2023年新高考数学大一轮复习专题39双曲线及其性质（解析版）.pdf-淘文阁

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1、专题 3 9 双曲线及其性质【考点预测】知识点一：双曲线的定义平面内与两个定点 0 E 的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于田外|）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为必帆用 _|“矶=2a（0勿闺用时，点的轨迹不存在.在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：条件忸居|2a”是否成立；要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定/的值

2、），注意 a2+Z2=?的应用.知识点二：双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质标准方程 2 2。）与-与=1（。0,6 0）a b图形*aW 焦点坐标片（一 c,0）,鸟（c,0）G（o,-c）,B（0,c）对称性关于 X,），轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标 A（-4,0），A（a,o）A（0,a）,A2（0,-a）范围 IM”实轴、虚轴实轴 1会为 2a,虚轴长为 2b离心率 c 1 b2宣呼+|）渐近线方程人 d 歹 b令 F=0

3、=y=x,a b-a焦点到渐近线的距离为人令人 23yr-年八 a7y=0 n y=M，a b-b焦点到渐近线的距离为，点和双曲线的位置关系 2 9片 b21,点（%,%）在双曲线内（含焦点部分）=1,点*0，%）在双曲线上 1,点（七,%）在双曲线内（含焦点部分）=1,点（%,%）在双曲线上 1,点（不，%）在双曲线外共焦点的双曲线方程 2 2-=1(_/kb2)(r+k h2-k；,=1(a-k b2)a+k b-k共渐近线的双曲线方程

4、x2 y2_ _2L=Uo)cr b%一 3=兄工）切线方程-=L(%)为切点 a b=1,(%0，%)为切点 a b 切线方程对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中/换为 X0X,炉换成为），便得.切点弦所在直线方程警-笔=1,（%为双曲线 a b外一点浑-警=1,（毛,%）为双曲线外一点 a b 点（天,）为双曲线与两渐近线之间的点弦长公式设直线与双曲线两交点为，3（工 2，%），鼬=%.则弦长|AB|

5、=J1+公._引=J 伏片 0），忱-即=J a+x J-4 中 2=米，其中是消“y”后关于“X”的一元二次方程的 a“V”系数.通径通径（过焦点且垂直于耳居的弦）是同支中的最短弦，其长为 22b2a【方法技巧与总结】(1)双曲线的通径焦点三角形双曲线上一点尸(七,%)与两焦点环,用构成的 PFFZ成为焦点三角形，设/耳?居=6,归=|尸乙|=0，则 cos6=l-竺，F p Cl0 1.C sin(9,2 b1(C%|,焦点祗轴上 S，=

6、2 但 s m*l-c o s/=1a/焦点在轴上 2焦点三角形中一般要用到的关系是归用-|P/y=2a(2a2c)闺用 2=|叫 2+归用 2 _2附归用 C O S 4%等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线 o a=6 o 离心率 e=0。两渐近线互相垂直 o 渐近线方程为 y=x=方程可设为 x2-y2=A(A K 0).过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称

7、为双曲线的通径.通径长为 2b2(2)点与双曲线的位置关系 2 2 2 2对于双曲线。4=1(a 6 0),点,%)在双曲线内部，等价于-4 1.a b a b点 P(x0,%)在双曲线外部，等价于营-苗 1 结合线性规划的知识点来分析.(3)双曲线常考性质性质 1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数匕；顶点到两条渐近线的距离为常数或；C性质 2：双曲线上的任意点尸到双曲线 C 的两条

8、渐近线的距离的乘积是一个常数名；C(4)双曲线焦点三角形面积为鼻(可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大)tan 2(5)双曲线的切线2 2点在双曲线 0-=1(”0 2 0)上，过点作双曲线的切线方程为警-=1.若点 a b a b在双曲线二一 1=1(a02 0)外，则点 M 对应切点弦方程为警一誓=1a b a b【题型归纳目录】题型一：双曲线的定义与标准方程题型二：双曲线

