《2023年高考数学一轮复习新课标版题组层级快练51-60.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考数学一轮复习新课标版题组层级快练51-60.pdf（64页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、题组层级快练（五十一）一、单项选择题1 .直线X小 y+=o m 为常数）的倾斜角为（）1 1 7 1A dBT2冗5 nC 亍D-6 答 案 A2.倾 斜 角 为 1 2 0且在y 轴上的截距为一2的直线方程为（）A.y=yf ix+2 B.y=y3x 2C.y=y 3x+2 D.尸小工一2答 案 B3.直线/过点M（2,5）,且斜率为直线y=-3 x+2 的斜率的;，则直线/的方程为（）A.3x+4y 1 4=0 B.3尤 一 4y+1 4=0C.4x+3y 1 4=0 D.4/-3y+1 4=0答 案 A13解析 因为直线/的斜率为直线y=-3 x+2 的斜率的不则直线/的斜率攵=一 本
2、 故 一53=-W（x+2）,即 3x+4y 1 4=0,故选 A.4.直线x+（a2+l）y+1=0 的倾斜角的取值范围是（）J T 一A o,彳c o,旬j r j D.卬 y j u j r j答 案 B解析 由直线方程可得该直线的斜率为一舟，又一 1 W 六 广 0,所以倾斜角的取值范围是3 n5.（2 02 1.北京东城期末）已知直线/的倾斜角为a,斜 率 为 那 么“a 号”是“6。”的（）A.充分不必要条件C.充要条件答 案 BB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件八，一 口 ,L、兀 n 一 兀 r-、解析 当1 1时，笈 0；当心M 时，不 。?是 修 打 的必要不充分条
3、件，故选B.6 .丫-01 5=0 表示的直线可能是()答 案 B解 析 由y-a x 5=0,整理得y=a x+：,则 a WO,排除C；当a 0时，0,排除A；当 0时，*0,排除D,故选B.7 .已知点A(2,-3),以3,-2),直线/的方程为区一y-/+l=0,且与线段A B 相交，则直线/的斜率”的取值范围为()A.(8,4 U +)B.(8,U +0)3 3C.-4,/D.q，4答 案 A解析 由 一)，一%+1=0 得 k(x-l)&-1)=0,即直线/过定点尸(1,1),如图，12 3 4 5*31 2 1 3VA(2,3),8(3,2),P(l,1),k p A =2 1=
4、-4,k p s=要使直线/与线段A B 相交，则直线/的斜率应满足k p BW k或k qP A,3 34 或 左 不 即直线/的斜率k的取值范围是(一8,-4 U 4,+8).故选A.二、多项选择题8.下列说法中，正 确 的 有()A.直线y=3x 2在 y轴上的截距为一2B.直线x 小 y+1=0 的倾斜角为6 0C.过点(5,4)并且倾斜角为9 0的直线方程为X5=0D.过点P(l,2)且在x,y 轴上的截距相等的直线方程为x+y 3=0答 案 AC解析 A 中，令 x=0,得 y=2,则直线y=3 x-2 在y 轴上的截距为一2,故正确；B 中，可化为丫=坐尤+乎，则该直线的斜率仁坐
5、，则其倾斜角为30。，故错误；C 中，过点(5,4)并且倾斜角为9 0 的直线上的所有点的横坐标为5,故方程为x5=0,故正确；D 中，点 P(l,2)在直线y=2x上，且该直线在x,y 轴上的截距都为0,故错误.9.若直线过点A(l,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线/的方程为()A.x-y+l=0 B.x+y-3=0C.2xy=0 D.x y 1 =0答 案 ABC10.如果 AB0,B C0,那么直线 Ar+B)，+C=0 经过()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答 案 ABC解析 直线4v+B y+C=0在 x 轴上的截距为一=一器 0,在)，轴上的截距为
6、一务0,故直线几+B.y+C=0经过第一、二、三象限.故选ABC.三、填空题与解答题11.直线/过(一 1,-1),(2,5)两点，点(1011,6)在/上，则 6 的值为.答 案 2 023.”，,y-(1 )x(1)_y+1 x+1解析 直线/的方程为 _ _ )=2 ()，即.6-=-，即 y=2 x+1.令 x=I O ll,得 y=2023,：.b=2023.12.(1)过点M(3,5)且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 互 为 相 反 数 的 直 线 方 程 为.(2)过点M(2,1),且与点A(-l,0),8(3,0)距 离 相 等 的 直 线 方 程 是.答 案(l)y=|
