《2023年高考数学一轮复习新课标版文科作业题组层级快练51-60.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考数学一轮复习新课标版文科作业题组层级快练51-60.pdf（65页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、题组层级快练(五十一)1 .(20 22山东省实验中学期中)圆Ci：(x+2)2+&-2尸=4和 圆C2：(一2)2+。-5尸=1 6的位置关系是()A.相离 B.相交C.内切 D.外切答 案B解析 易得圆Ci的圆心为。(一2,2),半径ri=2,圆C2的圆心为C2(2,5),半径-2=4,圆心距|(7心|=42一(2)F+(5-2)三5 2+2彳-2y+“=0可得，圆心为(一1,1),半 径r=#2a(a -2)2+6-1)2=22D.(x-2/+(y 1 =3 6 或(x 2产+1 尸=3 2答 案C4.在平面直角坐标系中，直线x y+l=0与圆C：炉+V一2r8)，+1 3=0相交于A,
2、8两点，P为圆C上的动点，则刑8面 积 的 最 大 值 为()A.2+27 2 B.2C.1+/2 D.2+小答 案A解 析 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离.圆C的标准方程为(x-l)2+(y-4)2=4,圆心为C(l,4),半径r=2,圆心C到直线A 8的.|1 -4+1 1 r-距离 d=y 2.，依用=R 户一(p=2寸 1 由于尸为圆C 上的动点，则点P 到直线A 8距离的最大值为d+r=V 2+2,因此，以8 面积的最大值为*1+r)=X 2 巾 X($+2)=2+2 啦.故选A.5.(2022 衡水中学调研卷)圆/+y 2 4 x+2 y+c=0与y 轴交于A,8 两点
3、，其圆心为P,若NAP8=90,则实数c 的值是()A.-3B.3C.2吸 D.8答 案 A解析 由题知圆心为(2,1),半径为r=5 c(c0得 C,=1 0,则圆心为(1,3),半 径，=y 而，由题意知A C L B D,且H C|=2 ,|8。=2 4 0 5=2小,所以四边形A B C D的面积为S=1|AC|BD2 VK)X2 V5=IOV2.7.已知圆C：F+y2 履y=0 和圆Q：/+y 2 2 6 1=0 的公共弦所在的直线恒过定点M,且点M在直线m x+n y=2上，则 技 工 的最小值为()1A-5C2 5J 5B坐Dl答 案 C解析 由 圆 Ci：N+y2丘一y=0 和
4、 圆 Q：f+y?2 6 一1=0,可得两圆的公共弦所在的x 2y=0,-V=2,直线方程为火(x-2 y)+(j1)=0,令 解得 即点M(2,1),又点M 在直线ty-l=0,y=,2也 2+12mx+ny=2 ,所 以 2机+=2.因为原点(0,0)到直线2 x+y=2 的距离”=2小5，所 以 后 方 的最小值 为 乎.故选C.8.(2022 河北名校联盟二诊)直线丫=与圆。-1)2+&-1)2=1交于知，N 两点，。为坐标原点，则 原 赤=()1 FB-T+PC.1 D.2答 案 C解析 方法一：设(%，yi),M12,y i)-y=k x9联立(x1)2+(y1)2=1,得(&2+
5、1)始一(2%+2求+1=0.由 /=8心 0 得 k 0,(2 攵+2)+息=尸+1，.,e y y i=l x X 2=_|_2,产 M=/+,：.O M-赤=xiX2+yiy2=jT，+y m=l.故选 C.方法二(特值法)：由题可设圆心为C(l,1),半径r=l,令 上=1,如图，此时直线过圆心，则 痂 ON=OM-ON=(|0,二无=小.故选 A.1 1 .若 P(2,1)为圆(x T)2+y 2=25 的弦AB的中点，则直线A8的方程为答 案 x+厂 3=0解析 因为圆。-1)2+产=25 的圆心为(1,0),所以直线AB的 斜 率 等 于 言=-1,由点斜2-1式得直线AB的方程
6、为-l =-(x-2),即x+y-3=0.1 2.(2022.石家庄质检)己知直线x-2 y+a=0 与 圆。/+产=2 相交于4，8两点(O 为坐标原点)，且 A O B 为等腰直角三角形，则实数”的值为.答 案 小 或一小解析 因为直线x 2 y+a=0 与圆O：/+产=2 相交于4,8两点(。为坐标原点)，且 A O B为等腰直角三角形，所以O到直线A 8 的距离为1,由点到直线的距离公式可得力，、，yjl2+(-2)2=1,所以石.1 3 .已知直线Sxy+2=0 及直线小x-y 1 0=0 截 圆 C所得的弦长均为8,则 圆 C的面积是.答 案 25 n解析 因为已知的两条直线平行且
