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1、K概率KI随事件的概率19.KI、K5、K 6 2 0 12 浙江卷已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个 白球得2分，取出一个黑球得1 分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3 球所得分数之和.(1)求 X 的分布列；(2)求 X 的数学期望反.19.解:(1)由解意得X 取 3,4,5,6,且d 5P(X=3)=转，C 4 1P(X=6)甘亓所以X 的分布列为(2)由(1)知X3456P54 2102 151412?E(X)=3 P(X=3)+4P(X=4)+5 尸(X=5)+&P(X=6)=y.K2古典概型15.K 2 2 0 12 重
2、庆卷某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为(用数字作答).15.1 解析 6节课共有收=7 2 0 种排法，相邻两节文化课间最多间隔1 节艺术课排法分两类：(1)两节相邻文化课之间没有艺术课间隔：可将三节文化课捆绑为一个元素，然后再与另三节艺术课进行全排列，排法有A 认;=14 4 种；(2)三节文化课间都有1 节艺术课间隔：有“文艺文艺文艺”与“艺文艺文艺文”两种形式，其排法有2 A 执A 7 2 种；(3)三节文化课中有两节之间有一节艺术课，而另一节文化课与前两节文化课之一无间隔，可先对文化课
3、进行全排，然后从3节艺术课选一节放入排好的3节文化课之间，再将此4节课看作一个元素与余下的2节艺术课进行全排，其排法有：A：C；C；A =2 16 种.综上可知，相邻两节文化课间最多间隔1 节艺术课排法有14 4 +7 2 +2 16 =4 3 2 种，所以课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1 节艺术课的概率为漆=.11.K 2 2 0 12 上海卷三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).l l.f 解析考查古典概率和组合问题，关就是把情况分析清楚，不要漏掉或者重复情况.所有的可能情况有c 窕久;，满足条
4、件有且仅有两人选择的项目完全相同的情况有C 超 C；,由古典概率公式得P =需 段=|.6.K 2 2 0 12 江苏卷现 有 10 个数，它们能构成一个以1 为首项，3 为公比的等比数列，若从这10 个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是.36.f 解析本题考查等比数列的通项公式的运用以及古典概型的求解.解题突破口为等比数列通项公式的运用.由通项公式为=1 X(-3)1 得，满足条件的数有1,-3,-3 -35,-37,-39,共6个，从而所求概率为P16.K 2、K 6 2 0 12 福建卷受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制
5、造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取5 0 辆，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0 x W l120 2轿车数量(辆)234 5545每辆利润(万元)1231.82.9率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为由,生产-辆乙品牌轿车的利润为必，分别求X，匕的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理
6、由.1 6.解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件4,2 +3 1则(2)依题意得，乂的分布列为X123p12 535 09To%的分布列为莅1.82.9p1To91 01 3 9 1 4 3(3)由(2)得，E(X)=1 乂行+2 乂%+3 而=布=2.8 6(万元)，1 9(2)=1.8 X而+2.9 Xm=2.7 9(万元).因为E(X)E(%)，所以应生产甲品牌轿车.7.K 2、J l 2 0 1 2 广东卷从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的 概 率 是()A.微 B.1C.g D.g7.D 解析本题考查利用古典概型求解概率以及两个基本计数
7、原理，解决本题的突破口是首先确定符合条件的两位数的所有个数，再找到个位是0的个数，利用公式求解，设个位数与十位数分别为y,x,则如果两位数之和是奇数，则 x,y分别为一奇数一偶数：第一类x为奇数，V 为偶数共有：C|X C 1 =2 5；另一类x为偶数，夕为奇数共有：C lx c i =2 0.两类共计4 5 个，其中个位数是0,十位数是奇数的两位数有1 0,3 0,5 0,7 0,9 0 这 5个数，所以个位数是0的概率为：尸 春=3.K3几何概型1 0.K 3 2 0 1 2 辽宁卷在长为1 2 cm的线段N8上任取点C现作一矩形，邻边长分别等于线段Z C,CB 的长，则该矩形面积小于3