9、方程的充要条件题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题题型四：双曲线上两点距离的最值问题题型五：双曲线上两线段的和差最值问题题型六：离心率的值及取值范围方向 1：利用双曲线定义去转换方向 2：建立关于“和 c 的一次或二次方程与不等式方向 3：利用 e=1,其中 2c为焦距长，2a=PFt-PF方向 4：坐标法方向 5：找几何关系，利用余弦定理方

10、向 6：找几何关系，利用正弦定理方向 7：利用基本不等式方向 8：利用渐近线的斜率求离心率方向 9：利用双曲线第三定义方向 10：利用对应焦点焦半径的取值范围匕-4，+8)题型七：双曲线的简单几何性质问题题型八：利用第一定义求解轨迹题型九：双曲线的渐近线题型十：共焦点的椭圆与双曲线【典例例题】题型一：双曲线的定义与标准方程例 1.(2022全国高三专题

11、练习)x2+(y3 J f+(y+3)2=4 表示的曲线方程为()A.一=1(烂一 2)B.一=1(於 2)C.=1(2)4 5 4 5【答案】c【解析 1 根据两点间距离的定义，旧而二 3）2 _ 次+（丫+3）2=4 表示动点（X,y）至|J（O,3）与（0,-3）的距离之差等于 4（且两个定点的距离大于 4）的集合.根据双曲线定义可知，。=2,c=3所以从=32-22=5由焦点在 y 轴上，所以三=1,且到点（3,0）的距离比较大所以 y V-2即曲

12、线方程为 1 一 3=1（”-2）故选：C.【方法技巧与总结】求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数 a,b,c,即利用待定系数法求方程.（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程.例 2.（2022 全国高三专题练习）已知双曲线 C：=1的左、右焦

13、点分别为尸 2.双曲线 C 上有一 9 7点尸，若归耳|=7,贝”尸用=.【答案】1或 132【解析】因为双曲线 C：三一上=1,9 7所以。=3,所以仍用-伊媚|=2=6,又因为忸耳|=7,所以仍用=13或俨用=1,故答案为：1或 13.例 3.（2022 全国高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为 y=2 x,且经过点（4,46），则该双曲线的标准方程为.【答案】-=14 16【解析】根据题意知，2x4 4 g,所以点（4,4石）

14、在渐近线方程 y=2x的右下方，2 2所以该双曲线的焦点在 X 轴上，设标准方程为与-与=1,且 a0,b 0；又 2=2,所以 6=2 a；a0 16 48,n n 16 48 4又即二才=解得/=4,从=16,所以双曲线的标准方程是工 y*2【答案】-=112 8【解析】由双曲线（-：=1可得焦点坐标为（2近,2 2设所求双曲线的方程为 0-2=1,（/0）,a b4 16故答案为：-=14 162 2例 4.（2022 全国高三专题练习）与双曲

15、线土一 21=1有公共焦点,16 4且过点（3&,2）的双曲线的标准方程为由题意可得：示一手=,解得 a2+b2=20a2=12从=82 2所以双曲线的标准方程为：-=1,12 8故答案为：-=1.12 82 0例 5.（2022 全国高三专题练习）已知耳（-3,0）,6（3,0）分别是双曲线十方=1（0/0）的左、右焦点,点尸是双曲线上一点，若归用+归国=6%且工的最小内角为,则双曲线的标准方程为（）A/6 3=12 2B.工

17、将函数的图像绕原点顺时针旋转得到曲线 C,在 C 上任取一点 P,则|PA|-|PB|=()A.25/2 B.2 C.72 D.不确定【答案】A【解析】直线 y=x 与 y=T联立得两交点的坐标为(1,1)、(T，T),这两点间的距离为 J(l+1)2+(1+1)2=2交,所以函数 y=1 的图像绕原点顺时针旋转得到双曲线方程为=1,由双曲线定义得 X 4 2 2|PA|-|PB|=2&.故选：A.例 7.(2022 全国高三专题练习)已知