7、截圆C所得的弦长均为8,所以圆心到直线的距离d为两直线间距离的一半，即 d=；x职0=3.又因为直线截圆C所得的弦长为8,所以圆的半径r=、3 2+4 2=5,所以圆C的面积是25 n.1 4 .(2022云南弥勒市一中期末)直线/：or y+3=0 与圆C：/+)2-4*+2 丫=0 相交于N两点，若|M N|22小，则实数“的取值范围是.答 案 一7,-1 解析 因为圆 C:(x 2)?+(y+1 =5,直线/：or y+3 =0,而|例州2小，贝！1(当 户=5 一(号”空户23,乙 y j l+a2解得一7 W a W -l,所以”的取值范围为-7,-1 .1 5 .已知圆M：炉+。-
8、2)2=1,直线/：丫=-1,动圆P与圆M相外切，且与直线/相切，设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求 E的方程；(2)若点A,8是 E上的两个动点，O为坐标原点，且 苏 励=1 6,求证：直线恒过定点.答 案(l)F=8 y(2)略解 析(1)由题意，动圆P与直线/：=-1 相切，且与定圆何：/+。-2)2=1 外切，所以动点尸到圆M 的圆心M(0,2)的距离与到直线y=-2 的距离相等.由抛物线的定义知，点 尸的轨迹是以M(0,2)为焦点，直线y=-2 为准线的抛物线.故所求P的轨迹E的方程为f=8 y(2)证明：由题意知直线4B的斜率存在，设直线A 8：y k x+b.A 5,yi),Bg,
9、y i),将直线AB的方程代入到f=8y 中得好一8 日一8 b=0,/=6 4 F+3 26,所以 X X 2 8 6,又。A OB=X X 2+y y 2=x X 2+C V r=S b+b2=6,所以b=4,满足/0,则直线A4恒过定点(0,4).邕重点班选做题.1 6 .已知点P(2,2),圆 C：x2+y2-8 y=0,过点尸的动直线/与圆C交于A,B两点，线段 A8的中点为M,O为坐标原点.(1)求 M 的轨迹方程；(2)当|O P|=|O M 时，求/的方程及 P O M 的面积.答 案(l)(x-l)2+。-3 产=2(2)x+3 y 8=0 y解 析(1)圆 C的方程可化为/
10、+()，-4)2=1 6,所以圆心为C(0,4),半径为4.设 M(x,y),则 诙=(x,y4),访=(2x,2y).由题设 知 说 而=0,故 x(2-x)+(y4)(2y)=0,即。-1)2+。-3)2=2.由于点尸在圆C的内部，所以M 的 轨 迹 方 程 是 1)2+0-3 尸=2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N(l,3)为圆心，爽 为半径的圆.连接O N.由于|O P|=|O M，故O在线段P 仞的垂直平分线上，又 P在圆N上，从而ONL P M.因为ON的斜率为3,所以/的斜率为一g,故/的方程为x+3 y8=0.又|O M =Q P|=2，i,O到/的距离为生理，所以1 P
11、 M 义色续X 生%=与,J J 4 J J J故 P O M 的面积为号.题组层级快练(五十二)1 .若椭圆/+m y 2=i 的焦点在 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则机的值为()AB.1C.2 D.4答 案 A解 析 将原方程变形为/+f=i.由题意知足=5，按=1,；.a=y j l，b=l./.A 工=2,l m 4五2 廿32.已知椭圆浜+方=l(a 泌 0)的焦点分别为F|,F1，6=4,离心率为亍过F l 的直线交椭圆于 A,B 两 点,则A A B 巳的周长为()A.1 0 B.1 2C.1 6 D.20答 案 D解析 由椭圆的定义知 A 8 B 的周长为4m又 c与c=3*
12、即3a2c1=a2=h2=1 6.：.a=5,Z i A B F 2的周长为 20.r 2 y 2JT3 .椭 圆 后T j +）=l（，0）的焦点为F i，Fi，上顶点为4,若/F i A B=耳,则m=（）A.1C.小答 案CB.y/2D.2解析 由题意得。=，层+1 ,b=m,所以c=N 黄=1.因为A为椭圆的上顶点，且/F|AB=y,所以由椭圆的对称性知 B A B为等边三角形，所以|AFI|=|FIF2|=2C.又知l AQ l+HCI=2 a,所以|AF i|=|AF 2|=a,所以 a=2 c,即gTl=2,得?=小.故选 C.4 .与椭圆9 x?+4 y 2=3 6有相同焦点，