7、x 或 xy+8=0(2)x+3y-1 =0 或 y=1解 析(1)当直线过原点时，直线方程为)，=一 女；当直线不过原点时，设直线方程为5+2=1 3 W 0),a ci把(一3,5)代入，得=8,所以直线方程为xy+8=0.故所求直线方程为y=|x 或 x-y+8=0.(2)据题意直线与A 8平行或过A 3 的中点(1,0),所以直线的斜率为4=0 或%=一；，所以直(2)：A B 的中点为(0,线方程为x+3y 1 =0 或y=1.1 3.将直线y=x+5 l 绕它上面一点(1,小)沿逆时针方向旋转15 ,所得到的直线方程是.答 案y=y3x解析 由=+小-1得直线的斜率为1,倾斜角为4
8、 5。.因为沿逆时针方向旋转15 ,倾斜角变为6 0 ,所以所求直线的斜率为小.又因为直线过点(1,小)，所以直线方程为了一小=小。-1),即 yyj 3x.14 .(20 22沧衡入校联盟)若直线以+勿=的。0,挖 0)过点(1,1),则该直线在x 轴、y 轴上 的 截 距 之 和 的 最 小 值 为.答 案 4解析直线 a x+b y=n 伙?0,0)过点(1,1),.a+8=a/),1,截距之和为“+b=(a+b)+3=2+g+注 2+2 V=4,当且仅当a=6=2 时上式等号成立.二直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为4.15 .己知 A B C 的三个顶点 A(4,-6),B(
9、-4,1),C(-l,4).求：(1)A C 边上的高B D所在的直线方程；(2)A B 边上的中线C E 所在的直线方程.(2)13 x+2y+5=08(-4,1),C(-l,4),；.c=4三:三：)-=_ 2.:,.直线 8。的方程为 y1 =g(x+4),即 x2y+6=0.5 ,+!一 ),.中线 C E 的方程为一即 13 x+2y+5=o.4+216.设 P 为曲线C：y=r+2 x+3 上的点，且曲线C在 点 P 处的切线倾斜角的取值范围为0,亍，则点尸的横 坐 标 的 取 值 范 围 为.(l)x2y+6=0解 析(1)V A(4,-6),又；A C _ L B。，：.kRD
10、=画重点班选做题答案 一1，-1解析 由题意知y =2 r+2,设 P(M,y0),则曲线C在点P 处切线的斜率为火=为+2.又-p I-切线倾斜角的取值范围为0,7，所以0W ZW 1,即 OW2%o+2Wl.所以x()G 1,-2.17.(2022八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为.答案-3解析 设正方形此条对角线的倾斜角为a,由已知得tan a=2,则正方形的两条邻边所在直一 八线、的，倾一 斜N 角%分 别小 寸为 a+,彳3 1，.-y兀.V tan(a+，石冗、|1=+ta=n a=-3,tan(a-彳 尸t讦an 嬴 a1=/
11、所以两条邻边所在直线的斜率分别为最-3.题组层级快练(五十二)一、单项选择题1.若 直 线 蛆+4厂 2=0 与直线2x5y+=0 垂直，垂足为(1,p),则实数的值为()A.-12 B.-2C.0 D.10答 案 A解析 由2机2 0=0,得根=10.由垂足(1,p)在直线，巾+4)，-2=0 上，得 10+4p2=0.p=-2.又垂足(1,2)在直线2%5 y+=0 上，解得“=-12.2.“。=2 是 直线 oc+3y+2a=0 和 2x+(a+l)y2=0 平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答 案 A解析 直 线 ox+3y+2a=
12、0和+(a+l)y 2=0平 行 的 充 要 条 件 为aX(a+1)=2X 3,.,/c、j I 、c 得a=2 或“=_ 3.又“=2”是 a=2 或a=_ 3”的充分不3义(-2)W(a+1)X2a,必要条件，所 以 。=2”是“直线办+3 y+2a=。和 2x+(a+l)y2=0 平行”的充分不必要条件.故选A.3.在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线/对称，则直线/的方程为()A.x+2y20 B.x2y=0C.2 x-y-3=o D.2xy+3=0答 案 C解析 因为点(0,2)与点(4,0)关于直线/对称，所以直线/的斜率为2,且直线/过点(2,1).故选C.4
13、.一条光线从点P(2,1)射出，与直线/：尤 一:r H=0 交于点0(1,2),经直线/反射，则反射光线所在直线的斜率是()A.1B.A/3C.2D.3答 案 D解析 结合图象可知，尸关于直线/：xy+l=0 的对称点为(0,-1),所以反射光线的斜21 (-1)率为一=3.故选D.1 。5.已知直线/：丘一5+2 一k=0 过 定 点 点 P(x,y)在直线2 x+y-l=0 上，则|MP|的最小值是()A./TOB.-C.A/6 D.3小答 案 B解析 直线/:k x-y+2 k=0,即 xl)y+2=0,过定点 M(l,2),点 P(x,y)在直线2x+y1 =0 上，方法一：*.*y
