《2023年新高考数学大一轮复习专题38椭圆及其性质（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年新高考数学大一轮复习专题38椭圆及其性质（解析版）.pdf（76页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专 题3 8椭圆及其性质【考点预测】知识点一：椭圆的定义平面内与两个定点耳，居的距离之和等于常数2a（20|百入|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记 作2 c,定义用集合语言表示为：P|P耳|+|PF21=2a（2a|FtF2|=2c 0）注 意：当2a=2c时，点的轨迹是线段；当2a 八0)号+%=l(a b 0)统一方程iw+ny2=l(m 0,n 0,加工)参数方程e为 参 数 电Q 2 6y=bsinu吗，。为 参 数0 0加）y=8sm 夕第一定义到 两 定 点 耳、F2的距离之和等于常数2。，BPlMf；+MF2=2a(2aFxF2 )范
2、围 a x a S,-b y b-b x b S,-a y1=l o点(%,%)在椭圆一1=1=点(%,%)在椭圆.2c）夕 咫|%|s in/6尸鸟）出+|叼-2|叼焦半径左焦半径：|M|=a+eXo又焦半径：用=-%上焦半径：|M用=-ey0下焦半径：|町|=+缈0焦半径最大值a+c,最 小 值a-c通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2幺（最短的过焦点的弦）a【方法技巧与总结】弦长公式设直线与椭圆的两个交点为Aa，y）,B（七,2），kAB=k,则 弦 长=j i+X 卜 司=ji+左?/芭 9了 -4 大 9=+-必）2 _ 4 y 必=1 +2 舍（其中a是消y 后关于X 的一
3、元二次方程的x2的系数，是判别式）（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被桶圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点.距离的最大值为a+c,距离的最小值为a-c.（2）椭圆的切线椭圆三+W=i（”6 0）上一点打不，为）处的切线方程是H+岑=1；a b a b 过 椭 圆 三+耳=1 （a b 0）外一点P（X0,%）,所引两条切线的切点弦方程是警+浑=1；a a b-椭 圆 -+4 =1 （a 6 0）与直线A r+8 y+C =0 相切的条件是A 2 a 2 +序从.c
4、 r b【题型归纳目录】题型一：椭圆的定义与标准方程题型二：椭圆方程的充要条件题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题题型四：椭圆上两点距离的最值问题题型五：椭圆上两线段的和差最值问题题型六：离心率的值及取值范围方 向 1：利用椭圆定义去转换方 向 2：利用。与 c 建立一次二次方程不等式方向3：利用最大顶角。满足sin g2方向4：坐标法方向5：找几何关系，利用余弦定理方向6：找几何关系，利用正弦定理方向7：利用基本不等式方向8：利用焦半径的取值范围为 a-c,a+c .方向利用椭圆第三定义.题型七：椭圆的简单几何性质问题题型八：利用第一定义求解轨迹【典例例题】题型一：椭圆的定义与标准
5、方程例 1.(2 0 2 2.全国.高三专题练习)点P 为椭圆4/+y 2 =i6上一点，小心为该椭圆的两个焦点，若|尸用=3,则|叫=()A.1 3 B.1 C.7 D.5【答案】D【解析】椭圆方程为：J+,=l，由椭圆定义可知：归用+归耳=2。=8,故|P闯=5故选：D【方法技巧与总结】(1)定义法：根据椭圆定义，确定/力 2 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在X 轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出a,反c的方程组，解 出 从 而 求 得 标 准 方 程.注意：如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为AX2+W=1(A 0,8 0,