8、2 c m 2 的概率为()Al B-3C.|D.,1 0.C 解析本小题主要考查几何概型.解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比.令 4 C =x,C B=2-x,这时的面积为S =x(1 2-x),根据条件S =x(1 2 7)0=0 x x+cp),把夕=聿和点(0,代入得(ocos(0+季)=解得 3 =3.(2)取特殊情况，在的条件下，导函数/(x)=3cos(3x+1),求得 0),原，-3)喈，0),故Z 8 C 的 面 积 为 以 谢=吴 咨 义3 吟 曲线段与x 轴所围成的区域的面积S=-./(x)|既=-sin俘+*)+sin管+胃=2,所以该点在N 8C内的概
9、 率 为 尸=中=今J 4t10.LL K3 2012 陕西卷图 1-3 是用模拟方法估计圆周率兀值的程序框图，尸表示估计结果，则图中空白框内应填入(A.P=C.P=NToooMToooB.D.P=4NToooTooo10.D 解析本题主要考查循环结构的程序框图的应用，同时要兼顾考查学习概率的模拟方法中圆周率兀的模拟，通过阅读题目和所给数据可知试验了 1000次，代表落在圆内的点的个数，根据几何概型，=温，对应的圆周率兀为尸=襦.K 4 互斥事件有个发生的概率1 316.B1K B12、E3 2012重庆卷设於)=lnx+五+/+1,其中 曲线y=)在点(1,7 U)处的切线垂直于y 轴.(1
10、)求。的值；(2)求函数八x)的极值.31 6.解：(1)因/(x)=4 1 n x +元+/+1,故，(x)=?-2?+2-由于曲线y=/(x)在点(1,负1)处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0,即/(1)=0,1 3从而4-5 +彳 =。，解得 a=-l.(2)由 知 段)=-l n x +|x+l(x 0),1 1 3/a)一 L M +23 x2-2 x -1=-(3 x +1 )。-1)=2 7 令/(X)=0,解得X 1 =1,X 2=-*因 X 2=不在定义域内，舍去).当x (0,l)时，/(x)0,故外)在(1,+8)上为增函数.故人x)在 x=1 处取得极小值1)=3,
11、无极大值.K5相互对立事件同时发生的概率1 6.Bll,B12、E3 2 0 1 2 重庆卷 设.x)=a l n x+=+|x+l,其中 aGR,曲线尸危)在点(1,/(I)处的切线垂直于y 轴.(1)求 的值;(2)求函数)的极值.1 31 6 .解：因 x)=a l n x +云:+/+1,故/(x)=；B +l-由于曲线歹=小)在点(1,寅1)处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0,即，(1)=0,1 3从而 a-+5 =0,解得 a=-l.1 3(2)由 Q)知 )=T n x +五+/+l(x 0),f W=-x-i+23 x2-2 x 1=-2?-(3 x+I)。-1)=2?令/
12、(X)=O，解得X 1 =1,X2 =(因X 2=不在定义域内，舍去).当x (0,l)时，/(x)0,故儿:)在(1,+8)上为增函数.故/(x)在 x=1 处取得极小值/(1)=3,无极大值.1 7 .K 5、K 6 2 0 1 2 湖南卷 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的1 0 0 位顾客的相关数据，如下表所示.已知这1 0 0 位顾客中 次购物量超过8 件的顾客占5 5%.(1)确定x,y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望：(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该一次购物量1 至4件5
13、至8 件9至1 2 件1 3 至1 6件1 7 件及以上顾客数(人)X3 02 5y1 0结算时间(分钟/人)11.522.53顾客结算前的等候时间不举过2.5 分钟的概率.(注：将频率视为概率)1 7.解：(1)由已知得 2 5+y+1 0 =5 5,x+3 0 =4 5,所以 x=1 5,y=2 0.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的1 0 0 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为1 0 0 的简单随机样本，将频率视为概率得-(X=l)=悬=焉 尸(代 1.5)=器=卷2 5 1 2 0 1P(X=2)=丽=布 P(X=2.5)=旃=亍%才=3)=芸=X的分布
14、列为X11.522.53331112 01 0451 0X的数学期望为3 3 1 11E(X)=1 义/布 V +1.5 XT1 xTz +2 XTt +2.5 X-J +3 XT1 UT=1.9.(2)记 4为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5 分钟2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则P(4)=P(X =1 且为=l)+P(X i =l 且 A 2=1.5)+P(X =1.5 且 泾=1).由于各顾客的结算相互独立，且 X，泾的分布列都与X的分布列相同，所以3 3尸(4)=尸(X =1)X P(E=1)+尸(X =1)X P(X 2=1.5)+P(X =1.5)X P(X 2=1
