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1、 专题 04 基本不等式及其应用 【考点预测】1.基本不等式 如果00ba，那么2baab，当且仅当ba 时，等号成立 其中，2ba 叫作ba，的算术平均数，ab叫作ba，的几何平均数即正数ba，的算术平均数不小于它们的几何平均数 基本不等式 1：若a b，R，则abba222，当且仅当ba 时取等号；基本不等式 2：若a b，R，则abba2（或abba2），当且仅当ba 时取等号.注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.【方法技巧与总结】1.几个重要的不等
2、式（1）20,00,0.aaRaaaaR（2）基本不等式：如果,a bR，则2abab(当且仅当“ab”时取“”).特例：10,2;2abaaaba（,a b同号）.（3）其他变形：2222abab(沟通两和ab与两平方和22ab的不等关系式)222abab(沟通两积ab与两平方和22ab的不等关系式)22abab(沟通两积ab与两和ab的不等关系式)重要不等式串：222,1122abababa bRab即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2.均值定理 已知,x yR.（1）如果xyS(定值)，则2224xySxy(当且仅当“xy”时取“=”).即“和为定值，积
3、有最大值”.（2）如果xyP(定值)，则22xyxyP(当且仅当“xy”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2nmmnxnmx，当且仅当mnx 时等号成立；模型二：)0,0(2)(nmmamnmaaxnaxmaxnmx，当且仅当mnax时等号成立；模型三：)0,0(2112cabacxcbaxcbxaxx，当且仅当acx 时等号成立；模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnxnmmnmxnmxmmmxnmxmxnx（，当且仅当mnx2时等号成 立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：
4、消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值 题型八：利用基本不等式证明不等式 题型九：利用基本不等式解决实际问题 【典例例题】题型一：基本不等式及其应用 例 1（2022宁夏银川一中二模（理）下列不等式恒成立的是（）A12xx B2abab C22222abab D222abab【答案】D【解析】【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于 A 选项，当0 x 时，不等式显然不成立，故错误；对于 B 选项，2abab成立的条件为0,0ab，故错误；对于 C 选项，当0ab 时，不等式显然不成立，故错误；对于 D 选项，由于22
5、220ababab，故222abab，正确.故选：D 例 2（2022黑龙江哈九中三模（理）已知 x，y都是正数，且xy，则下列选项不恒成立的是（）A2xyxy B2xyyx C2xyxyxy D12xyxy【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式判断【详解】x，y都是正数，由基本不等式，2xyxy，2yxxy，222xyxyxyxyxy，这三个不等式都是当且仅当xy时等号成立，而题中xy，因此等号都取不到，所以 ABC 三个不等式恒成立；12xyxy中当且仅当1xy 时取等号，如1,22xy即可取等号，D 中不等式不恒成立 故选：D 例 3（2022江苏高三专题练习）几何原本卷 2 的几何代
6、数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明 现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为（）A(0,0)2abab ab B222(0,0)abab ab C2(0,0)abab abab D22(0,0)22ababab【答案】D【解析】【分析】设,ACa BCb，得到2abrOF，2abOC，在直角OCF中，利用勾股定理，求得222=2abFC，结合FOFC，即可求解.【详解】设,ACa BCb，可得圆O的半径为122abr
7、OFAB，又由22ababOCOBBCb，在直角OCF中，可得2222222()()222abababFCOCOF，因为FOFC，所以2222abab，当且仅当ab时取等号 故选：D.例 4（2022黑龙江哈尔滨三中高三阶段练习（文）下列不等式中一定成立的是（）A2111xxR B12,sinsinxxkxkZ C21lnln(0)4xx x D212xx x R【答案】D【解析】【分析】由211x 得211x 的范围可判断 A；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断 B；作差比较214x 与x的大小可判断 C；作差比较21x 与2 x的大小可判断 D.【详解】因为xR，所以211x
