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1、 专题 32 空间向量及其应用 【考点预测】知识点一：空间向量及其加减运算（1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为a或AB（2）零向量与单位向量 规定长度为 0 的向量叫做零向量，记作0当有向线段的起点A与终点B重合时，0AB 模为 1 的向量称为单位向量（3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量
2、与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a（4）空间向量的加法和减法运算 OCOAOBab，BAOAOBab如图所示 空间向量的加法运算满足交换律及结合律 abba，abcabc 知识点二：空间向量的数乘运算（1）数乘运算 实数与空间向量a的乘积a称为向量的数乘运算当0时，a与向量a方向相同；当0时，向量a与向量a方向相反a的长度是a的长度的倍（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 abab，aa （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作/ab（4）共线向量定理 对空间中任意两个向量a，
3、b0b，/ab的充要条件是存在实数，使ab（5）直线的方向向量 如图 8-153 所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OPOAta，其中向量a叫做直线l的方向向量，在l上取ABa，则式可化为1OPOAtABOAt OBOAt OAtOB 和都称为空间直线的向量表达式，当12t，即点P是线段AB的中点时，12OPOAOB，此式叫做线段AB的中点公式（6）共面向量 如图 8-154 所示，已知平面与向量a，作OAa，如果直线OA平行于平面或在平面内，则说明向量a平行于平面平行于同一平面的向量，叫做共面向量 （7）共面向量定理
4、如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,x y，使pxayb 推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对,x y，使APxAByAC；或对空间任意一点O，有OPOAxAByAC，该式称为空间平面ABC的向量表达式 已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式OPxOAyOBzOC（其中1xyz）的点P与点A，B，C共面；反之也成立 知识点三：空间向量的数量积运算（1）两向量夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作,a b，通常规定0,a b，如果,2a b，那
5、么向量a，b互相垂直，记作ab（2）数量积定义 已知两个非零向量a，b，则cos,a ba b叫做a，b的数量积，记作a b，即cos,a ba ba b零向量与任何向量的数量积为 0，特别地，2a aa A a a O （3）空间向量的数量积满足的运算律：aba b，a bb a（交换律）；abca ba c（分配律）知识点四：空间向量的坐标运算及应用（1）设123,aa a a，123,bb b b，则112233,abab ab ab；112233,abab ab ab；123,aaaa；1 1223 3a ba ba ba b；112233/0,ab bab ab ab；1 1223
6、30aba ba ba b（2）设111,A x y z，222,B xyz，则212121,ABOBOAxx yy zz 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式 已知123,aa a a，123,bb b b，则2222123aaaaa；2222123bbbbb；1 1223 3a ba ba ba b；1 1223 3222222123123cos,a ba ba ba baaabbb；已知111,A x y z，222,B xyz，则222121212ABxxyyzz，或者,d A BAB其中,d A
7、B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公式（4）向量a在向量b上的投影为cos,a baa bb 知识点五：法向量的求解与简单应用（1）平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量 几点注意：法向量一定是非零向量；一个平面的所有法向量都互相平行；向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有0m n 第一步：写出平面内两个不平行的向111222，axyzbxyz；第二步：那么平面法向量，nxyz，满足1112220000 xxyyzzn axxyyzzn b（2）判定直线、平面间的位置关系 直线与