13、且满足短半轴长为2小的椭圆方程是（）B袅亲1D卷+=1答 案B5.椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点.电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分（如图），灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点尸2处，灯丝与反射镜的顶点A的距离尸M=1.5 c m,过焦点F2且垂直于轴的弦|BQ=5.4 c m,在x轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门离灯丝（）答 案CC a-c=1.5,b2解析 由题意可知j=2.7,；.c=6,则2 c=1 2,.2=2 +落I.片门放在光线最强处，二片门应放在F i处.二片门离灯丝1 2 c m.故选C
14、.6.设椭圆C：$+g=1 3/0）的左、右焦点分别是Q,Fi，P是椭圆C上一点，且3与 x轴垂直，直 线 与 椭 圆 C 的另一个交点为Q.若直线PQ的斜率为一；，则椭圆C 的离答 案 B解析 由题意知人（一。,0）,/;2（。,0）.由尸尸1 与万轴垂直，尸。的斜率为一4，可得;（一。，玖a 3 2-3由幻Q=&PF2=V=-3 整理得即 2 c2+3 a c 2 a 2=0,得 2 e 2+3 e 2=0,解2c 4 Zac 4得 e=g 或 e=2（舍去）.故选B.7.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，
15、焦点B，6均在x轴上，C 的面积为2 5 n,且焦距为2,则 C 的标准方程为（）A.f|+r=I B-f+=1居+=1 D 后+A答 案 B 而 _2 小.解 析 由题意可得，1 1 解得=4,=3,a2=b2+1,因为椭圆C 的焦点在x轴上，所以C 的标准方 程 为?+=1,故选B.8.设椭圆C：3+g=l（a b 0）的左、右 焦 点 分 别 为 尸 2,离心率为坐 P是 C 上一点,且尸 2 P.若 P F/2 的面积为4,则“=（）A.1 B.2C.4 D.8答 案 C解 析?=坐，3A2=4C2,由椭圆定义可得|P Q|+|P F 2|=2 a.由 尸1尸 _1_尸2尸得出FIF+
16、|PF2F=（2C）2,又尸尸内的面积为 4,则g l P Q I P B I=4,即|P Q|仍 尸 2|=8,；.（|P Q|+|P F 2|）2 一2|P F|P F 2|=4c2f即 4/-1 6=3 序，则 2=6,解得Q=4.故选C.9.焦点在x 轴上的椭圆方程 为:+:=1 3 6 0）,短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径 为 今 则椭圆的离心率为（）A-4B-3C.g D.|答 案 c解析 由题意及三角形面积公式得京 2 3=3（24+2苗，得 a=2 c,即 e弋=：,故选C.10.如图，已知椭圆C：，+g=1（泌0）,其中左焦点为F（2小，0）
17、,P 为 C 上一点，满足|O P|=|O Q,且|P Q=4,则椭圆C 的方程为（）答 案 B解 析 设椭圆的焦距为2 c,右 焦 点 为 连 接 P F i,如图所示.由（一2小，0）,得 c=24.由|O P|=|O F|=|O Q|,知 PF|_LPF.在 Rt/XPFQ中，由勾股定理，得|PFi|=N|FIF|2一|PFp=7（4小）242=8,由椭圆定义，得|P F i|+|P F|=2 a=8+4=1 2,从而。=6,得/=3 6,于是按=屋一/=3 6（2啊 2=16,所以椭圆C 的方程为+冬=1.Jo 1O11.己知尸是椭圆氏 宗+片=1 3 0）的左焦点，椭圆E 上一点P（
18、2,1）关于原点的对称点为。.若PQ F的周长为4巾+2 水,则“一人=（）A.啦B芈C.小D坐答 案 A解 析 本题考查椭圆的定义及其对称性.取椭圆E 的右焦点 广，连接P P ,Q F,则四边形Q F P F 为平行四边形，则|PF|=|Q Q.因为PQ尸的周长为4 6+2 小,所以|P/q+|QFl+尸。|=4陋+2服，所以|PF|+|P9|+2|PO|=4淄+2小.由椭圆定义知，IPQ+IP尸|=2因为P（2,1）,所以0 尸 危 乔=#.所以2a+2小=4 6+2 小，解得a=2 4 l又点P（2,1）在椭圆E 上，所以一（2左）+=1，解得b=隹 所 以。-6=2吸 一 地=也.故
