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1、D数列DI数列的概念与简单表示法21.D I、D3、E l、M32012 重庆卷 设数列 为 的前项利S,满足S,+i=a2S,+s，其中 1，求证：S,M(a i+a”)，并给出等号成立的充要条件.21.解：(1)证法一:由$2=得。1 +生=+。1，即。2 =。2al.因6720,故。=1 ,得彳=又由题设条件知S*2=。2$+1 +。1，S”|=+I，两式相减得 S-2-1 =-S,)，即叫*2 =。2。+1，由 .斯+1综上，誓=念 对 所 有 N*成立，从而 凡 是首项为1,公比为S的等比数列.证法二：用数学归纳法证明恁=国N*.当=1 时，由 S=。5+4”得+。2 =+。1，即=
2、再由 42=0，得 4=1，所以结论成立.假设=上时，结论成立，即诙=堵1那么当=左 +1 时，诙+1 =S/+1 -S&=32sA+a)(a2Sk-1 +i)=a2(Sk-Sk-)=a2ak=&这就是说，当=左+1时，结论也成立.综上可得，对任意 E N*,恁=成，因此 恁 是首项为1,公比为。2的等比数列.(2)当=1或2时，显然S=知1 +恁)，等号成立.设 心3,。2 -1且。2/0，由(1)知 卬=1，恁=区7,所以要证的不等式化为1 +。2 +/+M W3 1 +国|)(23),即 证:1 +。2 +*+2-(1+矽(22).当 勿=1时，上面不等式的等号成立.当一1。2 1曲，由
3、T 与。广T&=1,2,，-1)同为正.因此当。2-1且时，总有(嫉-1)(区1)0,即雄+。1 +M(尸=1,2,w-1).上面不等式对尸从1到-1求和得2(2 +*+,+雄7)(-1)(1+医)，H+由此可得1 +妆+堵-1且。2。0时，有，耳(0+仇)，当且仅当=1,2或 念=1时等号成立.证法二：当=1或2时，显然5,名 知 +%),等 号 成 立.当 白2=1时，=+如)，等号也成立.1 _ n当 42Hl 时，由(1)知 一9，=下证：1 -。2 +及T)(23,。2 -1 且。2中1).当-1 念 1时，上面不等式化为(M-2)2 +2(2 3).令人。2)=(-2)(7 2 +
4、-2当-1 2 0,故/2)=(-2),+“2(1 -4 2)(-2)-2,即所要证的不等式成立.当 0“2 则 g(2)=(-2)(-1)(。2 -D加“鼠1)=0,从而F(。2)=鼠 2)0,进而/(。2)是(0,1)上的增函数，因此4。2)1时，令6 =工，则061,由已知的结论知。21 r -1且。2#0时，有S W,S i +%),当且仅当=1,2或 勿=1时等号成立.2 3.M 2、D l 2 0 1 2上海卷 对于数集刀=一1,x”如，x,其中0同2,且 1,1,2,x 具有性质P,求x的值；(2)若X具有性质P,求证：1GX,且当x,l时，x i =l；(3)若X具有性质P,且
5、 为=1、X 2=q(q为常数)，求有穷数列修，乃，法的通项公式.2 3.解：选取.=(x,2),丫中与垂直的元素必有形式(-1,b),所以x=2 b,从而x=4.(2)证明:取“1=(X1，Xi)Y,设 牝=G，。6 匕满足 a“2 =0.由(s +/)xi =0 得 s +/=0,所以 s,f 异号.因为-1是X中唯一的负数，所以s,7之中一个为-1,另一个为1,故1 E X.假设 4=1,其中 1 A ，则 O x i l fxi，矛盾；若 L T ,则/=s xi =|?|,则数集x具有性质P当且仅当数集8关于原点对称.注意到T是X中的唯一负数，s n(-co,0)=-x2.-X3,，
6、-X”共有T个数，所以8n(0,+8)也 只 有 个 数.由 于 上 旦 _ 干 华，已 有 个 数，对以下三角数阵1 n2 2 1卫.:工Xn Xn-2 M X-I X7-口 所以3-二包二 二干，从而数列的通项为XLXO =q&X X X Xn-Xn-2 V I/7 .D 2、E l 2 0 1 2 浙江卷设 S”是公差为d(dW0)的无穷等差数列”,的前项和，则下列 命 题 箱 试 的 是()A.若 以0,则数列&有最大项B .若数列 S,有最大项，则 以 0C.若数列&是递增数列，则对任意 G N”,均有&0D.若对任意“W N*,均有S/0,则数列 S“是递增数列7.C 解析本题考查
7、等差数列的通项、前项和，数列的函数性质以及不等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的难度.法一：特值验证排除.选项C 显然是错的，举出反例：-1,0,1,2,3,满足数列 S“是递增数列，但是S0 不恒成立.法二：由 于 S”=+。，2%=+-物,根据二次函数的图象与性质知当d0 不成立，即选项C 错误；反之，选项D 是正确的；故应选C.点评等差数列的求和公式与二次函数的图象的关系是解决本题的重要依据.D 2等差数列及等差数列前n项和6.D2 2 0 1 2 辽宁卷在等差数列%中，已知“4+。8=1 6,则该数列前1 1 项和Su=()A.5 8 B.8 8C.1 4 3 D.1 7 66.
