《2023年新高考数学大一轮复习专题13函数模型及其应用(解析版)43356.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年新高考数学大一轮复习专题13函数模型及其应用(解析版)43356.pdf（34页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 专题 13 函数模型及其应用【考点预测】1.几种常见的函数模型：函 数 模 型 函 数 解 析 式 一 次 函 数 模 型 abaxxf()(，b为常数且)0a 反 比 例 函 数 模 型 kbxkxf()(，b为常数且)0a 二 次 函 数 模 型 acbxaxxf()(2，b，c为常数且)0a 指 数 函 数 模 型 acbaxfx()(，b，c为常数，0b，0a，1)a 对 数 函 数 模 型 acxbxfa(log)(，b，c为常数，0b，0a，1)a 幂 函 数 模 型 abaxxfn()(，b为常数，)0a 2.解函数应用问题的步骤：(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量
2、关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;(3)解模：求解数学模型，得出结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题 【题型归纳目录】题型一：二次函数模型，分段函数模型 题型二：对勾函数模型 题型三：指数函数、对数函数模型 【典例例题】题型一：二次函数模型，分段函数模型 例 1（2022黑龙江哈尔滨三中三模（理）如图为某小区七人足球场的平面示意图，AB为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的P点处接球，此时5tan31APB，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点Q处射门，为获得最佳的射门角
3、度（即AQB最大），则射门时甲离上方端线的距离为（）A5 5 B5 6 C10 2 D10 3【答案】B【解析】【分析】先根据题意解出AB长度，设QHh，得到242150cos32522500hAQBhh，再分析求值域，判断取等条件即可求解.【详解】设ABx，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：25PH，10BH，所以102tan255BHBPHHP，且5tan31APB，所以523315tantan5251315APHAPBBPH，又10tan25AHABBHxAPHPHPH，所以103255x，解得5x，即5AB，设QHh，0,25h，则222215AQQHAHh，222210BQQHB
4、Hh，所以在AQB中，有222242150cos232522500AQBQABhAQBAQBQhh，令2150 150775mhm，所以2150hm，所以221cos375025150325150225001mAQBmmmm，因为150775m，所以111775150m，则要使AQB最大，即21cos3750251AQBmm要取得最小值，即23750251mm取得最大值，即23750251mm在111775150m取得最大值，令111,775 150tm，23750251f ttt，所以 f t的对称轴为：1300t，所以 f t在11,775 300单调递增，在11,300 150单调递减，
5、所以当1300t 时，f t取得最大值，即AQB最大，此时11300m，即300m，所以2150h，所以5 6h，即为获得最佳的射门角度（即AQB最大），则射门时甲离上方端线的距离为：5 6.故选：B.例 2（2022甘肃酒泉模拟预测（文）如图，在矩形ABCD中，2AB，1BC，O是AB的中点，点P沿着边BC、CD与DA运动，记BOPx，将PAB的面积表示为关于x的函数 f x，则 f x（）A当0,4x时，2tanf xx B当30,4x时，tanf xx C当3,4x时，tanf xx D当3,4x时，tanf xx【答案】C【解析】【分析】分0,4x、3,44x、3,4x三种情况讨论，求
6、出PAB的边AB上的高，结合三角形的面积公式可得出 f x的表达式.【详解】1OBOC，则4BOC，易得22112OCOD，222OCODCD，所以，2COD，则3424BOD.当0,4x时，点P在线段BC上（不包括点B），则tantanPBOBxx，此时，1tantan2f xABxx；当3,44x时，点P在线段CD上（不包括点C），此时 112f xAB BC；当3,4x时，点P在线段DA上（不包括点A），此时POAx，则tantanPAOAxx，则 1tan2f xAB PAx.故选：C.例 3（2022上海交大附中高三开学考试）2020 年 11 月 5 日至 10 日，第三届中国国际
7、进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为 150 万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为()R x万元，且25002,020()21406250370,20 xxR xxxx.(1)写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润=销售收入成本）(2)当年产量为多少万台时，该企