8、直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为a，b 若ab，即ab，则ab；若ab，即0a b，则ab 直线与平面的位置关系：直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，且l 若an，即an，则l；若an，即0a n，则a （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为1n，平面的法向量为2n 若1n2n，即12nn，则；若1n2n，即120nn，则 知识点六：空间角公式（1）异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线1l，2l上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则coscos,a ba ba b（2）线面角公式：设l为平面的斜线，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为 l与所成角的大小，
9、则sincos,a na na n（3）二面角公式：设1n，2n分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则12,n n或12,n n（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cosnnn n 知识点七：空间中的距离 求解空间中的距离（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算 如图，设两条异面直线，ab的公垂线的方向向量为n，这时分别在，ab上任取，AB两点，则向量在n上的正射影长就是两条异面直线，ab的距离 则|nAB ndABnn即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量
10、模的比值 （2）点到平面的距离 A为平面外一点（如图），n为平面的法向量，过A作平面的斜线AB及垂线AH|n|n|sin|cos,|=|nnABABAHABABAB nABAB|AB ndn【方法技巧与总结】用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简 单 用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先
11、选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算 【题型归纳目录】题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算 题型二：空间共线向量定理的应用 题型三：空间向量的数量积运算 题型四：证明三点共线 题型五：证明多点共面的方法 题型六：证明直线和直线平行 题型七：证明直线和平面平行 题型八：证明平面与平面平行 题型九：证明直线与直线垂直 题型十：证明直线与平面垂直 题型十一：证明平面和平面垂直 题型十二：求两异面直线所成角 题型十三：求直线与平面所成角 题型十四：求平面与平面所成角 题型十五：求点到平面距离【典型例题】题
12、型一：空间向量的加法、减法、数乘运算 例 1设空间向量b是空间向量a的相反向量，则下列说法错误的是（）Aa与b的长度相等 Ba与b可能相等 Ca与b所在的直线平行 Da是b的相反向量 例 2如图，空间四边形 OABC 中，OA a，OB b，OCc，点 M 在OA上，且满足2OMMA，点 N为 BC 的中点，则MN（）A121232abc B211322abc C111222abc D221332abc 例 3 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,PAa PBb PCc，则BE（）A111222abc B111222abc C131222abc D113222abc
13、 例 4如图，在三棱锥 SABC 中，点 E，F 分别是 SA，BC 的中点，点 G 在棱 EF 上，且满足12EGGF，若SAa，SBb，SCc，则SG（）A111326abc B111362abc C111632abc D111366abc 例 5 如图所示，在平行六面体1111ABCDA BC D中，M 为11AC与11B D的交点，若ABa，ADb，1AAc，则BM（）A1122abc B1122abc C1122abc D1122abc 例 6 如图，在正方体1111ABCDA BC D中，1AAa，11ABb，11ADc，O 为底面 ABCD 的中心，G 为11DCO的重心，则AG
14、（）A215326abc B2536abc C121336abc D1526abc 例 7在长方体1111ABCDA BC D中，设ABa，ADb，1AAc，若用向量a、b、c表示向量1AC，则1AC _ 例 8在下列命题中：若向量,a b共线，则,a b所在的直线平行；若向量,a b所在的直线是异面直线，则向量,a b一定不共面；若三个向量,a b c两两共面，则三个向量,a b c一定也共面；已知三个向量,a b c，则空间任意一个向量p总可以表示为pxaybzc 其中正确命题的个数为（）A0 B1 C2 D3 例 9 如图，平行六面体1111ABCDA BC D中，E为1DD的中点 若1
15、BExAByADzAA，则,x y z（）A11,1,2 B11,1,2 C11,1,2 D11,1,2 例 10已知,a b c是空间向量的一个基底，,ab ab c是空间向量的另一个基底，若向量p在基底,a b c下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底,ab ab c下的坐标为（）A(4,0,3)B(1,2,3)C(3,1,3)D(2,1,3)【方法技巧与总结】空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则 题型二：空间共线向量定理的应用 例 11(1,1,3)A，(7,0,2)B为空间直角坐标系中的两个点，(2,)m，若/mAB，则