15、)=2 0 =4 0-1 9.K 6 2 0 1 2 全国卷 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在1 0 平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1 分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1 分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.(1)求开始第4 次发球时，甲、乙的比分为1 比 2 的概率：(2片表示开始第4 次发球时乙的得分，求 的期望.1 9.解：记4 表示事件：第 1 次和第2 次这两次发球，甲共得i 分，=0,1,2;4 表示事件：第 3 次发球，甲得1分；8 表示事件：开始第4 次发球时，甲、乙
16、的比分为1 比2.(1)8=AQ-A+A-A,一=0.4,尸(4)=0.42=0.16,P(小)=2X0.6X04=0.48,尸(3)=尸(4)4+小)=P(4o 4)+P(4 1)=P(Ao)P(4)+P(4)P*=0.16X0.4+0.48X(1-0.4)=0.352.(2)尸(4)=0.62=0.36.。的可能取值为0,1,2,3.P&=0)=P(A2-A)=P(A2)P(A)=0.36X0.4=0.144,P(4=2)=P(8)=0.352,产 仁=3)=P(AQ-A)=P(Ao)P(N)=0.16 X 0.6=0.096,尸 4=1)=1-尸(。=0)-尸(。=2)-尸(=3)=1
17、-0.144-0.352-0.096=0.408./=0 X P=0)+1XP(=1)+2XP(+l(x0),f(x)=_ 1 七+13?-2x-1=2?(3x+l)(x-1)-27 令/(x)=0，解得X1=1,x2=(因X2=不 在定义域内，舍去).当x（O,l）时，/（x）0,故人x）在（1,+8）上为增函数.故H x）在x =1处取得极小值7 0）=3,无极大值.2 0.K6、K 8 2 0 1 2陕西卷 某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业 务所需的时间（分）12345频率().10.40.3
18、0.10.1从 第 个顾客开始办理业务时计时.（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.2 0.解：设y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得 丫的分布列如下:Y12345P0.10.40.30.10.1（1）4表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件/对应三种情形:第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以 P（A）=P（
19、Y=1）尸（y=3）+尸（y=3）尸（y=1）+p（r=2）p（r=2）=o.i x o.3+OJXO.I+0.4X 0.4=0.2 2.（2）解法一：X所有可能的取值为0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟.所以尸（X=0）=P（y 2）=0.5;X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超 过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以尸（x=i）=p（y=i）p（y i）+p（y=2）=0.1 X 0.9+0.4=0.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以尸（x=2）=尸（y=i）p（y=i）=o.i x
20、 o.i =o.o i.所以X的分布列为X012P0.50.490.0 1E X=0 X 0.5 +1 X 0.49+2 X 0.0 1 =0.5 1.解法二：X所有可能的取值为0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以尸（X=0）=P（以2）=0.5;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以尸（x=2）=尸（y=i）p（y=i）=o.i x o.i =o.o i；P（X=1）=1 -P（X=o）-P（X=2）=0.49.所以X的分布列为X012P0.50.490.0 1 X=0 X 0.5 +1 X 0.49+2 X 0.0 1 =0.5 1.1 9.12
21、、14、K6、K 8 2 0 1 2辽宁卷 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 1 0 0名观众进行调查.F面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.图 1 -6将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟的观众称为“体育迷”.(1)根据已知条件完成下面的2 义2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1 05 5合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中.采用随机抽样方法每次抽取1 名观众，抽 取 3 次.记被抽取的3 名观众中的“体育迷”人数为X若每次抽取的结果是相互独立的，求
22、X 的分布列，期望E(和方差。(乃.附：f=1+2+1+2P明0.0 50.0 1k3.8 4 16.6 3 51 9.解：由频率分布直方图可知，在抽取的1 0 0 人中，“体育迷”有 2 5人，从而2 X 2列联表如下：非体育迷体育迷合计男3 01 54 5女4 51 055合计7 52 51 0 0将 2X2列联表中的数据代入公式计算，得2 _ (-1 2 2-1 2 2 1)2 _ 1 0 0 X(3 0 X 1 0-4 5X 1 5)2 _ 1 0 0才=1*2+*1*2=7 5X 2 5X 4 5X 55=3 3 55:53 (,3 0-因为3.0 3 0 3.8 4 1,所以没有理