14、=l2%,MP y(%1)2+(12x2)2l5x2+2x+2 l 5(x+/)2+,故当x=一 时，|MP|取得最小值为之烈，故选B.方法二：|MP|的最短距离就是点M 到直线2 x+y-l=0 的距离，由点到直线的距离公式得|MP|的最小值为殳6.若动点&乃，),仇必，)分别在直线小x+厂 7=0,/2：x+厂 5=0 上移动，则 43的中点”到原点距离的最小值为()A.3啦 B.23C.3小 D.4啦答 案 A解析 由题意知，点 M 所在直线与/1,/2平行且与两直线距离相等.设该直线的方程为x+y+c=O(c W 5且 c W 7),则解得c=-6.所以点M在直线x+y 6=0 上.点
15、M 到原点距离的最小值就是原点到直线x+y 6=0的距离，即1=曷=3 啦.故选A.二、多项选择题7.己知直线/i：(a+)x+ay+2=0,I2：o x+(l a)y1 =0,则()A./i 恒过点(2,-2)B.若/1 加 则 层=3C.若/1J J 2,则“2=1 D.当时，b不经过第三象限答 案 B D解 析 本题考查直线与直线的位置关系，直线过定点./i：(+l)x+y+2=0o (x+y)+x+2=0,x+y=O,由j x+2 0得 工=-2,y=2时，即直线/i 恒过点(一2,2),故 A 不正确；若/1 ，2,则有(4 +1)(1 )=/,解得故B 正确；若/山 2,则有。伍+
16、1)+。(1 一。)=0,解得=0,故 C 不正确；若直线/2 不经过第三象限，则 当 1 a WO时，有/一 2 0,解得O W a 11.若点P 是曲线y=f In x上任一点，则点P到直线x一厂 4=0 的 最 小 距 离 是.答 案 2也解析 要使点P 到直线xy4=0 有最小距离，只需点尸为曲线与直线x-y 4=0 平行的切线的切点，即点尸为曲线上斜率为1 的切线的切点，设尸(沏，声)，xoO,)，=/一Inx,y|X=M)=2XO：=1,解得 XO=1 或项)=)(舍去)，即乙1 1 1 41(点尸(1,1)到直线xy4=0 的距离为 7=2啦,所以曲线y=x2nx上任一点到直线x
17、y4=0的距离的最小值为2 6.12.若函数y=a r+8 与 y=%+/?的图象关于直线y=x 对称，则 a+b=.答 案 2解析 直线y=a x+S关于y=x对称的直线方程为冗=纱+8,所以x=a y+8 与y=-为同一直线，故得，所以a+b=2.13.已知4(4,0),8(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线A 8反射后再射到直线。8 上，最后经直线O B反射后又回到P点，则 光 线 所 经 过 的 路 程 是.答 案 2 也解析 由题意，求出P 关于直线x+y=4 及)，轴的对称点分别为P1(4,2),P2(-2,0),由物理知识知，光线所经路程即为|2|=2 回.1 4 .己知
18、点例，份在直线3x+4)，=1 5 上，则 后 筋 的 最 小 值 为.答 案 3解析份在直线3x+4 y=1 5上，.3“+4 b=1 5.而 亚 耳 中 的几何意义是原点到M 点的距离I O M,；.(后 方),向=点招=3.1 5.正方形的中心为点C(1,0),若它的一条边所在的直线方程是x+3y 5=0,求其他三边所在直线的方程.答案 x+3y+7=0,3x-3=0,3x-y+9=0解析 点 C 到直线x+3 y-5=0的距离-导冒=嘤 设与x+3y 5=0 平行的一边所在直线的方程是x+3 y+m=0(m N 5),贝 U 点C到直线x+3 y+z=0 的距离d=13 解得根=5(舍
19、去)或m=1,所以与x+3y 5=0 平行的边所在直线的方程是x+3y+7=0.设与x+3y 5=0 垂直的边所在直线的方程是3x y+=0,则点C到直线3X)，+=0 的距离=3 1詈=嘤，解得=-3 或n=9,所以与x+3y_5=0 垂直的两边所在直线的方程分别是3x y3=0 和 3%y+9=0.邕重点班选做题.1 6 .设定点A(3,1),B 是 x轴上的动点，C 是直线y=x 上的动点，则 ABC周长的最小值是()A.小B.2 小C.34D.V 10答 案 B解析 作出A(3,1)关于)，=的对称点A (1,3),关于x轴的对称点A (3,-1),连接A A,交直线y=x 于点C,交
20、 x轴于点B,则|A C =|A C,|A B|=|A B|,二a ABC周长的最小值为|A A|=yf(1-3)2+(3+1)2=2 小.故选 B.17.唐代诗人李顽的诗 古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为+VW1,若将军从点A(2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.V l O-1 B.2 7 2-1C.2 2 D.
