《2023年新高考数学大一轮复习专题06函数的概念（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年新高考数学大一轮复习专题06函数的概念（解析版）.pdf（68页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题0 6函数的概念【考点预测】1 .函数的概念(1)一般地，给定非空数集A ,B,按照某个对应法则/，使得A中任意元素x,都有8中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B 的这个对应，叫做从集合A到集合B 的一个函数.记作：x-y=/(x),x e A.集合A叫做函数的定义域，记为 ,集合 y|y =/(x),x e A 叫做值域，记为C.(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.(3)函数表示法：函数书写方式为y =f(x),x D(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.2 .基本的函数定义域限制求解
2、函数的定义域应注意：(1)分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数大于或等于零：(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；(4)零次球或负指数次基的底数不为零；(5)三角函数中的正切y =t a n x 的定义域是且X/依+，&G z j-；(6)已知/(x)的定义域求解/g(x)的定义域，或已知/g(x)的定义域求/(x)的定义域，遵循两点：定义域是指自变量的取值范围；在同一对应法则J 下，括号内式子的范围相同；(7)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.3.基本初等函数的值域(l)y =Z x+b(Z x O)的值域是 R.(2)丫 =渡+
3、灰+c(a w 0)的 值 域 是：当。0 时，值 域 为 乂”4 .当 0 且。w l)的值域是(0,+o o).(5)y =l o g a X(a 0 且1)的值域是 R.4.分 段函数的应用分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决,即分段函数问题，分段解决.【题型归纳目录】题型一：函数的概念题型二：同一函数的判断题型三：给出函数解析式求解定义域题型四：抽象函数定义域题型五：函数定义域的应用题型六：函数解析式的求法1.待定系数法（函数类型确定）2.换元法或配凑法（适用于了/g（x）型）3.方程组法4.求分段函数的解析式5.抽象函数解析式题型七
4、：函数值域的求解1.观察法2.配方法3.图像法（数形结合）4.基本不等式法5.换元法（代数换元与三角换元）6.分离常数法7.判别式法8.单调性法9.有界性法10.导数法题型八：分段函数的应用【典例例题】题型一：函数的概念例 1.（2022 全国 高三专题练习）函数y=/（x）的图象与直线x=l 的交点个数（）A.至 少 1 个 B.至 多 1个 C.仅 有 1 个 D.有。个、1 个或多个【答案】B【解析】【分析】利用函数的定义判断.【详解】若1不在函数式X）的定义域内，产/（X）的图象与立线X =1没行交点,若1在 函 数 段）的定义域内，月 的 图 象 与 直 线x=l有1个交点,故选：B
5、.例2.（2 0 2 2 全国高三专题练习）下列四个图像中，是 函 数 图 像 的 是（）【答 案】C【解 析】【分 析】根据函数的定义即可得到答案.【详 解】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足.故选：C.（多选题）例3.（2 0 2 2全国高三专题练 习）下列对应关系了,能构成 从 集 合M到 集 合N的 函 数 的 是（)A.N =-6,-3,l,呜卜-6,/(1)=-3,=lB.M N -x|x -1,f(x)=2 x+C.M =N =1,2,3,/(x)=2 x+lD.M=Z ,N =-1,1,f(x)=-l,x为奇