23、由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.2 5,将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为;.1 3 9其)=初(1-)=3 乂4 义=正1 8.K 6、B102012课标全国卷 某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝1 0 元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进1 6 枝玫瑰花，求当天的利润式单位：元)关于当天需求量(单位：枝，GN)的函数解析式；(2)花店记录了 1 0 0 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量1 41 51 61 71 81 92 0频数1 02 0
24、1 61 61 51 31 0以 1 0 0 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进1 6 枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求 X的分布列、数学期望及方差；若花店计划一天购进1 6 枝 或 1 7 枝玫瑰花,你认为应购进1 6 枝还是1 7 枝？请说明理由.1 8.解：(1)当日需求量2 1 6 时，利润y =8 0.当日需求量 1 6 时，利润y=1 0-8 0.所以y关于的函数解析式为1 0/7-8 0,1 6,y=、(N).1 8 0,2 1 6(2)X可能的取值为6 0,7 0,8 0,并且产(X=6 0)=0.1,尸(X=7 0)=0.2,P(X=8 0
25、)=0.7.X的分布列为X6 07 08 0P0.10.20.7X的数学期望为,=6 0 X 0.1 +7 0 X 0.2 +8 0 X 0.7 =7 6.X的方差为D X=(6 0 -7 6)2X 0.1 +(7 0-7 6)2X0.2 +(8 0 -7 6)2X0.7 =4 4.答案一：花店一天应购进1 6 枝玫瑰花.理由如下：若花店一天购进1 7 枝玫瑰花，y 表示当天的利润(单位：元)，那 么 y的分布列为Y556 57 58 5P0.10.20.1 60.54y的数学期望为 Y=55 X 0.1 +6 5 X 0.2 +7 5 X 0.1 6 +8 5 X 0.54 =7 6.4.y
26、的方差为0 7=(55-7 6.4)2X 0.1 +(6 5-7 6.4)2X0.2 +(7 5-7 6.4)2X0.1 6 +(8 5-7 6.4)2X0.54=1 1 2.0 4.由以上的计算结果可以看出，D X D Y,即购进1 6 枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外，虽 然 但 两 者 相 差 不 大.故 花 店 一 天 应 购 进 1 6 枝玫瑰花.答案二：花店一天应购进1 7 枝玫瑰花.理由如下：若花店一天购进1 7 枝玫瑰花，y 表示当天的利润(单位：元)，那 么 y的分布列为Y556 57 58 5P0.10.20.1 60.54y的数学期望为 7=55X 0.1 +6 5X 0
27、.2 +7 5X 0.1 6 +8 5X 0.54 =7 6.4.由以上的计算结果可以看出，E X P(X=1.5)=而=正尸(X=2)=襦 J，-5)=翁+P(X=3)=芸 咻.X 的分布列为X11.522.53P32 03I o14151T oX 的数学期望为3 3 1 11E(X)=1 X +1.5 XT T+2 XT+2.5 XT+3 XT T=1.9.(2)记/为 事 件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5 分 钟 ，用。=1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则p(/)=p(x =l 且 E=1)+P(X =1 且 E=1.5)+P(X=1.5 且%=1).由于各顾客的结算相
28、互独立，且 X，毛的分布列都与X 的分布列相同，所以3 3P(N)=尸(X=1)XP(M=1)+P(X=1)XP(E=1.5)+P(X=1.5)XP(法=1)=2 ox2 o +3 y 3 ,3 v 3 92 0X1 0+l 0X2 0=8 0-9故该顾客结算前的等候时间不超过2.5 分钟的概率为六.O V2 0.K 6、K7 2 01 2 湖北卷 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如卜.表：降水量X督 3 003 00 督 7 007 00W 督 9 00X2 9 00工期延误天数y0261 0历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于3 00,7 00,
29、9 00的概率分别为0.3,0.7,09求：(1)工期延误天数y的均值与方差；(2)在降水量X 至少是3 00的条件下，工期延误不超过6天的概率.2 0.解：(1)由已知条件和概率的加法公式有:P(X 3 00)=0.3,尸(3 00W 右 7 00)=P(X 7 00)-P(X 3 00)=0.7 -0.3 =0.4,P(7 00W X 9 00)=P(X 9 00)-P(X 7 00)=0.9 -0.7 =0.2.P(XN 9 00)=1 -P(X 9 00)=1 -0.9 =0.1.所 以 丫的分布列为Y0261 0P0.30.40.20.1于是，(Y)=0X0.3+2 X0.4+6 X