6、AW8).2 2 2 2与椭圆三+二=1 共焦点的椭圆可设为一二一+二=1(%切 水 ,-).m n m+k n+k与椭圆+Z =l(a b 0)有相同离心率的椭圆，可 设 为 二+工=尢(4 0,焦点在x 轴上)或a b a b 2 2*+方=右(&0,焦点在y轴 上).例 2.(2 0 2 2.全国.高三专题练习)求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长为4,短轴长为2,焦点在y 轴上；经过点 4(0,3),8(4,0)；一个焦点为(1,0),一个顶点为(2,0)；(4)一个焦点为(夜,0),长轴长为4；(5)一个焦点为(-括,0),离心率为当；(6)一个焦点到长轴的两个端点的距离分别
7、为6,2.2【解析】(I)由题设，a=2,b =,又焦点在.y 轴匕 故椭圆标准方程为匕+/=1；（2）设椭圆方程为+=1,又A（0,3）,8（4,0）在椭圆上,a b京=1 仿2 =9 2 2所以匕，即 2 ，故椭圆标准方程为二+匕=1b16=1/=16 16 9（3）由题设，a=2,c =l,则/=/一,2=3,又焦点为（1,0）所以椭圆标准方程为 工+=1 .4 3（4）由题设，a=2,c =五,则6 2=/一 2=2,又焦点为（0,0）所以椭圆标准方程为尤 2 +v-2=1.4 2（5）由题设，c =（=g,贝 IJ =3,从=/一/=6,又焦点为（一百,0）所以椭圆标准方程为片+=1
8、.9 6（a+c =6（6）由题设，则a=4,c=2,故从=42一/=12,a-c =2所以椭圆标准方程为三+二=1或f+兰=1.16 12 16 12例 3.（2022全国高三专题练习）过点（6,一6），且 与 椭 圆 匕+工=1有相同焦点的椭圆的标准方程为25 9【答案】+=120 4【解析】所求椭圆与椭圆（+：=1的焦点相同，则其焦点在y 轴上，半焦距c 有/=25-9=16,设它的标准方程为+=1 3 匕 0）,于是得/电2=16,a bs a又点（6,一君）在 所 求 椭 圆 匕 即1+3=i,联立两个方程 得5有+小31,即（从）2+昉2_48=0,解得炉=4,则“2=20,所以所
9、求椭圆的标准方程 为 亡+兰=L20 4故答案为：+=120 4例 4.（2022全国高三专题练习）已知椭圆C 的两个焦点分别为耳（-3,0）,6（3,0）,为了使椭圆C 的方程为+身=1，可以再添加一个条件：_ _ _ _ _.25 Io【答案】椭圆上的点到两焦点的距离和为1 0 （答案不唯一）【解析】根据椭圆的焦点坐标可知，C =3,并且焦点在X 轴，若使椭圆方程为+卫=1,只需。=5,所以25 lo可添加条件“椭圆上的点到两焦点的距离和为1 0”.故答案为：椭圆上的点到两焦点的距离和为1 0 （答案不唯一）例 5.（2 0 2 2.全国.高三专题 练 习（理）过点（省,右），且与椭圆（+
10、=1 有相同焦点的椭圆的标准方程为【答案】+二=12 0 4【解析】因为所求椭圆与椭圆片+兰=1 的焦点相同,2 5 9所以其焦点在y轴上，且切=2 5 9 =1 6 -2 设它的标准方程为5+0=1（。6 0），a-b因为。2=1 6，且0 2=储一 2,故。2 _/=1 6,又点（6,向）在所求椭圆上，所以二5 十 33=1 ar b-由 得从=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为二+工=1.2 0 4例 6.（2 0 2 2.山西大同.高三阶段练习（文）如图，k F2分别为椭圆 +=1 的左右焦点，点尸在椭圆上,a bVPOM是面积为G 的正三角形，则从的值是（）【答案】A【解析】由
11、于V POE是面积为6 的正三角形，所以 P T G c|I I.xc2=6,c =2 ,V2 2 J 4则 P（l,石），代入椭圆方程得5+1=1，:+奈=1，解得匕2=2 6.故选：A题型二：椭圆方程的充要条件f v2例 7.（2 0 2 2 全国高三专题练习）“4%0所以 0 ,解得7v R v lO,k-410-k故是“方程上+二1 表示焦点在入 轴上的椭圆”的必要不充分条件.k 4 W-k故选：B【方法技巧与总结】+=1 表示椭圆的充要条件为：m 0,7?0,m w n；m n 2三+汇=1 表示双曲线方程的充要条件为：mn 0.m n例 8.（2 0 2 2 江西模拟预测（理）0
12、6 0/0,显然,0 b 0 力 0,6”既不充分也不必要条件,故 0”1 ,是“方 程 加=1-加 2 表示的曲线为椭圆,，的既不充分也不必要条件，解法二当。=/?二 !时，满足“O v a v l,0 Z?r 此时题中方程可化为：V +y 2 =4,表示的曲线是圆而不是椭圆,42 2-厂-+，-工-=J1当。=1 力=4 时，不满足o b 5”是“曲线C：工+上 一=1 （&e R）是焦点在x 轴上的椭圆”的k-3 1-k（）A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件 D.充分不必要条件【答案】C【解析】因为+上=1 （Z e R）是焦点在x 轴上的椭圆，k-3 1-kk-3