16、_ 例 12已知324(0)amnp a，(1)82bxmny p，且mnp不共面，若/ab，则xy_ 例 13已知1,3,2a，1,0,1b，2pkab，34qab若/p q，则实数 k 的值为_ 例 14（多选题）下列命题中正确的是（）Aabab是a，b共线的充分条件 B若/AB CD，则/AB CD CA，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若111244OPOAOBOC，则P，A，B，C四点共面 D若P，A，B，C为空间四点，且有PAPBPC（PB，PC不共线），则1是A，B，C三点共线的充分不必要条件 【方法技巧与总结】空间共线向量定理：/0ab bab 利用此定理可解决立体几何中的
17、平行问题 题型三：空间向量的数量积运算 例 15已知空间向量0,1,2AB，2AC，2,3AB AC，则AB BC（）A55 B55 C55 D55 例 16（多选题）设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（）A22aa Ba bba aa C222a bab D2222abaa bb 例 17（多选题）定义空间两个非零向量的一种运算：|sin,ababa b，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A()()abab Babba C若0ab，则ab D|abab 例 18（多选题）如图，在平行六面体1111ABCDA BC D中，以顶点 A 为端点的三条棱长都是 1，
18、且它们彼此的夹角都是 60，M 为11AC与11B D的交点，若1,ABAbcaDAA，则下列正确的是（）A1122BMabc B1ACabc C1AC的长为5 D16cos,3AB AC 例 19在三棱锥DABC中，已知2ABAD，1BC，3AC BD，则CD _ 例 20棱长为 1 的正方体1111ABCDA BC D，P在正方体的 12 条棱上运动，则AC BP的取值范围是_ 例 21已知OAAB，若1,1,0OA，则OA OB_ 例 22已知点P为正四面体ABCD的外接球上的任意一点，正四面体ABCD的棱长为 2，则PA PB的取值范围为_ 例 23 九章算术中的“商功”篇主要讲述了以
19、立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱 在堑堵111ABCABC中，ABAC，M 是11AC的中点，7AB，N，G 分别在棱1BB，AC上，且113BNBB，13AGAC，平面MNG与AB交于点H，则AHBH_，HM AB_ 例 24如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDA BC D中，点E是侧面11BBCC内的一个动点若点E满足1DECE，则|BE的最大值为_，最小值为_ 例 25已知向量3,1a ，1,2b，2cab，若bc，则实数（）A2 B2 C1 D1 例 26已知(2,2,3)a，(2,0,4)b，则cos,a b（）A4 8585 B4 85
20、85 C0 D1 例 27已知(1,0,1)a，(,1,2)bx，且3a b，则向量a与b的夹角为（）A56 B23 C3 D6 例 28 如图，在平行六面体1111ABCDA BC D中，1ABAD，1112,45,60AABAADAABAD，则1AC（）A1 B3 C9 D3 例 29给出下列命题，其中正确的为（）A若ABCD，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B若0a b，则ab，是钝角 C若0ABCD，则AB与CD一定共线 D非零向量a、b、c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a、b、c必共面 例 30 正四面体ABCD的棱长为 4，空间中的动点 P 满足2
21、2PBPC，则AP PD的取值范围为（）A42 3,42 3 B2,3 2 C43 2,42 D14,2 例 31在三棱锥PABC中，1PBPC，90APBAPC，60BPC，则AB PC（）A12 B32 C1 D2 例 32 已知正四棱台1111ABCDA BC D的上、下底面边长分别为1和2，P是上底面1111DCBA的边界上一点 若PA PC的最小值为12，则该正四棱台的体积为（）A72 B214 C7 106 D356 【方法技巧与总结】12121 2cos,a ba ba bx xy yz z；求模长时，可根据2222111aaxyz；求空间向量夹角时，可先求其余弦值cos,a b
22、a ba b要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为 0，即0a bab,a b为锐角0a b；,a b为钝角0a b由此，通常通过计算a b的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角 题型四：证明三点共线 例 33如图，在平行六面体1111ABCDA BC D中，12CCEC，13ACFC （1）求证：A、F、E三点共线；（2）若点G是平行四边形11BBCC的中心，求证：D、F、G三点共线 例 34已知向量a，b，c不共面，453ABabc，23ACabc，675ADabc求证：B，C，D 三点共线 例 35在长方体1111ABCDA BC D中，M 为1DD的中点，N 在 AC 上，且:
23、2:1ANNC，E 为 BM 的中点求证：1A，E，N 三点共线 例 36如果(1,5,1),(2,4,1),(,3,2)ABC ab三点共线，那么ab（）A1 B2 C3 D4 【方法技巧与总结】先构造共起点的向量AB，AC，然后证明存在非零实数，使得ABAC 题型五：证明多点共面的方法 例 37 已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点（如图所示），并且OEkOA，OFkOB，OHkOD，ACADmAB，EGEHmEF求证：（1）A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；（2）/AC EG 例 38如图，在几何体 ABCDE 中，ABC，BCD，CDE 均为边长为 2 的
24、等边三角形，平面 ABC平面 BCD，平面 DCE平面 BCD 求证：A，B，D，E 四点共面；例 39 如图，四边形ABEF为正方形，若平面ABCD 平面ABEF，ADBC，ADDC，22ADDCBC 判断点 D 与平面 CEF 的位置关系，并说明理由 例 40 如图，四棱柱1111ABCDA BC D的侧棱1AA 底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为1AA，1CC的中点 证明：B，F，1D，E四点共面；例 41（多选题）若,a b c构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A,2abc abbc B,ab ac bc C2,2,ab ab ac D2,63,abbac 例 4
25、2（多选题）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA 底面ABCD，PAAB，E、F分别为线段PB、CD的中点，G为线段PC上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（）A对任意点G，则有B、E、G、F四点共面 B存在点G，使得A、E、G、F四点共面 C对任意点G，则有AG 平面PBD D存在点G，使得/EG平面PAF 例 43以下四组向量在同一平面的是（）A1,1,0、0,1,1、1,0,1 B3,0,0、1,1,2、2,2,4 C1,2,3、1,3,2、2,3,1 D1,0,0、0,0,2、0,3,0 例 44设,A B C D为空间中的四个点，则“ADABAC”是“,A B
26、C D四点共面”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 例 45(1,1,3),(1,4,2),(1,5,)abcx，若,a b c三向量共面，则实数x（）A3 B2 C15 D5 例 46 如图，在四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，过EF的平面分别交棱DA、BC于G、H（不同于A、B、C、D），P、Q分别是棱BC、CD上的动点，则下列命题错误的是（）A存在平面和点P，使得/AP平面 B存在平面和点Q，使得AQ/平面 C对任意的平面，线段EF平分线段GH D对任意的平面，线段GH平分线段EF 例 47已知 P 和不共线三点 A，B，C，四点共
27、面且对于空间任意一点 O，都有OP 2OAOBOC，则_ 例 48如图，已知正方体1111ABCDA BC D的棱长为2，M，N，G分别是棱1AA，BC，11AD的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若MQxMGyMN(,)x yR，则点Q的轨迹围成图形的面积是_ 例 49在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，且 PAAC2AB2AD4，CDAD，CBAB，G 为PC 的中点，过 AG 的平面与棱 PB、PD 分别交于点 E、F若 EF平面 ABCD，则截面 AEGF 的面积为 _ 【方法技巧与总结】要证明多点（如A，B，C，D）共面，可使用以下方法解题 先作出从同一点出发的三个向量（如
28、AB，AC，AD），然后证明存在两个实数,x y，使得ADxAByAC 题型六：证明直线和直线平行 例 50 已知长方体1111ABCDA BC D中，4AB，3AD，13AA，点 S、P 在棱1CC、1AA上，且112CSSC，12APPA，点 R、Q 分别为 AB、11DC的中点求证：直线PQ直线RS 例 51 在四棱连PABCD中，平面 ABCD平面 PCD，底面 ABCD 为梯形/ABCD，ADDC，且1AB，2ADDCDP，120PDC 若 M 是棱 PA 的中点，则对于棱 BC 上是否存在一点 F，使得 MF 与 PC 平行 【方法技巧与总结】将证线线平行转化为证两向量共线设,a
29、b是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为,a b，则/,0ababR 题型七：证明直线和平面平行 例 52如图，在直三棱柱111ABCABC中，ACBC，1ACBCBB，D 为 AB 的中点试用向量的方法证明：1/BC平面1ACD 例 53 如图，在长方体1111ABCDA BC D中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，14DD，E，F 分别是11,AA CC的中点 求证：/BE平面1AFD；【方法技巧与总结】（1）利用共面向量定理 设,a b为平面内不共线的两个向量，证明存在两个实数,x y，使得lxayb，则/l（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行（3）转化为证明直线的方向向量与