19、选A.12.已知椭圆，+/=1 3 6 0）,Fi，B 分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线 4 巳交椭圆于另一点P，若川=|%|,则椭圆的离心率为（）答 案 A解析 如图，点 P 在椭圆上，所以|PFI|+|PF2|=2“,又|PF|=|网=|尸尸2|+依尸2|,HQ|=H B|=,代入上式，得|尸尸|=拳|PF2|=*在左人A,PFi 出中，cos/N小/M。Q I AQF2+AHFPi|F|/-iPIP|QF一屏+(y)2-(当)22aX又 cosZB4Fi=l 2sin2ZO/4Fi=g,所以 sinNOAF=坐，即 sinNOAFi=（=e=坐.13.（2021全国乙卷，
20、文）设 8 是椭圆C：/产1 的上顶点，点 P 在 C 上，则|尸 阴 的最大值为（）B.V6C.5 D.2答 案 A解析 方法一(消元转化法)：设点P(x,y),则根据点P在椭圆/V=i上可得/=5-5,W1.当2 y+T=0,即 尸 一；时，I P B F 取得最大值守，所以|P%a x=|.故选A.方法二(利用椭圆的参数方程)：因为点P在椭圆会+炉=1 上，所以可设点P(小c os 0,s i n9).易知点 B(0,1),所以|P B F =(小 c os&)2+(s i n 0 1)2=4C OS2。-2s i n 2 I 1 252s i n 夕+6=才一(2s i n 夕+引 易
21、知当2s i n 夕+1=0,即 s i n。=一 时，|尸 砰 取得最大值不所以1 P B i m a x=|.故选A.1 4.已知椭圆C：器+1=1，Fi，F 2分别为椭圆的两焦点，点尸在椭圆上，且|P B|=3,则P F 1 F 2的面积为.答 案 6解析 V|P F i|+|P F 2|=2a=8,；.|P Q|=8 3=5,又|F i B I=2c=4,：.P F2LFtF2,：.5 A P FIF2=1|P F2|F 2FI|=1 R 3 X 4=6.1 5 .如图所示，已知椭圆去+与=1(a /40),Fi，B 分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AB交椭圆于另一点B.
22、(1)若/F i A B=9 0 ,求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2,且/2=2&,求椭圆的方程.答 案(1 咨(2耳+苧=1解 析(1)若N A 8=9 0 ,则 A O B 为等腰直角三角形.所以有1 0 4=1 0 6 1，即 6=c.所以。=地,6=坐.(2)由题知 A(0,b),6(1,0),设 5(x,y)9,f f 3 b由A F 2=2F 2&解得 y=y加一4一加十9一4-屏得n俨p+-2-2即 心9 +；1=1，解得*=3,则=层一，=2,所以椭圆方程为日+1.重点班选做题v 2 21 6.已知椭圆C：a+g=l（a 6 0）的左、右焦点分别为尸I,尸 2,长轴长为4
23、,点 P（，L I）在椭圆内部，点。在椭圆上，则下列说法正确的是（）A,离心率的取值范围为（0,0B.当离心率为乎 时，I Q Q I+I Q P I 的最大值为a+半C.存在点Q使得历i 派=0D Q F|+I Q B I 的最小值为1答 案 D解 析 本题考查椭圆的离心率、定义和基本不等式的应用.由题意可得2a=4,所以“=2.o 1由点尸（卷1）在椭圆内部可得（+方 1,可得 2cb 24,即 24/4,所以 6 c 对于A,由e=,得0 e ,故 A错误；对于B,当e=当 时,c=坐,0）,连接 P&,则|Q Q|+|Q P|=2 一|Q F 2|+l Q P|W2a+|P F 2|=
24、2+-,当且仅当尸，F2,。三点共线且点尸2在点P,。之间时等号成立，故 B错误；对于C,当。为短轴端点时，/F1Q F2最大,此时|Q B|=|Q B I=，2/4c2则 COSZFQF2=一 万 一=1 2/,由（X e 坐，得 0COSN FIQ F 2 1,则 0 ZFQF2%0）右焦点F的直线/：x y4=0交C于A,B两 点,P为A 8的中点，且O P的斜率为一/。为坐标原点），则椭圆C的方程为（）A%+X B 与+/1U f+=1 D.看+看=1答 案A解析 直线/：x-y-巾=0中，令y=0,可得x=X i +X 2=yI+冲+2小=；%，所以kop=Xi+X2尤a21T所 以