6、数,1,X为偶数.【答 案】A B D【解 析】根据函数的定义，结合函数的定义，逐项判定，即可求解.【详 解】对 于A中，集 合M中的任意一个元素，按某种对应法则，在 集 合N中存在唯一的元素相对应，所以能构成从 集 合M到 集 合N的函数；对 B中，集 合M =x|xN-l 中的任意一个元素，按某种对应法则，在 集 合N =x|xZ-l 中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合M到 集 合N的函数；对 于C中，集 合M=1,2,3,当x=3时，可 得/（3）=5N,所以不能构成从集合 到 集 合N的函数;对于D 中，集合M=Z 中的任一元素，按/（幻=0.、A./(x)=|2x|,g(x)=
7、1 B.f(x)=x-,g(f)=rI ZX,X uQ2 z-c./(x)=x+,g(x)=x+4 D./(x)=x+4,g(x)=JL 3 3 x-4【答案】AB【解析】【分析】确定函数的定义域与对应法则是否相同即可判断.【详解】A中两个函数定义域都是R,对应法则都是乘以2后取绝对值，是同一函数；B中两个函数定义域都是R,对应法则都是取平方，是同一函数；C中 定 义 域 是x|x*O,g(x)的定义域是R,不是同一函数；D中/(x)的定义域是R,g(x)的定义域是x|x*4,不是同一函数.故选：AB.(多 选 题)例9.(2022全国高三专题练 习)在下列四组函数中，f(x)与g(x)不表示
8、同一函数的是()A./(x)=x-1,g(x)=:-B./(x)=|x+l|,g(x)=，x+1-x-l,x-11-1-x x 0 x+x40-2xW 1 0 x 0,而 以2为底的对数函数是单调递增的，因 此2 V-9 x+1 4 4,求 解 可 得x 0 .、,12-。解 之 得 一 广“2则 函 数 司=，1 +怆（2-力 的定义域是-；,2）故答案为：-g,2）的定义域为.例13.（2 0 2 2上海市奉贤中学高三阶段练习）函 数/（力=【答 案】（-8,0【解 析】【分 析】根据具体函数的定义域求法，结合指数函数的单调性求解.【详 解】律词,所 以xMO,所以函数的定义域为（-8,0
9、 ，故答案为：（-8,0【方法技巧与总结】对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子/（X）有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式.题 型 四：抽象函数定义域例14.（2 0 2 2.北京.高三专题练习）已知函数y =x）的定义域为（0,1）,则 函 数F（耳=川2 -1|）的定义域为（）A.（9）B.（3,0）5 ，1）C.（0,+巧 D.0,1）【答 案】B【解 析】【分析】抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是X的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致.【详解】1 1 1 1fx 1 ,八，解得：x v l且0,.尸(x)=川2,_
10、力 的定义域为(9,0)5 0,1).故选：B.例15.(2 0 2 2.全国高三专题练 习)已知函数y =/(f-4)的定义域是-1,5 ,则函数y =/(2 x+l)的定义域为.【答案】-|JO【解析】【分析】由函数y =/(f-4)的定义域是 1,5 ,可求*2-4的值域，即函数“X)的定义域，再由2X+1G Y,2 1 ,即可求得y =/(2 x+l)的定义域.【详解】J=/(X2-4)的定义域是-1,5 ,则d-4w Y,2 1 ,即函数f(x)的定义域为-4,2 1 ,令 2 x+1 e -4,2 1 ,解得 x w ,1 0 .则函数y =2 x+i)的定义域为-|,i o .故
11、答案为：.【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的求法，注意理解函数“X)的定义域与函数/g(x)定义域的区别.例16.(2 0 2 2.全国.高三专题练 习)已知函数y =/(x-l)的定义域为 1,3 ,则函数产 唾3力的定义域为()A.0,1 B.1,9 C.0,2 D.0,9【答案】B【解析】【分析】根据X-1与l o g/的取值范围一致，从而得到l o g 3 x e 0,2 ,进而求得函数的定义域.【详解】由x e l,3 ,得x-l e 0,2 ,所以l o g 3 x e 0,2 ,所以x e l,9 .故选：B.例1 7.（2 0 2 2.全国.高三专题练习）若函数“X）的定义
12、域为-1,2 ,则 函 数 晨 司=少 刍的定义域是（）“一1A.1,4 B.（1,4 C.口,2 D.（1,2【答案】B【解析】根据题意可得出关于x的不等式组，由此可解得函数g（x）的定义域.【详解】由于函数“X）的定义域为-1,2 ,对于函数g（x）有，X-1 W 0 ，解得1 0 即,2x空（2-幻。1 x2、23解得：|x 2;所以原函数的定义域是：|,2).故选：B.【点 睛】本题考查学生掌握复合函数的定义域，考查了对数不等式的解法，属于基础题.例 19.(20 22全国高三专题练 习)已 知 函 数“X)是定义在 2,”)的单调递增函数，若f(2 a2-5a+4)2根据函数的定义域