30、平面的法向量垂直（此方法最常用）题型八：证明平面与平面平行 例 54如图，已知棱长为 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F 分别是棱 A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN平面EFBD 例 55如图，正方体1111ABCDA BC D中，M、N分别为AB、1BC的中点 用向量法证明平面1/A BD平面11B CD；【方法技巧与总结】（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）题型九：证明直线与直线垂直 例 56如图，在直四棱柱1111ABCDA BC D中，/AB CD，ADCD，12ADCDDD，1AB 求
31、证：111ADBC；例 57如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，ABAC，M，N 分别是 CC1，BC 的中点，点 P 在直线 A1B1上 证明：PNAM；例 58如图，在棱长为 a 的正方体1111ABCDA BC D中，M 为11BC的中点，E 为11AC与1DM的交点，F 为BM与1CB的交点 （1）求证：111BDAC，11BDBC（2）求证：EF是异面直线11AC与1BC的公垂线段 例 59如图，在长方体1111ABCDA BC D中，点 E，F 分别在1BB，1DD上，且1AEAB，1AFAD （1）证明：1ACEF；（2）当3AD，4A
32、B，15AA 时，求三棱锥DAEF的体积 例 60如图，四棱锥SABCD中，ABCD为矩形，SDAD，且123SDABADABSD，E为CD上一点，且3CEDE （1）求证：AE平面SBD；（2）MN、分别在线段SBCD、上的点，是否存在MN、，使MNCD且MNSB，若存在，确定MN、的位置；若不存在，说明理由 例 61如图，在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD 且2 2PD，122ABBCAD，90BAD，/BCAD，点 M 为棱 PC 的中点 证明：PADM；【方法技巧与总结】设直线12,l l的方向向量为,a b，则ab0a b 这里要特别指出的是，用向量法证明两直线尤其是两异面
33、直线垂直是非常有效的方法 题型十：证明直线与平面垂直 例 62在正方体1111ABCDA BC D中，如图 E、F 分别是1BB，CD 的中点，求证：1D F 平面 ADE；例 63 如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中/ADBC，ABAD，4PA，122ABADBC，E 为棱BC上的点，且14BEBC 求证：DE 平面PAC；例 64如图，在正方体1111ABCDA BC D中，M，N分别为1AD，1CD的中点 求证：MN 平面1DBD；【方法技巧与总结】（1）证明直线和平面内的两天相交直线垂直（2）证明直线和平面内的任一直线垂直（3）转化为证明直线与
34、平面的法向量共线 题型十一：证明平面和平面垂直 例 65 如图，在四棱锥PABCD中，BC 平面 PAB，AD 平面 PAB，36PAABBCAD120PAB 求证：平面PCD 平面 ABCD；例 66如图在边长是 2 的正方体1111ABCDA BC D中，E，F分别为AB，1AC的中点 证明：平面1EAC 平面1DAC；例 67在三棱台 ABCA1B1C1中，C1C平面 ABC，ABBC，且 AB=BC=C1C=2A1B1，O 为 AC 的中点，P是 C1C 的中点 证明：平面 A1BC平面 POB；例 68如图，在直三棱柱111ABCABC中，1ABACABACAAD，为BC的中点 （1
35、）证明：1/AB平面1ADC；（2）证明：平面1ADC 平面11BBCC 【方法技巧与总结】（1）转化为证明两平面的法向量互相垂直（2）转化为证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面 题型十二：求两异面直线所成角 例 69如图，在平行六面体111ABCDABC D中，底面ABCD是边长为 1 的正方形，侧棱1AA的长度为 2，且11120AABAAD （1）求1BD的长；（2）直线1BD与AC所成角的余弦值 例 70 已知正四面体 ABCD，M 为 BC 中点，N 为 AD 中点，则直线 BN 与直线 DM 所成角的余弦值为（）A16 B23 C2121 D4 2121 例 71 如图，在三棱锥
36、MABC中，MA 平面ABC，ABC是边长为2的正三角形，2 3MA，F是MC的中点，则异面直线MB与AF所成角的余弦值是（）A33 B34 C133 D58 例 72在三棱锥 PABC 中，PA、PB、PC 两两垂直，且 PA=PB=PC，M、N 分别为 AC、AB 的中点，则异面直线 PN 和 BM 所成角的余弦值为（）A33 B36 C63 D66 例 73已知直三棱柱111ABCABC的所有棱长都相等，M为11AC的中点，则AM与1BC所成角的正弦值为（）A153 B53 C64 D104 例 74 已知正方体1111ABCDA BC D的棱长为 1，点E在线段1CD上，若直线BE与1