13、 l-k所以，k-3 0，解得：5k 0由5 v A v7可得k 5成立，反之k 5 不能推出5 v左 v7 成立.2 2所以“5”是“曲线C：-+二 _ =1（代 R）是焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件.k-3 1-k故选：C.题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题例 12.（20 22.全国高三专题练习汨知F,工是椭圆C:+?=l 的两个焦点，点M在椭圆C 上，则M F M F的最大值为（）A.1 3 B.1 2 C.9 D.6【答案】C【解析】由椭圆C：+，=l 可得。2=9,所以。=3,因为点M 在 C上，所以1Ml+|M 入|=2a=6,所以|9|区=（）9 ,当且仅当
14、I M耳1=1 M F.|=3时等号成立，|M耳|M入I 最大值为9.故选：C.【方法技巧与总结】焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即|P 4|+|P 6|=2a.例 13.（20 22.全国.高三专题练习）椭 圆*1 的焦点 为 埠 外，点尸在椭圆上，若 附|=2,则“Pg的大 小 为 一.【答案】1 20【解析】|尸 耳|+|尸周=%=6,.|尸 8|=6 俨 用=2.在中,C O S/耳P g =怛印2+川讦一|百月|22 耳|疗用1 6 +4-28 12x 4x 2-2 /耳 下 5=1 2 0。.故答案为：1 20 .2
15、2例 1 4.（多选题）（20 22河北高三阶段练习）已知椭圆M-.+=l ab 0）的左、右焦点分别为月（-7 3,0）,玛（6,0）,过点心的直线与该椭圆相交于A ,5 两点，点尸在该椭圆上，且|A 同2 1,则下列说法正确的是（）A.不存在点尸，使得N 耳P 玛=9 0。C.若 4 P居=6 0。，则 S-=B4 rt rr2 3【答案】C DB.满足耳PK为等腰三角形的点P 有 2 个D.|P 娟-归闾 的取值范围为-2 6,2 6【解析】根据题意:可得c=0,|筋|的最小值为1,所以=J!a=2,b=1,c=5/3，所以椭圆方程二+y 2 =1当尸为该椭圆顶点时，此时/耳产=1 2
16、0。,所以存在点P，使得N P E=9 0 ,故 A 错误；当点尸在椭圆的上，下顶点时，满足月尸鸟为等腰三角形，又因为2 64归国42+6,|耳司=26，所以满足归用=忻用的点尸有两个，同理，满足|耳|=|耳国 的点P有两个，故 B错误.若“尸 片=6 0,则 s =b2 t an=,八 ri rr2 2 3所以C正确.因为|尸制一仍玛=1 尸制一（勿 一|府|）=2 忸剧-4,分析可得|明w 2 一百,2 +6,附|-|明 6 -2 6,2 6 ,所以D正确.故选:C D.2 2例 1 5.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知尸是椭圆会+三=1 上的点，、人分别是椭圆的左、右焦点，若PF
17、 PF前向后，则 居 的 面 积 为（）A.3 后 B.9上 C.7 3 D.9【答案】A【解析】因为/”广卜 时 闯.PF2 CO S/4尸BP”圈=COSZFPF2=；0 Z F1PF2/3五 也2 3 2 2例 1 6.（2 0 2 2 全 国 高三专题练习）已知点P 在椭圆二+二=1 上，月与巴分别为左、右焦点，若/耳 尸 =”,1 6 4 3则/=;尸入的面 积 为（）A.4 0 B.6G C.8 石 D.1 3 7 3【答案】A 尸用+归段=8【解析】由“牧 叫2+匹，|2-旧图2，又 忸 闾=4 后 解 得 阀|陶=1 6,-故选：A.2，例 17.（2022四川成都 高三阶段练
18、习（理）己知耳，鸟是椭圆C：三+匕=1的两个焦点，点 M 在 C 上，4 9则闾的最大值为（）A.13 B.12 C.9 D.6【答案】C【解析】由椭圆工+上=1可得/=9,所以。=3,4 9因为点M 在 C 上，所以|M制+|M图=勿=6,所以阿区 产 邛 阳）=图=9 当且仅当|M制=|叫|=3时等号成立，|岬 卜 四 最 大值为9,故选：C.2 2例 18.（2022.黑龙江哈尔滨市第六中学校一模（理）设 B,F2是椭圆C：彳+与=1（a60）的左、右焦点，。为坐标原点，点 P 在椭圆C 上，延 长 交 椭 圆 C 于点。，且|PF/|=|PQ|,若，的面积为巨b?,3【答案】B【解析】