25、 层=2，又以=+4,0）的焦点F 是椭圆，+g=的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A,8两点，若阳8是正三角形，则椭圆的离心率为)答 案C解析 如图，由H 8尸 子，AMB是正三角形，得 坐X乎=2c,化简可得（2居-3按）（24+抉）=0,所以2a 23 =0,所以所以椭圆的离心率e=、群 兴 故 选C.6 .设 Q,B 分别是椭也咛+产=1 的左、右焦点，若椭圆上存在一点P,使彷+而 晒=0（。为坐标原点），则 F/F 2的面积是（）A.4C.2答 案 DB.3D.1解析 因为（分+配）丽=（0+而?）陌.评2=0,所以 P FtlP F2,Z F 1 PF 2=9O.设|PF i
26、|=m,P Fz =n,则 m+n4,m+n21 2,2m n 4,所以 S Z F i PB=g?=1 .故选D.7.（2 0 2 1 成都七中期末）已知椭圆C：，+=l（a*0）,焦点江一2,0）,6（2,0）.过 F i（一2,0）作倾斜角为6 0 的直线/交椭圆上半部分于点A,以 Q4,吊0（。为坐标原点）为邻边作平行四边形O BA8,点 8 恰好也在椭圆上，则 护=（）A.小B.2小C.4小 D.1 2答 案 B解 析 依题意可知，c=2,设 4 汨，y D，B g 72）,因为四边形。QA8 为平行四边形，所以y=”.又务+皆=1，寮+旨=1，所以及=一*1-又 F i A 0 8
27、,且直线QA的倾斜角为6 0 ,所以 弟 弋=但因为 力=丁2,X 2=-X i,所 以 项=-1,X 2=1 ,丫 1=丫 2=小,r2 v2 1 Q所以A（1,小）,将其代入/+方=1,得 浜+=1，又。=2,所以2 62=/=4,联立解得=4+2S，故选B.7,28.（2 0 2 2 海南高三模拟）设椭圆5+七=1 的右焦点为尸，直线y=m（0 m 小）与椭圆交于A,8 两点，则下列说法不正确的是（）A.I A F I+I B Q 为定值B.A B 尸的周长的取值范围是 6,1 2 C.当机=坐 时，/X A B F 为直角三角形D.当，”=1时，Z i A B F 的面积为加答 案 B
28、解 析 设椭圆的左焦点为F,连接AF,则 尸|=|B F ,.履用+旧月二履月+依尸|=2 a=6 为定值，A正确；ABF 的周长为HB I+Hf l+I B f l，.HF I+I B Q 为定值6,区用的取值范围是(0,6),.A B 尸的周长的取值范围是(6,1 2),B错误；将尸田与椭圆方程联立，可得x=苦，不妨设A,B的坐标分别为(一岁，监，(喳）.又（倔 0）,.,.乔 济=（#+）（#-乎）+（乎）2=0,.1 A B F 为直角三角形，C正确；将y=l 与椭圆方程联立，得 x=：hR,不妨设A,8 的坐标分别为(一加，1),(A/6,1).：.SAABF=3X2乖义=#,D正确
29、，故选B.9.椭 圆，n%2+y 2=(m0,拉 0)与直线丁=1 一%交于M,N 两点，若原点。与线段M N的中点尸连线的斜率为平，则?的值是_ _ _ _ _ _ _ _.Z n答 案 当y=x,解 析 由 一,，消去inx-rnyr=1得（加+）42 2 加+-1 =0.4=4 2 4（777+）（1 1）=4 z+4-4mn,则 MN 的中点尸 的 坐 标 为 扁，扁二,点 P 在椭圆内部，.、，（；#/又 m 0,n0,.mn 0.%/=n Zy p-1 0 .已知椭圆5+V=i与直线y=x+相 交 于 A，B两 点,且依用=苧，则实数2 的值为答 案 12 o1 1 .已知椭圆C：
30、a+方=1(9 0)的左、右焦点分别为B，F 2,点 尸在椭圆上,且 由-Fx Fi4 4=0,|PQ|=,|P B|=p 则 C的 标 准 方 程 为；若过点1)的直线/与椭圆3-2C交于A,8 两点，且点4,B关于点M对称，则/的方程为答案 g T+-l 2 x 3 y+6=0解析 本题考查椭圆的定义、几何性质及标准方程，直线与椭圆的位置关系.记椭圆的半焦4 1 4距为C,根据椭圆的定义可得，2=|PFl|+|PF2|=+y=6)则 a=3.又 即 2=0,则 P FJQ F2,所以I E 尸 2|=4 俨 尸 2|2一|PF|2 =d 守 一 竽=2小=2 c,贝 U c=邓,所以=*一
31、/=4,因此椭圆C 的标准方程为卷+?=1.由题意直线/的斜率存在，设 A(xi,y i),B(X 2,y i),因为点A,B关于点，一|,1)对称,X l+l 2=-3,JI+2=2.所以两 式 作 差 可 得*应+=。,X1+X2y+y2X4-92-349所以直线A3的方程为y l=1(+|)=|x+l,即 2x3 y+6=0.1 2.椭圆：杂+g=1(“/0)的左、右焦点分别为尸”尸 2,焦距为2c.若直线 产 木(x+c)与椭圆厂的一个交点M 满足N MQ F2=2 N MBF”则 该 椭 圆 的 离 心 率 等 于.答 案 3-1解 析 由直线y=4 5(x+c)知其倾斜角为6 0