8、B 解析本小题主要考查等差数列的性质和求和公式.解题的突破口为等差数列性质的正确应用.由等差数列性质可知，4 +。8 =。1+。1 1 =1 6,Su =X(3 =8 8.5.D 2 2 012 全国卷已知等差数列。“的前项和为S“，的=5,S s=15,则 数 列 廿 一 的 前 100项和为()A皿B盟A101 B1019 9 101c-w o DW05.A 解析本小题主要考查等差数列的前项和公式与裂项相消求和法，解题的突破口为等差数列前奇数项和与中间项的关系及裂项相消求和法.由 S 5 =5 6 7 3 得俏=3,又。5 =5,所以 4 =.，=/1 、=1 一|+J 7 J /07 n
9、+1 a a2。2。31 1 1 1 1 1 1 .1 1 0 0 n 业，+而 嬴；=r2+厂 +而 一 而=1一 而=而，故选A.10.D 2 2 012 北京卷已知 小 为等差数列，S”为其前项和，若$2=6，则。210.1 解析本题考查等差数列基本公式和基础运算，设等差数列 为 的公 差 为d,由$2 =。3 可得，。1=4 3 一。2 =/所以。2 =2 4=2 义=1.2.D 2 2 012 福建卷等 差 数 列%中,a i+a5=10,a4=7,则数列%的公差为()A.1 B.2 C.3 D.4+4 d=10,2a +4 t/=10,2.B 解析根据已知条件得：一 即 一 r 解
10、得2 八 4,3+3 d=7,a +3d=7,所以d=2.所以选择B.11.D 2 2 012 广东卷已知递增的等差数列%满 足 卬=1,6=4,则 恁=.11.2-1 解析设等差数列的公差为d,由于数列是递增数列，所 以d 0,。3 =0+2 d=1 +2 d,。2 =+d=1 +/代入已知条件：6=-4 得：1 +2 4 =(1+疗%解得=4,所以 d=2(4=-2 舍去)，所 以%=1 +(T)X2=2 T.J T12.B3、D 2 2 012 四川卷设函数於)=2%一c o s x,为 是公差为g的等差数歹小负曲+火H-17(4 5)=5 兀，则区。3)一。1。5 =()1 2A.0
11、B.正 兀 一1 2 n 1 3)C.砂D.育 一12.D 解析设。3 =蜃 则。=公-：,.2 =口_,a4=a+佻=仪+兴由+&2)+/(%)=5 兀，得 2 X 5 a -c o s(a -彳)+c o s(a 一 +c o s a +c o s fa +鼻)+c o s fa +J=5 兀，即 10a -(y/2+y/2+y 2+1)C OS Q=5 兀当O W a W 几时，左边是a的增函数，且。=方满足等式；当a 兀时，10 107 1,而(啦+、2+啦+l)c o s a 5 c o s a W5,等式不可能成立；当a0 时，10 0,而一(限+7 2 +也+1 )c o s a
12、 5,等式也不可能成立.,兀故 的=a =.取 3)-ag =兀 2 _(a _，(a +胃=尉.19.D2、D 5 2 012 广 东卷设数列 斯 的 前 项和为S”，满足2 S”=a“+i-2+i +1,n WN*,且 4 ,7 2 +5,。3 成等差数列.(1)求 0 的值；(2)求数列 为 的通项公式；1 1 1 3(3)证明：对一切正整 数 小 有；7 十二1-b-3-,1 -1,W 尹1 1 1 1 1 1 3”3 一+-W1+不+”+：FT=-7 i.19.D2、D3、M22012湖南卷已知数列 4 的各项均为正数,记/()=+生+an,8()=a2+a3-F 0 知，A(n),
13、B(n),C()宓大于 0,于是8(”)=色+的+0,7=q 3 +/+%)=A(ri)Q+Q曾 4+2+一+4.-C-(=n).。.3 +。4+。.+.2 =-3-(-。-2-+-。-3-+-+-0-?-+-i-)=Z 78(“)2+3+。”1 s +S+%+1即彳器=孱即=q.所以三个数/()，8()，C()组成公比为q的等比数列.充分性：若对任意 6 N*,三个数4(”)，8(”)，C()组成公比为夕的等比数列，则B(n)=qA(n)C(n)=qB().于是 C()-8()=-/()，得 a”+2-效=-。1)，即。“2 -=。2 40.由 =1 有 8(1)=即。2 =1，从而 依+2