19、由椭圆的定义，I尸耳I+IP玛 1=2%由余弦定理有:cos Z.FPF1=PFS+Pf212 _4c2=(|用+|P局)2-2|P f|P|-4 c22|尸 耳|归 用=2附|户用4a2-4c2-2PFlPF2 4b2-2PFt PF22PFtPF2 2PFIPF2 化简整理得：2 6=|P|P K I(COSNPE+1),又$5石=PFtPF2 sin ZFtPF2,由以上两式可得:b-sinNFFE _ 2 c s ,5 2 一。5/耳/玛+广一 2c.“即2由S“从 加 手,得争J“n 手，利号又史国=|尸。|,所以aF/PQ 为等边三角形，由椭圆对称性可知P Q x轴,所以|尸。|二
20、 2 二 2c丽 一 方 F故选：B.例 1 9.(2 0 2 2 全国高三专题练习(文)椭圆Y +工=1 (机 0)的焦点为5 ,居，与 丫 轴的一个交点为A，m+1 mT T若/耳AE=,则 加=()A.1 B.y/2 C.7 3 D.2【答案】C【解析】2 2 _在 椭 圆 十 二=1(?0)中，=2 +i ,b =m,c=l.易知|A 耳|二|AE|=Q.又/耳 46=方，所以,由人工为等边三角形，即|胡 卜 旧 周，所以T T =2,即6=6.故选：C.)2例 2 0.(2 0 2 2 全国高三专题练习)已知椭圆三+汇=1 的左、右焦点分别为耳，玛，点M 在椭圆上，若1 加币=4,9
21、 2则/耳 工=()A.3 0 B.6 0 C.1 2 0 D.1 5 0【答案】c2 2【解析】由题意，椭圆方程W+己 =1,nJ Y a*a=3,b =V 2,c =y ja2 b2=币,所以焦点耳(-V 7,O)，E G/7,O),又由椭圆的定义,可得|M 制+|M 图=2 a=6,因为|哂|=定 所以|叫1=2,在中，由余弦定理可得忻闾2TM用2+|次-2 附制|M R|cos N耳 M g,所以(2 )2=4?+2 2-2 x 4 x 2 cos N4 M 与，解得c o s N R M E=-g，又由6e(0 ,1 80 ),所以N 耳 M心=1 2 0.故选:C.例 2 1.(2
22、 0 2 2 安徽淮北一模(理)P 为椭圆/卷=1 上的任意一点，A 8 为圆C:(x-l)2+y 2=i 的任意一条直径，则PA P B的取值范围是.【答案】3,1 5【解析】由题意，圆心C(l,0)为椭圆的右焦点，圆的半径为1,因为AB 为圆C:(x T +y 2=i 的任意一条直径，PA PB=(PC+CA)(PC+CB)=(PC+0 4)(PC-CA)=P C2-C =|PC|2-1，由椭圆的定义可得I PCe a-c,a+c =2,4,所以 R l PB=|-1 3,均.故答案为：3,1 5 例 2 2.(2 0 2 2 全国高三专题练习)已知椭圆的方程为三+工=1 ,过椭圆中心的直
23、线交椭圆于A、2两点,9 4人是椭圆的右焦点，则 A B乙 的 周 长 的 最 小 值 为.【答案】1 0【解析】椭圆的方程为工+工=1 ,，2 a=6,=4,c =4i ,9 4连接A 6,则由椭圆的中心对称性可得的周长=|A 闾+忸川+|/W|=|A 4+|明|+|.|=2 4+|钻卜当4 8 位于短轴的端点时，|因 取 最 小值，最小值为勖=4,l =2 +|A B|=6+|A B|6+4 =1 0.故答案为：1 0例 2 3.(2 0 2 2 全国高三专题练习)已知耳，居分别为椭圆C：+=l 的左、右焦点，直线X-3 y +l =0 与4 3椭圆交于P,。两点，则 P。居 的 周 长
24、为.【答案】8【解析】椭圆C:%：=1,所以c=/7=7=1，即月(T O)、入(L 0)，直线x-3 y +l=0 过左焦点6(-1,0),所以|P制+|%|=2 =4,依周+1 凿|=勿=4,PQ=PFt+QFt,所以C 啰=|P+|Q 闻+|P玛|=|P耳|+|。制+1。玛1+1 尸闾=4=8;故答案为：8例 2 4.(2 0 2 2 重庆一中高三期 中)在;.A 8C中，点3,0),8(3,0),点 C 在椭圆2+1=1上，则 A B C 的2 5 1 6周长为.【答案】1 6【解析】由椭圆方程可知，”=5,6 =4,则0 =而 工 7 =3，即A、8 为椭圆的两个焦点，所以3 A 5
25、c 的周长为/=CA +CB+A B=2。+2 c=1 6 .故答案为：1 6.2 2例 2 5.（2 0 2 2 全 国高三专题练习）设 与 向 是椭圆+菅=1 的两个焦点，尸是椭圆上的点，且|P/讣|图=2：1,则5的 面 积 等 于.【答案】2 6【解析】由 附 出 明=6,且户用：|P由|=2：1,.PFt=4,PF2=2,又衍闾=2j =26在/5月玛中，cos z FXPF,=4-+2-b 0)的左、右焦点，。为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点。，且I 助|=卢。，若 O P E 的面积为系从，则黑=()A.7 3 B.3 C.史 D.亚2 3 3【答案】D【解析】