21、V 10答 案 A解析 设点A关于直线x+y=3的对称点为A （n,h）,则/L 4 的中点为（幺广，爹），k.A （3,1）,“将军饮马”的最短总路程即为点A到军营的最短距离，即为4 （3 0）2+（10）2 1=也 一 1.故选A.题组层级快练（五十三）一、单项选择题I .（2 02 2.衡水中学月考）若直线o r+勿=1 与 圆/+），2=1 相交，则P（a,力与圆f+V=l的关系为（）A.在圆上 B.在圆外C.在圆内 D.以上都有可能答 案 B解析.IfiXO+X Q-lly cr+b2：.a2+h2 l：.P（a,历在圆外.2 .如果圆的方程为f+y2+履+2），+。=0,那么当圆面
22、积最大时，圆心坐标为（)A.(-1,1)B.(1,-1)C.(-1,0)答 案 DD.(0,-1)解析 r=1/F+4-43=1/4-3 后,当k=0 时，r 最大，此时圆面积最大，.圆心坐标为（0,-1）.故选D.3 .圆 C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上，直线3 x+4 y+4=0 与 圆 C相切，则 圆 C的方程为（）A.r+y22 x 3=0 B.x2+y2+4x=0C.f+y24x=0 D.x2+yz+2x 3=Q答 案 C 3m+4解析 由题意设所求圆的方程为(x m)2+V=4(加0),则；,：=2,解得加=2或 m=一/32+4-号14(舍去)，故所求圆的方程为a 2)2+尸
23、=4,即f+y24X=0.故选C.4.“一拄上W”是“直线/：尸 乙 与圆C：(L2)2+)2 =3相交”的()A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答 案 A解 析 本题考查直线与圆的位置关系、充分条件与必要条件的判断.由题知，圆(X-2)2+V12HW+必=3的圆心为(2,0),半径为小，则直线/：y=&与圆(%一2)2+尸=3相交一小%小.因为|(一小，小)，所 以 一；W Z W!”是“直线/：y=f c v 与圆C：(x-2)2+)2=3 相交”的充分不必要条件.故选A.5 .若 圆 C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x 3 y=0 和 x轴都
24、相切，则该圆的标准 方 程 是()A.(X-3)2+(-1)2=1 B.(x-2)2+(y-3)2=lC.(X-2)2+(J-1)2=1 D.(x-3)2+(y-2)2=l答 案 C解 析 本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系.方法一：因为圆C与x轴相切，半径为1,且圆心在第一象限，所以设圆C的圆心坐标为(“,1)(0),由圆C与直线4 x-3 y=o 相切，得-/二，=Lr=l，解得a=2 或 a=7 4 十(3)。一女舍去)，所以圆C的标准方程为(X2)2+0 1)2=1.故选c.方法二：因为圆C与x轴相切，且半径为1,所以圆心C的纵坐标为1,排除B、D,又点(3,1)到直线4x 3
25、y=0 的距离为芈二，义”,=w,所以圆a 3)2+，-1)2=1与直线 4+(-3)2 34 x-3 y=0 不相切，所以排除A,而点(2,1)到直线4 x-3 y=0 的距离为淮等1.A/4-+(3)2故选C.6 .已知直线I过点A(a,0)且斜率为1,若圆+/=4 上恰有3 个点到/的距离为1,贝 U a的值为()A.3&B.3啦C.2D.土巾答 案 D解析 由题知直线/的 方程为y=x-n,即x y a=0.若圆/+9=4上恰有3个点到/的距离为1,则圆心0(0,0)到直线工 一)，一=0的距离为1,即聆=1，得 =力.故选D.7.过点A(4,-1)作 圆C：。-2)2+。-1)2=4
26、的一条切线A 8,切点为B,则 A B C的面积为()A.2屈 B.6回C.12D.6答 案D解 析 本题考查直线与圆的位置关系.由题可得圆心C的坐标为(2,1),半径r=2,所以|A C=q(4-2)2+(1-1)2=2画,所以|48|=、3(7|2=#40 4=6,因此SA A B C=；|A B|C B|=g x 6 X2=6.故选 D.8.圆/+y 2+2x 8=0截直线y=A x+l(A e R)所得的最短弦长为()A.2巾 B.2 2C.4小 D.2答 案A解 析 本题考查直线与圆的位置关系、直线被圆所截的弦长.直线丫=自+1过定点(0,1),圆的方程/+)2+2-8=0可化为(x