14、-夕即+1 =0因为外0,所以巴心二竽”故数列%是首项为。I，公比为夕的等比数列.综上所述，数列。,是公比为夕的等比数列的充分必要条件是：对任意 C N*,三个数A(n),B(),C()组成公比为4的等比数列.12.D22012江西卷 设数列%,心 都是等差数列.若一+1=7,a3+b3=2 i,则。5+加=.12.35 解析 考查等差数列的定义、性质；解题的突破口是利用等差数列的性质，将问题转化为研究数列的项与项数之间的关系求解.方法一：设c”=a”+%,斯,出,是等差数列，.,是等差数列,设其公差为d,则3=7,C 3 =ci+2d=2 1,解得 d=7,因此，3=。5 +打=7+(5-1
15、)X7=35.故填 35.方法二：设 备=%+6，.为,/“是等差数列，.1Q是等差数列，2(生+仇)=(fli+Z 1)+(a5+%)，即 42=7+(%+岳)，因此。5 +%=42-7=35.故填 35.17.D2、D52012陕西卷 设 为 是公比不为1的等比数列，其前 项和为S,”且。5,死，四成等差数列.(1)求数列%的公比；(2)证明：对任意CN+,S+2,S*,S*+|成等差数列.1 7.解：(1)设数列 为 的公比为式g#0,qW l),由怒，0）的等比数列“的前项和为S”，若 S 2=3刃+2,S4=3a4+2f 则 4=.31 3；解析本题主要考查等比数列的求和以及二元方程
16、组的求解.当q=1时，由S 2=3(7 2+2 得。2=-2,a+aq-3a q +2,0(1-4).i-q=3。口 3+2,由 S 4=3 4+2 得 4 =2,两者矛盾，舍去，则q于1,联立方程a=-1,3可解得 3 故应填*g =5，2 点评注意分类，必须对4=1 加以讨论，否则直接利用等比数列的求和公式容易导致遗漏.1 4.D 3 20 1 2辽宁卷已知等比数列 为 为递增数列，且 a=0 o.2（a“+2）=5 a“+i，则数列 4 的通项公式为。“=.1 4.2 解析本小题主要考查等比数列的概念与性质.解题的突破口为灵活应用等比数列通项变形式，是解决问题关键.由已知条件%为等比数列
17、，可知，2（a+%+2）=57*I=2（q =聂2,又因为%是递增数列，所 以 夕=2.由房=0 0 得。5 =5 =3 2,所以=2,a-。闻=2.7.D 3 20 1 2湖北卷定义在（-8,0）u（0,+8）上的函数人x）,如果对于任意给定的等比数列 “,伏斯）仍是等比数列，则称义x）为“保等比数列函数”.现有定义在（一8,0)U(0,+8)上的如下函数：/(x)=f；*x)=2*/(x)=而；/(x)=ln|4则其中是“保等比数列函数”的 x)的 序 号 为()A.B.C.D.7.C 解析设数列 小 的公比为4.对于，勺;，=景1=/,故数列/(。)是公比为才的等比数列；对于尸=2a”i
18、-a”(不为常数)，故数列伏恁)不是等比数列；对于，4=A n)Y a而，故数列依。”)是等比数列；对于，?常(不为常数)，故数列伏。)不是等比 数 列.由“保等比数列函数”的定义知应选24.D 3 20 1 2安徽卷公比为名的等比数列。“的各项都是正数，且。3 颔=1 6,则 lo g?。珀=()A.4 B.5 C.6 D.74.B 解析本题考查等比数列，等比中项的性质，对数运算等.(解法一)由等比中项的性质得的颔=诏=1 6,又数列 仇 各项为正，所 以 的=4.所以a%=。7 X/=3 2.所以 lo g2 6 =5.(解法二)设等比数列的公比为g,由题意，若 0,则 的 Ri =诏=(
19、竽=病 6=24,所以决6 =2叱 解得 4 1 6 =2,.故 lo g2 6 =5.6.D 3 20 上海卷有列正方体，棱长组成以1 为首项、；为公比的等比数列，体积分别记为6,吃，匕，,贝”i m (力+匕+味)=一 8 -6.1 解析考查等比数列和无穷递缩等比数列的极限，此题只要掌握极限公式即可解决，是简单题型.由已知可知力，匕，匕，构成新的等比数列，首项匕=1,公比4 =/,由极限公式得y 1 o妈(%+%+%)=U=-r=71-821.D I、D 3、E l、M 3 20 1 2重庆卷设数列 小 的前“项和S”满足S.+L 恁S.+s，其中 a2H(1)求证：为 是首项为1 的等比