13、以及单调性可得，/+。+4 22,解不等式组即可.2。2-5。+4。2 +4【详 解】因为函数/(X)是定义在 2,”)的单调递增函数，s.f(2 a2-5 a+4)21 T ca 22所 以/+。+4 22=a s R2 a2-5a+4 a2+a +40 a 6解得或2 4 a 6.故选：C.例 20.(20 22.全国高三专题练习)求下列函数的定义域：已 知 函 数/(x)的定义域为-2,2,求 函 数y=/(Y-1)的定义域 已 知 函 数y=/(2x+4)的定义域为 0,1,求 函 数“X)的定义域.(3)已知函数x)的定义域为-1,2,求 函 数y=/(x +l)-/(x 2-i)的
14、定义域.【答 案】卜 百,6 ；(2)4,6；【解 析】【分析】抽象函数定义域求解，需注意两点：定义域是函数解析式中自变量“X”的范围；对于同一个对应关系了后括号里面式子整体范围相同.(l)y=f(f。中 的 范 围 和/(X)中X范围相同，“X)中X范围是-2,2；(2)/(x)中x的范围和y=/(2x+4)中2x 4-4范围相同，y=/(2x+4)中x范围是 0,1:(3)丫 =(4+1)-炉-)中工+1与*2_ 1均与“X)中X范围相同,“X)中X的范围是-1,2.(1)令一2$*2 一 1$2 得一6/W 3,B P 0 x2 3,从而一百WXW6，二函数的定义域为-6百.(2).y=
15、/(2x+4)的定义域为 0,1,即在y=/(2x+4)中x w 0,l,令r=2 H 4,x w 0,1,则r e 4,6,即在/(/)中，t G 4,6,.”力的定义域为4,6.(3)由 题 咋f-Llx+lb2，-百厂 。函数y=/(x+l)-/，-i)的定义域为-石 .【方法技巧与总结】1.抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若/(x)的定义域为(。，力，求力g(x)中”g(x)6的解X的范围，即为小g(x)的定义域，口诀：定义域指的是X的范围，括号范围相同.已 知“X)的定义域，求四则运算型函数的定义域2.若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定
16、义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集.题型五：函数定义域的应用、2 +a例21.(20 22 全 国 高 三 专 题 练 习)若 函 数V的定义域为R，则实数。的取值范围是()I n I 2 4-a IA.(-2,-w o)B.(-1,+0恒成立，且满足I n（2?+l+a卜 0 n 2?+,+a/1,2人 l-a,解出 得范围，二者取交集即可.【详解】因为2工+2 2 +，f（x）的定义域为R,所以首先满足2+a 0 恒成立，。一2,再者满足I n（2?+|+。卜 0 n 2*+a *1,变形得到 2/+|1-a,-.-2/+,e 2,-KO）,-.1-,最终得到
17、。一1.故选：B.例 22.（20 22全国高三专题练习）已知函数/（x）=+-（?+l）x+1 的定义域为R,则m的取值范围 是（）A.-1/2 B.-m 2 C.-m 2 D.-1 /n 0加+l H。时，只需/八2 人，A =（/n +l）-3（w +1）0解得：一 1机42,综上：ml -1,2,故选：C.（多选题）例 23.（20 22全国高三专题练习）（多选）若函数y=在区间-2,-1 上有意义，则实数可能的取值是（）A.-1 B.1 C.3 D.5【答案】A B【解析】【分析】该题可等价于 +1 2 0 在区间-2,-1 上恒成立，分离参数即可求得.【详解】函数y=）|7 1 在
18、区间-2,1 上有意义，等价于2 +12 0 在区间-2,-1 上恒成立，由x 0 在R 上恒成立，则对a 进行分类讨论，确定满足条件的”的范围.【详解】由题意可得依2+如+1 0 在 R上恒成立.当a =0 时，则10 恒成立，二.a =0 符合题意；当a w O 时，f a 0则2彳n-解得0 a 4.-4a 0综上可得0 V a 0不等 式 加+法+c 0 的解是全体实数（或恒成立）的条件是：当片 0 时，Q O,c 0；当a w O 时，八八；不 A 0等式以2+法+c v o 的解是全体实数（或恒成立）的条件是当。=0 时，Q O,C O；当。工0 时，A/?如+办）的定义域为R,则