8、业获得的年利润最大？并求出最大年利润.【答案】(1)22120150,0206250101990,20 xxxSxxx(2)当年产量为 25 万台时，该企业获得的年利润最大，最大为 1490 万元 【解析】【分析】（1）分020 x和20 x 两种情况，由利润=销售收入成本，知()(380150)SxR xx，再代入()R x的解析式，进行化简整理即可，（2）当020 x时，利用配方法求出S的最大值，当20 x 时，利用基本不等式求出S的最大值，比较两个最大值后，取较大的即可(1)当020 x时，()(380150)SxR xx 25002380150 xxx 22120150 xx，当20
9、x 时，()(380150)SxR xx 62503702140380150 xxx 6250101990 xx，所以年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式为 22120150,0206250101990,20 xxxSxxx(2)当020 x时，2221201502(30)1650Sxxx ，所以函数S在(0,20上单调递增，所以当20 x时，S取得最大值 1450，当20 x 时，62506250101990(10)1990Sxxxx 62502 101990500 19901490 xx ，当且仅当625010 xx，即25x 时取等号，此时S取得最大值 1490，因为1490
10、1450，所以当年产量为 25 万台时，该企业获得的年利润最大，最大为 1490 万元 例 4（2022全国高三专题练习）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为 20000 元，每生产一件“玉兔”需要增加投入 100 元，根据初步测算，总收益满足函数 214000400280000400 xxxR xx，其中 x 是“玉兔”的月产量.(1)将利润 f(x)表示为月产量 x 的函数；(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益总成本利润)【答案】(1)2130020000,(0400)()210060000,(400)xxxf xxx；(
11、2)300，25000 元.【解析】【分析】(1)由题意，由总收益总成本利润可知，分0400 x及400 x 求利润，利用分段函数表示；(2)在0400 x及400 x 分别求函数的最大值或取值范围，从而确定函数的最大值从而得到最大利润(1)由题意，当0400 x时，2()4000.520000100f xxxx23000.520000 xx；当400 x 时，()8000010020000f xx60000 100 x；故2130020000,(0400)()210060000,(400)xxxf xxx；(2)当0400 x时，2()3000.520000f xxx；当300 x 时，ma
12、x()(300)25000f xf(元)当400 x 时，max()(400)20000f xf(元)2500020000，当300 x 时，该厂所获利润最大，最大利润为 25000 元 例 5（2022河北模拟预测）劳动实践是大学生学习知识锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为 x件时，售价为 s 元/件，且满足8202sx，每天的成本合计为60020 x元，请你帮他计算日产量为_件时，获得的日利润最大，最大利润为_万元.【答案】200 7.94【解析】【分析】将利润表示为关于x的一个二次函数，求出该
13、函数的最值即可.【详解】由题意易得日利润 260020820260020220079400ysxxxxxx ，故当日产量为 200 件时，获得的日利润最大，最大利润为 7.94 万元，故答案为：200，7.94.【方法技巧与总结】1.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别 找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.2.构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏.题型二：对勾函数模型 例 6（2022全国高三专题练习）某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护
14、费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（）A8 B10 C12 D13【答案】B【解析】【分析】设该企业需要更新设备的年数为x xN，设备年平均费用为y万元，求得y关于x的表达式，利用基本不等式求出y的最小值及其对应的x值，即可得出结论.【详解】设该企业需要更新设备的年数为x xN，设备年平均费用为y万元，则x年后的设备维护费用为22246212xxxx x，所以x年的平均费用为1000.5110031003432222xx xyxxxxx（万元），当且仅当10 x 时，等号成立，因此，为使该设备年平均费用最低，该企业
15、需要更新设备的年数为10.故选：B.例 7（2022全国高三专题练习）迷你 KTV 是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎 如图是某间迷你 KTV 的横截面示意图，其中32ABAE，90ABE ，曲线段CD是圆心角为90的圆弧，设该迷你 KTV 横截面的面积为S，周长为L，则SL的最大值为_（本题中取3进行计算）【答案】63 3【解析】【分析】设圆弧的半径为 x，根据平面几何知识写出SL关于 x 的函数关系式，运用基本不等式求解函数的最大值即可.【详解】设圆弧的半径为3(0)2xx，根据题意可得：32BCDEABxx 2
