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1、D数列DI数列的概念与简单表示法21.D I、D3、E l、M32012重庆卷 设数列&的前项和S“满足S“+尸a2S”+即 其111做力。.(1)求证：%是首项为1的等比数列；若 2 I，求证：SW(i+a“)，并给出等号成立的充要条件.21.解：(1)证法一：由 2=曲目+。得田+。2 =。2田 +即。2 =。2。1.因 故#。，故。1=1，得”=。2.又由题设条件知S+2=2S“+1+1，S+=。2szi+1，两式相减得 S2 -5+=。2(*+1-S)，即即+2 =。2。+1，由 ”2#0，知 4,1#0，因 此”=。2.+1综上，血=。2对所有1-1且。2#0，由(1)知4=1,an
2、-1时,雄一 1与 雄 一 l(r=1,2,一 1)同为正.因此当2-1且2W1时，总有3-1)(4 -1)0，即&+区 1 +搂(r=1 2 ，n-1).上面不等式对，从1到-1求和得2 Q +。:+成 I 1)(1+2)由此可得 1 +。2 +；+.-1且%彳。时，有5“W(ai+a)，当且仅当n=1,2或 敢=1时等号成立.证法二：当=1或2时，显然+)，等号成立.当2=1时，Sn=n=(a+斯)，等号也成立._ i t当时，由知 =；、斯=区下证：1 一。27 T q a 1+&T)(W23,2-1且 西/1)1 。2 2当时，上面不等式化为(-2)卷+na 2 -ne b 1 n-2
3、(2 3).令 A2)=(-2)原+na?-na 2 当 一 1 做 0 时，I 。，故&2)=(九 -2)2 +2(1 -)(-2)1 2?一 2,即所要证的不等式蔻立.当 0 做 1 时，对2 求导得 r(2)=n(n-2)t/2 1-(H-1)6/2 2+1 =g(2).其中 g )=(-2)雄 J(T)雄-2 +1,则 g(敢)=(n-2)(-1)(a 2 -l)t?2 3 g(l)=0,从而/3 2)=g(2)0,进而大。2)是(0,1)上的增函数，因此火。2)1时，令匕=,，则0 b -1且。2 0时，有S，W(a i +a“)，当且仅当=1,2或“2=1时等号成立.2 3.M 2
4、、Dl 2 0 1 2上 海 卷 对 于 数 集*=-1,x”x2,，x),其中 0 X|X22,且 -1,1,2,X 具有性质P,求X的值；(2)若X具有性质P,求证：1G X,且当%1时，x i =l；(3)若X具有性质P,且 为=1、皿=(4为常数)，求有穷数列x”也，%的通项公式.2 3.解：选取m =(x,2),Y中与内 垂直的元素必有形式(-1,份，所以x=2 b,从而x =4.证 明:取。1=(修,%i)y,设。2 =($，f)y，满足。1以2 =0.由(s+。修=0得s +f =0,所以s,异号.因为-1是X中唯一的负数，所以s,1之中一个为-1,另一个为1,故1 E X.假设
5、为=1,其 中1 攵，则0 为 1 两，矛盾；若，=-1,则 X”=矛盾.所以X =L 设G =(S ,八)，。2=(5 2，切，则。1以2 =0等价于0=一互，t$2记8=%飞X，e x，l.s l l d,则数集X具有性质P当且仅当数集8关于原点对称.注 意 到-1是x中的唯一负数，8 n(-8,o)=-孙-工3，-4 共有-1个数，所以8A(0,+8)也 只 有 个 数.由于 为 血，已有-1个数，对以下三角数阵X”-1 X”-2 X1出-旦-.%工X n I R”-2 X 2 -X -/“-二 ,=所以出-=&=i =,从而数列的通项为4=占件)=d的 X i XI Xn-1 Xn-2
6、 X k=1,2,，n.7 .D2、El 2 01 2 浙江卷设 S“是公差为d(d W O)的无穷等差数列 斯 的前项和，则下列命题车肯误的是()A.若 d 0D.若对任意“W N*,均有S“0,则数列 S“是递增数列7.C 解析本题考查等差数列的通项、前项和，数列的函数性质以及不等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的难度.法一：特值验证排除.选项C显然是错的，举出反例：-1,0,1,2,3,满足数列 S,是递增数列，但是5“0 不恒成立.法二：由 于Sn=na i+”2 1)”=寰+(1-4，根据二次函数的图象与性质知当d 0,但对任意的 N,S“0 不成立，即选项C错误；反之，选 项