26、由题意可知“。尸 耳的面积为正从,6故5呻=2、*，在心中，设 N P 乙=。,。(0,),由余弦定理可得F,F2 I M PF,f+PF212-21 PFt PF11 c o s。,即 4c2=(|+|尸 鸟 I)?-2|P|PF,-2 PF,|PF21 cos(9=4/+(-2-2cos 4 =|附I阀I附 卜|明 一4 -即 向+族q的最小值为1.故答案为：1例 36.（2 0 2 2上海市市北中学高三期中）焦点在x轴 上 的 椭 圆 三+二=1上任意一点到其中一个焦点的距离4 t恒大于1，则f的取值范围为.【答案】（3,4）【解析】由题意得a-c l,即解得3 f q=8 1-很），一
27、3效 3,则|M7V|=JME 一悭=y l M E2-l =J(x0-1)2+=JXQ 2*o+81=因不=环运=正；)2-9 ,*当 /=3 时，|MN|mi n=6 .故答案为：6题型五：椭圆上两线段的和差最值问题例 38.(2022广西柳州模拟预测(理)已知A(3,1),8(3,0),尸是椭圆器+=1上的一点，则|以|+1 尸 闿的最大值为【答案】9【解析 1根据题意可得：a=4,b =s/l,c =3则点8 为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点尸(3,0).-.|PB|+|PF|=8,BP|PB|=8-|PF|32 I2V +-F|+82 =2 和圆*-3 尸+丁=1 的圆心分别为A,B,
28、半径分别为小协则椭圆+1=1的焦点为A（-3,0）,3（3,0）.又伊川+代|尸加|.俨冏+2司尸25 16故|/W|+|PN|v 归川+归用+4+弓，当且仅当M,N分别在PA,P B的延长线上时取等号.此时最大值为|/刊+|尸网+4+4=2 后+应+1 =1 1+3.故答案为：1 1 +&.例 41.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知点F（-1,0）是椭圆C:；+2=i（a 0）的一个焦点，点M 为椭圆C上a任意一点，点N（3,2）,则I MN|+|取最大值时，直线MN的斜率为【答案】I由椭圆的定义可得：l F|+l g|=2 a,连接N 乙并延长交椭圆于。点,则|M N|+|M F|
29、=2 a+|M N|-|历 居 I,|N g|+2 a（当且仅当三点N,M,F?共线时，即M 运动到图中。点取等号）故答案为：1.例 42.（2 0 2 2 全国高三专题练习）过 椭 圆 三+二=1 上一动点尸分别向圆G：（x +3 +y 2=4 和圆3 6 27G：（x-3）2 +/=l 作切线，切点分别为M,N,则|夕知|2+2|9|2的最小值为.【答案】9 0【解析】.a =6,b =3上,c =次方=3，易知C 1 3,0）、G（3,0）为椭圆的两个焦点，|PA/|2+2|PAT|2=|PCI|2-4+2（|/C2|2-I）=|PCI|2+2PC2|2-6,根据椭圆定义|PR|+|PC
30、?1=2a=12,ig：|PC2|=r,则 a-c 4/4 a +c,即 3 4 r49,贝 1 仍用+2|取=(12T+2/-6 =3/-24r+138=3(产一8 +46),当t=4时，|PM+2|PN 取到最小值90.故答案为：902 2例43.(2022全国高三专题练习(文)已知椭圆C：三+工=1的右焦点为F,P为椭圆C上一动点，定4 3点4(2,4),则|以|一|PF的最小值为.【答案】1【解析】如图,设椭圆的左焦点为广，则IPQ+IP严=4,所以|PF|=41/,尸1,所以照|一|PQ=|网+|广|一4,当且仅当P,A,尸三点共线时，I例+仍可取最小值依用=5(2+0 +16=5,
31、所以照|一|PQ的最小值为1.故答案为：1.例 44.(2022 重 庆 高三阶段练习(文)点 p 在椭圆上，G 的右焦点为尸，点。在圆C?:/+6x-8y+21=0 上，则|一帜百的最小值为【答案】2石-62 2【解析】记椭圆C：?+g =l 的左焦点为E(-l,0),由椭圆的定义可得，|阳+|PF|=2a=4,所以忸。-归尸|=归。+|产耳-4,由 X?+y2+6x-8y+21=0 得(x+3)2+(y-4)2=4,即圆G 的圆心为(一，4),半径为r=2,作出图形如下：由圆的性质可得，炉。斗尸。2卜=户6|2,|P2|-|/F|=|P|PC2|+|PE|-6|EC2|-6=A/(-3+I