19、实数。的取值范围是【答案】T,l【解析】【分 析】根据对数函数的真数大于0,得 出4r石+依 0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a的取值范围.【详解】解：函数/(x)lg(J f +1+o r)的 定 义 域 为R,1幺+1+办 0恒成立,&+1-以 恒 成 立，设y=&+1，x d R,/-x2=l,yl；它 表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y=x；令y=-o r,x G R；它表示过原点的直线；由题意知，直 线y=-5的 图 象 应 在y=V 7石 的 下方，画出图形如图所示;.0 -a 或-l W-a 0,解 得-10 x+c,由已知建立关系求出a,C 即可
20、.【详解】解：因为“X)为二次函数，所以设/(力=以 2+云+0,因为 0)=0,所以c=0,所以%)=加+区，所以/(2 x+l)=a(2 x+l)2+Z?(2 x+l)=4 a r2+(4 a +2 Z?)x+(a +b),因为/(2 x+l)-/(x)=x2+3 x+2 ,所以 3 加 +(4 a+/?)x+(a+/?)=x2 +3 x+2,所以 3 a =1,4 a+b=3,a+b=2 ,所以 a =；,b=,所以 f(x)=gx2 +gx.2.换元法或配凑法(适用于了/(无)型)例 2 9.(2 02 2 陕西西安 高三阶段练习(文)已知/(%+1)=成 2,则 x)=()A.I n
21、(x+1)2 B.2 1n(x+l)C.2 1n|x-l|D.l n(x2-1)【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用换元法求出,/(X)即可作答.【详解】因/(x+l)=l n%2,则设 x+l=r,有 x=f-l,而 X HO,则有 f#l,于是得“f)=l n(f-l)2=2 1n|-l|,所以/(x)=2 1n|x-l|,x#l,故选：C例 30.(2 02 2 全国高三专题练习)已知函数/(芸)=品，则 f(x)的解析式为()A.B-/(X)=_J77(X HT)C.x)=7 7(xw-l)D-力=-1(7)【答案】A【解析】【分析】令=E则 芯=胃 代入已知解析式可得/的表达
22、式再将，换成x即可求解【详解】令f =1，贝!lx =F ,1+x 1+r所以/(x)=e(x*-l)，故选：A.例 31.(20 22全国高三专题练 习)己知函数 X)满足 c o s x-1)=8S2X1,则 x)的解析式为()A.f(x)=2 x2+4 x(2 x 0)B./(x)=2x2+4X(XG/?)C./(x)=2x-l(-2 x 0)D./(X)=2X-1(XG/?)【答案】A【解析】利用换元法，设c o sx-l=f w-2,0 ,将原函数转化成关于f 的关系式，进行整理即得了(X)的解析式.【详解】函数 f (x)满足/(c o sx -l)=c o s2x-l=2CO S
23、2X-1-1 =2CO S2X-2,设c o sx-l=t,则c o sx=f+l,由c o sx e -l,l 知f e -2,0 ,故原函数可转化为/=2(r +1 y 2=2产+4 f ,f e 2,0 ,即/(x)的解析式为“X)=2/+4 x(-2 x 2)【解析】【分析】令6+2=f,则 2 2,且x =(f-2)2,将已知条件转化为关于f 的表达式，再将/换成x即可求解.【详解】令 +2=f,贝 卜2 2,且x =(f-2，所以/(z)=(r-2)2+4(r-2)+5=r2+l,(r 2)所以/(力=/+1 22),故 答 案 为:/(X)=X2+1(X 2).例33.(20 2
24、2全国高三专题练习)己知/(%一 =/+*,则函数火x)=,/(3)=【答案】f+2 1 1【解析】【分析】利用换元法可求出f(x),进 一 步可得(3).【详解】令x-=r,则Y+X X X所以/)=产+2,所以 X)=X2 +2,所以/(3)=32+2=1 1.故答案为：x2+2；1 1.例34.(20 22 全国高三专题练习)已知/(|X-1|)=X2-2X+3,则.3)=()A.6 B.3 C.1 1 D.1 0【答案】C【解析】利用拼凑法求出了(X)解析式，即可得出所求.【详解】./(|X-1|)-X2-2X+3=(X-1)2+2=|X-1|2+2,/.f (x)=x2+2,”(3)