18、双曲线，一/-叱叱。)的离心率为石，左右焦点分别为，初以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为尸.若尸鸟 1=2,则该双曲线的标准方程为()【答案】A【解析】因为离心率为 6,所以 6=产工=3+4=石，所以 6=2。，因为 1尸 61=2,|阳-|呷=2”,所以|P|=2+2 a,又 IKEI=2c,且 2/而为以/名助为直角的直角.：角形，所以 4+(2+2 4=(2 靖，即 8+8+4/=4H，又,2=/+从=5，所以羽 a-1=0,解得。=1或。=

19、(舍去)所以双曲线的标准方程为：x2-=l故选：A例 8.(2022全国高三专题练习(理)已知双曲线的左，右焦点分别为耳(-3,0),F?(3,0),P 为双曲线上一点且|用一|用|=4,则双曲线的标准方程为()【答案】A【解析】由双曲线的定义可得 c=3,2a=4,即 a=2,b2=c2-a2=9-4=5,且焦点在 x 轴上，所以双曲线的方程为：-=1.4 5故选：A.例 9.（2022 全国高三专题练习（文）双曲线 C 的两焦

20、点分别为（一 6,0）,（6,0）,且经过点（-5,2）,则双曲线的标准方程为（）【答案】B 解析 2a=1 7（-5+6）2+22-7（-5-6）2+221=45所以=2石，又。=6,所以=/一/=3620=16.所以双曲线的标准方程为-d=120 16故选：B例 10.（2022江苏高三阶段练习）已知双曲线=-1=1（。0力 0）的左、右焦点分别为耳，K，过尸 2且斜 a a率为 m 的直线与双曲线在第一象限的交点为 A,若优用+04）.叱=0,则此双

22、a=Cf b=c95 5可得 a:0=3:4,A*%2 2所以此双曲线的标准方程可能为：-=1.9 16故选：D.例 H.（2022全国高三专题练习）已知双曲线的两个焦点分别为耳（0,-5）,鸟（0,5）,双曲线上一点尸与,8 的距离差的绝对值等于 6,则双曲线的标准方程为（）A*2 y-I B 犬 2 _i r X 1 n J 产 19 16 16 9 9 16 16 9【答案】C【解析】由题意，c=5,2a=6 n a=3,则匕=护二 7=4,结合条件

23、可知，双曲线的标准方程为汇-二=1.9 16故选：C.例 12.（2022全国高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为耳（0,3）,6（0,-3）,P 是双曲线上一点且归用尸曰=4,则双曲线的标准方程为（）【答案】C2、【解析】设双曲线的标准方程为与-二=1（。0,。0）,半焦距为 c,C T b则由题意可知 C=3,2。=4,即。=2,故=仃 2 _/=9 4=5,2 2所以双曲线的标准方程为匕-=1.4 5故选：c.例 13.

24、（2022.全国高三专题练习）已知双曲线 C：W-g=l（a0力 0）的左、右焦点分别为小鸟，一条渐近 a b线方程为 y=0 x,过双曲线 C 的右焦点&作倾斜角为？的直线/交双曲线的右支于 A,B 两点，若的周长为 36,则双曲线 C 的标准方程为（）2 2 9 2*-AA.-厂-=11 B口.-厂-y-=1 1 C八.x2-）厂-=1 1 D门.厂-y 2=112 4 4 2 2 2【答案】C【解析】因为双曲线 C：1-1=l（a0/0）的一条渐近线方