20、数列；(2)若一1,求证：知 i+a)，并给出等号成立的充要条件.2 1.解：(1)证法一：由 S 2=得 m +。2=+。1，即。2=。2。1.因zW O,故 m =i,得署=2.又由题设条件知S +2=a zS n+1+，s +1=a2Sn+ax，两式相减得 S .2-=2(S?+1 -S ),即恁+2=。2恁+1，由。2。0，知 4+lW0,因此久二=恁.综上，誓=念 对所有 N*成立，从而 凡 是首项为1,公比为S的等比数列.证法二:用数学归纳法证明为=7,EN*.当=1 时，由 8 =+/,得+。2 =+。1，即。2 =。2。1，再由公二。，得。=1，所以结论成立.假设=上时，结论成
21、立，即延=冷1那么当=左 +1 时，诙+1 =Ski-S&=32sA+a)-(a2shi+a)=a2(Sk-Sk-)=a2ak=&这就是说，当=左+1时，结论也成立.综上可得，对任意 E N*,恁=成，因此 恁 是首项为1,公比为。2的等比数列.(2)当=1或2时，显然5 =知1 +)，等号成立.设2 3,。2 -1且 敢金。，由(1)知0 =1,an=所以要证的不等式化为1 +z +M+M+d(，3),即 证:1 +。2 +*+MW2-(1+矽(22).当勿=1时，上面不等式的等号成立.当一 121 时，。$-1与。1曲，由T 与。广T&=1,2,，-1)同为正.因此当。2-1且。2对时，总
22、有(嫉-1)(区1)0,即雄+。1 +M(尸=1,2,w-1).上面不等式对尸从1到-1求和得2(2 +凶)5 -1)(1+嬉)，由此可得1 +。2+废 -1且。2,0时，有S.W知1 +6),当且仅当=1,2或“2=1时等号成立.证法二：当=1或2时，显然S”3+(7),等号成立.当。2 =1时，S”=夕0 +an),等号也成立.当。2Hl 时，由(1)知$=；一=下证：1 -021 -7 9 n 1 1-X-1 且。2/1).1 一。2 乙当时，上面不等式化为(-2)成+7 -2(23).令人。2)=(-2)。之 +。2 1-当-l a2 0,故/(。2)=(-2)(72+。2(1 -E-
23、2)|“一 2,即所要证的不等式成立.当 0 2 g(l)=0，从而(。2)=咫(。2)0，进而火。2)是(0)上的增函数，因此火。2)1时，令6=5，则0 6 1,由已知的结论知两边同时乘以雄T 得所要证的不等式.M综上，当念-1且时，有+an),当且仅当 =1,2或 念=1时等号成立.22.D3、M3 2012,全国卷函数危)=#一2x3.定义数列&”如 下:苞=2,x.+i是过两点P(4,5)、Qn(x,7(x“)的直线尸0“与x轴交点的横坐标.证明：2Wx”vX+i3：(2)求数列 x“的通项公式.2 2.解：(1)用数学归纳法证明：2WX“VX“T3.当=1时，片=2,直线PQ i的
24、方程为7(2)-52-4(x-4),令y=0,解得X2=斗，所以2WXIX23.假设当=/时，结论成立，即2WX*M.I3.直线P Q m的方程为-j(x-4),XE 4令y=0,解得4+2=由归纳假设知Xk-23+4勺+12+xk+i3+的+1 .5 5-=4-0,即 xk,xk.2.所以2 *卜|:*,2 3,即当=&+1时，结论成立.由、知对任意的正整数,2WX“x”i 1.19.D2、D3、M2 2012湖南卷已知数列%的各项均为正数，记 0 知，A(n),B(n),C(。而大于0,于是B(n)=S +6 +a 7=+G+一 +%)=A(n)Q+g +恁。+色+为C=6 +,+0?+2
25、=#2 +43+%+1)=8()&+/+4 。2+的+即+1 9，即彳那=,所以三个数4 )B ，C()组成公比为9 的等比数列.充分性：若对任意 N*,三个数/()，8()，。()组成公比为q 的等比数列，则B =q A(n),C(n)=q B(ri).于是 C(w)-B(n)=q B(ri)-A(n),得=即斯+2-q%7 =。2-q a、.由n=I 有 5(1 )=,即伙=q a i，从而为+2 一 夕。+1 =0,因为恁 0,所以&二=詈=q.故数列”,是首项为内，公比为夕的等比数列.综上所述，数列%是公比为4 的等比数列的充分必要条件是：对任意 N*,三个数/()，8(),C()组成