32、,由题意知/例自尸2=6 0 ,则NM B F i=3 0 ,ZFIMF2=90.故|M F|=C,|/2|=符又|例川+|仞匕|=2“，；.(小+l)c=2a.即 6 =不 彳=小 一 1.1 3 .已知椭圆C 的对称中心为原点O,焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F i 和且尸i B I=2,点(1,在该椭圆上.(1)求椭圆。的方程;(2)过 点 Q 的直线/与椭圆C相交于4,8两点，若A B的 面 积 为 印，求 以B为圆心且与直线/相切的圆的方程.答 案(崎+?=1 (2)(x1产+产2解 析 设椭圆C的标准方程为捻+&l(a b 0).；用 画=2,：.2 c=2,即 c=l.又.点(
33、1,1)在椭圆上，仕+4 解得y 2,/=小.,a2=b2+9二椭圆C的方程为Y+9=1.(2)设直线/的方程为x=ty-.x=ty,联 立、，一，消去X，得(4+3必269一9=0.39+4产=12,：40 恒成立，设 A(M,|),8(尤2,”)，yy2W P_ _ 2y 户 +1 yi-y2=l（+”）24“”=:工 产 c 人 4 1 7 n 1 R C .,124产+1 126.B.S2AFB=3 FIF2 ,1 yz=4_|_3/2 T-解付 F=L:圆F2的半径r=2W+l=小，.以尸2为圆心且与直线/相切的圆的方程为(X1)2+产=2.1 4.已知椭圆C：5+g=1(40)的右
34、焦点为F(虫，0),长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点4 1,0)的直线/与椭圆C相交于不同的两点M,M若 点8(0,1)在以线段MN为直径的圆上，求直线/的方程.答 案(1)这+产=1 (2口+)-1=0 或 3x5y 3=0解 析(1)由题可知。=小，！=2,d1=b2+c2,.a=2,匕=1.，椭圆C 的方程为彳+产=1.(2)由题意知直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为x=%y+l,M(xi,y i),N(x2,%).联立，消去 x 可得（4+优2）y 2+2z y 3=0.4 =1 6/n2+4 8 0,y i+y 2=4+w2*I 4+源:点 B在
35、以MN 为直径的圆上，：.BM BN=0.B M ,B N=（m y i +,一1 （也+1,m 一1）=（加+D y.+O 1）3+竺）+2=0,3 2771.（苏+1）5+（LD +2=0 整理得3 於 一 2?一 5=0,解得加=1 或加=搭.二 直线I的方程为x+y 1 =0或3x 5y3=0.重点班选做题1 5.已知椭圆的中心在坐标原点。，右焦点坐标为(1,0),椭圆的短轴端点和焦点连线所组成的四边形为正方形.(1)求椭圆的方程；(2)直 线/过 点 P(0,2)且与椭圆相交于A,B两点，当 A 0 8面积取得最大值时，求直线I的方程.2答 案(1)5+炉=1 (2)V 1 4.r-
36、2y+4=0解 析 本题考查椭圆的定义和几何性质，直线与椭圆的位置关系.o 2设椭圆方程为了+方=1,b=c=l,1 4=2,由 已 知 得2心，解 得Q 1a2=b2+c2,g 2=1,.所求椭圆的方程为曰+2=1.(2)由题意知直线/的斜率存在且不为零，设直线/的方程为y=fc v+2,A(x i,%),B(x2,y2),(y=k x+29由、消去y得(1+2攵2求2+8h+6=0,叱=1由直线/与椭圆相交于A,B 两点,3得/0=6 4 R24（1 +2 R）0,解得 k2 y又由根与系数的关系可得笛（+及_=_ +8&2/，6产 *2=1+2 方法一：+A 2M X 2|=A/1+A
37、W（X1+X2）2 4X1X2=A/1+Fl+2k2716k2-24.一 2原点。到直线/的距离d=1+61则aA O B 的面积5=d48|d=7 1 6 3 24 2啦 72A231+2F1+2公令 4=山 4-3（二 0）,则 2/=机 2+3,.j2 p m _ 2啦,，+厂 J机十一m4当且仅当 片 病 即?=2 时，%=苧历此时k满 足/0,直线/的方程为iV i“-2 y+4=0.方法二：设直线/与x 轴的交点为。（一看，0）,3由尼且，一 8k川十”2一 I T诟6方念=而万11 2SAOB=OD*y-y2=2%+2一日2-2|=|xi 一及|yj（xi+%2）24X IX21