25、程为 y=0 x,a b“2 2 _所以 b=J5a，则双曲线方程为一；工=1(“0),耳(一 tz,0),7(/3tz,O),a 2a所以直线/为 y=tan(x-J5a)=G(x-Ga),设人(士,3),8(,女)，Z _ J L=1由百 2a2,得/-6 3 x+ll=o,y=x/3(x-x/3a)则 X+毛=6ga,%=11万,所以|=4i+3-区+马 y 一以 m=27108a2-44a2=16a,因为|A用=|Ag|+2 a,忸制=怛闾+%，所以|A|+|B耳|=|/闿+忸可+4a=|AB|+4a=20a,因为 4 B 的周长为

26、36,所以|A耳|+|明|+|明=36,所以 204+16a=3 6,得 a=l,v2所以双曲线方程为/一 2_=1,2故选：C例 14.（2022全国高三阶段练习（理）与椭圆 C:，+（=l共焦点且过点（1,6）的双曲线的标准方程为（）A.x2-=B.）3-2f=l3?2 2。C.=1 D.-x2=2 2 3【答案】C【解析】椭圆 C 的焦点坐标为（0,2）,设双曲线的标准方程为，-/=1（40力 0）,由双曲线的定义可得 2。=/+（6+2丫 _ 业+（后-2y=（#+亚）-

27、（-亚）=2 0,ci=y/2,c=2,：.b=lc2 a1=V2 因此，双曲线的方程为-=1.2 2故选：C.2 2例 15.（2022全国高三专题练习）的、尸?是双曲线。-方=1（“0/0）的两个焦点，抛物线 y2=46 x 的 TT准线/过双曲线的焦点准线与渐近线交于点 A,ZFtF2A=,则双曲线的标准方程为（）A.-=1 B.炉-汇=116 16C.x2-=l D.-/=14 4【答案】C【解析】抛物线 V=4 6 x 的准线方程为 x=-不，则=逐，则耳卜石,0

28、）、6（石,0）,h不妨设点 A 为第二象限内的点，联立 J，a,x=-cX=-C Z,X可得 b e,即点 A-c，t,y=k a JI aTT因为 Af；_L6K旦/月 6 4=,则 EKA为等腰直角三角形，且|A用=忻闾，BP=2 c,可得=2,又由 c=7/=笛+从，a a2解得”=l,b=2,因此，双曲线的标准方程为寸-二=1.4故选：C.例 16.（2022全国高三专题练习）已知双曲线 C:七-2=l（a0,b0）满足 2=且与椭圆上+=1有-b-a 2 12 3公共焦点，

29、则双曲线 C 的方程为（）C.-亡=1 D 7-4=5 4【答案】A【解析】由椭圆的标准方程为+工=1,可得合=12-3=9,即 c=3,12 3因为双曲线 C 的焦点与椭唁+：=1的焦点相同，所以双曲线 C 中，半焦距又因为双曲线 C：4-4=l(a(U0)满足 2=或，即万=正”,a b-a 2 22又由即/+a=9,解得/=*可得 02=5,所以双曲线 C 的方程为三-J.4 5故选：A.例 17.(2022,全国高三专题练习)求适合下列条件的

30、双曲线的标准方程:顶点在 X 轴上,焦距为 1。，离心率是:(2)一个顶点的坐标为(0,2),一个焦点的坐标为(0,一石卜 3(3)焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为 y=；x,实轴长为 12；(4)渐近线方程为丫=?，焦点坐标为(-5/2,0)和(50,0).【答案】(1)-=1:二-/4 36 64,2【分析】根据双曲线的顶点或焦点位置、渐近线方程及焦距、实轴长，结合双曲线的性质求双曲线方程.e c 5(1)由

31、题设，”5 且 a 4,则 a=4,2=c2-a2=9,乂顶点在 X 轴上，故双曲线的标准方程为=16 9(2)由题设，=2=逐，则匕 2=。2_/=1,又一个焦点为（0,-石），故双曲线的标准方程为=-1-（3）由题设，。=6,又焦点在 y 轴上，令双曲线的标准方程为 36 b2,3 36 9又一条渐近线方程为 y=即=而，则从=64,2 2所以双曲线的标准方程为汇-t=1.36 64,2 _ _=1（4）由题设，。=5夜且焦点在 x 轴上，令/从