16、2213339422244xSAEDEAB DEAExxxx xx 226242xxLABBCDEx 2913642xSLx，29122SxLx 令122tx(912)t，则，212912272624ttStxLtt 根据基本不等式，272723 344tt，当却仅当 274tt，即6 3t 时取“=”.6 3912，6 3t 时，63 3maxSL 故答案为：63 3.例 8（2022全国高三专题练习）如图所示，设矩形()ABCD ABAD的周长为20cm，把ABC沿AC折叠，AB折过去后交DC于点P，设ABxcm，ADycm (1)建立变量y与x之间的函数关系式()yf x，并写出函数()
17、yf x的定义域;(2)求ADP的最大面积以及此时的x的值【答案】(1)10yf xx，定义域为5,10 (2)5 2x，ADP的最大面积为27550 2 cm【解析】【分析】（1）由题意可得10yx，再由ABAD可求出x的取值范围，（2）设APCPz，在直角三角形 ADP 中利用勾股定理可得5010zxx，从而可求得15010102ADPSxxxx，化简后利用基本不等式可求得结果(1)因为ABx，ADy，矩形 ABCD 的周长为 20cm，所以222010 xyyx，因为ABAD，所以100 xx，解得510 x所以 10yf xx，定义域为5,10(2)因为 ABCD 是矩形，所以有90D
18、B，ADCB 因为AB C是ABC沿AC折起所得，所以有90BB，CBCB，因此有90BD，CBDA，所以ADPCB P，因此APCP，DPB P 设APCPz而 ABCD 是矩形，所以DCAB，因此DPDCCPxz 在直角三角形 ADP 中，有222222501010APADDPzxxzzxx，510 x 所以111501010222ADPSAD DPyxzxxxx，化简得250250250755755752 57550 2ADPSxxxxxx，当且仅当2505xx时取等号，即5 2x 时，ADP的最大面积为27550 2 cm 例 9（2022全国高三专题练习）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要
19、的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分已知扇环周长300cm，大扇形半径100cmOD，设小扇形半径cmOAx，AOB弧度，则 关于 x 的函数关系式()x_ 若雕刻费用关于 x 的解析式为()101700w xx，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为_ 【答案】1002100 xx，0,100 x；3【解析】【分析】利用弧长公式求AB与DC根据扇环周长可得关于 x 的函数关系式；根据扇形面积公式求出扇环面积，进而得出砖雕面积与雕刻费用之比，再利用基本不等式即可求解.【详解】由题意可知，AOB，OAx，100OD，所以
20、ABx，100ADBCx，DC100，扇环周长ABADBCDC2002100300 xx，解得1002,0,100100 xxx，砖雕面积即为图中环形面积，记为S，则12DOCAOBSSSOD DC扇形扇形12OA AB 22111002100 100500050002222100 xxxxxx，即雕刻面积与雕刻费用之比为m，则210000100210050()2 10101017000170 xxw xmxxxxxS，令170tx，则170 xt，22701203901202701227039101010tttttmttt 12 2702393639310tt ，当且仅当180t 时（即10
21、 x）取等号，所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为3.故答案为：1002100 xx，0,100 x；3【方法技巧与总结】1.解决此类问题一定要注意函数定义域；2.利用模型xbaxxf)(求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件.题型三：指数函数、对数函数模型 例 10（2022全国模拟预测）天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，用目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用05lgdMmd近似表示绝对星等M、目视星等m和观测距离 d（单位：光年）之间的关系 已知织女星的绝对星等为 0.58，目视星等为 0.04，大角星的绝对星等为0.38，目视星等为0.06，则观测者与织女星和大角星间的距离的比值
22、约为（）A2.210 B0.17210 C0.04410 D0.17210【答案】D【解析】【分析】设观测者与织女星和大角星间的距离分别为1d，2d，根据题意，列出方程组，化简整理，即可得答案.【详解】设观测者与织女星和大角星间的距离分别为1d，2d，则有10200.580.045lg0.380.065lgdddd，两式相减得125lg0.86dd，所以12lg0.172dd，0.1721210dd，故选:D 例 11（2022河南模拟预测（文）金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数解析式为ln