25、=32+2=11.故选：C.例 35.(2022 全 国 高三专题练 习)已知/(f)=log?x,则 8)=()A.B.-C.D.一2 4 6 8【答案】A【解析】先利用换元法求函数解析式，再代入自变量计算函数值即可.【详解】由题设可知：/(f)=lOg2X,令 x6=f,t 0,则=/，则 f(f)=log2 m=lo g 2 t，1 3 1故/=二 log,8=二=；.6 6 2故选：A.3.方程组法例 36.(2022 全国高三专题练 习)已 知 函 数 的定义域为K,且 劝+2/(-乃=/-*,.x2+2x _ 2x2 _ 2x2+2x x2A.-B.+x C.-D.+x3 3 3
26、3【答案】D【解析】【分析】令 X 为-x,则/(-%)+2f(x)=x2+x,然后与 f(x)+2/(-x)=x2-x 联立可求出 f(x)【详解】令 x 为-x ,则/(-x)+2fM =x2+x,与 f(x)+2f(-x)=x?-x 联立可解得，f(x)=y +x.故选：D.例 37.(2022.全国高三专题练 习)设 函 数 对 0的一切实数 均 有#+2/1 7 J等于则/(%)=()=3 x,则“2018)A.2016B.-2016C.-2017D.2017【答 案】B【解 析】【分 析】将x换 成 草 再 构 造 一 个 等 式,然 后 消 去 拶)，得 到,5)的 解 析 式,
27、最 后 可 求 得/(21 8).【详 解】：fx+2 f)=3x X.J(亚与+2/(x)=邳 邺 X X1.一 X2 得-3/(x)=3 x-3 X 2 X 2 0 1 8XX/(2018)=-2018+2=-2016故选：B.【点 睛】本题考查求解析式的一种特殊方法：方 程 组 法.如 已 知4(x)+/(3 =g(x),求/*),则由已知得Xa f(-)+b f W =g(-)，把X)和/d)作为未知数，列出方程组可解出/(X).如已知(X)+V(-x)=g(x)也X X X可以用这种方法求解析式.例38.(20 22全国高三专题练 习)若 函 数/，g(x)满 足/(幻-2/1力=2
28、 X-+且/(x)+g(x)=x+6,则 l)+g(-D=.【答 案】9【解 析】根据方程组法求解函数/(X)的解析式，代入求 出/，/(-I),再 利 用/(-1)代 入 求 出g(-D.【详 解】由 x)-2/(，=2x-：可 知/(：)-2/(力=：一4，联 立 可 得/(x)=2 x,所 以/=2,/(1)=-2 又因为/(-l)+g(T)=T +6=5,所 以g(-l)=5+2=7,所 以/(l)+g(-1)=9.故答案为：9例39.(20 22全国高三专题练 习)己知3/(x)+5/；)=：+l,则函数/)的解析式为.【答 案】=7 5 1+1OA O O【解 析】以1代替X得出3
29、 f d)+5x)=2x +l,与已知等式联立，解出函数兀v)的解析式.X X【详解】V 3/(%)+5/=-+1,X)X：.3/4)+5/(X)=2X+1,x 3-x 5,得：-1 6/(x)=-1 0 x -2,X“、3 5 1.f(x)=-+-X+v 7 8 x 8 83 5 1故答案为：/W=-+-OA O O4.求分段函数的解析式,-1 x 0例4 0.(20 22.全国高三专题练习)设函数“%)=,J _口 若函数y=x)-2 f在区间(-1,1)内.1*1.X.)4 人 4 1/(I)有且仅有两个零点，则实数r的取值范围是()A.B.(FO)C.D.-；，o)【答案】C【解析】【
30、分析】先求出分段函数在(-1)上得解析式，进而根据解析式做出函数图象，由于函数y =/(x)-2t在区间(-L1)内有且仅有两个零点等价于函数/(X)的图象与直线y =2/在区间(-1,1)内有且仅有两个公共点，数形结合即可求出结果.【详解】4,-1 x 0-+1,0 v x l 、1 1若0 xl,则 l x 10,所以故x)=其图象如图:函数y =/(x)-2/在区间(-L1)内有且仅有两个零点等价于函数/(X)的图象与直线y =2r 在区间(-1.1)内有且仅有两个公共点，于是T 2，0,-/-1,X 4-1 求解；由 廿 7,结合函数分x 20,-l x 0,x 4-l 求解.-2,x
31、-/(A-)【详解】因为 x)二 -1 时，fx=-,P l/(/)=/(-)=-2,当1 时，f M=-2,则 /3)=-2)=-2,综上：/(切=-2；当x 2 0 时，#7=2 =_X0，f W-1,I xl -x 八当.I v xc O时，=x 0 ,f M-1r,I x|-x X/1当x W-l 时，7 7-=-=-)f(x)-2 2 2综上：果 的 最 大值是0；f M故答案为：20例 4 2.(2 0 2 2 全国高三专题练 习)函数火x)=/+以 一 1 在区间/，r+l (t d R)上的最大值为g(f).求 g(r)的解析式；【解析】/(x)=/+4 x-1 =(x2)2+