37、AD所成角的余弦值为32，则线段BE的长为（）A3 24 B62 C32 D2 【方法技巧与总结】设两异面直线 a 和 b 的方向向量为a和b，利用求角余弦公式可求得a和b的夹角，由于两向量所成角的范围是0,，而两异面直线所成角的范围是02（，所以|cos=|cos|=|a ba b 题型十三：求直线与平面所成角 例 75如图，在几何体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是菱形，BE平面 ABCD，DFBE，且 DF=2BE=2，EF=3 （1）证明：平面 ACF平面 BEFD；（2）若二面角 A-EF-C 是直二面角，求直线 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值 例 76如图，在直三棱柱
38、111ABCABC中，1,4ABAC AA，90BAC，D，E 分别是BC，AB 的中点，且143D ABAV（1）证明：1ADBC；（2）求1A D与平面11BC E所成角的正弦值 例 77如图，四面体ABCD中，,ADCD ADCDADBBDC，E 为AC的中点 （1）证明：平面BED 平面ACD；（2）设2,60ABBDACB，点 F 在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值 例 78 如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，/,ADBC ABAD，点M在棱PB上，2PMMB，点N在棱PC上，223PAABADBC （1）若2CNNP，Q为PD的中点，求
39、证：A，M，N，Q四点共面；（2）求直线PA与平面AMN所成角的正弦的最大值 例 79如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E 三点共线，已知三棱锥 PADE 四个面都为直角三 角形，且 EDAD，PA平面 ABCE，PE3，CDAD2，ED1，则直线 PC 与平面 PAE 所成角的正弦值等于（）A34 B105 C155 D134 例 80如图，在正方体1111ABCDA BC D中，O是AC中点，点P在线段11AC上，若直线OP与平面11A BC所成的角为，则sin的取值范围是（）A23,33 B1 1,3 2 C33,43 D1 1,4 3 【方法技巧与总结】设l为平面的斜线，a为l
40、的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成角的大小，则sincos,a na na n 题型十四：求平面与平面所成角 例 81在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 为 BB1的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成角的正弦值为（）A12 B53 C33 D22 例 82如图，在三棱锥PABC中，已知PA 平面 ABC，2PAAB，90BAC，D 为 PC 上一点，且3PCPD，PCBD （1）求 AC 的长；（2）若 E 为 AC 的中点，求二面角DBEA的余弦值 例 83如图，在四棱锥BACFM中，四边形ACFM为直角梯形，,90FMACACF，平面ACFM 平面,1,3,60
41、ABC BCCFACABC （1）证明：BCAM（2）若四棱锥BACFM的体积为34，求平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的余弦值 例 84如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，,ADBC ADCDAPD是等腰直角三角形，PAD是底角 （1）求证：平面PAB 平面PCD（2）若22ADCDBC，求二面角APCB的余弦值 例 85如图，ABCD为圆柱OO的轴截面，EF是圆柱上异于,AD BC的母线 （1）证明：BE平面DEF；（2）若6ABBC，当三棱锥BDEF的体积最大时，求二面角BDFE的正弦值 例 86如图 1，矩形PABC中，3 3PC，6PA，D为PC上一点且2CDD
42、P现将PAD沿着AD折起，使得PDBD，得到的图形如图 2 （1）证明：PA 平面PBD；（2）求二面角PABD的余弦值 例87 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD 底面ABCD，M为线段PC的中点，PDAD，N 为线段 BC 上的动点 （1）证明：平面MND 平面PBC（2）当点 N 在线段 BC 的何位置时，平面 MND 与平面 PAB 所成锐二面角的大小为 30？指出点 N 的位置，并说明理由 例 88如图，四棱锥PABCD中，平面PAB 平面ABCD，ABCD，ABAD，3AB，3AD，2APCD，60PABM是CD中点，N是PB上一点 （1）是否存在点N使得MN平
43、面PAD，若存在求PN的长若不存在，请说明理由；（2）二面角PAMN的余弦值为45，求PNPB的值 例 89如图，四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，梯形ABCD满足ABCD，90BCD，且2PDADDC，3AB，E为PC中点，13PFPB，2PGGA （1）求证：D，E，F，G四点共面；（2）求二面角FDEP的正弦值 例 90如图，四棱锥PABCD的底面 ABCD 是平行四边形，且PA 底面 ABCD，2,4,60ABPABCABC，点 E 是线段 BC（包括端点）上的动点 （1）探究点 E 位于何处时，平面PAE 平面 PED；（2）设二面角PEDA的平面角的大小为，直线 AD 与平面