30、0.2+1 0X0.1 =3;D(Y)=(0-3)2X0.3 +(2-3)2 X04 +(6 -3)2X0.2 +(1 0-3)2X0.1 =9.8.故工期延误天数丫的均值为3,方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P(3 00)=1 -P(X 3 00)=0.7,又 尸(3 00W X 9 00)=P(X 9 00)-P(X 3 00)=0.9 -0.3 =0.6.,“，人有士他,、P(3 00W X 9 00)0.6 6由条件概率，得 P(y W 6|X?3 00)=P(X 9 00 3 00)=尸(*2 3 00)=0 7=7故在降水量X 至少是3 00的条件下，工期延误不超过6天的概率
31、是今1 7.12、K6 2 01 2 广东卷 某 班 5 0 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图1一4 所示,其中成绩分组区间是：4 0,5 0),5 0,6 0),6 0,7 0),7 0,8 0),8 0,9 0),9 0,1 00.(1)求图中X 的值；(2)从成绩不低于8 0分的学生中随机选取2人，该 2人中成绩在9 0分以上(含9 0分)的人数记为1 5 求 4的数学期望.1 7.解:(1)由题设可知(3 X0.006+0.01 +x+0.05 4)X1 0=1,解之得x =0.01 8.(2)由题设可知，成绩在区间 8 0,9 0)内的人数为0.01 8 X1 0X5 0=
32、9,成绩在区间 9 0,1 00 内的人数为0.006 X1 0X5 0=3,所以不低于,8 0分的学生人数为9 +3 =1 2,的所有可能取值为0,1,2.P(E=O)=忌 哈,%=1)=置之，尸(。=2)=悬 弓.所以占的数学期望拶=0 X 4+1X/+2X*=；1 7.K5、K6 2 01 2 安徽卷 某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用 道试题，若调用的是4类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道/类型试题和一道8类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是8类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束.试题库中现共有+机道试题，其中有道/类型试题和，道8类型试题.以X表示两次调题工
33、作完成后，试题库中A类型试题的数量.(1)求 X=+2 的概率；(2)设 m=，求 X的分布列和均值(数学期望).17.解：以小表示第i 次调题调用到/类型试题，i=1,2.n +1 n(n+1)(I)P(X=+2)=尸(小 42)=n7=(+:/+m+n m+n+2(in+n)(m+2)(2)X的可能取值为，+l,M+2.-n H P(X=n)=P(A,A2)=7,-n 勿 +1 n 7 7 !PX=+1)=P(4 A2)+P(小 A2)=rr+-=5n +1 1P(X=+2)=尸(小 42)=T=7，n+nn+n+2 4从而X 的分布列是EX=x +(+l)x g +(+2)X；=+1.X
34、nn+1H+2P141416.K2、K62012福建卷 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概品牌甲乙首次出现故障时间M年)0l20VxW2x2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X，生产一辆乙品牌轿车的利润为先,分别求*,X2的分布
35、列：(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由.1 6.解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件42+3 1则尸(/)=W=而.(2)依题意得，乂的分布列为X123p139255010法 的分布列为1 3 9 143由得，E(Xi)=1X劳+2X而+3 X=句=2.86(万元),X1.82.9P1To9To1 9E(莅)=1.8X 而+2.9X 而=2.79(万元).因为E(X)E(X2),所以应生产甲品牌轿车.19.K6、K72012山东卷 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射
36、击一次，命中的概率为32本 命中得1 分，没有命中得0 分：向乙靶射击两次，每次命中的概率为宗每命中一次得2分，没有命中得0 分.该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击.(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX.19.解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件Z,“该射手射击甲靶命中”为事件8,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，”该射手第二次射击乙靶命中”为事件。，由题意知W=P(O =P(0 =多由于Z=8 3 力+C 力+火CD,根据事件的独立性和互斥性得P(A)=P(B C D+BCD+B C D)=P(B C D)+P(B