32、3.当t+1 4 2,即fVl 时，_/U)在区间U，r+1 上为增函数，g(/)=y(f+i)=2+2/+2；当f 2 f+l,即l f 2 时，g(r)=X2)=3；当9 2 时，段)在 区 间，+1 上为减函数，二 g(t)=7 W =一 产+4 r-1.1 +2 t+2/V 1,综上所述，g(t)3,1 /2,5.抽象函数解析式例 4 3.(2 0 2 2 全国高三专题练 习)对任意实数x,九都有f(x+y)-2/(y)=x2 +2 移-y?+3 x-3 y,求函数f(x)的解析式.【答案】/(X)=X2+3X【解析】【分析】方法一：赋值x=y =0，得到/(o)=o,再赋值N=o，得
33、到/(x)解析式；方法二：赋值x=0,得至U/(y)的解析式，再令y=x,即 可 得 到 解 析 式【详解】方 法-：./(了+)-2/()=/+2初一丁+3 x 3 y 对 任 意 实 数 都 成 立，.令 x=y =0,得 0)=0.再令y=o,得 了(刈-2 0)=/+3,/./(x)=x2+3 x方法二：在已知式子中，令x=0,得“)，)2 y)=_ y 2 _ 3 y,，-/3=一丁-3 丫，/(y)=y2+3 y,令 尸 X,得/(x)“+3 x【点睛】本题考查赋值法求函数解析式，如何赋值要根据题目特征来确定，由赋值法求出解析式后，应注意函数的定义域例44.(2022.河南.高三阶
34、段 练 习(文)已知函数f(x)是定义在(0,+司上的增函数，且/(力+5=1,/(1)=0,则 3)=()24A.-B.-C.2 D.33 3【答案】B【解析】【分析】令/(x)+=f,根据给定条件可得/为常数，再由/、/列式计算作答.【详解】令/(x)+=f,即有f(Z)=l,因函数f(x)是定义在(0,+8)上的增函数，则f为常数，因此/(x)=/+f,从而 t，解得a=f=2,于是得/(x)=，+2,显然函数/(x)在(O,y)x /=_“+/=()x上递增，2 4所以 f(3)=-+2=1故选：B例45.(2022.安徽.芜湖一中 三 模(理)已知函数/(力 在x e R上满足/(2
35、+力=22-力一1+6*,则曲线y=/(x)在点(2,/(2)处的切线方程是()A.2x-y-6=0 B.6 x-y-4 =0C.2x-y-4=0 D.2x+y-4=0【答案】C【解析】【分析】由/(2+力=22-月-犬+6 可得函数/3的解析式，进而利用导数求其在点(2,/(2)处的切线方程即可.【详解】.函数/在R上满足2+x)=22X)Y+6X,用-x替换x得:f(2-x)=2f(2+x)-(-x)2+6(-x)=2/(2+x)-x2-6x,/./(2+x)=22/(2+x)Y-6X-X2+6X/.f (2+x)=x?+2x令f=2+x,则x=f_ 2,A f(t)=(t-2)2+2(t
36、-2)=t2-2 t,B P f(x)=x2-2x：.f(x)=2 x-2,：./(2)=0,尸(2)=2.曲线 y=/(x)在 点(2 J(2)处的切线方程是：y-0 =2-(x-2),即 2xy-4 =0.故选：C.例46.(2022全国高三专题练习(文)定 义 在R上 的 函 数 x)单调递增，且 对V x e R,有 /(幻-2，)=3,则/(*)=.【答 案】+1【解 析】【分 析】根据题意求解出函数的解析式，进而求解出函数值.【详 解】根 据 题 意,对V x w R,有(/(x)-2,)=3又.(X)是 定 义 在/T上的单调增函数.上 存 在 常 数a使 得 )=3:.f(x)
37、=T+a,:.f(a)=2;+a=3,解 得a=lJ(x)=2+l“(log3)=2咽3+1 =肉1故答案为：G +1.例47.(2022.全国.高三专题练 习)已知定义在(0,+8)上的单调函数“X),若对 任 意x e(0,+8)都有/Xf/W+log,x=3,则 方 程 x)=2+&的解集为.k 2)【答 案】4,16.【解 析】【分析】由题可求f(x)=2-lo g ix,再利用数形结合即求.【详 解】.定义在(0，+8)上的单调函数 X),对任意X 0,+8)都有/(X)+l Og,X=3,2 7令 F(x)+l o g l X=c,则 c)=3,2在上式中令x=c,则”c)+l o