32、)2+42-6=2-6(当且仅当G，Q,P,E四点共线时，等号成立.)故答案为：2石-6.2 2例 45.(2022.全国高三专题练习)已知A(1,G)，尸是椭 圆 C：三+5=1的左焦点，点 P 是椭圆C 上的动点，贝”批|+|2 F|的最小值为.【答案】4【解析】设椭圆C 的 右 焦 点 为 依 题 意，F(2,0),由椭圆的定义得：|P F|+|P F|=6,而|PA|-1 P如/A F|=J(2-1尸 +(4)2=2，即 2 旦%|一|尸产区2,有|P F|-2 PA|42+|P F|,因此，|PA|+|P F 以尸产|+|P F|-2=4,当且仅当点P 是 线 段 的 延 长 与 椭
33、 圆 C 的交点时取心”，所以IR4I+IPFI的最小值为4.故答案为：4题型六：离心率的值及取值范围方 向 1:利用椭圆定义去转换j.2 v2例 4 6.(20 22重庆八中高三开学考试(理)设椭圆E:=+=l(a 0)的一个焦点为F(c,0)(c 0),点 A(-a bc,c)为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P,使得|a M+|Pf =9 c,则椭圆E 的离心率取值范围为A.一 ,1)B.,-C.一,D.,一2 3 2 2 3 5 4 J【答案】D【解析】如图：设椭圆的另一个焦点为耳因为|P耳国尸A|+|A6|,所以2 =|耳|+|尸 尸 区|PA|+|A耳|+|尸|=c+9 c =
34、1 0 c由|尸耳以P A T A K I,所以2a =|耳|+|P尸以 PA|一|AK I +|PF|=9 c-c =8 c,所以 8 c K 2。W 1 0 c,BP 4 c 5c,所以！.5 4/7 2因为点A 在椭圆内，所以c 一,所以公 /一。2,a所以e 2+e-l 0,解得e 0)的左、右焦点，过 的直线a b与C 交于产,。两 点,若|尸制=2|%|=5 忻Q|,则。的离心率是()A 石 R 百 r 小 n 亚5 4 4 3【答案】D【解析】由已知，可根据条件做出下图:因为任 用=2|%|=5 由。,令 忻 a=f,所以忸制=5r,|P周=,由椭圆的定义可知|P娟+|尸闾=2a
35、=5f+|f =T，所以，=/,所以|尸用=g ,附|=|，|耳。|=*，,|尸。|=归用+出。|=京+/=小,由椭圆的定义可知|M +|QK|=2an|Q 段=|a,在；尸。工中,|。用J lQ/f+p 图2,所以N Q P E=*在 和 中，国=2 c,所以花闾2=田 呼+俨闾2所以。+#=4 c，ne*当所以C 的离心率是也.3故选：D.2 o例 48.（2022全国高三专题 练 习（理）已知椭圆C:+亲u l S 。）的左、右焦点分别为耳,入，直线 =阳 40）与 C相交于M,N 两 点（M 在第一象限）.若M，K，M 写四点共圆，且直线N心的倾斜角为9O则椭圆C 的离心率为（）A.B
36、.V3-1 C.B D.V2-12 2【答案】B【解析】根据题意四边形M4/V写为平行四边形，又由M,耳,N,心四点共圆，可 得 平 行 四 边 形 为 矩 形，即乂 直 线 的 倾 斜 角 为 3，则有NMK乙=6 6则|M周=T匕用=c,眼 用=半 内 用=限，2则加=|町|+|叫|=(1+6 纪，W f =j y=6 Z=(V3-l)则椭圆C的离心率e =-=6-1a故选：B例 49.（20 22.海南中学高三阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质.比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光2 2线全部都会经过
37、另一个焦点.设椭圆方程二+斗=1（。6 0）,耳,居为其左、右焦点，若从右焦点K 发出的a b3光线经椭圆上的点A 和点B反射后，满足N 5 W=9 0。,t a n 4 B C =匚 ,则 该 椭 圆 的 离 心 率 为.【答案】曰3【解析】由椭圆的光学性质可知，BC A O 都经过后，且在，A%中4前=9 0。，t a n Z A 8 E=j,如图,所以 M 4|=3匕|A B=4k,BFt=5k,由椭圆的定义可知女+4&+5Z=4,即a =3 k,又6|+|A|=2”,可得|A 玛|=6 36 =3 A,在 Rt A耳6中，可用2+|A用人 耳工所以16 Kl=2c =3 0M所以=竺=
38、豆 生=包2a 6k 2故答案为：2例50.（2022全国高三专题练习）已 知 尸 用分别是椭圆C:=+与=1（“0,。0）的左、右焦点，点P在a b-椭圆上，且在第一象限，过工作/耳尸行的外角平分线的垂线，垂足为4,O为坐标原点，若|Q A|=&,则 该 椭 圆 的 离 心 率 为.【答案】JL3【解析】如图所示：延长&A,交 尸可于点Q,.附是鸟的外角平分线，.AQ=AF2,PQ=PF2,又。是 耳巴的中点，Q耳 A。,且|Q4|=2|O4|=2回.又|Q耳|=但 周+$。|=|尸耳|+忸闻=2 02a 2 G b，a1 3b2 3（Q2 c2）f.离心率为=四.a 3故答案为：JL32