26、公比为q 的等比数列.5.D 3 2 0 1 2课标全国卷已知。为等比数列，。4+。7=2,。56=8,则4 1+卬0=()A.7 B.5 C.-5 D.-7a q +a q=2,5.D 解析 设数列%的公比为夕.由题意，5 3-6。得a q Xa q=a】q XQ1夕=-8,=-2,M=4(7)=1 )当 J 3 c 时，S +。10=m=-2卜i=_ 8,州(1 +夕9)=1 +(-2)3 =-7;当(1”5时，Q+4=10.(1)求数列 斯 与 的通项公式;(2)记刀?=4/+%_Z?2+。16，N*,证明 Tn-12=2an+1 Obn(n N*).18.解：(1)设等差数列%的公差为
27、H等比数列 儿 的公比为夕.由m=仇=2,得 4,2+3 2/=27,=3.=2+3 d,d=2/,S 4 =8 +6 d.由条件，得方程组 解得18 +6 4-2=10,夕=2,所以恁=3 -1,bn=2,n N*.(2)证明：(方法一)由得Tn=2an+22an-+2%”-2+2%i，2=a?%+2%-1+2 仅+2%,由-，得T=-2(3 w-1)+3 X 22+3 X 23+3 X 2M+2,t 2=Y-+2n，2-6 +2=10X 2n-6n -10.而-2。+10与-12=-2(31)+10X 2-12=10X 2-6 -10,故 T+12=-2t z +10b”，n N*.(方法
28、二：数学归纳法)当=1 时，7 +12=a b +12=16,-20+10=1 6,故等式成立；假设当=左时等式成立，即+12=-2幺+T Ob k，则当1 时，有 小 1 =%仍 1 +。也+%|历+。也 7=ak*b +q(akb +/2+。1 瓦)=a卜也i +q T k=a卜也i +q(-2ak+10hk-12)=2a A.-4(诙+-3)+106+1-24=-2必+1 +10瓦+1 -12,即 T k,i+12=-2。丘 +10仇+,因此=人+1 时，等式也成立.由和，可知对任意 E N*,T+12=-2。+10b 成立.20.D 5 2012山东卷 在等差数列 斯 中，。3+/+。
29、5=84,的=73.(1)求数列%的通项公式；(2)对任意 7 C N*,将数列 a,中落入区间(9肛 92)内的项的个数记为hn求数列，.的前 Z M 项和Sm.2 0.解：(1)因为 a a 是一个等差数列，4 3 +4 4 +4 5 =84,所以内+。4 +的=3 a 4 =8 4,即 04 =28.设数列 仇 的公差为d,则 5 d =的-。4 =73 -28=4 5,故 d=9.由。4 =0 +3 d 得 28=m +3X9,即 m =1,所以 m=+(-l)d =1 +9(-1)=9-8(N*).(2)对 mCN*,若 9ma 92 m,则 9 +8 9M 0,数列1*的前项和为7
30、“，当”为何值时，乙最大？并求出7“的最大值.2 0.解：(1)取=1,得 a 2a L s2+Si =2。+侬取=2,得 a：=2m+24 2,由一，得 2(。2 一。1)=念.若=0,由知a =0.(i i)若。2#0,由知。2-0 =L 由、解得，4 =也+1,02=2+啦；或 4 =1 一 6，4 2=2-啦.综上可得，0=0,夕 2=0；或。1=啦+1，2 =啦+2；或 夕=1 -6，4 2=2 一也.(2)当 0 0 时，由(1)知 3=啦+1,2 =也 +2.当22 时，有(2+啦)a =S2+S，(2+)a 7=S2+S-i，所以(1+巾)即=(2+亚)即-1,即 恁=啦 0厂
31、1(22),所以斯=色(啦)7=(g+1令 b n =I g，,则 bn=l-l g(V2)M-1=1 -1(W-l)l g2=夕成”所以数列 儿 是单调递减的等差数列公差为-g 2,从而仇 岳 岳=l g l gl =0,当 心 8 时，Z n 8=1l gj|0知 10.下证g=l.若夕1,则啦，故当心10gq当 时，0f+1=硒 也,与(*)矛盾;若 0 q l,则 4=亍 。2 1，故当心 log/时，4+1=。1 夕”1,与(*)矛盾.综上，夕=1,故仇=N*),所 以 1 71也.又“I=也 学=乎 也 伽 C N*),所以也 是公比为乎的等比数列.un I 1若 a则乎 1，于是