7、 D是正确的；故应选C.点评等差数列的求和公式与二次函数的图象的关系是解决本题的重要依据.D2等差数列及等差数列前n 项和6.D 2 Q 01 2 辽宁卷在等差数列 斯 中，已知4+念=1 6,则该数列前1 1 项和5“=()A.5 8 B.88C.1 4 3 D.1 7 66.B 解析本小题主要考查等差数列的性质和求和公式.解题的突破口为等差数列性质的正确应用.由等差数列性质可知，如+。8=1 +U=1 6,S u =X-皿 =88.5.D 2 2 01 2 全国卷已知等差数列 斯 的前项和为S“，的=5,S s=1 5,则 嬲的前1 00项和为()A1 00 n 9 9AA-1-0-1-R
8、D-1-0-1-9 9 1 01rc 1 0 0 Du-1 0 05.A 解析本小题主要考查等差数列的前项和公式与裂项相消求和法，解题的突破口为等差数列前奇数项和与中间项的关系及裂项相消求和法.由 55=5 4 3得 的=3,又5=5,服 a=n.=/:d-7,/-7+7 T+一ana,n(n+1)n n+1 可念 42a31 1 1 1 1 1 1 1 100-+薪 嬴；=1 +r 5+而 一 而=1-而=而，故选A10.D22012北京卷已知。“为等差数列，S“为其前”项和，若。|=,S 2=e 则念10.1 解析本题考查等差数列基本公式和基础运算，设等差数列%的公差为d,由 2=。3 可
9、 得,=3-2=d=J,所以2=2/=2xg=1.2.D2 2012.福建卷等 差 数 列%中,|+5=1 0,。4=7,则数列 斯 的 公 差 为()A.1 B.2 C.3 D.4筋+i+4d=10,2 +4d=10,2.B 解析根据已知条件得：即 解 得 勿=4,。+3d=7,ai+3d=7,所以d=2.所以选择B.11.D2 2012广东卷已知递增的等差数列 斯 满 足 用=1,。3=是-4,则册=.11.2-1 解析 设等差数列的公差为d,由于数列是递增数列，所 以 d 0,。3=田+2J=1 +2d,“2=“I+”=1 +d,代入已知条件：03=泊-4 得：1 +2J=(1+(I)2
10、-4,解得屋=4,所以 d=2(4=-2 舍去)，所以.“=1 +(-1)X2=2“-1.7 T12.B 3、D22012.四川卷设函数/)=2x-cosx,”“是公差为R的等差数列，%。+加2)OH-F/(5)=5 兀，则/(的)?一。阳5=()A.0C.亲 D.方兀 兀 兀 兀12.D 解析设的=呢 则 a】=a-2=-g,a4=+g,a5=+,由Al)+加2)+加5)=5兀，得 2 X 5a-cosa-/)+cos(a 一 +cosa+cos(a+cos(a+=5兀，即 10a-(A/2+V2+l)cosa=5兀.T T当OWGWTT时，左边是。的增函数，且仪=方满足等式；当 a 兀时，
11、10a10兀，n5(V2+y2+1 )cosa 5cosa5,等式不可能成立；当a 0 时，10a 而-(6+4 2 +6+)cosa 5,等式也不可能成立.!兀故的=a=,A3)2-=兀2-(a-)(a+，=jjn2.19.D 2、D52012广东卷设数列 斯 的前n 项和为S.,满足25“=%+12/1+1,N*,且“1，。2+5,。3成等差数列.求 的 值；(2)求数列 斯 的通项公式;I 1 3(3)证明：对一切正整数，有一+H-Fq.2%21 9.解：.4,方+5,的成等差数列，2(2+5)=c i +a y又二 2 i =2s l =刃-2?+1,2(1 +=252=a3-23+1
12、,Q 2=2Q|+3,0 3 =6 t 7|+1 3.因此 4 d i +1 6 =7 +1 3,从而a =1.(2)由题设条件知，22时，2 Sn-1=-2 +1,2S =Q“+-27+1.=-斯-2,于是%+1=3 az i+2”(22).而由知，。2=如+3 =5=3。1+2,因此对一切正整数n,有许+=3 an+2”,所 以*+2 T =3+2”).又.；a i +2i =3,.斯+2 是 以 3 为首项，3为公比的等比数列.故斯+2 =3 ,即册=3 -2.4 =3 -2 =3 3 7 -2 =3 一|+2(3 t -2 T)N3 T,1 L1 9.D2、D 3、M2 20 1 2湖
13、南卷已知数列 斯 的各项均为正 数,记 4(n)=。|+即+“+斯，B()=a 2+。3 -|,C5)=a 3+4 4 H-F a+2 n ,2,.(1)若 上=1,a2=5,且对任意 G N*,三个数A(a)，B()，C()组成等差数列，求数列 斯 的通项公式；(2)证明：数列 册 是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对 任 意“W N*,三个数4()，B(n),C()组成公比为q的等比数列.1 9.解:对任意n N*,三个数A()，B(),C()是等差数列,所以B()-A()=C()-B(n),E P ani-ai=a2-a2,an2an =a2-a1=4.故数列“是首项为1,公差为4的