8、 ，所以21011x，故 A 错误；1sin2sinxx只有在sin0 x 时才成立，故 B 错误；因为2211042xxx，所以214xx，所以21lnln4xx，故 C 错误；因为221210 xxx，所以212xx，故 D 正确.故选：D.（多选题）例 5（2022全国高三专题练习）下列函数中最小值为 6 的是（）A9lnlnyxx B36 sin2 sinyxx C233xxy D222516xyx【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.【详解】解：对于 A 选项，当0,1x时，ln0 x，此时9ln0lnxx，故 A 不正确.对于 B
9、 选项，36 sin2 962 sinyxx，当且仅当36 sin2 sinxx，即1sin2x 时取“”，故 B 正确.对于 C 选项，22332 36xxy，当且仅当233xx，即1x 时取“”，故 C 正确.对于 D 选项，22221699162 961616xyxxx，当且仅当2291616xx，即27x 无解，故 D 不正确.故选：BC.（多选题）例 6（2022江苏扬州中学高三开学考试）设0a，0b，下列结论中正确的是（）A1229abab B2221abab C22baabab D22ababab【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式可判断 ACD 选项的正误，利用特殊值法
10、可判断 B 选项的正误.【详解】对于 A 选项，12222225529babaabababab，当且仅当ab时，等号成立，A 对；对于 B 选项，取1ab，则2221abab，B 错；对于 C 选项，2222bbaabaa，2222aabbabb，所以，2222baababab，即22baabab，当且仅当ab时，等号成立，C 对；对于 D 选项，因为222abab，则2222222abababab，所以，22222abababababab，当且仅当ab时，两个等号同时成立，D 对.故选：ACD.【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成
11、立进行验证.题型二：直接法求最值 例 7（2022全国模拟预测（文）若实数 a，b满足1ab，则 ab 的最大值为（）A2 B1 C12 D14【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式求解积的最大值.【详解】22abab，1ab，212ab，即14ab，当且仅当12ab时等号成立，max14ab 故选：D 例 8（2022甘肃酒泉模拟预测（理）若 x，y为实数，且26xy，则39xy的最小值为（）A18 B27 C54 D90【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式可得答案 【详解】由题意可得2239332 32 2754xyxyxy，当且仅当233xy时，即2xy等号成立.故选：C 例 9（
12、2022河南河南三模（理）已知二次函数 22f xaxxc（xR）的值域为0,，则14ca的最小值为（）A4 B4 C8 D8【答案】B【解析】【分析】根据 fx的值域求得1ac，结合基本不等式求得14ca的最小值.【详解】由于二次函数 22f xaxxc（xR）的值域为0,，所以0440aac，所以1,0acc，所以141 424cac a，当且仅当14ca即12,2ac时等号成立.故选：B 例 10（2022湖北十堰三模）函数 1111642xxxfx的最小值为（）A4 B2 2 C3 D4 2【答案】A【解析】【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解.【详解】因为1161622 244x
13、xxxx，当且仅当1164xx，即0 x 时等号成立，1122 22 22 4422xxxx，当且仅当22 22xx，即0 x 时等号成立，所以 fx的最小值为 4.故选：A（多选题）例 11（2022广东汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a，b是两个正数，4 是2a与16b的等比中项，则下列说法正确的是（）Aab的最小值是 1 Bab的最大值是 1 C11ab的最小值是94 D11ab的最大值是92【答案】BC【解析】【分析】根据等比中项整理得44ab，直接由基本不等式可得ab的最大值，可判断 AB；由111()(4)4abab展开后使用基本不等式可判断 CD.【详解】因为22 164a
14、b，所以4422ab，所以44 2 4abab，可得1ab，当且仅当4ab时等号成立，所以ab的最大值为 1，故A错误，B 正确 因为1111419()(4)(14)(52 4)4444baababab，故11ab的最小值为94，无最大值，故 C 正确，D 错误 故选：BC 例 12（2022四川广安二中二模（文）若,Ra b，且11ba，则2ba的最大值是_.【答案】12#0.5.【解析】【分析】利用基本不等式可直接求得结果.【详解】,Ra b，10a，0b，112bbaa，即14ba（当且仅当1ba，即2a，12b 时取等号），212ba，即2ba的最大值为12.故答案为：12.例 13（
