析；7 1（2）6.【分析】（1）根据线面垂直可证E C _ L Z 8,再证481平面8C即可得证:（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.T TcZ A B C =-【详解】（1）为 C中点，且二 2 ,即4 8/8 C.；E C _L平面
23、/8 C,.8 C n E C =C,二/8/平 面E 8 C又.P C u 平面 8 C E,.ABJ.PC.（2）由（1）可知，以8c为x轴，8/为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设E C =a,.C =2BC=2百E C,.B（0,0,0）,E（&l,。,a）,尸（2屈,0,2 a）,N（0,3 a,0）.C（岳,0,0）.BA=（0,3。,0）,丽=（2 儡,0,2 a）万 6 4 =0,设平面的法向量为=（须，必，4）,有 万 B P =0,3 aM =。，即 2 5/5 叼+2“Z|=0,令 演=1,得=0,0,-6）设平面/P C 的法向量为加=6 2，%*2）,由 就=（屈
24、,-3。,0）,而=（G a,0,2。），A C fh=V 3 ax2-3ay2=0*有 CP-m=V 3 ax2+2az2=0 取 4 =2应 则=2*2=-3可得?=（2 6 2-3）,有？=2 /3 +3 V 3 =5A/3,I 加 1=J 1 2 +4 +9=5,|/?|=2 ,.-一 .I 7 7 2 7?I 5/3 A/3c o s =-L=-=-5 x2 2 二面角6 -z P _ C的余弦值为 加 ,兀故锐二面角3-4 尸一0的大小为了.ca2-A23=-2 0.设“8c的内角/、B、C所对的边分别为a、b、c,且“8c的面积 4s i n（N-8）求 s i n/s i n
25、8的值;,兀4 w 一（2）若 2 ,求 tan/的取值范围.【答案】2tan 4 -0 0,-I；）u（0,+8）【分析】（1）先由余弦定理得到a2-=ac c o s 8-bc c o s”,结合三角形面积公式，正弦定理得到2 s i n A s i n 5 s i n C =s i n C（s i n A c o s 5-s i n 5 c o s A）化简 后得至|j 较案c o s 8 1（2）在第一问的基础上化简得到s i n B t a n A=2,根据三角函数的性质进行求解.【详解】（D 由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA（T）,b2=a2+c2-2accosB（2
26、）t 两式相减得:a2-b2=accosB-bccosA,I SABC=ab sin C因为 2,1 一 八 a2-b2tzosinC=-所以2 4,即 2ahsinC=ac cosB-bccQsA,由正 弦 定 理得 2 sin J sin B sin C=sinC(sin A cos B-sinB cos A)因为C e(。，兀),所以sin C w O,且sin/co s8-sin 8 co s/=sin(4-8),sin(_ _ 8)故2sm4sinB=s in(Z-8),即 sinZsinB 一(2)由(1)知：sin sin Ss=a b 0因为 4,所以”b,所以 tan B e
27、(0,+8),sin(Z B)_ sin A cos B-cos/sin 6 _ cos B 1 _ 二 Lsin 4 sin 6研 呜)sin B tan A-2又因为tan 4 tan 8所以tan/e(-2,+oo)tan J G-oo,-所以 I；)u(0,+oo)2 1.如图，在某景区依湖畔而建的半径为500米的一条圆弧形小路上，为吸引游客，景区在这条弧形小路上取两点4B,准备分别以4,5 两处为入口，在 河 岸 内 侧 建 造 两 条 玻 璃 栈 道BP,7T并在两条栈道的终点P 处建造一个观景台，已知弧力 8 所对的圆心角为3.(1)若A/8 P 为等腰直角三角形，且 4 8 为