14、等差数列.于是 a =1 +(n -1)X 4 =4n-3.(2)必要性：若数列 斯 是公比为q的等比数列,则对任意 W N*,有“,1 =。的.由王“0 知，A()，B(n),C()而大于 0,于是-8-(”)-a-2-+-a-3-+-+-1-+-做-+-+-=Z IA(n)Q 1+Q2+Q 1 +Q2+C(n)=-。-3-+-。-4-+-+-%-+-2=-9-(-做-+-的-+-+-1-)=B(n)02+03+即+1 2 +03+a“i 即普?=5驾=q 所以三个数C5)组成公比为9的等比数列A(n)b(n)充分性：若对任意 W N*,三个数A(八)，8(”)，C()组成公比为q的等比数列
15、，则B(n)=qA(n),C(n)=qB(n).于是 C()-8()=4 8(N)-4(N),得为+2-。2=虱。“7-田)，B P an.2-qan.x=a2-qax.由 ”=1 有 B(l)=qA(I),即。2=W1，从而斯*2-4 a 1 =0.因为。“0,所 以 包 二=%a+1 1故数列 斯 是首项为a”公比为夕的等比数列.综上所述，数列 斯 是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意 E N*,三个数A(n),B(n),C(”)组成公比为q的等比数列.1 2.D 2 201 2 江 西 卷 设 数 列 乩 都 是 等 差 数 列.若=7,的+优=2 1,则。5 +。5 =1 2.
16、3 5 解析 考查等差数列的定义、性质；解题的突破口是利用等差数列的性质，将问题转化为研究数列的项与项数之间的关系求解.方法一：设 C=a +6”，:%,出”是等差数列，c”是等差数列，设其公差为d,则 q =7,c3=c i +2d=2L 解得 d=7,因此，c$=恁+%=7 +(5-1)X 7 =3 5.故填 3 5.方法二：设 c“=a”+历,是等差数列，6 是等差数列，2 Q+比)=(田 +加)+(。5+%5)，即 4 2=7 +(a 5+-因此的+左=4 2-7 =3 5.故填 3 5.1 7.D2、D 5 201 2陕西卷 设 斯 是公比不为1 的等比数列，其前项和为a,且的，。3
17、,。4 成等差数列.(1)求数列 为 的公比：(2)证明：对任意k G N+,叉+2,Sk，成等差数列.1 7.解：(1)设数列 ,的公比为q(g#0,g#l),由“5，“3，四成等差数列，得 力3 =%+。4,即2a q 2=aqA+,由R#0,q#0 得/+g-2=0,解得知=-2,1(舍去)，所以q=-2.证法一：对任意k N+,Sk+2+S m -2 Sk=(1+2-S。+(S x -S Q=*+1 +四+2+W+1=如+1+四+(-2)=0,所以，对任意女 N.,S”Sk，SA”成等差数列.证法二：对任意k N.,2 s L 怨沪,/1 k+2、/&+1、/c k+2*+1、,1(1
18、-g ),4 1(1-q )。1(2-q-q )s*2+&i=;+;=-r-1 -q 1 -q 1 -q八 s ,A+2 A:li -q加I(1 一 /)i-q2S-(SA+2+SK I)=为2(1 _ 力 _(2 _ 尸2 _式如=+q _ 2)=o,因此，对任意k N.,S*+2,Sk，S*.成等差数列.1.D 2 201 2重庆卷在等差数列&中,做=1，0 4=5,则 斯 的前5 项和S5=()A.7 B.1 5 C.20 D.251.B 解析因为 斯 是等差数列，所以6+。4 =勾+。5=1 +5=6,所以S5=也产D3等比数列及等比数列前n 项和1 3.D 3 201 2 浙江卷设公
19、比为g(q 0)的等比数列 飙 的前项和为S,，若$2=3 敢+2,S 4=3 4 4+2,贝!J q=.31 3$解析本题主要考查等比数列的求和以及二元方程组的求解.当4=1时，由S2=3 2+2 得 的=-2,由S4=3(7 4 +2 得。4=2,两者矛盾，舍去，则q W l,联立方程。1 +闻=3 q +2,p j =-1,0(1 -/可解得3 故应填*=3 q +2,q=,Z 点评注意分类，必须对q=l加以讨论，否则直接利用等比数列的求和公式容易导致遗漏.1 4.D 3 201 2辽宁卷已知等比数列 斯 为递增数列，且 达=。以 2(斯+%+2)=5为+”则数列 斯 的通项公式为a,.