23、hmta，0a 若采摘后 1 天，金针菇失去的新鲜度为 40%，采摘后 3 天，金针菇失去的新鲜度为 80%那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知21.414，结果取一位小数）（）A4.0 天 B4.3 天 C4.7 天 D5.1 天【答案】C【解析】【分析】由已知条件两式相除求出a，设t天后开始失去全部新鲜度，则ln(1)1mt，再与已知一式相除可求得t 【详解】由已知ln(1)0.4ln(3)0.8mama，相除得ln(3)2ln(1)aa，ln(3)2ln(1)aa，2(1)3aa，因为0a，故解得1a，设t天后开始失去全部新鲜度，则ln(1)1mt，又l
24、n(1 1)0.4m，所以ln(1)1ln20.4t，2ln(1)5ln 2ln32t，2(1)32t，1324 24 1.4145.656t ，4.6564.7t 故选：C 例 12（2022陕西西安三模（理）2022 年 4 月 16 日，神舟十二号 3 名航天员告别了工作生活 183 天的中国空间站，安全返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式01lnemvvm，其中v 为火箭的速度增量，ev为喷流相对于火箭的速度，0m和1m分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭ev达到 5 公里/秒01mm，从 100 提高
25、到 600，则速度增量v增加的百分比约为（）（参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6 A15%B30%C35%D39%【答案】D【解析】【分析】根据题意，速度的增量为15ln100v，25ln 600v，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，当01100mm时，速度的增量为15ln100v；当01200mm时，速度的增量为25ln 6005ln1005ln 6v，所以2115ln1005ln65ln100ln6ln2ln339%5ln100ln1002(ln2ln5)vvv.故选：D.例 13（2022贵州模拟预测（理）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对
26、入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型 lnK nn（为常数）来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且1TQ，在物种入侵初期，基于现有数据得出6Q，50T.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加11倍所需要的时间为（ln20.69，ln31.10）（）A22.0天 B13.8天 C24.8天 D17.9天【答案】C【解析】【分析】根据已知数据可求得，设初始时间为1K，累计繁殖数量增加11倍后的时间为2K，利用21KK，结合对数运算法则可求得
27、结果.【详解】1TQ，6Q，50T，5061，解得：10.设初始时间为1K，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量增加11倍后的时间为2K，则21ln 12lnln1210 2ln2ln324.8KKnn（天）.故选：C.例 14（2022四川省泸县第二中学模拟预测（理）2020 年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动该企业 2021 年初有资金 150 万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴 10 万元若要实现 2024 年初的资金达到 270 万元的目标，资金的年平均增长率应
28、为（参考值：331.821.22,1.731.2）（）A10%B20%C22%D32%【答案】B【解析】【分析】设年平均增长率为x，依题意列方程求x即可.【详解】由题意，设年平均增长率为x，则3150(1)10270 x，所以32611.2 10.215x ，故年平均增长率为 20%.故选：B 例 15（2022广西模拟预测（理）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足ykx，其中k和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的 16 倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的 8 倍，则为（）A
29、14 B12 C23 D34【答案】D【解析】【分析】初始状态设为11(,)x y，变化后为22(,)xy，根据12,x x，12,y y的关系代入后可求解【详解】设初始状态为11(,)x y，则2116xx，218yy，又11ykx，22ykx，即11816ykx116kx，1111816ykxykx，168，4322，43，34 故选：D 例 16（2022贵州贵阳二模（理）2021 年 11 月 24 日，贵阳市修文县发生了 4.6 级地震，所幸的是没有人员伤亡和较大财产损失，在抗震分析中，某结构工程师提出：由于实测地震记录的缺乏，且考虑到强震记录数量的有限性和地震动的不可重复性，在抗震