44、 PED 所成角为，求证：2 【方法技巧与总结】（1）在平面内，al，在平面内，bl（l是交线l的方向向量），其方向如图所示，则二面角 l的平面角的余弦值为|a bab （2）设12，n n是二面角 l的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角 l的余弦值为1212nn|n|n|题型十五：求点到平面距离 例 91在正方体1111ABCDA BC D中，E 为11AD的中点，过1ABE的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F 为棱1CC上的动点 （1）点 H 在棱 BC 上，当14CHCB时，/FH平面1AEB，试确定动点 F 在棱1CC上的位置，并说明理由
45、；（2）若2AB，求点 D 到平面 AEF 的最大距离 例 92 如图，在三棱柱111ABCABC中，ABC为等边三角形，四边形11BCCB是边长为 2 的正方形，D为AB中点，且15AD （1）求证：CD平面11ABB A；（2）若点P在线段1BC上，且直线AP与平面1ACD所成角的正弦值为2 55，求点P到平面1ACD的距离 例 93如图，已知平行六面体1111ABCDA BC D中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，11AA，1160A ABA ADBAD ，M 为11AC与11B D的交点，设ABa，ADb，1AAc （1）用a，b，c表示BM并求 BM 的长；（2）求点 A 到直
46、线 BM 的距离 例 94已知正方体1111ABCDA BC D的棱长为 a，则平面11ABD与平面1BDC的距离为（）A2a B3a C23a D33a 例 95定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值在棱长为 1 的正方体1111ABCDA BC D中，直线AC与1BC之间的距离是（）A22 B33 C12 D13 例 96如图，正四棱锥PABCD的棱长均为 2，点 E 为侧棱 PD 的中点若点 M，N 分别为直线 AB，CE上的动点，则 MN 的最小值为_ 例 97某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象
47、出长方体和圆台组合，如图所示，长方体1111ABCDA BC D中，14,2ABADAA，圆台下底圆心O为AB的中点，直径为 2，圆与直线AB交于,E F，圆台上底的圆心1O在11AB上，直径为 1 （1）求1AC与平面1AED所成角的正弦值；（2）圆台上底圆周上是否存在一点P使得1FPAC，若存在，求点P到直线11AB的距离，若不存在则说明理由 例 98如图，矩形ABCD和梯形ABEF，,/AFAB EFAB，平面ABEF 平面ABCD，且2,1ABAFADEF，过DC的平面交平面ABEF于MN （1）求证：DN与CM相交；（2）当M为BE中点时，求点E到平面DCMN的距离：【方法技巧与总结
48、】如图所示，平面的法向量为n，点Q是平面内一点，点P是平面外的任意一点，则点P到平面的距离d，就等于向量PQ在法向量n方向上的投影的绝对值，即|cos,|dPQPQ n或|=|PQ ndPQ n 【过关测试】一、单选题 1（2022全国高三专题练习）如图，在四面体OABC中，OAa，OBb，OCc，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则OE可用向量a，b，c表示为（）A111222abc B111244abc C111424abc D111442abc 2（2022广东高三阶段练习）已知正四面体ABCD的棱长为 1，且2BEEC，则AE CD（）A16 B16 C13 D13 3（20
49、22 浙江 模拟预测）在四棱台1111ABCDA BC D中，侧棱1AA与底面垂直，上下底面均为矩形，1AB，1112ADAAA B，则下列各棱中，最长的是（）A1BB B11BC C1CC D1DD 4（2022浙江高三开学考试）如图，已知正方体1111ABCDA BC D，E，F，G 分别是 AB，1CC，11C D的中点，则（）A直线1A F与直线 EG 相交 B直线11B D 平面 EFG C直线1BB与平面 EFG 相交 D直线1AD 平面 EFG 5（2022黑龙江大庆实验中学模拟预测）在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB 平面 BCD，BC
50、CD，且ABBCCD，M 为 AD 的中点，则异面直线BM 与 CD 夹角的余弦值为（）A33 B23 C32 D22 6（2022 湖南 长郡中学高三阶段练习）如图，已知长方体1111ABCDA BC D，以 D 为坐标原点，DA，DC，1DD的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则1(2,3,4)DB，又,E F分别是棱AB，1CC的中点，那么三棱锥11BA EF的体积为（）A4 B6 C8 D12 7（2022 安徽淮北一模（理）在空间直角坐标系中，已知1,1,1A，3,1,1B，则点1,0,2P到直线AB的距离为（）A22 B32 C62 D3 8（2022浙江乐清市