20、=.1 4.2 解析本小题主要考查等比数列的概念与性质.解题的突破口为灵活应用等比数列通项变形式，是解决问题关键.由已知条件 4 为等比数列，可知，2(即+。+2)=5%+时 4)=5 应=为2-54+2=00q =：或 2,又因为 ”是递增数列，所 以 q =2.由a 。得。5=夕=3 2,所以=2c,“=a q n-1=2.7.D 3 201 2湖北卷定义在(-8,0)U(0,+8)上的函数於),如果对于任意给定的等比数列 斯,依为)仍是等比数列，则称大x)为“保等比数列函数”.现有定义在(一8,0）U（0,+8）上的如下函数:A x）=x2；颔 x）=2 y（x）=V k l；颜 x）=
21、ln ld则其中是“保等比数列函数”的A x）的序号为（）A.B.C.D.7.C 解析设数列 斯 的公比为q.对于，噢）二 竽 二/，故数列伏阂）是公比为7 的等比数列；对于，.陪?=第1=2a”t-a“（不为常数）,故数列伏。“）不是等比数列；对于，=M，故数列伏斯）是等比数列；对于，端=%（不为常数），故数列伏。“）不是等比 数 列.由“保等比数列函数”的定义知应选4.D 3 2 0 1 2 安徽卷公比为该的等比数列 知 的各项都是正数，且 w u=1 6,则 lo g 2 a 比=（）A.4 B.5 C.6 D.74.B 解析本题考查等比数列，等比中项的性质，对数运算等.（解法一）由等比
22、中项的性质得“3 即=鬲=1 6,又数列 斯 各项为正，所以劭=4.所以=劭、/=32.所以 lo g 2 a 1 6 =5.（解法二）设等比数列的公比为q，由题意，册0,则。3 M l =7=（爷）2 =卓昌6=24,所以=21 0,解得 1 6 =2 .故 lo g 2 a l6=5.6.D 3 2 0 1 2 上海卷有一列正方体，棱长组成以1 为首项、g 为公比的等比数列，体积分别记为匕，V2,匕，则l一i m8（H+L+匕）=_ _ _ _ _ _ _ _.Q6今 解析】考查等比数列和无穷递缩等比数列的极限，此题只要掌握极限公式即可解决，是简单题型.由已知可知匕，V2,匕，构成新的等比
23、数列，首项=1,公比q =由极限公式得Oy 1 o（匕+匕+匕）=:-=71-82 1.DI、D 3、El、M3Q 0 1 2.重庆卷设数列 斯 的前w 项和S“满足S.+i=a 2 s“+。|,其中。2#0.（1）求证：斯 是首项为1 的等比数列；（2）若做 一1，求证：S“音 3+即），并给出等号成立的充要条件.2 1.解：（1）证法一：由 S 2 =2 S +得。+2 =2 1 +，即 2 =。2。1.因。2 。，故。1=1,得.=0 2.又由题设条件知S +2 =Q 2 S 1+1+1，S i-1=做5 +。1，两式相减得 S?+2-S+i =2（S +i -S 3即品+2 =。2 ”
24、+1，由 2 。，知恁+|W 0，因此&=2.综上，&n=。2对所有1-1且由(1)知。=1，斯=*所以要证的不等式化为1 +2 +：+加 2 3),)n+即证：1+做+。3+a?W 2(1+凶)(22).当2=1时，上面不等式的等号成立.当时，凶-1与-1(r=1,2,，-1)同为负；当。2 1 时,1 与 M -1(r=1,2,，-1)同为正.因此当2-1且。2彳1时，总有1)(或1)0，即，+1 +=1,2,，n-1).上面木等式对r从1至-1求和得2(2+Cl2+(12*)-1且。2 2 0时，有S W女 +)，当且仅当n=1,2或2=1时等号成立.证法二：当=1或2时，显然+”)，等
25、 号成立.当2=1时，Sn=n=2(f li+斯)，等号也成立.当”#1时，由知$?=；也,an=a下证：1 一 2 _ Q”丁q 3(i+。夕|)(2 3,2-1且“2/1)1 一。2 乙当-1 念 1时，上面不等式化为(n-2)及+-雄 -2(23).令 加2)=(H-2)2+区 I当 一 1 2 0,故大 2)=(-2)成+2(1 -凶 2)(-2)1。2 1 一 2,即所要证的不等式成立.当 0 2 1 时，对 2 求导得 r (2)=(-2)2 1-(n-1)2 2+1=ng(a2)-其中g(。2)=(-2)小 J (-1)雄？+1，则 g(。2)=(-2)(一 1)(2-1)近 3