38、+2R2啦 曲 31+2R下同方法一.2啦 山庐一3方法二：SAAOB=SPOB-S?OA=1 X2X|网一|xi|-1%2 刈=1+2公下同方法一.题组层级快练（五十四）,双曲线 号 一 亲=1（。，0,8 0）的离心率为2,则双曲线C的渐近线方程为（）y=f 3xC.,=芍、D.y=2x答 案A解 析 本题考查双曲线的几何性质.,.-=2,即 c2=4a2.c2=a2+b2,.b2=3a2,即，=小，二 双曲线C a一方=l（a 0,比 0）的渐近线方程为尸:国.故选A.3.已知双曲线点一=i m o,匕 o）的两条渐近线互相垂直，焦 距 为 则 该 双 曲 线 的 实轴长为（）A.3 B
39、.6C.9 D.1 2答 案B4.（20 22云南昆明市一中月考）已知双曲线看一的=1的左、右焦点分别为Q,尸2,过尸2的直线与该双曲线的右支交于M,N两点，若则M N F i的周长为（）A.1 6 B.24C.3 6 D.4 0答 案C2a=6,所以|M F i|+|N F i|=|M F 2|+W F 2|+4 a=|M N|+1 2=24,所以 MNF 的周长为|M F|+|N Q|+|M N|=24+1 2=3 6.故选 C.5 .已知双曲线C：a一 g=l（a 0,比 0）的实轴长为1 6,左焦点为尸，M 是双曲线C的一条渐近线上的点，且 O M L M F,O为坐标原点，若 SA0
40、MF=1 6,则双曲线C的离心率为（）A 坐B.A/5C 币D.平答 案 A解析 由题意可知，2a=1 6,所以a=8,即左焦点尸到双曲线C的渐近线法 y=0的距离，所以|例回=乩 在 R t O M F 中，|0 用=心 所以|O M=，SA 0 M F=j ab=16,解得b=4,所以c=、8 2+4 2=4 4,所以离心率6=乎.故选A.6 .如图是一座等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5 m,水面宽度A B=3 0 m.若水面下降5 m,则水面宽度约为（结果精确到0.1 m）（参考数值：也 F.4 1,上2.24,由-26 5）（）A.4 3.8 m B.4 4.8 mC.5 2.3 m
41、D.5 3.0 m答 案 B解析 如图建系，不妨设水面下降5 n l 时水面宽度为M N.拱桥为等轴双曲线形，.设其方程为产一/=。2,q o,一 ）.V|A B|=3 0,|C D|=5,；.8（1 5,a 5）.将 8（1 5,一“-5）代入方程炉一/=4 2得（一。一5 月1 52=a2,解得 a=20.二曲线方程为尸一/=4 0 0.当水面下降5 m时,刈=-a 5 5 =3 0,代入方程产一炉=4 0 0,得 加=1 0 .二|脑V 1=2 x,v=2 g4 4.8.故水面宽度约为4 4.8 m.故选B.7.（2 0 2 2 深圳市调研考试）已知双曲线C：,一方=l（a 0,6 0）
42、的焦点分别为尸 1（一5,0）,3尸 2（5,0）,尸为 C 上一点，P F Y P F2,tan ZP Fi F2=,则 C 的方程为（）/一 会=1 B.去一产=1cJ*=i/JJ 9 1 6 1 u1 6 9 1答 案A解析 因为 PF|_ LPF 2,t an NPF i F 2=；,尸/2|=1 0,所以可得|PQ|=8,|P尸2尸6,根据双曲线的定义可得|PR IT PF 2 l=2 a=2,即。=1,所以/?2=0 2一4=2 5 1=2 4,所以C的 方 程 为 关=1.故选A.8 .已知双曲线E：3一本=l(a 0,6 0)的左、右焦点分别为F i，F2,P为其渐近线上一点,
43、若PF i B是顶角为的等腰三角形，则E的离心率为()A.当B.2C.小D.小答 案A解析 设点P是双曲线E的渐近线y=%上一点，若 是 顶 角 为 号 的 等 腰 三 角 形,则NPF|F 2=芋 或/小 尸 产 学 不妨设点P在第一象限，则N P B F i J n,且尸行氏周=2c,则可得P(2 c,73 c),则由c=沁,哈、,可得双曲线E的离心率e=41+；=乎.故选A.9 .已知双曲线C：，一方=l(a 0,6 0)的离心率等于2,Fi，6分别是C的左、右焦点，A为C的右顶点，P在C的渐近线上，且PF 1 _ LPB,若出人的面积为3 a,则C的虚轴长等于()A.小C.2 5答 案
44、D解析 如图，./尸|，尸 尸2,B.2D.4：.OP=F,F c.又 点 在 渐 近 线y=x上，.P（a,b）.,（a+c）-b=3a,又；e=2,.c2a,.b2.故双曲线的虚轴长为4.故选D.i o.已知q,B 分别是双曲线c：5一）a=i的左、右焦点，过点人且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于A,8两点，则A A B 巳的内切圆的半径为（）维D”-3u 3答 案 B解析 因为双曲线C的方程为与一炉=1，所以“=也，b=,c=y3,所以Q（小，0）,B（小,0）,把犬=一仍代入双曲线方程，得、=手，不妨设点4,3 的坐标分别为（一切，坐）,（-小-丹方法一：H B|=|B B|=2 a+