15、2022全国高三专题练习）已知正数x、y满足124xy，则yx的最小值是_.【答案】14【解析】【分析】利用基本不等式可求得yx的最小值.【详解】因为x、y为正数，由基本不等式可得12244xxxyyy，所以，14yx，当且仅当41124xyxy时，即当41xy时，等号成立，故yx的最小值为14.故答案为：14.【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值 例 14（2022全国高三专题练习（理）若11x ，则22222xxyx有（）A最大值1 B最小值1 C最大值1 D最小值1【答案】A【解析】【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.【详解】
16、因11x，则012x，于是得21(1)11111(1)2(1)1212121xyxxxxx ，当且仅当111xx，即0 x 时取“=”，所以当0 x 时，22222xxyx有最大值1.故选：A 例 15（2022全国高三专题练习）函数131yxx(1)x 的最小值是（）A4 B2 33 C2 3 D2 33【答案】D【解析】由13131yxx，利用基本不等式求最小值即可.【详解】因为1x，所以113132 31311yxxxx2 33，当且仅当1311xx，即313x时等号成立.所以函数131yxx(1)x 的最小值是2 33.故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解
17、能力，属于基础题.例 16（2022全国高三专题练习）若0 x，0y 且xyxy，则211xyxy的最小值为（）A3 B562 C36 D32 2【答案】D【解析】【分析】利用给定条件确定1,1xy，变形211xyxy并借助均值不等式求解即得.【详解】因0 x，0y 且xyxy，则xyxyy，即有1x，同理1y，由xyxy得：(1)(1)1xy，于是得112222123()3232 2111111111xyxyxyxyxy ，当且仅当2111xy，即21,122xy 时取“=”，所以211xyxy的最小值为32 2.故选：D 例 17（2022上海高三专题练习）若1x，则函数211xxyx的最
18、小值为_.【答案】3【解析】【分析】由2111111xxyxxx，及1x，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，222211111111111111xxxxxxxyxxxxx，因为1x，所以1111211311yxxxx ，当且仅当111xx，即2x 时等号成立.所以函数211xxyx的最小值为 3.故答案为：3.例 18（2021江苏常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy，且102y，则22416xyxy最大值为_ 【答案】28【解析】【分析】由1xy 且102y，可得1(2)yxx，可得40 xy，再将22416xyxy化为18(4)4xyxy后利用基本不等式求解即可【详解】解：
19、由1xy 且102y，可得1(2)yxx，代入440 xyxx，又22244112816(4)888(4)2(4)44xyxyxyxyxyxyxyxyxy，当且仅当844xyxy，即42 2xy，又1xy，可得26x，624y时，不等式取等，即22416xyxy的最大值为28，故答案为：28 例 19（2022全国高三专题练习）（1）求函数411yxxx的最小值及此时x的值；（2）已知函数25102xxyx，2,x，求此函数的最小值及此时x的值.【答案】（1）函数y的最小值为 5，此时3x；（2）函数y的最小值为 5，此时0 x.【解析】（1）整理441111yxxxx，利用基本不等式求解即可
20、；（2）令20txt，将2xt 代入整理得41ytt，利用基本不等式求解即可；【详解】（1）1x，444112114 15111yxxxxxx ，当且仅当411xx 即3x 时，等号成立.故函数y的最小值为 5，此时3x；（2）令20txt，将2xt 代入得：22521041ttyttt，0t，441214 15ytttt ，当且仅当4tt，即422xx，即0 x 时，等号成立.故函数y的最小值为 5，此时0 x.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题.【方法技巧与总结】1通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式 2234zxxyy 22111434432