26、 g(l)=0，从而/(。2)=g(2)0，进而儿?2)是(0.1)上的增函数，因此八。2)1时，令人=,则0 b -1且做力。时，有 工 苍 +斯)，当且仅当=1,2或“2=1时等号成立.22.D3、M3 2012全国卷函数八%)=*22x3.定义数列 x,如下：占=2,x.+i是过两点P(4,5)、Q“(x”，/(x“)的直线PQ“与x轴交点的横坐标.(1)证明：2 WX“5+IV 3；(2)求数列 x 的通项公式.2 2.解：(1)用数学归纳法证明：2 WX“.1V 3.当=1时，xi=2,直线P。I的方程为v-2)-5厂5=2,4 U-4),令y=0,解得应=?，所以2 。：23.假设
27、当=人时，结论成立，即 2 WX AX Z I V3.直线P Q m的方程为y-5=於(x-4),4+1 -4.3+4卬 令y=0,解何为匕二旬.由归纳假设知4*2=；：叙 一0，,+xk+1即 XX1XT2所 以2a;+ir&+23,即当和=攵+1时，结论成立.由、知对任意的正整数,2Wxrv3.3+4x 由及题意得X .设b.=Xn-3,则1 5.匕“+1 bn 士+%5住+；),数歹,2+3是首项为-点 公比为5的等比数列，1 1 a因 场+厂 力 ，rr.4即儿=_ h 7 7，4所以数列 X,的通项公式为%=3-7 7 1 7.十 118.D2、D3、D5 2012湖北卷已知等差数列
28、%前三项的和为一3,前三项的积为8.(1)求等差数列 “的通项公式；(2)若。2,。3,田成等比数列，求数列。1 的前项和.18.解：(1)设等差数列 的公差为“，则2=。|+,03=41+24.由题意得3al+3d=-3,.“M i+d)(a+2d)=8,A i=2,解 得 3或a=-4,d=3.所以由等差数列通项公式可得=2-3(-1)=-3+5,或-4+3(-1)=3n-7.故 =-3+5,或%=3-7.当 即=-3+5时，。2,的，分别为T,-4,2,不成等比数列；当恁=3-7时，2，的，分 别 为-12-4,成等比数列，满足条件.f-3+7,H=1,2,故 1即1 =1 3-71=、
29、3-7,23.记数列 1%1的前几项和为Sn.当=1 时，S=k/)l=4;当=2 时，&=1。1 1 +=5；当时，Sn=2+闷+lad+a 5+(3X3-7)+(3X4-7)+(3-7)5+(-2)2+(3-7)23 2 11 s二 呼 不?+当 =2时，满足此式.4,=1,综上，S =L19.D2、D3、M22012 湖南卷 已知数列 ”的各项均为正数，记&)=+2+即，8()=4 2 +。3+即 +1，。(相)=。3+。4+斯 卜2，=1,2,.(1)若 1 =1,2=5,且对任意E N*,三个数A()，例 )，C()组成等差数列，求数列 斯 的通项公式;(2)证明：数列 斯 是公比为
30、q的等比数列的充分必要条件是：对 任 意 N*,三个数A()，B Q C()组成公比为夕的等比数列.19.解：对任意 E N*,三个数4(解,B(n),C()是等差数列，所以8()-A()=。()一 8()，即知+1 -=%+2-2，亦即。+2-。+1 =。2-。1 =4.故数列 斯 是首项为1，公差为4的等差数列.于是%=+(_ 1)X4=4-3.(2)必要性：若数列 册 是公比为q的等比数列，则对任意 EN，有恁+1 =,小由处0 知，A(n),B(n),C()而大于 0,于是8()=-2 +4 3+一 +斯*=+%+一 +即)=A(n)+2+%Q+2+4 0C()=3+4+,+斯+2 =
31、以色+3+,+1)=B(%)a2+a3+afl+i 偿+内+”“+i 即 答?=今2=q.所以三个数A()，8()，。(九)组成公比为q的等比数列.A(n)B(n)充分性：若对任意 E N*,三个数A()，B(n),C()组成公比为q的等比数列，则B(n)=qA(n),C(n)=qB(n).于是 C(n)-B(n)=qB(n)-A(n),得斯+2-2 =1 一 田)，即%+2-q%+t =。厂 qa由 =1 有 5(1)=.4(1),即 a2=qa,从而 an2-qa“7=0.因为斯 0,所以二=华=5故数列%是首项为“I，公比为4的等比数列.综上所述，数列 册 是公比为g的等比数列的充分必要