28、斜边，求A/80 的面积;(2)假设玻璃栈道的宽度固定，修建玻璃栈道的造价按照长度来计算，且造价为1200元/米，试问当冗NAPB=-,D BD3 时，修建“P，8 P 两条玻璃栈道最多共需要多少万元?【答案】(1)62500平方米.(2)120 万元.【分析】(1)根 据 圆 心 角 和 半 径 求 出 弦 长 根 据 等 腰 直 角 三角形求出直角边，再根据面积公式求出面积.6 e(0,)(2)设=3 ,利用正弦定理求出P 8、P A,在求出P/+P8的最大值，然后乘以0.1 2 即可得解.71【详解】(1)因为弧力 8所对的圆心角为3,圆的半径为5 0 0,所以/8 =5 0 0 米,又
29、A/1 8 尸为等腰直角三角形，且 为 斜 边,PA=PB=AB=25Qyl所以 2 米,1 ,1 ,-P A2=-x 2 5 02x 2 =62 5 0 0所以A/80的面积为2 2 平方米.入 0 e(O,)设.8 =6,AB PB n n 4 6 s i n。5 0 0 s i n 夕 1 0 0 0 7 3 ._-=-PB=-=-=-s i n (7s i n 四 s i n s i n-也L 3由正弦定理得 3 ，得 3 2AB PAs i n s i n(-，)由正弦定理得 3 34 8,s i n(-0)PA=-2-得 不1 0 0 0 百.，2 兀 小=-s i n(y-(9)
30、PA+PB=1 0 0 0 s i n(9+s i n(-6)所以 3 L 31 0 0 0 5/33s i n 夕 +c o s，+s i n。2 2=1 0 0；G(|s i n 夕 +c o s。=10 0%.G s i n(e +令=1 0 0 0 s i n(e +令O 0 工 6 +殳 型因为 3 ,所以6 6 6,兀 兀 八 兀0 T =-0 所以当 6 2,即 3时-，P/+P 8 取得最大值为1 0 0 0 米，所以修建”尸，8 尸两条玻璃栈道最多共需要1 0 0 0 x 0.1 2 =1 2 0 万元.2 2.如图，四棱柱中，Z/工底面/8 C Z).四边形/8 C Z)为
31、梯形，A D/BC,且D=2BC.过 4，C，0三点的平面记为/BB、与a的交点为。.(1)证明：。为8片的中点；(2)求此四棱柱被平面&所分成上下两部分的体积之比;(3)若 4 =4,00=2,梯形Z3CO的面积为6,求平面a 与底面4 8 8 所成二面角大小.【答案】(1)证明见解析11 77T 7【分析】(1)利用面面平行，证明线线平行，进而得到 进而证明。为8片的中点:(2)连接加，纱，四棱柱被平面a 所分成上、下两部分的体积为小匕，分别求出匕和匕，可得答案；(3)在4中，作Z E,D C,垂足为E,连接4 ,N/E 4 为平面0 与底面/BCD 所成二面角44tan X.AEA,=-
32、1 /A V A的平面角，然后，计算可得 AE,进而得到【详解】(1)证明：；四棱柱 8 8-4 8 C A 中，四边形/8C O 为梯形，AD/BC ,，平面3 c 平面4 A 叫.平面4 c o 与面2 8 c和平面4 R D 4 的交线平行，QC/A.D:qQBC 4%。.BQ BQ BC _ AA1 AD 2二。为 8片的中点;解：连接Q 4 Q O,设/耳,梯形/8 C O的高为，四棱柱被平面a所分成上、下两部分的体积为匕，%,设 BC=a,则 AD=2a,Vn n.n/iUn=-3 -2 -2a-h-d3=-ahdTZ a+2a.h 1 .VQn-AABnCcDn =3 -2-*d -2 =4 ahd7/.V,=ahd2 123=aha 四棱柱被平面a所分成上、下两部分的体积之比7(3)解：在/Q C中，作垂足为E,连接“E则D E工平面DELATEE 4为平面a 与底面ABCD所成二面角的平面角,BC/AD,AD=2BC,A/IDC _ 2“BC,.梯形Z8C D的面积为6,DC=2,SADC=4,AE=4,tan ZAEA=赵=AEZAEA.=-4,7 1平面a 与底面ABCD所成二面角的大小为7.