39、2例51.（2022全国高三专题练习）己知椭圆+与=l（a b 0）的左、右焦点分别为片，F,A B是椭圆过a b点6的弦，点A关于原点。的对称点为A，A l A B,且同4|=3|跖I，则 椭 圆 的 离 心 率 为.【答案噌【解析】连接 叫，F2,AF2,设忸制=机，因为|40卜|40 1 0胃=|。6，所以四边形K A M A为平行四边形，而A耳L AB,故四边形耳AK A为矩形，故A _ L A B.又|4 6=|伍|=3加,由椭圆的定义可得|4玛|=|*|=2。-3/，|明|=20-%,.A B+A F2 =BF ,E P(2a-2w)2+(3/M)2=(2a-m)2,解得a =3/
40、n,是短轴的端点，且A K_ L A/，.2=c,e =丝.2故答案为：昱2一点，且/桃=6 0,|尸田=5俨 闻，则C的离心 率 为()A.叵 B.包 C.16 2 2【答案】A2 2【解析】在椭圆C：W+2=1伍 6 0)中，a b 由椭圆的定义可得归用+|尸用=2，因为归耳|=5忸闾,所 以 附 局附|音,在鸟中，忻q=2c,由余弦定理得什/球=PFtf+PF2f P F P F c o s Z F ,H n/2 25。2 a2 5a2 2a29 9 9 9c所 以 二2=幺21，a2 3 6所以C 的离心率e =a 6故选：A.例 5 3.（2022全国高三专题 练 习（理）已知椭圆C
41、:l（a 6 0）的上顶点A（0,6）,左右焦点分别为 6，6连 接 并 延 长 交 椭 圆 于 另一点R 若=则椭圆C 的离心率为（）A.-B.-C.且 D.也3 6 3 6故选：C【答案】C【解析】由题意得|。制=。,|。小”，所 以 所=a,则M H=|A 6|+|W|=a+|P制，由椭圆的定义可得归耳|+|，闾=2%所以|为=2a-|P制，因为1 PH =|P闾，所以a+|P制=2a-|P用，解得归 用=,归用=：在 R f.A O 耳中，c o s N A 片0 =,a在 PK乃中，c o s N P 4 =附:呷2 T华f=2.附 段因为N A-O +N P E E =，所以c o
42、 s Z A 6 O =-c o s N/Y；K，B P-=-2 c fl,a ac所以=3C2所以W=辱字7一 闾+（羽 2一用 一2x-x2c a c2y例 54.(2022.山西太原.一模(理)设%鸟是椭圆E：+氐=l(a方 0)的左、右焦点，过点斜率为正的直线交椭圆于点P,若则椭圆E 的离心率是()A.73+1 B.V3-1 C.立 D.正3 2【答案】B【解析】因过点斜率为手 的 直 线交椭圆于点P,则有NP4 心=3 0,NP马耳=6 0,因此，在/耳心中，/耳尸6=9 0,令椭圆半焦距为c,于是得|P|片工|cos30=g c,|P八|=|g|sin3()=c,由椭圆定义得：2a
43、=PF,+PF2=(43+)c,宁=6八,所以椭圆E 的离心率是e=6-1 .故选：B例 5 5.(2022全国高三专题练习)设椭圆的两个焦点是片,入，过耳的直线与交于尸，Q 两点，若|国=闺 用，且31P用=4依用，则椭圆的离心率为.【答案】|2 2【解析】设椭圆=+=l(a b 0),z-k/川川a2 b2 6(-c,0),6(c,0)3甲 甲=4|4。|设怛用=4闻 6。|=3?，由椭圆的定义可得|Q 6|=2a-|Q 用=24-3,”，可得2c=2。-4帆”c=2m,取 九；的中点K,连接KF2,则Kl.PQ,|QK|=5m由 勾 股 定 理 可 得-|PK =|2例 6 0.(2 0
44、 2 2 贵州高三期末(理)已知椭圆C:+与=l(a 6 0)的左、右焦点分别是耳，鸟，直线a b-=日(女/0)与椭圆C交于A,B 两点，若|4 3|=由 川，且 四 边 形 鸟 的 面 积 为 2(c是椭圆C的半焦距)，则椭圆C的离心率是()A.迫 B.近 C.-D.-2 3 3 4【答案】B【解析】由椭圆的对称性可知四边形A B 5是平行四边形.因为|A 例=|片闾，所以平行四边形A B 鸟是矩形.加 2 +-，=4Ac 2,A F=m,A F2 =n,则 力+=2%整理得4 c?+2 c?=4/,所以=2,解得=半，故椭圆C的离心率 为 亚3故选：B.例 6 1.(2 0 2 27 V
