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1、目录 上页 下页 返回 结束 第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)目录 上页 下页 返回 结束 二、二、对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 1.引例引例 设稳定
2、流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量.分析分析:若 是面积为S 的平面,则流量法向量:流速为常向量:目录 上页 下页 返回 结束 对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则 目录 上页 下页 返回 结束 设 为光滑的有向曲面,在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R 叫做被积函数被积函数;叫做积分曲面积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义：定义：目录 上页 下页 返回 结束 引例中,流过有向曲面 的流体的流量为
3、称为Q 在有向曲面 上对对 z,x 的曲面积分的曲面积分;称为R 在有向曲面 上对对 x,y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面 上对对 y,z 的曲面积分的曲面积分;若记 正侧正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式目录 上页 下页 返回 结束 3.性质性质(1)若之间无公共内点,则(2)用 表示 的反向曲面,则目录 上页 下页 返回 结束 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理定理:设光滑曲面取上侧,是 上的连续函数,则证证:取上侧,目录 上页 下页 返回 结束 若则有 若则有(前正后负)(右正左负)说明说明:如果积分曲面 取下侧,则目录 上页
4、 下页 返回 结束 例例1.计算其中 是以原点为中心,边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解:利用对称性.原式 的顶部 取上侧 的底部 取下侧目录 上页 下页 返回 结束 解解:把 分为上下两部分根据对称性 思考思考:下述解法是否正确:例例2.计算曲面积分其中 为球面外侧在第一和第八卦限部分.曲面积分是按侧进行目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画两类曲面积分可以相互转换目录 上页 下页 返回 结束 令向量形式(A 在 n 上的投影)目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设是其外法线与 z
5、轴正向夹成的锐角,计算解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例6.计算曲面积分其中 解解:利用两类曲面积分的联系,有 原式=旋转抛物面介于平面 z=0 及 z=2 之间部分的下侧.参考下页注释目录 上页 下页 返回 结束 原式=原式=目录 上页 下页 返回 结束 注：在上题中，如何得到令目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结定义定义:1.两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质:联系联系:目录 上页 下页 返回 结束 2.常用计算公式及方法常用计算公式及方法目录 上页 下页 返回 结束 当时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式.目录 上页 下页 返回 结束 例例设则 取上侧时,取下侧时,目录 上页 下页 返回 结束 是平面在第四卦限部分的上侧,计算提示提示:求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分例例.设第六节 目录 上页 下页 返回 结束 注：目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 求求取外侧.解解:注意号其中目录 上页 下页 返回 结束 利用轮换对称性