32、又渐近线方程为 y=?二 X,则 2 而/+/=0 2=5 0，所以 2=32,加=1 8,故双曲线的标准方程为二一上=132 18例 18.（2022.全国高三专题练习（理）根据下列条件，求双曲线的标准方程:（1）。=4,经过点 A 1,一生胆；2 9Q）与双曲线会上 1有相同的焦点且经过点 6 物=(h 0)【解析】（1）当焦点在 x 轴上时，设所求标准方程为 16 b2把点 A 的坐标代入，可得从=-考 x劳 0),把 A 点的坐

33、标代入，可得=9,故所求双曲线的标准方程为工-土=1.16 92 2综上，所求双曲线的标准方程为士-土=1.16 92 2-=1（-4A16）（2）设所求双曲线的方程为 16-2 4+2,1 Q 4因为双曲线过点（3立,2）,所以 77、一 5 7=1，解得 a=4 或-14（舍）.16-2 4+A所以双曲线的方程为二-二=112 8题型二：双曲线方程的充要条件例 19.（2022 四川内江模拟预测（理）“加 0”是“如 2+江=为双曲线，的（

34、）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为方程=1表示双曲线，所以?（）,又当以 0时，方程的 2+y2=表示双曲线，因此“讥 O,nO,mn；m n2 2三+二=1表示双曲线方程的充要条件为：刖 0.m n2 2例 20.（2022 广东高三阶段练习）“M2”是“方程一+工=1表示双曲线”的（25-k k-9A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既

35、不充分也不必要条件【答案】A2 2【解析】方程一+工=1为双曲线，（25-幻（左一 9）0,25-k k-9，A 2 5,.“0）,则（）m 2-mA.当机=立时，曲线 C 表示椭圆，离心率为 52 2B.当机=6 时，曲线 C 表示双曲线，渐近线方程为 y=土且 xC.当?=1时，曲线 C 表示圆，半径为 1D.当曲线 C 表示椭圆时，焦距的最大值为 4【答案】BCB x2,y2 a 1【解析】选项 A,机=时，曲线方程为了十丁 T,表示椭圆，其中从=：,

36、则 0 2=/一从=,2-2 2_c _ 1 _ V6离心率为 a 3 3 A 错；选项 B,”=G 时曲线方程为-y2=i表示双曲线，渐近线方程为 E-V=o,即 y=YIx,B 正确；3 3 3选项 C,加=1时，曲线方程为 f+y2=i,表示圆，半径为 1,c 正确；2-m2 0选项 D,曲线 C 表示椭圆时，0/1或 1加 2 2，m20 2一机 2时，a2=2-/n2 b2=nr c2=a2-b2=2-2m2 e（0,2）,1加 2-16且 2 H-9）取何值，曲线 C 的焦距为定值【答案】B

37、CD【解析】对于 A,因为 16+29+/1,所以不存在实数 2 使得曲线 C 的轨迹为圆，故 A 不正确；对于 B,当 16+/IX）口.9+40时，即;l-9时，上=1表示椭圆，所以存在实数 2 使得曲线 C 的 16+4 9+4轨迹为椭圆，故 B 正确；/、/、Y2 V2对于 C,当（16+X）（9+4）v O,即一 164 2对于 D,当我 9时，一三+7=1 表示椭圆，此时椭圆的 d=16+2-（9+2）=7,所以曲线 C 的焦距为 16+2 9+2定值；当 _162-9时，+