27、+l)2+V=32,故圆心为(一 1,0),半径r=3.因为(0,1)到(一1,0)的距离为到(-1)2+(一)2=也 22%-2丫+1=0 得。-1）2+0-1）2=1,故 M（l,1）,r=,直线/过原点，不一定与圆M 相交，故 A错误；当上=0时，/：-=0,直线/与圆例相切，故 B正确；当k=-1 时，直线/的方程为=，过圆M 的圆心，故 C正确；当直线/J_ OM时，圆心M 到直线/的距离最大为QM=小，故 D正确.12.一条光线从点（一2,-3）射出，经 y轴反射后与圆（*+3）2+。-2）2=1 相切，则反射光线所在直线的斜率可以是（）3-4-3-24-3-B.D.答 案 C D
28、解析 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为h则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x 2),即日一y 2 无 一 3=0,又因为反射光线与圆相切，所以 3鼠+：a=l =1 2 F+2 5k+1 2=一,或 故选 C D.1 3.已知圆金+丫2 2 x 6 y+a=0 上至多有一点到直线3 x+4 y+5=0 的距离为2,则实数a可能的取值为()A.5B.6C.7D.1 0答 案 BC解析 圆的方程可化为(x l)2+(y 3)2=1 0 a(a v io),圆心为(1,3),半径为1 1 0 a.圆心3+1 2+5(1,3)到直线3 x+4 y
29、+5=0 的距离d=-=4,要使圆上至多有一点到直线3x+4y+5=0的距离为2,则1 0 一 忘 4-2=2,得 6 W a =/，即(-E)2+56=2(C 2+E2 4F).又圆心(一?，一9 在直线x3 y=0 上，：.D-3E=0.联立，解得。=-6,E=-2,尸=1 或。=6,E=2,F=l.故所求圆的方程是 j(2+y2-6x2 y+1 =0 或 x2+y2+6x+2 y+1 =0,即(x3)?+0-1 =9或 a+3)2+(y+l)2=9.国重点班选做题,17.直线x+y+2=0 分别与x 轴、y 轴交于A,8 两点，点尸在圆。一2)2+丁=2 上，则AABP面积的取值范围是(
30、)A.2,6 B.4,8C.诋 3的 D.2 啦，3 2 答 案 A解析 设圆(x 2)2+丁=2的圆心为C,半径为7 ，点 P到直线x+y+2=0 的距离为d,则圆心C(2,0),r=地，所以圆心C到直线x+y+2 =0的距离为2 啦，可得dm a x =2 吸+r=3 i n=3 V 2,此时 COS/M CP=坐COSZMCN=2COS2ZM C P-1 =-1,则 IMMm in=22+22-2 X 2 X 2 X（-1）=.题组层级快练(五十四)一、单项选择题1 .(2 0 2 2 山东省实验中学期中)圆 G：(x+2)2+(y-2)2=4 和圆 C 2：(x-2)2+(y 5)2=
31、1 6 的位置关系是()A.相离 B.相交C.内切 D.外切答 案 B解析 易得圆G 的圆心为C i(-2,2),半径八=2,圆 C 2 的圆心为C 2(2,5),半径？=4,圆心距|G C 2 I =2 (-2)尸+(5-2)+?=2+4,所以两圆相交.2 .己知圆/+尸+2%2)，+4=0截直线%+)，+2=0 所得弦的长度为4,则实数“的 值 是()A.-2 B.-4C.-6D.-8答 案 B解 析 先求出圆心、半径以及圆心到直线的距离，再列方程求解.由圆的方程f+V+lv2 y+a=0 可得，圆心为(一1,1),半 径r=yj 2a(a 2).圆心到直线x+y+2=0 的距离为4=苏/
32、，.由/=/+倒，得 2 4=2+4,所以a=-4.3.已知圆O i 的方程为/+。+1)2=6,圆。2 的圆心坐标为(2,I).若两圆相交于4,8 两点，且|AB|=4,则圆O 2 的方程为()A.(X2)2+。-1)2=6B.(x-2)2+(J-1)2=2 2C.(x-2)2+(y-l)2=6 或。一2)2+。-1)2=2 2D.(X-2)2+G _ 1 尸=3 6 或(X-2)2+(J-1)2=3 2答 案 C4.在平面直角坐标系中，直线x y+l=0 与圆C：e+)2 一 以-8)，+1 3=0 相交于A,B 两点，P为圆C上的动点，则布2面积的最 大 值 为()A.2+2 吸 B.2