38、 g|C =c,1 0 g 4 =c-3,解得c =2,2 2故 x)=2-l o g/,2由 /(x)=2 +五 得，2-1 ogX=2 +y/x l o g2x=Vx,2在同一坐标系中作出函数y =l o g/和 y =石 的图像，则方程“X)=2+的解集为 4,1 6 .故答案为：4,1 6 .例 4 8.(2 0 2 2 全国高三专题练习)已知f(x)在(0,+8)上是减函数，且 x)+y)=孙)+1 对任意的xe(0,一)都成立，写出一个满足以上特征的函数/(x)=.【答案】1-1。演武答案不唯一)【解析】【分析】由/(x)+/(y)变形到/(p)可考虑对数函数，然后根据单调性以及“
39、1”可考虑构造对数型函数y =l-l o gax(0 a 0 时可利用单调性法.(9)有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.(1 0)导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大(小)值，从而求出函数的值域.1.观察法例 50.(2 0 2 2 全国高三专题练 习)函 数 y =的值域是()A.(o o,l)B.(+l,+o o)C.(-log/=0,所以函数的值域为(0,田)，所以选项8 正确；对于选项C 函数y=2 x-l的值域为(9,4w),所以选项C 错误；对于选项0,函数=岳 二 I 的值域
40、为0,用)，所以选项0 错误.故选：B2.配方法例 53.(2022 全国高三专题练习)函数的卜=J /一 6x-5 值 域 为()A.0,+oo)B.0,2C.2,+oo)D.(2,-B)【答案】B【解析】【分析】令 =_/-6 -5，则”2 0,再根据二次函数的性质求出”的最大值，进而可得”的范围，再计算y=W 的范围即可求解.【详解】令=一%2-6工 一 5，则*0 且=石乂因为 =x?6x 5=(x+3)+4 4 4，所以 0V 4 4,所以 y=e 0,2,即函数的y=7-X2-6X-5 值域为0,2,故选：B.例 54.(2022.全国.高三专题练习)函数y=x)的图象是如图所示的
41、折线段。钻，其中A(l,2),8(3,0),函数g(x)=x/(x)，那么函数g(x)的值域为()aA.0,2 B.(),-C.D.0,4【答案】B【解析】【分析】根据图象可得/的解析式,进而可得g(x)的解析式,再利用二次函数的性质分别求分段函数各段的值域,再求并集即可求解.【详解】中题图可知,kO A=三=2,所以直线。4 的方程是v 2.v.1 0因为心=所以直线A3的方程为y =(x 3)=x+3,3 1所以f(x)=2x,0 x l-x+3,1 x 3所以 g(%)=x,/(x)=2X2,0X1-x2+3 x,1 x 0可得：0 a ,1 1所以a c（l-2a）+l =2 c,即,
42、-2/a +2-十 竺,-C-4j+因为2（一 1 1+”2，当“=!时取得最小值E，I 4）8 8 4 8Q所以C 的最大值 为 争故选：C.3.图像法（数形结合）例 5 6.（2022 全国高三专题练习）函数y =/-4 x+l,x e0,4 的值域是（）A.1,6 B.-3,1 C.-3,6【答案】B【解析】根据题意，画出二次函数的图象，数形结合求值域.【详解】因为y =V-4 x+i,故作出其函数图象如卜.所示：D.-3,+o o)由图，结合二次函数的性质，可知：5 =1，ymin=-3，故其值域为-3 .故选：B.【点睛】本题考查二次函数在区间上的值域，数形结合即可求解.例5 7.(
43、2022全国高三专题 练 习(理)函数f(x)=产=1(x e 0,2R)的最小值是()V 3-2c o s x-2s in xA.-B.-1 C.-y/2 D.-G2【答案】B【解析】【分析】对 X)变形，得至一 ，J-C O S X、，,当s in x/l时，利用g(x)=g学 的 几 何意义求解其取值范I*X 1 +(;-:-)1-s in xV 1-s in x进而得到TJ 30,当s in x =l时，/=0,从而求出x)的最小值.【详解】当 s in x =l,/(x)=0“、s in x -1 1 -s in x 1j(x)“=j =当 s in x W1 时,因为 V 3-2c
44、 o s x-2s in x (1-s inx)2+(1-c o s x)2 L J-c o s x 2，V(l s in 7)令g(x)=F匹，g(x)的含义是力：(U)与单位圆上的点(s in x o s x)的连线的斜率，所以g(x).O,所以1 -s i n xJ l+g(X)2.1所以T,-EF即-L J(x)01X3.令 x-2=cos（9 且 6丘 0,n yj+4x 3+3=s m；：；,表示两点（-3,-3）和（cos仇 sin。）的斜率，cos?O+sir?。=1（。e 0,兀 ）,故点（cosO,sin。）在单位圆的上半部分.-3-0 3 sin0-（-3）sing如图，