38、上=i表示双曲线，此时双曲线的。2=16+4+-（9+#=7,所以曲线 C 的焦距为定值；故 D 正确，故选：BCD.例 23.（多选题）（2022湖南长郡中学高三阶段练习）己知曲线 C：n v e+n y m-X,则（）A.当机=”=2时，C 为圆 B.当根=1时，C 为抛物线C.C 不可能为椭圆 D.C 可能为双曲线【答案】ABD【解析】当机=2时，C 为圆/+炉=；,A 正确；当帆=1时，C 为抛物线丁=-,B 正确；当“1=2,0口.*2 时，C 为椭圆 2x

39、?+”y2=1,C 错误；当机=2,5B.若曲线 C 表示椭圆，贝！|lv攵 5且 Zw3C.若曲线 C 表示焦点在 X轴上的双曲线且离心率为 2叵，则=73D.若曲线 C 与椭圆二+f=1有公共焦点，则 k=44 2【答案】BCD2 2【解析】对于 A：若曲线 C：+上=1表示双曲线，则（1）（5 2）5或故 A 错 k-5-k误；对于 B：若曲线 C：上+上=1表示椭圆，则 5-/0,解得 lk5旦人 W 3,故 B 正确;k 1 5 k I e-tk-*5-k对于 c：若曲线 c

40、表示焦点在 x轴上的双曲线且离心率为 2叵 3a2=k-h2=k-5则所以 c2=a2+=2k-6,则 e2=b2=k-50则&5,则 02=2%-6=2，解得 k=4（舍去）;a2=k-l0若曲线 C 表示焦点在 x轴上的椭圆，则 0,则 3cz5-k意，故女=4,故 D 正确;故选：BCD题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题例 25.（2022全国高三专题练习）已知双曲线 21=1的两个焦点为有，F2,P 为双曲线右支上一点

41、.若 244 一 PFt=-PF29则 BP乃的面积为（）A.23 B.24C.25 D.26【答案】B【解析】由双曲线的定义可得|PF/|TPg|=；|PF2|=2a=2,解得|尸产 2|=6,故|PBI=8,又尸/尸 2|=10,故 PEK为直角三角形，因此 S 叱=3 下川尸尸 2|=24.故选：B.【方法技巧与总结】对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即|P|=2 a,在焦点三角形面积问题中若已知角，则用 5许 4=g|尸

42、用尸用 sin。，归用一归曰=2 a 及余弦定理等知识；若未知角，则用 SAP和=c-y0.例 26.（2022.全国高三专题练习）已知尸是双曲线上-y2=l的右焦点，若直线 y=依,0）与双曲线相交于 A,B 两点，且 NAEBN120。，则 A 的范围是.【答案】悍书【解析】-/=13/.a2=3,b2=1 焦点在 x 上=3+1=41 焦点坐标为 E（Z0）,F（20）由双曲线的对称性可得=设 B（x2,y2）,-y2=1又 3,kQ,、y=H又,|AF|_|A

43、同=|A尸卜忸目=2 g,AF|2+|SF|2-2AFBF=12,又,M=j+=r 2 收+女 2,13公而+|BF|2-2AFBFCOSZAFB,S AFti=AFBFsinZAFB,当 NAFB=120 时，=|AF|2+BF(-2AFBFcosZAFB=AFf+BF(+|AF|BF|=12+3|Afj|BF|,邛明吠忌，Ml昨 8kV1-3F 1 12k2 94k _ _a+声,匚素 5+g r 整理得 MW T M 又 Z0,:.k=-,7又.?-y 2=i 的渐近线方程为了=土理 x,%120，左的取值范围为炉.故答案为:例 2

44、7.（2022全国高三竞赛）设双曲线土-丁=1,耳是它的左焦点，直线/通过它的右焦点 F.且与双曲 4线的右支交于 A，B 两点，则,小忻用的最小值为.Q 1【答案】V4【解析】双曲线的右焦点为（右,0）当直线的斜率存在时，设直线的方程为丫=人（工一石）代入双曲线方程，消去 y 得（1 一 4A2）V+8辰气,20*-4=0设 4（玉,%）,3（%力）由韦达定理得%+=里”，毛巧 2 4*-1 1 220*+44kz _ 1根据双曲