33、C.1+正 D.2+啦答 案 A解 析 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离.圆 C的标准方程为。-1)2+。-4)2=4,圆心为C(l,4),半 径 r=2,圆心C到直线A B 的距 离=比黄二质剧=2#产一一=2 6.由于尸为圆C上的动点，则点尸到直线A B 距离的最大值为d+r=+2,因此，面积的最大值为3|AB|(d+r)=X 2 小 X(、E+2)=2+2&.故选 A.5.(2 0 2 2 衡水中学调研卷)圆f+y24 x+2 y+c=0 与 y轴交于A,B 两点、,其圆心为P,若Z A P B=90,则实数c 的值是()A.13B.3C.2 2 D.8答 案 A解析 由题知圆
34、心为(2,1),半径为r=#5 c(c 0得 XI,则 乃+竺=-2,V 2=c,.|4?|=|乃 一”|=2，1 二 7.又依8|=也一，4(1 c)=2(5c)./.c=-3.6.在圆/+产 一 级-6)，=0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为A C和 BZ),则四边形A B C D的面积为()A.5 2 B.1()7 2C.1 5 2 D.2 0 2答 案 B解 析 圆的标准方程为(X-1)2 +03)2=1 0,则圆心为(1,3),半 径 r=V i O,由题意知AC 1B D,且|AC|=2 V I b,|即=2.1 0 5=2 4,所以四边形 A8C。的面积为 S=1|AC
35、|m=|x2VT0 x2-V 5 =l()V 2.7.已知圆G：f+Vfcv y=0和圆C 2：/+夕 一 2 h，-1=0 的公共弦所在的直线恒过定点M,且点M在直线7 nx+y=2 上，则4十层的最小值为()A.|B 坐C.乎D.|答 案 C解析 由 圆 G：e+y 2 一y=0和 圆。2：x1-y2,-2k y 1 =0,可得两圆的公共弦所在的x 2 y 0,直线方程为k(x 2 )+。-1)=0,令“解得 即点M(2,1),又点M 在直线口-1=0,3=1,优+)，=2上，所以2 根+“=2.因为原点(0,0)到直线2 x+y=2 的距离寻 常=乎，所以由百5?的最小值为g 5.故选c
36、.8.(2 0 2 2 河北名校联盟二诊)直线y=后与圆(x-l)2+(y 1)2=1 交于M,N两点，O为坐标原点，则 痂 痂=()A I+FB-T+PC.1D.2答 案 c解 析 方法一：设 M(xi,yi),Ng ”).y=k x9联立/、一/、,得I(x1)2+(y1)2=1,f._22J汨 十 应 一3+1,.p yiy2=+9.riX 2=F+i*/.O M O N=x X 2+y y2=小袅：1.故选c.方法二(特值法):由题可知圆心为C(l,1),半径r=l,令 k=l,如图，此时直线过圆心,则 而 丽=|0|。川=(1。一)(|0。+r)=1。2/=1.故选 C.9.已知P(
37、x,y)是直线丘+y+3=O(fcO)上一动点，P A,PB是 圆 C：W+y22y=0的两条切 线.A,B 是切点,若四边形以C8面积的最小值是小，则上的值为()A.y/3 B.2C.2小 D.2/答 案 A解 析 如图，圆 C：e+y?-2 y=0 的圆心为(0,1),半径是厂=1,由圆的性质知5 履彩MCB=2SMBC；四边形以CB面积的最小值是小,.SAPSC的最小值为坐=$4 3 是切线长)，；.d 最 小 他=小.二IP。的最小值为正+(5)2=2,J-2 _一_户4 _ ，：.k=4?,：k 0,.%=-1的距离的最大值为爪(0+3)2+(1-3)2 =5.又 圆C的 半 径 为
38、6,故 弦 长AB的最小值为2 y 6 2-52亚又当直线 =自-1过圆心时弦长A B取最大值，为1 2,故|A8|e 2 T T,1 2.故选B C.三、填空题与解答题1 2 .若尸(2,1)为圆(X-1)2+)2=2 5 的弦A 8的中点，则直线A 8的方程为.答案 x+y 3=0解析 因为圆(犬-1)2+)2=2 5 的圆心为(1,0),所以直线A 8的 斜 率 等 于 吾=-1,由点斜2-1式得直线A 2的方程为y 1 =一。-2),即x+y-3=0.1 3 .(2 0 2 2 石家庄质检)已知直线x2 y+a=0 与 圆。：/+产=2相交于A,B两点(O 为坐标原点)，且 4 0 B