21、?3xyxyxyzxxyyxyyxy x，当且仅当20 xy时取等号，此时22zy 222122121(1)1 122xyzyyyy，当且仅当1y 时取等号，即212xyz的最大值是 1 故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.例 22（2022全国高三专题练习（理）已知正实数 a，b满足220aba，则4ab的最小值是（）A2 B4 22 C4 32 D6【答案】B【解析】【分析】根据220aba变形得22ab，进而转化为abbb842，用凑配方式得出()bb8222，再利用基本不等式即可求解.【详解】由220aba，得2
22、2ab，所以()()abbbbbbb888422 2224 22222，当且仅当,abbb28222，即,ab22 222取等号.故选：B.例 23（2022浙江高三专题练习）若正实数a，b满足32baab，则2abab的最大值为_【答案】12【解析】【分析】由已知得 a23bb，代入2abab32323bbbbb222bb2（112b）2+12，然后结合二次函数的性质可求【详解】因为正实数 a，b 满足 b+3a2ab，所以 a23bb，则2abab32323bbbbb222bb2（112b）2+12，当112b，即 b2 时取得最大值12 故答案为：12【点睛】思路点睛：b+3a2ab，可
23、解出a，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例 24（2022全国高三专题练习）若,x yR，23()()xyxy，则11xy的最小值为_.【答案】2【解析】【分析】根据题中所给等式可化为211()xyyx，再通过平方关系将其与11xy联系起来，运用基本不等式求解最小值即可.【详解】因为23()()xyxy且,x yR，则两边同除以2()xy，得211()xyyx，又因为224(1111111()4424)xyxyyyxxyxyxyx，当且仅当14xyxy，即22,22xy时等号成立，所以21=14xy.故答案为:2 例 25（2022浙江绍兴
24、模拟预测）若220,0,422ababab，则12abab的取值范围是_ 【答案】22,32【解析】【分析】根据已知可得2(2)206abab，求得22ab，再将条件变形2(2)26abab结合基本不等式可求得022 2ab，由此将12abab变形为14262abab，采用换元法，利用导数求得结果.【详解】由题意220,0,422ababab得：2(2)206abab，则22ab，又222(2)26232 ababab，当且仅当22ba 时取等号，故022 2ab，故222 2ab，所以1142262abababab，令2,(2,2 2tab t，则14()()6f ttt，222144()(
25、1)66tfttt，则当22t 时，()0f t，()f t递减，当22 2t 时，()0f t，()f t递增，故min2()(2)3f tf，而2(2)2f，2(2 2)2f，故22(),32f t，即22,3212abab，故答案为：22,32 【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值 例 26（2022浙江省江山中学高三期中）设0a，0b，若2231abab，则23aab的最大值为（）A33 B2 3 C13 D23【答案】D 【解析】【分析】法
26、一：设3cab，进而将问题转化为已知2231acac，求ac的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知2231()124abb进而根据三角换元得5cos3sin,(0)62sinab，再根据三角函数最值求解即可.【详解】解：法一：（基本不等式）设3cab，则23aab(3)aabac，条件22223131ababacac，所以22312acacac，即23ac.故选：D.法二：（三角换元）由条件2231()124abb，故可设3cos2sin2abb，即cos3sin,2sinab，由于0a，0b，故cos3sin02sin0，解得506 所以，5cos3sin,(0)62sinab
27、，所以2332sin 223aab,当且仅当4时取等号.故选：D.例 27（2022天津南开一模）若0a，0b，0c，2abc，则4ababc的最小值为_【答案】22 2【解析】【分析】令2,(0,0)cm cn mn，则2mn，由此可将4ababc变形为421mn，结合基本不等式，即可求得答案。【详解】由题意，0a，0b，0c，2abc 得：2abc，设2,(0,0)cm cn mn，则2mn，故44242421122abcabcccccmn 4222()1312+2=2+2 22mnnmn mmnmnmn ，当且仅当222mn，即42 2,2 22mnc 时取得等号，故4ababc的最小值
28、为22 2，故答案为：22 2 例 28（2022天津市蓟州区第一中学一模）已知 xy1，y0，x0，则121xxy的最小值为_ 【答案】54#1.25【解析】【详解】将 xy1 代入中，得，设 t0，则原式 (12t)1 2 ，当且仅当 t 时，即 x，y 时，取“”例 29（2022全国高三专题练习）已知0a，0b，21ab，则11343abab取到最小值为 _【答案】32 25【解析】【详解】试题分析：令2(34)(3)(3)(43)abababab，131543225，11111231 2(3)34()(34)(3)3433435555343abababababababababab 3