30、分析中还需要人工合成符合某些指定统计特征的非平稳地震波时程，其中地震动时程强度包络函数 2211122,01,1,edc t ttt ttf ttt ttt t，12,t t（单位：秒）分别为控制强震平稳段的首末时刻；dt（单位：秒）表示地震动总持时；c是衰减因子，控制下降段衰减的快慢在一次抗震分析中，地震动总持时是 20 秒，控制强震平稳段的首末时刻分别是 5 秒和 10 秒，衰减因子是 0.2，则当15t 秒时，地震动时程强度包络函数值是（）A1e B1 C9 D2e【答案】A【解析】【分析】由题可得当1020t 时，0.2101etf t，即得.【详解】由题可知125,10tt，20dt
31、，0.2c，当1020t 时，0.2101etf t，当15t 秒时，地震动时程强度包络函数值是 0.2 15 101115eef.故选：A.【方法技巧与总结】1.在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数模型.2.在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数图像 求解最值问题.【过关测试】一、单选题 1（2022辽宁葫芦岛二模）某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数 y 与温度 x（单位：）的关系.现收集了 7 组观测数据,1,2,7iix yiL得到下面的散点图：由此
32、散点图，在 20至 36之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数 y 和温度 x 的回归方程类型的是（）Ayabx Bbyax Cexyab Dlnyabx【答案】C【解析】【分析】结合散点图的特点，选择合适的方程类型作为回归方程类型.【详解】由散点图可以看出红铃虫产卵数 y 随着温度 x 的增长速度越来越快，所以exyab最适宜作为红铃虫产卵数 y 和温度 x 的回归方程类型.故选：C 2（2022全国模拟预测）影响租金的因素有设备的价格、融资的利息和费用、税金、租赁保证金、运费、各种费用的支付时间、租金的计算方法等，而租金的计算方法有附加率法和年金法等，其中附加率法每期租金 R
33、的表达式为1N iRPP rN（其中 P 为租赁资产的价格；N 为租赁期数，可按月、季、半年、年计；i 为折现率；r 为附加率）某小型企业拟租赁一台生产设备，租金按附加率法计算，每年年末支付，已知设备的价格为 84 万元，折现率为 8%，附加率为 4%，若每年年末应付租金为 24.08 万元，则该设备的租期为（）A4 年 B5 年 C6 年 D7 年【答案】C 【解析】【分析】根据题意构造函数，即可求解.【详解】由题意，R24.08 万元，P84 万元，i8%，r4%，则18%24.0884844%NN，解得 N6，故选:C 3（2022全国模拟预测）随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息
34、的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：32.4420lg20lgLDF，其中 D 为传输距离，单位是 km，F 为载波频率，单位是 MHz，L 为传输损耗（亦称衰减），单位为 dB若载波频率增加了 1 倍，传输损耗增加了 18dB，则传输距离增加了约（参考数据：lg20.3，lg40.6）（）A1 倍 B2 倍 C3 倍 D4 倍【答案】C【解析】【分析】由题，由前后两传输公式做差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果【详解】设L是变化后的传输损耗，F是变化后的载波频率，D是变化后的传输距离，则1
35、8LL，2FF，1820lg20lg20lg20lg20lg20lgDFLLDFDFDF，则20lg1820lg 212DD，即lg0.6lg4DD，从而4DD，即传输距离增加了约 3 倍，故选：C 4（2022全国模拟预测）施工企业承包工程，一般实行包工包料，需要有一定数量的备料周转金，由建设单位在开工前拨给施工企业一定数额的预付备料款，构成施工企业为该承包工程储备和准备主要材料、结构件所需的流动资金确定工程预付款起扣点的依据是：未完施工工程所需主要材料和构件的费用等于工程预付款的数额计算公式为：MTPN（T：工程预付款起扣点，P：承包工程合同总额，M：工程预付款数额，N：主要材料及构件所占
36、比重）某施工企业承接了一个合同总额为 208 万元的新工程，该工程预付款起扣点为 160 万元，主要材料及构件所占比重为 65%，则建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的（）A12%B15%C18%D21%【答案】B【解析】【分析】设建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的%x，根据所给公式得到方程，解得即可；【详解】解：设建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的%x，则由MTPN，得208%16020865%x，解得15x，故选：B 5（2022北京二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 P（单位：mg/L）与时间 t（单位：h）间的关系为0ektPP，其中0