39、 为等腰直角三角形，则实数。的值为.答 案 书 或一小解析 因为直线x 2 y+a=0与圆。：x2+y2=2相交于A,8两点(O 为坐标原点)，且 AO B为等腰直角三角形，所以。到直线A 8 的距离为1,由点到直线的距离公式可得7 一 间 、,士+(2)2=1,所以a=行.1 4 .已知直线小xy+2=0 及直线小xy1 0=0 截 圆 C所得的弦长均为8,则圆C的面积是答 案 2 5“解析 因为已知的两条直线平行且截圆C所得的弦长均为8,所以圆心到直线的距离d为两直线间距离的一半，即 d=：X*0=3.又因为直线截圆C所得的弦长为8,所以圆的半径2、3+1ry/32+425,所以圆C的面积
40、是2 5 n .1 5 .(2 0 2 2 云南弥勒市一中期末)直线/：a xy+3=0 与圆C：/+产 一 4*+2 丫=0相交于M,N两点，若|何胡2 小，则实数a的 取 值 范 围 是.答 案-7,-1 解析 因为圆 C：(%2)2+(y+1)2=5,直线/：a xy+3=0,而则榨)2=5(笔 等 2 2 3,乙 y +a-解得一1,所以的取值范围为1 7,1.1 6 .已知圆M：2)2=1,直线/：=一 1,动圆尸与圆M 相外切，且与直线/相切，设动圆圆心P的轨迹为E(1)求 E 的方程；(2)若点A,8是 E 上的两个动点，O为坐标原点，且 后 无=1 6,求证：直线A B恒过定点
41、.答 案(l)f=8 y(2)略解 析(1)由题意，动圆P与直线/：y=-1 相切，且与定圆M：2 尸=1 外切，所以动点尸到圆M 的圆心”(0,2)的距离与到直线)，=-2的距离相等.由抛物线的定义知，点 P的轨迹是以“(0,2)为焦点，直线)，=-2为准线的抛物线.故所求P的轨迹E 的方程为(2)证明：由题意知直线A B的斜率存在，设直线A B：y=k x+h,4乃，),仇及，工),将直线A B的方程代入到f=8y 中得%2 8 日-8 6=0,4=6 4+3 2 5,所以 X X 2=-8 6,2 2又0 A O B=x X 2+y y2=x X 2+=b+b2=,所以b=4,满足/0,
42、则直线A B恒过定点(0,4).回重点班选做题.1 7.已知点P(2,2),圆 C：/+丫2-8)，=0,过点P的动直线/与圆C交于A,B 两 点,线段 A B的中点为M,。为坐标原点.(1)求 M 的轨迹方程；当|O P|=|O M|时，求1的方程及aPOM 的面积.答 案(l)(x-l)2+(y-3)2=2 (2)x+3 厂 8=0 y解 析(1)圆 C的方程可化为f+(r-4)2=1 6,所以圆心为C(0,4),半径为4.设 M(x,y),则 说=(x,y-4),MP=(2 x,2-y).由题设 知 说 加=0,故 x(2 x)+(y4)(2 y)=0,即。-1)2+。-3)2=2.由于
43、点尸在圆C的内部，所以M 的 轨 迹 方 程 是 1)2+0,-3=2.由(1)可知M 的轨迹是以点M 1，3)为圆心，啦 为半径的圆.连接O N.由于|0 尸|=Q M|，故O在 线 段 的 垂 直 平 分 线 上，又尸在圆N上，从而ON _ L P M.因为O N的斜率为3,所以/的斜率为一g,故/的方程为x+3)，-8=0.又|OM =|OP|=2 6，0到/的距离为共 叵，所以|P M=头 页,SM O M=；X生%X生皆=牛,故 P O M 的面积为牛.题组层级快练(五十五)一、单项选择题1.若椭圆？+叫/=1 的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则 w的值为()C.2D.4答
44、案 A解 析 将原方程变形为e+f=Lm由题意知=5，b?=l,：.a=q ,b=l.：.册=2,2.椭 圆 潦 片+/=1（机 0）的焦点为F i，Fi，上顶点为A,若/BAF2=9，则胆=（）A.1B.小C#D.2答 案 C解析 由题意得a=y/m2+I,bm,所以c=y 2 从=.因为A为椭圆的上顶点，且/尸质出n,所以由椭圆的对称性知F 1 A F 2 为等边三角形，所以|AFI|=|F|F2|=2C.又知I A F 1 I+I A F 2 I1 a,所以|A Q|=|A F 2|=4,所以=2C,即4/?+1=2,得?=小.故选 C.3 .与椭圆9*+4）2=3 6 有相同焦点，且满