32、b i b 2V b 3.又由a =4回 得 2-4；17 就+优所以仇，岳，仇 中至少有两项相同,矛盾.所以从而bn=也 所 以 Qi=隹=啦,16.D5、E92012四川卷 记因为不超过实数x 的最大整数，例如，2=2,1.5=1,-0.3=-1.设。为正整数，数列/满足x i=a,小=+0*).现有下列命题:当。=5 时，数列优,的前3 项依次为5,3,2；对数列/都存在正整数k,当 心 k时总有x“=xz当21 时，xny a 1 ；对某个正整数上 若 4+l 2Xk，则为=犯.其中的真命题有_ _ _ _ _ _ _ _.(写出所有真命题的编号)16.解析 对于，片=4=5,x2=3
33、,xj=+j j =内 2=2,正确;对于，取 =3,则 为=3,.用必=2+1=1,X4=1 +23+1 T-1 +3T=2,=2.由此可知，2 2 时，该数列所有奇数项等于1,所有偶数项等于2,故错误;对于，由的定义知国X-1,而。是正整数，故/2 0,且为是整数,又=1 时，x=ayaya-1,命题为真，于是，x ,=即+,由于x”和 目 都是整数,oL人 故与*|=+匕 一厂 ,生心1,正确；4+国对于，当为+2 4时，得 +&.从而一异旦-4NO,_ 2 J即T-一为20,.号-勺2 普-2 0,即-2 0,解得为4或，L4 Xk Lxu 、k结合得：犯-故JQ=5 .正确.17.D
34、2、D52012陕西卷 设 仇 是公比不为1的等比数列，其前项和为S”且 如。3,。4成等差数列.(1)求数列%的公比；(2)证明：对任意左GN+,Sk+2,Sk,S*+i成等差数列.1 7.解：(1)设数列%的公比为虱夕X0,g#l),由心，的，。4成 等)数 列,得2的=。5+。4,即 冽 才=aq+aq由OiWO,gWO得/+q-2 =0,解 得 知=-2,仅=1(舍去)，所以q=-2.(2)证法一：对任意无EN*,Sk+2+Sk+、-2S*=(S*2-S)+(5*.i-Sk)=+呢+2 +=2%i+%i(-2)=0,所以，对任意A N.,SA-2,Sk，SH I成等差数列.证法二：对任
35、意4 CN+,2sA.=2；：；),/1 k*2/1 A +1 /c k 2 *1、c c。1(1-9)。1(1 一 夕)。(2-q 一夕)SR+2 +Sk+i=；-+；-=-；-1 -q 1 -q 1 -q0八,k+2/+1、夕 1 s/i k c 左+2 A+l、i=_/2(l-q)-(2-q -q )=年与(才+g-2)=o,因此，对任意)l N.,S*2,Sk，S k i成等差数列.16.D4、D5 2012课标全国卷数列 为 满足+(1)%=2-1,则 4 的前60项和为.16.答案1 830 解析令 bn=a4n-3+。4-2+。4-1 +。4，则 bn+。4+1 +44+2 +。
36、4 3 +。4 4 因为斯+1 +(-1)&=2 一 1,所以4+1 =-(-1)%+2-1.所以。4-3=一。4-4+2(4-4)-1 ,。4-2=。4-3+2(4-3)-1,即又S S1=-。4-2+2(4-2)-1,。4=。4-1+2(4/7-1)-1,+1=一。4+2 X 4 1，。4+2=。4+1+2(4+1)-1,。4+3=-。4+2+2(4+2)-1,。4+4=河+3+2(4+3)-1,所以。4+4=。4+3+2(4+3)-1=-如+2+2(4+2)-1+2(4+3)-1=一。4+1-2(4+1)+1+2(4/7+2)-1+2(4+3)-1=。4 1 2 X 4+1-2(4+1)
37、+1+2(4+2)-1+2(4+3)-1=。4+8,即 44”+4=4+8.同理，44+3=。4-1，。4+2=。4-2+8，。4+1=。4-3所以白4+I+白4+2+。4*3+44=。4+。47+白4,厂2+。4-3+16.为+=7+16.故数列也是等差数列.=2义1-1,+42=2X2-1,一。3=2义3-1,-得=2；+得。2+。4=8,所以 a+。2+43+。4=10，即仇=10.所以数列%的前60项和即为数列小的前15项和,即$5=10X15+X 16=1830.19.D2、D52012广东卷设数列仇的前项和为S，满足2S=a”+i2/1+1,一N,且。2+5,。3成等差数列.(1)