37、P，k 是正的常数如果在前10h污染物减少19%，那么再过5h后污染物还剩余（）A40.5%B54%C65.6%D72.9%【答案】D【解析】【分析】根据给定的函数模型及已知可得5e0.9k，再计算5h后污染物剩余量.【详解】由题设，1000(1 19%)ekPP，可得5e0.9k，再过 5 个小时，0005(0.81(1 19%)0.9)e0.729kPPPP，所以最后还剩余72.9%.故选：D 6（2022全国模拟预测）某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度 C（单位：3mg/m）随时间 t（单位：h）的变化关系可近似的用函数 21001041
38、9tC tttt刻画由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（）A3h B4h C5h D6h【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式求最值可得【详解】依题意，0t，所以1 1t ，所以 221001100110010010010164191016121161221211ttC ttttttttt，当且仅当1611tt，即 t3 时等号成立，故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过 3h 故选：A 7（2022云南曲靖二模（文）某大型家电商场，在一周内，计划销售A、B两种电器，已知这两种电器每台的进价都是1万元，若厂家规定，一家商场进货B的台数不高于
39、A的台数的2倍，且进货B至少2台，而销售A、B的售价分别为12000元/台和12500元/台，若该家电商场每周可以用来进货A、B的总资金为6万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售A、B电器的总利润（利润=售价进价）的最大值为（）A1.2万元 B2.8万元 C1.6万元 D1.4万元【答案】D【解析】【分析】设卖场在一周内进货B的台数为x台，则一周内进货A的台数为6x，根据题意可得出关于x的不等式，解出x的取值范围，再写出y关于x的函数关系式，利用函数的单调性可求得y的最大值.【详解】设该卖场在一周内进货B的台数为x台，则一周内进货A的台数为6x，设该卖场在一周内销售A、B电器的利润
40、为y万元，由题意可得22 6xxx，可得24x，且Nx，0.2 60.250.051.2yxxx，函数0.051.2yx随着x的增大而增大，故max0.05 4 1.21.4y（万元）.故选：D.8（2022全国高三专题练习）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：)(rtI te描述累计感染病例数()I t随时间 t（单位：天）的变化规律，指数增长率 r 与0R，T 近似满足01RrT 有学者基于已有数据估计出03.28,6RT据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染
41、病例数增加 3 倍需要的时间约为ln20.69（）A3.6 天 B3.0 天 C2.4 天 D1.8 天【答案】A【解析】【分析】由已知先确定系数r,即可确定函数解析式，再利用解析式及提供数据即可求解累计感染病例数增加 3 倍需 要的时间【详解】因为03.28R，6T，且01RrT，则013.28 10.386RrT，于是得0.38()tI te 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 3 倍需要的时间为，则有1()4()I ttI t 即110.380.380.380.384t tttteeee，所以10.384te，10.38ln42ln 2t 而ln20.69，解得13.6t 所以
42、在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 3 倍需要的时间约为 3.6 天 故选：A 二、多选题 9（2022全国高三专题练习（理）某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过8km时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元，下列结论正确的是（）A出租车行驶2km，乘客需付费 8 元 B出租车行驶4km，乘客需付费 9.6 元 C出租车行驶10km，乘客需付费 25.45 元 D某人两次乘出租车均行驶5km的费用之和超过他乘出租车行驶10km一次的费用
43、【答案】CD【解析】【分析】根据题意，逐一分析各个选项，即可得答案【详解】对于 A：出租车行驶2km，乘客需付起步价 8 元和燃油附加费 1 元，共 9 元，故 A 错误；对于 B：出租车行驶4km，乘客需付费 8+2.15+1=11.15 元，故 B 错误；对于 C：出租车行驶10km，乘客需付费82.15 52.85 2 125.45 元，故 C 正确；对于 D：某人两次乘出租车均行驶5km的费用之和为2(82.1521)26.6元，一次行驶10km的费用为 25.45 元，26.625.45，故 D 正确.故选：CD 10（2022全国高三专题练习）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，