45、H Q|=2 小+半=岁，所以 A B B 的周长为6 2,设 ABB的内切圆的半径为r,则由面积相等知;也 X 2 小，解得r=坐 故 选 B.方法二:因为 半tan/AF2Fi=（=*;所 以 s i n Z AF2F i=1,设A A B C内切圆的半径为r,则 可 匕 W解 得 一 坐 故 选 B.1 1.己知自，乃是双曲线，一g=1（“0,6 0）的左、右焦点，过 F i 的直线/与双曲线的左2 J I QA/d/7.F、支交于点A,与右支交于点3,若|AFI|=2M N Q A F 2=一丁，则 A HRJ=（）J 3 Z AA”广 21A.1B，2C.1 D.1答 案 B解 析
46、如图所示，由双曲线定义可知H B|H Q|=2 a.2又|AFi|二 2m 所以H B|=4 4,因为 N R A F2=n,所以 SAAF|F2=|A F|IAF2I sin/FiA F2=gx2aX 4ax坐=2小 标设|86|=M，由双曲线定义可知|8所|一|8尸 2|=2，所以|8Q|=2a+|8F2|,又知|8Fi|=2a+|BA|,所以1 8 A l=L.又知NBAF2=T，所以BAF2为等边三角形，边长为4a,所以SA A B F z/何=当（旬 2=4小 岛 所 以 舒 亲=建 4故选B.1 2.已知左、右焦点分别为F”B 的双曲线C：a2 b2=1 3 0,fc0）的一条渐近
47、线与直线/：x2 y=0互相垂直，点 P 在双曲线。上，且|PFi|一尸巳|=3,则双曲线C 的焦距为答 案 3小解析 双曲线C：宏一方=1（0,。0）的渐近线为y=%,由 C 的一条渐近线与直线/：x-2 y=o 相互垂直，可得=2,3即 b=2 a,由双曲线的定义可得2a=|PFI|-|P B I=3,可得。=万，6=3,即焦距为2c=3小.13.已知双曲线C 的焦点为尸i（0,2）,B（0,2）,实轴长为2,则双曲线C 的离心率是若点。是双曲线C 的渐近线上一点，且 BQLFzQ，则QBF2的面积为.答 案 2 2小解析 易知c=2,2a2,所以a=l,所以抉=/“2=41=3,6=小，
48、e=2,/*/3所以双曲线的方程为y 一方=1,其中经过一、三象限的渐近线方程为y=x,故可设点 Q（x,孝 J，所以F i0=（x,坐 x2）,B Q=Q,9r+2）,因为Q Q L B Q,所 以 怠 城=0,即f+（冬 一 2）。表+2）=0,解得工=九2，所以点Q 到y轴的距离为小，又|F i B|=4,所以S aQF|F 2=；xSx|a B|=；X小 X 4=2 小.1 4 .(2 0 2 2 沧州七校联考)已 知F,尸 2 是双 曲 线 C：点一g=l(a 0,6 0)的左、右焦点，点2M 在双曲线C上，M Q 与 x轴垂直，s i n/例 尸 2 尸 i=,则双曲线C两条渐近线
49、夹角的正切值为-答 案?4解析 由题意知Q(-c,0),因为 W 与x轴垂直，所以将X=-C代入点一方=1中，可得y=,所以也用|=,按由双曲线的定义可得|M 尸 2 l=2 a+|M Q|=2 a+5,b2因为s i n/M B F i*,所 以 得 胃=巴=|.所以6=2 ,即渐近线为y=2 x,2+a设两条渐近线的夹角为a(0 0)的左、右焦点，过 B作垂直于x 轴的直线，在 x 轴上方交双曲线C 于点M,Z M F,F2=3 0 .(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别 为 尸P2,求 格-P P2的值.答 案(1 僚 一 =1 (
50、2)1解析 设尸2,M 的坐标分别为N1+坐,0),(W+跳,州)3)0),因为点”在双曲线C 上，所 以 1+加一旨=1,则州=加，所以|股 尸 2|=.在 R t Z k M 尸 2 尸 1 中,Z M F|F2=3 0 ,MF2=b2,所以|M Q|=2 抉.由双曲线的定义可知，|M Fi|-|M F2|=2 n=从=2,故双曲线C 的方程为N(=l.(2)由可知，两条渐近线分别为h gy=0,/2：g+y=0.设双曲线C 上的点P(x(),y0),两条渐近线的夹角为仇由题意易得c o s =g,不妨设点P到两条渐近线的距离分别为|P P 尸 屿 产 2中8 尸 电 唳 3 Q3因为P(