38、求。I的值；(2)求数列斯的通项公式;1 1 1 3(3)证明：对一切正整数小 有；7+:+75.19.解：4,。2-5,生成等差数列，2(a2+5)=4+。3又 2=2sl=。2-2?+1,2(。+。2)=2sz=死-23+1,。2=2。|+3,。3=6。+13.因此4为+16=7al+13,从而a=1.(2)由题设条件知，时，2Sn-=%-2+1,2S=07+I-27+1.0-2%=即+厂2，于是an+i=3an+2(N2).而由(1)知，。2=2。+3=5=3+2,因此对一切正整数，W an+i=3an+2n,所以恁+I+27=3(%+2).又,.&+2i=3,为+2是以3为首项，3为公
39、比的等比数列.故 4+2=3，即 0,=3-2.(3).4=3-2=33”T-2=3”T+2(3W-1-2”T)23”1 J 1.片尹un D.11 1 1 1 1 3 3+W l+3 +尸=r2.,-322.B14、E9、J3、D52012四川卷 已知。为正实数，为自然数，抛物线y=-x?+詈 与x轴正半轴相交于点4设/()为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.用。和表示()；(2)求对所有都有管七成立的a的最小值；/()十 1 n 十 1n 1?7/II)f in(3)当0。4=(1+3=1 +C；/3+C-32+C-33+2 1 +Ci-3+C-32+=1 +23 +-2)2+(2-5
40、)2n3+1.当 “=0,1,2 时,显然(行)。23+1.故行时，咨对所有自然数都成立.J(n)+1 n+1所以满足条件的。的最小值为4万.人 小,八3 八 k V 1 v 1 川)一4)a-a”(3)由(1)知人4)=a,二 八 、八K，八、,夕分)一犬2乃 皆 a -a/0)-/1)1 -a下而江出 v 1 、27火1)-/()下 面 证 月.左 发)-)4/0)-/I)-首先证明：当01时，(J(2”力争.设 函 数/0=甲27”0-*)+1,0 工1.Q 1 7则 g，(x)=y x(x-).2?当 0 x q时，g(x)0；当0.故蛉)在区间(0,1)上的最小值g(x)=g(1)=
41、0.所以，当Oxl时，g(x)O,即 得 士?张，由0 5 1知0/4 1 -a_ 2 7/(1)-4XO)-Xiy1 8.D2、D3、D 5 2 0 1 2 湖北卷 已知等差数列%前三项的和为一3,前三项的积为8.(1)求等差数列 为 的通项公式；(2)若。2,6,6成等比数列,求数列|为|的前项和.1 8.解：(1)设等差数列 为 的公差为4 则 6=。1+&6=0 +2 4由题意得3 0 +3 d=-3,a (a +d)(a +2d)=8,解得a =2,d=-3,d=3.4,或，所以由等差数列通项公式可得%=2 -3(-1)=-3 +5,或 Q =-4 +3(-1)=3/?-7.故。=-
42、3 +5,或 恁=3 -7.(2)当-3 +5时，。2，的，m分别为-1,-4,2,不成等比数列;当 恁=3-7时，效,。3，分 别 为-1,2,-4,成等比数列，满足条件.-3 +7,w =1,2,故|=|3-71 T3 7,n 3 3.记数列|%|的前项和为s.当 ”=1 时，5 =|a i|=4;当 =2 时，$2 =0 1 +。|=5;当 23时，S =S i+同 +an=5 +(3 X 3 -7)+(3 X 4 -7)+(3M-7)=5 +(-2)2 +(3-7)3 2 1 1 八-2-2 0 -Tn+10-当=2时，满足此式.4,=1,综上，S,=5 3 2 1 1那 一+i o，
43、2 1.A2、D5 2 0 1 2 安徽卷 数列&满 足 用=0,%+产 一 一+x”+c(G N*).(1)证明：与 是递减数列的充分必要条件是c 0；(2)求 c的取值范围，使 x.是递增数列.2 1.解：证明：先证充分性，若c 0,由于x”+i =-x+X+c x”+c r，故 x”是递减数列；再证必要性，若 X,是递减数列，则由x2xi 可得c 0.(2)(i)假设 与 是递增数列,由 x i=O,得M=C，x3=-C2+2C,由 XI X2X3,得 0 C 1.由 Xn Xn+1=+c 知，对任意都有.注意到也一X +1=岔一为。+正=（y/c xn）（y c xn）.由式和式可得1