45、足短半轴长为2 小的椭圆方程是（）A行+犷 1 B.而+,=1啮+祭=1 D 苏+品=1答 案 B4 .（2 0 2 2 沧衡七校联盟）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点.电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分（如图），灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点B 处，灯丝与反射镜的顶点A的距离I B A I=1.5 c m,过焦点巳且垂直于轴的弦由C|=5.4 cm,在 x轴上移动放映机片门，将其放在光线最强处，则片门离灯丝（）D.1 3 cmC.1 2 cm答 案 C（a-c=i.5,解析 由题意可知j 工h2=2.7,.c=6,
46、则 2c=12,、/=从+冷二片门放在光线最强处，.片门应放在自处.片门离灯丝12 cm.故选C.5.设椭圆C：，+*=15 0）的左、右焦点分别是丹，B,P 是椭圆C上一点，且 PR与 x 轴垂直，直线PF2与椭圆C的另一个交点为。.若直线尸。的斜率为一 点 则椭圆C的离心率为（）.也一A-4B-2答 案 B解析 由题意知Q（c,0）,尸 2（c,0）.由P Q 与x 轴垂直，PQ 的斜率为一点 可得P（c,b2a 3 c2 a由 b O=k P&=F=Z，整理得F =1,即 2c2+3“c2a2=0,得 2e2+3e2=0,解*一ZC 4 ZQC 4得 e=或 e=2（舍去）.故 选 B.
47、6.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点Q,6 均在x 轴上，C的面积为25八且焦距为2,则 C的标准方程为（）A.各 丁=1 B.J+-J=12 2 2 2十4 1D16十 3 1答 案 BK _ 2V3 JT解 析 由题意可得-1 1 解得储=4,h2=3,a1=h2+97 7因为椭圆C的焦点在x 轴上，所以C的标准方程为，+弥=1,故选B.7.设椭圆C：方+:=13 0）的左、右焦点分别为分，乃，离心率为 乎，P 是 C上一点,且 RPLF2P.若的面积为4,则。=（）A.1B.2C.4 D.8答 案 C
48、解 析,*=当，3a2=4。2，由椭圆定义可得屿1 +1 叫=2.由F1PJ_F2P得尸尸/+|尸产2|2=（2。）2,又PF1F2的面积为 4,贝曲PQ|PF 2|=4,即|PQ|PB|=8,.（IPFil+IPBlA2|吗 B l=4（?,即 4a216=3R 则2=6,解得=4.故选 C.8.焦点在x 轴上的椭圆方程为，+及=1（“泌 0）,短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为享则椭圆的离心率为（）D.|答 案 c解析 由 题 意 及 三 角 形 面 积 公 式 得 如+2c）冬 得 a=2 c,即 e寸 斗 故选C-9 29.如图，已知椭圆C：/+*=1
49、3 。0）,其中左焦点为尸（一2小，0）,P 为 C上一点，满足OP=OF,且用=4,则椭圆C的方程为（）c j/=i。36 十 10 1答 案 B解析 设椭圆的焦距为2 c,右焦点为人，连接P F i,如图所示.p.vt由F（-2 小，0）,得。=2小 j由|0尸|=|0 月=|O F i|,知 PQJ_PF.在 RtZPFQ中，由勾股定理，得|尸尸|=#|尸臼2一|尸 网 2=“（4小）2-42=8.由椭圆定义，得IPQI+I尸 F=2 a=8+4=1 2,从而4=6,得 =3 6,于是=2,=3 6（2小 户 所以椭圆C的方程为云+气=1.10.已知尸是椭圆E：5+3=1（泌 ）的左焦点
50、，椭 圆 E 上一点P（2，1）关于原点的对称点为。.若P。尸的周长为4 g+2 小，则。-6=（）A.也B.坐C.小D.坐答 案 A解 析 本题考查椭圆的定义及其对称性.取椭圆E的右焦点?，连接P 尸，Q F ,则四边形Q F P 尸 为平行四边形，则|P 尸|=|Q F|.因为P。尸的周长为46+2小，所以I P Q+I Q f+|。|=4 啦+2 小，所以|P F|十|P L|+2 1 P o i=4 啦+2 小.由椭圆定义知，I P Q+I P F|=2 4因为尸（2,1）,所以|P 0|=d?乔=#.所以2 a+2 币=4&+2小，解得。=2 4 1 又点尸（2,1）在椭圆E上，所以