29、22(3)3432 2553435abababab，当且仅当212(3)34343ababababab时，等号成立，即11343abab的最小值是32 25 考点：基本不等式求最值【思路点睛】用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件 例 30（2022全国高三专题练习）若,x yR，且21xy，则22212xyxy的最小值为_【答案】16【解析】【分析】令1
30、,2mxny，可得26mn，化简可得22218412xyxymn，再结合基本不等式可求解.【详解】令1,2mxny，则1,2xmyn，则21 221xymn，即26mn，则222212221821012mnxymnxymnmn 181184246mnmnmn 1 2812811742174666nmnmmnmn，当且仅当28nmmn，即612,55mn时等号成立，故22212xyxy的最小值为16.故答案为：16.【点睛】关键点睛：本题考查基本不等式的应用，解题的关键是令1,2mxny，化简得出22218412xyxymn利用基本不等式求解.例 31（2022全国高三专题练习）若正实数x，y满
31、足22xy，则224122xyyx的最小值是_【答案】45【解析】【详解】根据题意，若22xy，则22224(2)(22)122121xyyxyxyx22131291621211411121yxyxyxyx（）（）91y16921x；又由22xy，则有2115xy（）（），则224 122xyyx 22191691215xyyx（）1818111699511xyyx（）181811425295115xyyx（）；当且仅当51212yx（）时，等号成立；即224 122xyyx的最小值是45，故答案为45.点睛：本题主要考查了基本不等式，关键是根据分式的运算性质，配凑基本不等式的条件，基本不等式
32、求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视 要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.【方法技巧与总结】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系 1代换变量，统一变量再处理 2注意验证取得条件 题型六：“1”的代换求最值 例 32（2022辽宁模拟预测）已知正实数 x，y 满足211xy，则436xyxy的最小值为（）A2 B4 C8 D12
33、【答案】C【解析】【分析】依题意可得2xyxy，则4362xyxyxy，再由乘“1”法及基本不等式计算可得；【详解】解：由0 x，0y 且211xy，可得2xyxy，所以43648362xyxyxyxyxy 214424428yxy xxyxyxyxy，当且仅当4yxxy，即4x，2y 时取等号 故选：C 例 33（2022河南鹤壁高中模拟预测（文）设正项等差数列 na的前n项和为nS，若20132013S，则2201211aa的最小值为（）A1 B2 C4 D8【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质可求得220122aa，将代数式2201211aa与2201212
34、aa，展开后利用基本不等式可求得2201211aa的最小值.【详解】由 na是等差数列，得201312013201320132Saa，解得120132aa，所以22012120132aaaa，所以2012201222220122201222012220122201211111111122222aaaaaaaaaaaaaa ，当且仅当220121aa时，等号成立，所以2201211aa的最小值为2 故选：B 例 34（2022安徽南陵中学模拟预测（理）若实数a，b满足123,12abab，则2211abab的最小值为（）A6 B4 C3 D2【答案】A【解析】【分析】对已知条件和要求最值的代数式
35、恒等变形之后应用均值不等式即可求解【详解】232111abab 因为12a，1b，所以210a，10b 又221 11 1112211211211ababababab 所以 1111211211211ababab 211211222224121121ababbaba 当且仅当23211121ababba即34a，32b 时，取等号 所以21126211211ababab 故选：A 例 35（2022安徽南陵中学模拟预测（文）已知20,0,61abab，则162ba的最小值为（）A13 B19 C21 D27【答案】D【解析】【分析】由基本不等式“1”的妙用求解【详解】由题意得11216(6)(