44、&X/0即xwl y/c.由式和xn 0还可得，对任意心1 都有加五）（五 一&）.反复运用式，得必X W （1 正）T（加 U ）V（1 必）一 IX v l /和x v（l -五）”两式相加,知 2&-1 （1/）对 任 意 成 立.根据指数函数卜=（1 一正的性质，得 2也 TW O,遇,故（i i）若 0 0.即 证 对 任 意 21成立.下面用数学归纳法证明当0 c W%寸，X,正 对 任 意 成 立.（1）当=1时，xiO y c ,结论成立.（2）假设当%6 N*）时结论成立，即：Xk#.因为函数 Xn9即 x 是递增数列.由（i i）知，使得数列*“单调递增的c的范围是（0,1
45、 .2012模拟题1.2 0 1 2 金华十校期末 项数为n的数列ax,a2,a3,，%的前左项和为&（4=1,2,3,），定义 为该项数列的“凯森和”，如果项数为9 9 项的数列.，6，6,硒9 的“凯森和”为 1 0 0 0,那么项数为1 0 0 的数列1 0 0,a”a2,如 ，为9的“凯森和”为（）A.991 B.1 0 0 1C.1 0 90 D.1 1 0 01 .C 解析 项 数 为 9 9 项的数列0,。2,。3，。99的“凯森和”为 1 0 0 0,所以&土女白一土圆=1 0 0 0,又 1 0 0,a ,仅，的，金9的“凯森和”为100+100+Si+IOO+S2+IOO+
46、S99 Sj+S2+S99ioo=100+100=1 0 0+990=1 0 90,故选 C.2 .2 0 1 1 黄冈中学期末 设数列%为等差数列,其前项的和为&,已知m+为+S=99,S9=2 7 9,若对任意N+,都有S W S*成立，则人的值为（）A.2 2 B.2 1C.2 0 D.1 92.20 解析因为数列%为等差数列,且。1+。4+乃=99,$9=279得，4=3 3,a5=3 1,所以=-2,3=3 9,缶=4 1-2.对任意“GN*都有成立，则 S*是 S”的最大41值，由。“=4 1-2 心 0 0 W 5 则人的值为2 0,故选C.3.2012炎陵一中月考对正整数，设曲
47、线y=x(l-r)在 x=2 处的切线与y 轴交点的纵坐标为an,则数列1鬲j的前项和&=.3.2,+|-2 解析因为 y=x(l x),所以，=n xn-(n+l)xn,k=n 2n-(n+l)2n=(+2)2 I 由 x=2,y=2 ,所以切线方程为y+2=(+2)2。-2),令 x=0,则 =。“=(+1)2”.所 以 记 儿=帚=2，则 S,=2+22+2=2(二;)=2 +J4.2012泉州四校联考已知数列 4 满足0 =1,且+且CN*),则数列 叫 的通项公式为()3 +2A%=+?B.a=3C.an=n 2 D.。=(+2)34.B 解析由斯=3 一+(；)(22 且 6N*)
48、得，3%=3-%“1 +”.尸|23n 2a-2f 1 3力2=34|+1,相加得 3%=+2,故 a”=3.5.2012江西重点中学二模设等差数列 为 的前项和为S”若存在正整数机,(，)，使得品=工，则 S”+,=0.类比上述结论，设正项等比数列 儿 的前项积为7”，若存在正整数 孙 (，(仇历6)(儿+也+2“也+M)=1,所以工”+=L6.2012 济南调研气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第天起连续使用，第 天的维修保养费为一n+4亦9元(eN*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了 天.+496.800 解析由第天的维修保养费为一 丁 元(“C N*),可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应的值.设一共使用了天，则使用天的543.2X104+-平均耗资为-当且仅当中专一共使用了 800天.3.2X104 n,、-+而+4.95 2 21 时,取得最小值,此时”=800.3.2X104 n n-疝+4.95=84.95,