32、条件是：对任意N*,三个数A(n),Bin),C()组成公比为g的等比数列.5.D3 20 12课标全国卷已知 斯 为等比数歹！J,。4+7=2,5。6=-8,则。1+田0=（A.7 B.5 C.-5 D.-75.D 解析 设数列 斯 的公比为q.由题意,a q 3+1 a q 6=_ c2,Qq4乂 闻5=。夕3*闻68,a q=-2,a 闻 6 =4a/=4以 q 6=_ 2,l ai =1,当J 3 c 时，4I +田0=1 7 =-2）得p i =-8,田（1 +力=1 +（-2H=-7;当 1c/=2-7.综上，m +ai o=-7.故选 D.时，i +ai o =ai（l +力=（
33、-8）义（1CW/输入2%,必，M /4 _ j :x=（h否 I否/输用4 7图 ITD 4 数列求和 兀18.D4 2 012 上海卷设 a“=n-sinS=a i+a2+-+an,在 S”S2,S i.中,正ZD数的个数是（）A.2 5 B.50C.75 D.10018.D 解析考查数列求和和转化思想，关键是发现数列为振幅越来越小的摆动数列.777T令瓦尸s i 巧 周期为50,前项和记作：Tn=b i+b2+bn,根据三角函数图象的对|M J T称性，可知T,72，丁49均大于。，只有两个750=0，T i o o =0,数 列=荷为振幅越n ZJ来越小的摆动数列，l a“I W 也I
34、,只有当”=1,50.100时相等，故 S 1,S 2，SHO中正数个数为 100.727r14.D4 2 012 福建卷数列 ”的通项公式册=3彳+1,前 项 和 为 S”则 S 2 o i 2=T T14.3 018 角 星 析。1 =l co s+1 =1,2 =2 co s n +1 =-1,的=3co s 彳+1=1,。4=4cos2兀 +5兀。5=5cos万 +。6=6cos3 兀 +1=5,1 =-5,+1=9;77-1287-2:sSoOcC78-78a该数列每四项的和为6,2 012 44=5 0 3,所以2012=6X503=3 018.16.D 4、D5 2012课标全国
35、卷数列。满足为+(1)%=方一1,则 斯 的前60项和为.16.答案 1 830 解析令 bn=“-3+。4-2+。4-】+4，贝 1 b”+i 4”+1 +2+4n+3+4因为册1 +(一 1)%=2几一1,所以即 1 =-(-l)nan+2 -L所以。丽-3=-。4-4+2(4 -4)-1,4-2=。4厂3+2(4 -3)-1,4-=-a4n-2 +2(4 -2)-1,=4,厂 I +2(4 -1)-1,1 =一。斩 +2 X 4 一 L4 2 =y 1 +2(4+1)-1,。4,3=-河+2+2(4/?+2)-1,“4=。2 3 +2(4 +3)-1,所以。4+4=a4n+3+2(4 +
36、3)-1 =-a4n+2+2(4 +2)-1 +2(4 +3)-1=-+1 -2(4 +1)+1 +2(4 +2)-1 +2(4 +3)-I=初 一 2 X 4 +1 -2(4 +1)+1 +2(4 +2)-1 +2(4 +3)-1=%+8,即。4+4=。4+8.同理，。4八3=4 -|，4叱2=而-2+8，=4n-3-所以。4”+1 +4”+2+4”+3+4“+4=44”+4”-1 +4厂2+4”-3+16.即b+i=b“+16.故数列仍“是等差数列.又2 一=2X 1 -1,。3+。2=2义2-1,4-0 3 =2X 3-1,-得。3+。1 =2；+得。2+。4=8,所 以+2+。3+4=
37、10，即 6=10.所以数列 斯 的前60项和即为数列 儿 的 前 15项和，即Sl5=10X 15+至/X 16=1830.20.B3、D4、M4 2012.北京卷设4 是由mX”个实数组成的加行列的数表，满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零，记 S(机，)为所有这样的数表构成的集合.对于ACS(/n,n),记乩4)为A的第i 行各数之和(1 WiWm),c/A)为A的第j列各数之和(IWjW”)：记 k(4)为(4)1,lr2(A)l,lrm(A)l,k,(A)l,lc2(A)l,lc“(4)l中的最小值.(1)对如下数表A,求 4(A)的值；11-0.80.1-0.3-1(2)
38、设数表A C S(2,3)形如11cab-1求 k(A)的最大值；(3)给定正整数r,对于所有的Ad S(2,2 r+l),求 k(4)的最大值.2 0.解：(1)因为 n(A)=L2,r2(A)=-1.2,c,(A)=1.1,c2(A)=0.7,c3(A)=-1.8,所 以 k(A)=0.7.(2)不妨设“WA 由题意得c=-a b.又因c 2-l,所以a+6 W0,于是aW O.n(A)=2 +，2(A)=-,(A)W -1,C i(/1)=+a,C2(A)=+b,C，3(A)=-(1+a)-(1+b)W -(1+a).所以 A(A)=1 +a W L当4=/?=0 且 =-1 时，k(A