45、=1 3 6 0)以6，工为左右焦点，点 尸、。在椭圆上，且浙江模拟预测)已知椭圆C:P Q 过右焦点8，。尸 1QP,若s i n N Q 七，则该椭圆离心率是()A.13B.叵 C.-D.立2 6 5 2【答案】A【解析】根据题意可得如图椭圆，,耳PQ 是直角三角形，sinNEPQ=,不妨设闺=1 3,离 =5,则|尸。|=12,因为|KQ|+|EQ|=|耳H+优尸|=为，所以区 =10,怩 4=2,2a=15,恒 周=2c=JQM+M?=$亚,所以离心率=至=%叵=正.2a 15 3故选：A.2 2例 62.（2022全国高三专题练习）已知椭圆C:0 +A =l（a hO）的左、右焦点分
46、别为耳（r。）和a b玛为 C 上一点，且“月名的内心为/（W/），则椭圆C 的离心率为（）B-135c iD.【答案】D【解析】连接/，低,M/,延长 皿 交 X轴于E,则MI _MFt _MF2国二丽=网又M故 一=-1,即 2 b =a +c,2c c又/=/_。2=，4所以3 a =5 c,Q P-=1.a 5故选：D.n方向3：利用最大顶角。满足s i n2例 6 3.（2 0 2 2 全国高三专题练习）设 、乃是 椭 圆+=的左、右焦点，若椭圆外存在点尸使得=0,则椭圆的离心率的取值范围_ _ _ _ _ _.【答案】（4,1）【解析】设点PC），易知耳（-G O）,巴（c,0）,
47、则际片=（_ x,y（c x,历=/+9 一。2=0,2 2故点。的轨迹为圆X2+y 2 =C2,由题意可知，圆/+），2 =。2 与椭圆二+2=1（。匕 0）相交，a1 bz由图可知b c,即c?立，又因为0 e l,故 正 e l.a 2 2故答案为：（亭 ）.例 64.（2022.北京丰台二中高三阶段练习）已 知，B 分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点尸使得户T T2=2。（0 0 ,。是已知数），则 该 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 是.【答案】卜 in 6,1）【解析】根据椭圆的几何意义可知-0。2.O20 6 0）的左、右焦点分别为K,a b若椭圆上存在一点P 使得
48、N耳尸耳=（2兀，则 该 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 是.【答案】净）【解析】由椭圆的定义可知：PFt+PF2=2a,在尸片居中，由余弦定理得：cos NF PF=6 +故-*=仍尸+6 尸）2-2 4 苞尸-6 8=4b2-2F P&P =_ 1 2 2FP F2P 2FP F2P 2F1P F2P 2?所以耳尸乙P=4/，又耳p 书尸=即4从当且仅当片p=/y时等号成立，故 4 a 2 -4 c2 ,解得：故答案为：日,1）方向4：坐标法2 2 _例 66.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知椭圆=分 0）,直线x 与椭圆C交于A,B两点,。为原点，若三角形A O B 是等
49、腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（）A.B.也 C.B D.巫4 2 2 4【答案】D【解析】将x =g代入C中，得卑,亦-学,由题意 得 出，3 1 3 3）1 3 3 ）3 3吟去限故选：D.,2例 67.（2 0 2 2.河南洛阳三模（文）已知椭圆点+方=1（。0）的左、右焦点分别为耳（一。,0）,夕（c,0）,过与且垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为M,的平分线与 轴交于点尸，若四边形M F,PF的面积为立I，则椭圆的离心率6 =.【答案】红2【解析】如图，设M6与丁轴的交点为Q,连接巴。，因为M乃平行于y 轴，故。为6”的中点，且 N Q P M =N E M P,故 因=又
50、M（c,胃故4 0,身，因为=Z Q P M =Z FtM P ,所以|PQ|=|Q M=g（2a），故四边形M 4 P鸟为：S=；x|耳段x|QP|+S 怨M =c x M +；S=c x|（2M|+-x l x 2c x N N 乙 乙 Cl1 f h2C FT 2=c x 2a-+=ac =V2c ,2l a J 2a故 =也 即 离 心率为6 =走,a 2 2故答案为：亘2例 68.（20 22全国高三专题练习）已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点,线段8 F 的延长线交椭 圆 C于点。，且=，则椭圆的离心率为（）A.-B.且 C.丛 D.在3 3 2【答案】B2 2【解析】设