36、6)36152 36152722bbaabaabab，当且仅当136abab即1,318ab时等号成立 故选：D 例 36（2022四川石室中学三模（文）已知0a，0b 且1ab，则1811ab的最小值是()A49 B50 C51 D52【答案】B【解析】【分析】将1a中分子 1 替换为 a+b，将8b中分子 8 替换为 8(a+b)，化简即可利用基本不等式求该式子的最小值【详解】由已知，得18888111129ababbaababab 9169162626250babaabab，当且仅当916baab，即37a，47b 时等号成立 因此，1811ab的最小值是 50 故选：B 例 37（20
37、22河南宝丰县第一高级中学模拟预测（文）已知正数 a，b满足0abab，则4ab的最小值为_.【答案】9【解析】【分析】由0abab得111ab，则4141aabbab，展开利用基本不等式可求得最值.【详解】由0abab得111ab，所以11444552 49baabababab，当且仅当4baab，即32a，3b 时取等号，故4ab的最小值为 9.故答案为：9 例 38（2022天津南开中学模拟预测）设0 x，0y，1xy，则212xxy的最小值为_【答案】21#12.【解析】【分析】两次运用“1”进行整体代换，结合基本不等式，即可得结果.【详解】因为1xy，所以2211122222222x
38、xxyxxxyxyxyxyyyxyyx 1122222xxyyyx1212122xyxyyxyx 当且仅当21,22xy时，等号成立，即212xxy的最小值为21，故答案为：21.例 39（2022新疆阿勒泰三模（理）函数11xya图象过定点A，点A在直线31,0mxnymn上，则121mn最小值为_.【答案】92#4.5【解析】【分析】根据指数函数过定点的求法可求得1,2A，代入直线方程可得122mn，根据1211212121mnmnmn，利用基本不等式可求得最小值.【详解】当1x 时，012ya，11xya过定点1,2A，又点A在直线3mxny上，23mn，即122mn，1m，0n，10m
39、，21121121212512121mnmnmnmnmn2112952212mnmn（当且仅当2121mnmn，即53m，23n 时取等号），121mn的最小值为92.故答案为：92.【方法技巧与总结】1 的代换就是指凑出 1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形 1根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法 2注意验证取得条件 题型七：齐次化求最值 例 40（2022全国高三专题练习）已知0,0ab，满足222232390,a bab则32baab的最小值是（）A26 B4 3 C4 6 D6 3【答案】D【解析】【分析】设2232(0)23ba
40、t tabtabab，然后代入方程，进而根据“法”解得答案.【详解】由题意，设2232(0)23bat tabtabab，代入方程得：22390a btab，所以212906 3tt，即32baab的最小值为：6 3.故选：D.例 41（2022浙江嘉兴二模）已知函数2()()f xaxbxc ab的定义域为 R，则24baabc的最大值是_.【答案】18【解析】【分析】由题意得到20axbxc，xR恒成立，进而得到20,40abac，即20,4baca，再代入24abcMba，令1bta，利用基本不等式求解.【详解】解：因为函数2()()f xaxbxc ab的定义域为 R，所以20axbx
41、c，xR恒成立，所以20,40abac，即20,4baca，所以2222242bababcaabbaMbabaa ba，令1bta，则22144142148111 ttMttttt，当且仅当411tt，即93,3,4tba ca时，等号成立，所以24baabc的最大值是18，故答案为：18 例 42（2022全国高三专题练习（理）若 a，b，c均为正实数，则2222abbcabc的最大值为（）A12 B14 C22 D32【答案】A【解析】【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为 a，b 均为正实数，则22222222222 2222abbcacacacacabcacac
42、bbbb 22222222121111122222222aaccacacacacac，当且仅当222acbb，且ac，即abc时取等号，则2222abbcabc的最大值为12 故选：A【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否
43、一致.例 43（2022全国高三专题练习）已知三次函数32()()f xaxbxcxd ab在R上单调递增，则abcba最小值为（）A2 652 B653 C752 D2 753【答案】D【解析】【分析】由函数单调性可知 0fx恒成立，结合二次函数图象与性质可确定203bca，由此化简所求式子为21131bbaaba；利用1bta，配凑出符合对号函数的形式，利用对号函数求得最小值.【详解】f x在R上单调递增，2320fxaxbxc恒成立，2304120abac，0ba，23bac，203bca，2211331bbbababcaaabbabaa，令1bta，设 211311ttg ttt，则