39、)取得最大 值 1.对于给定的正整数3任给数表A S(2 2+1)如下：a ia?b b?M+i任意改变A 的行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A*5(2 2+1),并且(4)=K 4*).因此，不妨设n(4)2 0,且 卬 4)2 0(/=1,2,t+1).由-A)的定义知,M 4)W n(A),k(A)W c/(4)0=1,2,，t+1).又因为 C i(A)+?2(A)+c力+i(A)=0,所以(f +2)k(A)W，i(A)+ci(A)+C2(A)+cr,(A)/+1 2 r l=n(A)-c*2(4)-C 2.必)=旷 瓦j-I j-t2W(f+l)-r X(
40、-l)=2 r+1.2/+1所以储声不万.对数表Ao：2 t+1则 4 5(2 2 +1)，且 k(Ao)=y TT.第 1 列第 2列 第 r+1 列第 f+2 列 第2 t+1 列111,L l1+d+2).L l1 f(f+2)7+2r-1r+2r-17+2-1-12 t+1综上，对于所有的A S(2 2+1),k(A)的最大值为775.D 5 单元综合1 8.D5 2 01 2 天津卷 已知 对 是等差数列，其前项和为S”2.是等比数列，且 力h 2,.4+642 7,S4 一d=1 0.(1)求数列 即 与 乩 的通项公式；(2)i f i Tn=anb-an-b 2-Fa 也，W
41、N*,证明 T+1 2=2a+W N*).1 8.解：(1)设等差数列 为 的公差为4等比数列 乩 的公比为q.由 1 1 =仇=2,得出，2+3 d+2/=2 7,f d =3.=2 +3 d,a=2 广 孔=8+6 4 由条件，得方程组 3 解得 8+6J -2 q=1 0,q=2,所以斯=3 -1,bn=2,n N*.(2)证明：(方法一)由得Tn=2 a +22an-i+23a-2+2 a i，2 T=22a +2 3 a 1+2 a2+2*%”由-，得T“=-2(3 n-1)+3 X 22+3 X 23+3 X 2n+2,*2=*+2 2-6 n+2=1 0X 2 1 -2-6 n-
42、1 0.而一 2 册+10 b -1 2=-2(3 n-1)+1 0X 2-1 2=1 0乂2”-6-1 0,故 T+1 2=-2 为+1 0加(方法二：数学归纳法)当=1时，7|+1 2 =也+1 2=1 6,-2 m+1 0 6=1 6,故等式成立；假设当=k时等式成立，即，+1 2=-2,+1 0瓦，则当=女+1 时，有 加 1=以 1 +c ikb i+。卜道3 +。也，1=图+1 仇 +qSkb i+ak-ib2+瓦)=ak-b+qTk=图+1 +q(-2 ak+1 0 瓦-1 2)=2 a h i -4(%】-3)+1 0d+1 -2 4=-2 a j t+1 +10尻+1 -1
43、2,即 Tk+1+1 2 =-2*+10瓦+1，因此=女+1 时，等式也成立.由和，可知对任意7+1 2=-为+i o 乩成立.2 0.D5 2 01 2.山东卷 在等差数列 “中，的+4+的=84,a9=7 3.(1)求数列 斯 的通项公式；(2)对任意m C N*,将数列 斯 中落入区间(9 叫 9 巧内的项的个数记为bm,求数列 风 的前m项和S,.2 0.解：(1)因为 斯 是一个等差数列，a3+a4+a5=84,所以。3 +。4+“5=3 a 4=8 4,即 4=2 8.设数列 斯 的公差为4则 5d =劭 y 4=7 3-2 8 =45,故 d=9.由 4 =a i +3 d 得
44、2 8=m +3X9,即 m=l,所以 a”=+(”-l)d=1 +9(-1)=9/1-8(a 6 N*).(2)对 mN*,若则 9m+89M 0,数列 1犬 州 的 前 项 和 为 T,当为何值时，7；最大？并求出7；的最大值.2 0.解：取=1,得 2 1 =2 +S =M +2，取=2,得 涝=2 田+2 2，由-，得2(。2 -1)=(i)若 即=0，由知。=0.(i i)若 4 2H0,由知 2 -=1.由、解得，1=6+1,2=2 +也；或1=1 一也，2=2-也.综上可得，a =0,。2=0；或=也+1,2 =&+2;或。=1 一行，。2 =2 一也.当 1 0时，由(1)知|