37、 CD)+P(B CD)=P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)736(2)根据题意，X 的所有可能取值为0,l,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性得P(X=0)=P(B CD)=1-P(B)1-P(O 1-P(D)1361P(X=1)=P(B CD)=P(B)P(C)P(D)1P(X=2)=P(B CD+B CD)=P(BCD)+P(B CD)=0-1)X3X6-3)+04)X0-t)X31=5尸(X=3)=P(BCD+B CD)=P(BCD)+P(B CD)2=4X3X6=35+lx02X3P(X=4)=P(BCD)o-i19,2 20(X=5)
38、=P(BCD)_1故X的分布列为所以 EX=OX/+1 X七+2 X 3 +3 X；+4 X W +5 X；*.X012345P13 61n1913191316.K 6,K 7 20 12 天津卷 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X,丫 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记j=/一%求随机变量j的分
39、布列与数学期望E f1 6.解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为小 去参加乙游戏的概率为|设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件4(i=0,l,2,3,4),则P(4)=cO(|卜(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率尸(4)=屐)1)?=27.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件8,则8 =4U4j，由于小与4互斥，故P(B)=P(/3)+P(A4)=或 自3 停)+弟)4=1所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为小(3片的所有可能取值为0,2,4.由于小与小互斥，儿 与4t互斥，故Q 仁=0)=尸(/2)=药尸4
40、=2)=尸(4|)+(力3)=第，_ 1 7P=4)=P(/o)+P(/4)=百所以4的分布列是随机变量的数学期望E 0=0 X 5+2义黑+4*畀=詈.Z/0 1 0 1 0 1图 1 -41 9.K I、K 5、K 6 20 1 2浙江卷已知箱中装有4 个白球和5 个黑球，且规定：取出一个白球得2 分，取出一个黑球得1 分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3 球所得分数之和.(1)求 X 的分布列；(2)求 X 的数学期望E(A).1 9.解：(1)由题意得X 取 3,4,5,6,且P(X=3)=S=,所以X 的分布列为(2)由(1)知X3456
41、P5421 02 15U12 1E(X)=3 尸(X=3)+4-P(X=4)+5-P(X=5)+6P(X=6)=.K7条件概率与事件的独立性1 6.K 6,K 7 20 1 2天津卷现有4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于2 的人去参加乙游戏.(1)求这4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率；(2)求这4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用 X,丫分别表示这4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记1f=|/一口，求随机
42、变量的分布列与数学期望E4.1 6.解：依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为小去参加乙游戏的概率为|设”这 4 个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件小(i=0,1,2,3,4),则%小)=以 削 3 这 4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率尸 =吾.(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件8,则 3 =小U 4，由于小与4 互斥，故P(B)=尸(4)+尸(4)=C 出 停)+C 盼 二所以，这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为去(3%的所有可能取值为0,2,4.由于小与小互斥，/()与4,互斥，故QP(=0)=P(J2)=2
43、7，40尸(=2)=尸(/|)+(43)=防，1 7尸 e=4)=/(4)+尸(4)=肝所以召的分布列悬_024P827408?1 78 1s 20.K 6、K 7 20 1 2 湖北卷根据以往的经验，某工程施工期间的降水量内单位：m m)对工期的影响如下表：降水量X%3 0 03 0 0 W 7 0 07 0 0 WX 9 0 0X)9 0 0工期延误天数r0261 0历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于3 0 0,7 0 0,9 0 0 的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是3 0 0 的条件下，工期延误不超过6 天的