44、如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量 y（微克）与时间 t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线 据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于 0.125 微克时，治疗该病有效，则（）A3a B注射一次治疗该病的有效时间长度为 6 小时 C注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为 0.4 微克 D注射一次治疗该病的有效时间长度为31532时【答案】AD【解析】【分析】利用图象分别求出两段函数解析式，再进行逐个分析，即可解决【详解】由函数图象可知4(01)112t attyt，当1t 时，4y，即11()42a，解得3a，34(01)112tttyt，故A正确，药物刚好
45、起效的时间，当40.125t，即132t，药物刚好失效的时间31()0.1252t，解得6t，故药物有效时长为131653232小时，药物的有效时间不到 6 个小时，故B错误，D正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为140.58微克，故C错误，故选：AD 11（2022 全国高三专题练习）“双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给与优惠：（1）如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；（2）如果购物总额超过50 元但不超过 100 元，可以使用一张 5 元优惠券；（3）如果购物总额超过 100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；（4）如果
46、购物总额超过300元，其中300元内的按第（3）条给予优惠，超过 300元的部分给予8折优惠.某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（）A如果购物总额为 78 元，则应付款为 73 元 B如果购物总额为 228 元，则应付款为 205.2 元 C如果购物总额为 368 元，则应付款为 294.4 元 D如果购物时一次性全部付款 442.8 元，则购物总额为 516 元【答案】ABD【解析】根据优惠规则计算应付款项，判断各选项【详解】购物总额为 78 元，则应付款为78573 元，A 正确；购物总额为 228 元，则应付款为228 0.9205.2元，B 正确；购物总额为 368 元，则应付款为
47、300 0.968 0.8324.4元，C 错误；购物时一次性全部付款 442.8 元，则包含购物总额 300 元应付的 270 元，还有172.8元对应购物额度为172.82160.8，因此购物总额为300216516元，D 正确 故选：ABD【点睛】本题考查函数的应用，在求解应付款时，如果购物总额大于 300 元，计算时需先计算 300 元应付 270 元，多于 300 元的乘以 0.8，这才是正确结论，不能全部乘以 0.8 12（2022全国高三专题练习）某一池溏里浮萍面积y（单位：2m）与时间t（单位：月）的关系为2ty，下列说法中正确的说法是（）A浮萍每月增长率为 1 B第 5 个月
48、时，浮萍面积就会超过230m C浮萍每月增加的面积都相等 D若浮萍蔓延到2222m,3m,6m所经过时间分别为123,t tt，则123ttt【答案】ABD【解析】函数关系式 y=2t，再由1222(2 1)122ttttt，可判断 A；当 t=5 时，计算函数值可判断 B；计算第二个月比第一个月增加量，和第三个月比第二个月增加量，比较可判断 C；运用指数与对数互化得 t1，t2，t3，可判断 D.【详解】函数关系式 y=2t，1222(2 1)122ttttt，每月的增长率为 1，A 正确；当 t=5 时，y=25=3230，B 正确；第二个月比第一个月增加 y2-y1=22-2=2(m2)
49、，第三个月比第二个月增加 y3-y2=23-22=4(m2)y2-y1，C 不正确；2=12t，3=22t，6=32t，t1=log22，t2=log23，t3=log26，t1+t2=log22+log23=log26=t3，D 正确.故选：ABD.三、填空题 13（2022全国模拟预测）一种药在病人血液中的量保持 1000mg 以上才有疗效，而低于 500mg 病人就有危险现给某病人静脉注射了这种药 2000mg，如果药在血液中以每小时 10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过_小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效（附：lg20.3010，lg30.4771，精
50、确到 0.1h）【答案】6.6【解析】【分析】写出血液中药物含量关于时间的关系式，解不等式求出答案.【详解】设xh 后血液中的药物量为ymg，则有02000 1 100 xy，令1000y 得：lg20.30106.612lg312 0.4771x 故从现在起经过 6.6h 内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.故答案为：6.6 14（2022辽宁丹东模拟预测）某公司 2021 年实现利润 100 万元，计划在以后 5 年中每年比上一年利润增长 4%，则 2026 年的利润是_万元（结果精确到 1 万元）【答案】122【解析】【分析】根据题意得出含指数的利润表达式，利用二项式定理求近似值即可