45、=6+1,2 =6+2.当 2 2 时，有(2 +也)为=S2 +S，(2 +g)0 =S2 +S-,所以(1 +y/2)an=(2 +y/2)an-i，即斯=6斯-(2 2),所 以%=外(/)”7=(6+1).(6)t.令 b =I g 1,则 blt=l-l g(V 2)M-1=1 -1(7?-l)l g2 =1 l g.所以数列 九 是单调递减的等差数列公差为-3 g 2,从而b b 2 b i=l gy l gl =0,当”8 时，仇=0,故=7 时，7.取得最大值，且 7；的最大值为7(加+3)7(1 +1 -3 1 g2)2 1Ti-2-=-2-=7-y i g2.1 6.D5I
46、 2 01 2 江西卷 已知数列 斯 的 前 项 和，=一 3/+如(其中&N*),且 S,的最大值为8.(1)确定常数4，并求知；(2)求数歹上 书 的 前 n项 和0.1 6.解：当=&N.时，S”=-52+如取最大值，即 8=S&=-呆+必=*，故必=1 6,因此k =4,979从而 a =S”-S-=-(，2),又 =S=2，所以斯=-.(2)因为.“=9 2 打=y,.2 3 n -1 nT=bi+b2+bn=1 +2 +2I+梦可+声 1，所以 北=2 7；_ 7“=2+1 +：+-Lr =4-T7-7-|=4-TT.(i+b7d+比2 0.D5 2 01 2 江苏卷 已知各项均为
47、正数的两个数列 斯 和 b“满足：斯+产nGN*.设瓦+1=1+,G N*,求证:数歹U （钥是等差数歹U;吟,G N*,且%是等比数列，求m和d的值.(2)设 bn+=所以数歹阳2 是 以 1 为公差的等差数列.(2)因为斯 0,b 0,所以2 W%+0 知 q 0.下证q=1.若夕 1,则。=做 1。&或 时，%I=与(*)矛盾;q若 0q 2 1，故当 时，斯+i=i qv l，与(*)矛盾.综上，q=1,故。=a(n N*),所以 l 1,于是 hi b2y a l；对 某 个 正 整 数 鼠 若;则 4=5 .其 中 的 真 命 题 有.(写出所有真命题的编号)5+1 3+邛 3+1
48、6.解析 对于，X i =a =5,X 2 =2=3，M=3=2,正确；对于，取 a =3,则 X|=3,x,=1 +3 =.L =2,2+即 2+”I F 1 4 0 F,X 3 =L 2=J=1,x4=山 =2.由此可知，22时，该数列所有奇数项等于1,所有偶数项等于2,故错误；对于，由国的定义知印x-l,而 a 是正整数，故厮0,且 用是整数，又=1 时，x =a y a y a -1,命题为真，于是，&+I=卜+由于X“和 月都是整数,正确;对于,当时,X kX k，从而一 a LH.-2 0,即7 -x(t 2 0,，个-工*斗；|-%2 0,即f-x*2 o,解得X kW,LXQ
49、X k LX kJ X k结合得:y a-1 xy a,故4=血 .正确.17.D2、D52012陕西卷 设 斯 是公比不为1的等比数列，其前项和为D，且5,。3,如成等差数列.(1)求数列 斯 的公比；(2)证明:对任意2N+,S/2,S k，S&+1成等差数列.1 7.解：(1)设数列 为 的公比为仅4/0,gW l),由“5，的，。4成等差数列，得为3 =5 +。4，即2。/=由 iWO,gWO 得才+4-2=0,解得。=-2,仅=1(舍去)，所以 g=-2.证法一：对任意Z N.，SE+S&+-2 S k=+2-Sk)+(S jf i-Sk)=以+1 +恁-2+。人+1=如+为+i(-
50、2)=0,所以，对任意k C N.,S&+2,Sk，S k”成等差数列.证法二：对任意 kN+,25k=一 ),qc+c 田(1-1一(1一式1)二(2 一 亡2一七)SE+SE=+1-g =，=黄萨+4-2)=0,因此，对任意G N.,Sk*2,Sk，5 k成等差数列.16.D4、D5 2012课标全国卷数列 斯 满 足&+1+(-1)”斯=方一1,则 飙 的前60项和为.16.答案1 830解析令4+4-2+4-1 +。4”，贝U b“+i=+1 +“4+2+4n*3+4“4因为-1)%=2 一 1,所 以 加 1 =-(-l)nan+2/7-1.所以 a4n 3=一。4,厂 4+2(4-