44、2221115171331173151313131ttttttg tttttt ，1t，10t ，712 71tt （当且仅当711tt，即17t 时取等号），2 753g t，即abcba的最小值为2 753.故选：D.【点睛】本题考查利用对号函数求解最值的问题，涉及到根据导数的单调性确定参数范围、分式型函数最值的求解问题；关键是能够通过二次函数的图象与性质确定,a b c的关系，进而构造出符合对号函数特点的函数.例 44（2022天津高三专题练习）已知0a，0b，且21ab，则12bbab的最小值为_.【答案】322【解析】【分析】先变形：12bbab23222abbbab，再根据基本不等
45、式求最值.【详解】131222222abbbabbbbabbabbab 23233222222222abbabbbabbab 当且仅当222abbbab，即4 2562 2,77ab时取等号 即12bbab的最小值为322.故答案为：322.例 45（2022浙江高三专题练习）已知 x，y，z 为正实数，且240 xyz，则2xyz的最大值为_ 【答案】2【解析】【分析】由已知得24xyz，再根据基本不等式求得22xyz，由此可得最大值.【详解】解：因为240 xyz，所以24xyz，又 x，y，z为正实数，所以222xyxy，当且仅当2xy时取等号，所以2242xyxyz，即22xyz，所以
46、22xyz，当且仅当2xy时取等号.所以2xyz的最大值为 2，故答案为：2.例 46（2022全国高三专题练习）若0,0 xy且224log 3log 9log 81xy，则433xyxy的最小值为_.【答案】4 333【解析】【分析】由对数运算和换底公式,求得xy、的关系为22xy，逆用22xy作常数替换，433xyxy为齐次式433yxxy,再利用基本不等式求最小值即可.【详解】因为0 x,0y,224log 3log 9log 81xy,所以224222222log33log3log 3log 3xyxy,所以22xy.故22433443323333xyxyxyyxyxxyxyxyxy
47、4 333，当且仅当43yxxy,即2 3xy时取等号，结合22xy,即33312xy时取等号，所以最小值为4 333.故答案为：4 333 【方法技巧与总结】齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解 题型八：利用基本不等式证明不等式 例 47（2022安徽马鞍山二中模拟预测（理）已知0a，0b (1)若21ab，证明：2233348ab；(2)若2abab，证明：4104 6abab【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）把所求式23ab转化为21123122448a，再利用二次函数去求其值域即可；（2）利用均值定理
48、“1”的代换去求4abab 的最小值即可.(1)因为21ab，所以1 2ba，又0a，0b，所以102a，所以222112333(12)122448abaaa，1(0)2a 当1124a 时，21123122448a取得最小值2348，即223ab取得最小值2348；当0a 时，211231232448a，即2233ab，所以2233348ab(2)由2abab得121ab，所以44262ababababab，1262(62)ababab21210baab212102baab104 6 当且仅当363a，62b时等号成立 所以4104 6abab 例 48（2022陕西渭南二模（文）设函数 1
49、24f xxx(1)求不等式 23f xx的解集(2)若 fx的最大值为222abc，证明：3abbcca【答案】(1)8,20,3；(2)证明见解析.【解析】【分析】1分类讨论去绝对值，并解不等式即可；2求出函数的最大值 max23f xf，进而利用基本不等式求证即可.(1)解：当1x时，原不等式等价于12423xxx，解得2x；当12x 时，原不等式等价于1 2423xxx，解得02x；当2x 时，原不等式等价于12423xxx，解得823x 综上所述，原不等式的解集是8,20,3 (2)解：证明：因为 5,133,125,2xxf xxxxx ，所以 max23f xf，则2223abc
50、 因为222abab，222bcbc，222caac 所以22222abcabbcca，即3abbcca，当且仅当1abc 时，等号成立，故3abbcca 例 49（2022全国高三专题练习）已知正数a，b，c满足3abc (1)求abc的最大值；(2)证明：3333a bb cc aabc【答案】(1)1(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由三个正数的基本不等式进行求解；（2）凑项后利用基本不等式进行证明.(1)由33abcabc，当且仅当abc时，取得等号 又3abc，所以3313abc 故当且仅当1abc时，abc取得最大值 1(2)证明：要证3333a bb cc aabc，需证22