44、概率.2 0.解：(1)由已知条件和概率的加法公式有:P(X 3 0 0)=0.3,尸(3 0 0 W X 70 0)=P(X 70 0)-P(X 3 0 0)=0.7-0.3 =0.4,P(70 0 W X 90 0)=P(X 90 0)-P(X 70 0)=0.9-0.7=0.2.P(X 2 90 0)=1 -P(X 90 0)=1 -0.9=0.1.所 以 y的分布列为Y0261 0P0.30.40.20.1于是，(y)=0 X 0.3+2 X 0.4+6 X 0.2+1 0 X 0.1 =3;D(Y)=(0-3)2*0.3 +(2-3)2 X 0 4 +(6 -3)2X 0.2 +(1
45、 0 -3)2X 0.1 =9.8.故工期延误天数丫的均值为3,方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P(X 3 0 0)=1 -P(X 3 0 0)=0.7,又 尸(3 0 0 W X 90 0)=P(X 90 0)-P(X 3 0 0)=0.9-0.3 =0.6.P(3 0 0 W X 90 0)_ 0.6 _ 6由条件概率，得 P(y W 6|X 2 3 0 0)=P(X 2）=0.5;%=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超 过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以尸（x=i）=p（y=i）p（Di）+p（y=2）=0.1 X 0.9
46、+0.4 =0.4 9;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以尸（x=2）=尸（y=i）p（r=i）=o.i x o.i =0.0 1.所以X的分布列为X012P0.50.4 90.0 1E X=0 X 0.5+1 X 0-4 9+2 X 0.0 1 =0.5 1.解法二：X所有可能的取值为0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以尸（X=0）=P（Y2）=0.5;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1 分钟,所以 p(x=2)=p(y=i)p(y=i)=o.i x o.i =o.o i；P(X=1)=1 -P(X=0)-P(X=2)=0.4 9.所以
47、X的分布列为X012P0.50.4 90.0 1 1 =0 X 0.5 +1 X 0.4 9+2 X 0.0 1 =0.5 1.1 7.K 8、II、I 2 2 0 1 2 北京卷 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨):“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾4 00100100可回收物3 024 03 0其他垃圾20206 0(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(
48、3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为“，b,c,其中00,o+b+c=6 00.当数据a,b,c的方差J最大时，写出a,b,c的值(结论不要求证明)，并求此时5 2的值.注：S2=:(X|X)2+(X2 x)2H-X)2,其中 X 为数据 X1，X2，X”的平均数17.解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 4 00 2厨余垃圾总量=4 00+100+100=3(2)设生活垃圾投放错误为事件4则事件彳表示生活垃圾投放正确.事件力的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以
49、生活垃圾总量，_ 4 00+24 0+6 0即P(A)约为-西-0.7,所以尸约为1 -0.7 =0.3.(3)当a =6 00,6 =c =0 时，s?取得最大值.因为 x =-y(o +b +c)=200,所以 S2=|(6 00-200)2+(0-200)2+(0-200)2 =8 0 000.19.12,14、K 6、K 8 2012辽宁卷 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.图 1 -6将日均收看该体育节目时间不低于4 0 分钟的观众称为“体育迷”.(1)根据已
50、知条件完成下面的2义2 列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中.采用随机抽样方法每次抽取1 名观众，抽 取 3次.记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X若每次抽取的结果是相互独立的，求 X的分布列，期望E(和方差。(.附：f=(11 22一 尸P 明0.050.01k3.8 4 16.6 3 519.解：由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有 25人，从而2X 2列联表如下：非体育迷体育迷合计男3 0154 5女4 51055合计7 525100将 2 X2 列联表中