45、线的第二定义得：,酎毕卜当占+2 乎+2+石（西+）+4 八）81 85 81=+-N 4 4（442 _ 1）4当直线的斜率不存在时，收小归 q=g根据双曲线的第一定义得：综上：忻皿棚的最小值为日 Q 1故答案为 r例 28.（2022全国高三专题练习）设，鸟是双曲线 C：的两个焦点，。为坐标原点，点尸在双 16 9曲线 C 上且|0升=5,则?/例的面积为.【答案】9【解析】由双曲线定义可知：-1尸耳|=加=8,出闾=2c=10

46、,由己知，因为 Q H=5=g 闺闻，所以点 P 在以尸石为直径的圆上,即，是以 P 为直角顶点的直角三角形，故|尸耳、|尸入=|片鸟匕即|尸耳+|尼|2=10（）,又|耳|-|%|=20=8,所以 64 Tl 耳|一|PF21|2=I PF+PF212-2|尸|PF21=100-2PFPF2,解得：I W|也|=18,所以 5的父=目可|也卜 9故答案为：92 2例 29.（2022 全国高三专题练习）已知双曲线 C：乎-*l（a0,b0）的离心率为 3,焦点分别为，F2,

47、点 A 在双曲线 C 上.若 4A耳鸟的周长为 14”，则耳巴的面积是.【答案】2拒 a。【解析】不妨令 A 在双曲线右支，依题意可得 I耳 A|+IEA|+2c=14a,IKAI-储 A|=2,c=3a、解得 IGA|=5a,|5 A|=3a,又|耳心|=2c=6“，由余弦定理忻用 2=|P+|P国 2-2|刊讣仍用 cos/耳尸鸟即 36a2=25a2+9a2-2x5ax.3acosZFlPF2,解得 cosN与 Pg 5，所以 sin 2 耳 PF2=Jl-cos?乙耳尸鸟=岑?，所以 ZXA耳

48、耳的面积 S=gx3ax5ax、野=2714a2.故答案为：2内 2例 30.（2022贵州凯里一中三模（文）已知双曲线 C：犬-工 _=1的左右焦点分别为尸 8，点加，N 分 3别为渐近线和双曲线左支上的动点，当|MV|+|N与|取得最小值时，面积为.【答案】E【解析】由题意知，耳（一 2,0）,6（2,0）,不妨取其中一条浙近线丫=6，由双曲线定义知|峭|一|凡用=2a=2,所以|N用=2+|N用，所以|MV|+|N周=|用 N|+|N制+2,所

49、以当 M,N,F-：点共线旦耳 M 垂直于渐近线丫=任时，|MN|+|Ng|取得最小值，此时，直线方程为 y=-W（x+2），J 1 故点 M,7=g 忻其 I,一手=g x 4 x#=6-故答案为：x/3.例 31.（2022河南高三阶段练习（理）已知双曲线 C：1=l（a0,b0）的离心率为 3,焦点分别为 6，网,点 4 在双曲线 C 上.若 4月鸟的周长为 1 4 m 则 aAK鸟的面积是（）A.历 a。B.15a2 C.2厢 a2 D.2而公【答案】C【解析】不

50、妨令 A 在双曲线右支，依题意可得 1丹川+|鸟 A|+2c=14a,FtA-F2A=2a,c=3a,解得 IGA|=5a,F2A=3a,又|耳心|=2c=6“，由余弦定理用斗+归国 2-2伊耳卜伊局 cos；pg即 36a2=25a2+9a2-2x5ax.3acosZFlPF2,解得 cosN 与 Pg 5，i-所以 sin N 耳 PF2=yJ-cos2/耳 PF2=啧一，所以 AA耳用的面积 S=；x3ax5ax=2 g 2.故选：C.2 2例 32.（2022河北邯郸模拟预测）己知、尸 2是双曲线:

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