45、斜率最小为一斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率,-4 （-=-1,化筒得-3-1 4 cos 8 （-3）cos0sin 0+cos 0=,3sin6+cos，=3由 sin2+cos2 0=1-1 cos00解 得 sin6=,cos，=二 叵 土，故切线的斜率为6 60sin 1sin -(-3)cos 0-(-3)V17-1,34-=吐 叵.所以斜率的取值范围，也 即 函 数 的 值 域 为 坐-V17-1 2 8 4 8-1-J 1-6故答案为:3 9+V17了 8-【点睛】本小题主要考查含有根式的函数的值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
46、4.基本不等式法例 61.（2 0 2 2 河南模拟预测（文）下列函数中最小值为6的 是（）,9A.y =_ r +2 x +6 B.y=c o s x|+-|c o s x|9 9C.y =3 H D.y =In xH-3*In x【答案】C【解析】【分析】A.由二次函数的性质求解判断；B.令，=|CO SX|G（）,1 ,利用对勾函数的性质求解判断；C.利用基本不等式求解判断；D,由0 x 2 =6,当且仅当3=*,即x =l时，等号成立，故正确；D.当O v x v l 时，l n x 0和x+l。，由基本不等式得 =(、+)+之2,当且仅当X+1 =1，即x =0时，等号成立，X+1I
47、x+lv O时，由基本不等式得y =(x +-W 2,x+1当且仅当X+1 =1，即x =_ 2时，等号成立，X+1所以函数的值域为(F，-2 U 2,3),故答案为(-8,-2 U 2,e).【点 睛】本题考查求具体函数的值域，属于简单题.5.换元法(代数换元与三角换元)例6 3.(2 0 2 2.全国高三专题练 习)函 数/(x)=j 3 +2 x f的 值 域 为()A.0,4 B.(-o o,2 C.2,+w)D.1(),2【答 案】D【解 析】【分 析】先求出函数r =_ f +2 x+3的值域，再要注 意 此0,进而可以求解.【详 解】解：令f =-x?+2 x +3 =-(x-l
48、)2+4 ,当x =l时;tn m=4 ,又 让0,所 以f e 0,4 ,g p r =-x2+2 x+3 =-(x-l)2+4 e 0,4 所以 f(x)=y1 3+2 x-x2 e 0,2 ,故选：D.例64.（2 0 2 2 全国高三专题练习）函数y =4*+2 i+3（xwR）的值域为（）A.2,+o o）B.（3,+c o）C.D.9,+o o）【答案】B【解析】【分析】令2=f,f 0,可得卜=产+3（0）,求出函数的对称轴，由二次函数的性质可得函数的值域.【详解】解：令2 =f j 0,可得=尸+3（。0）,可得函数的对称轴为：t=-,故函数在f e（0,4 w）上单调递增，4
49、当f =o时，为M=3,故函数的值域为（3,转），故选：B.例65.（2 0 2 2 全国高三专题练习）函数/（x）=x+6右 的 值 域 是（）A.0,+o o）B.1,+c o）C.（-o o,2 D.（-o o,l【答案】C【解析】【分析】令则工=三兰，原函数即为：g=一：/+，+。.0）,可解决此题.【详解】I_ _ _ _ 3 T 2解：令 yj3-2 x=f.0 ,5 1 0 x=-，21 3原函数即为:g =-5*+1+/.0）,1a对称轴方程为 X =1，可知 g（。”1 t t t=g6=-X 1 2 +1+=2 ,.函数值域为（7 ,2 .故选：C.例66.（2 0 2 2
50、.全国高三专题练习）若y =+府与，则V的取值范围是【答案】忘,2衣【解析】【分析】T T首先求出X的取值范围，令x =4+2 s i r?r,r e 0,-将函数转化为三角函数，再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得；【详解】解：因为y =V 7+J1 8-3 x x4 N 0 万所以o、八 解得44x46，令x =4 +2 s i n 2 f,0,-1 8-3 x 0 L 2 _则 y=V4 +2 s i n2r-4 +J1 8-3（4 +2 s i n）=x/2 s i n z +#c o s/二2应 s i n,+。）所以 y =2&s i n 1 +（）,因为/0，万，所 以+，