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1、第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 第十一章第十一章一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类曲面分类双侧曲面双侧曲面单侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带(单侧曲面的典型单侧曲面的典型)双侧（封闭双侧（封闭)曲面曲面 曲面分内侧和外侧曲面分内侧和外侧曲面的方向曲面的方向双侧曲面有两个侧面，双侧曲面有两个侧面，任意规定一个侧面为正侧，任意规定一个侧
2、面为正侧，另一个侧面便是负侧另一个侧面便是负侧曲面分左侧和右侧曲面分左侧和右侧曲面分上侧和下侧曲面分上侧和下侧 为封闭曲面为封闭曲面:一般外侧为正侧一般外侧为正侧,内侧为负侧内侧为负侧.为非封闭曲面为非封闭曲面:由曲面上法向量的方向来确定正负侧由曲面上法向量的方向来确定正负侧.这种取定了法向量也就确定了侧的曲面叫有向曲面这种取定了法向量也就确定了侧的曲面叫有向曲面有向曲面其方向用有向曲面其方向用法向量指向法向量指向表示表示:方向余弦方向余弦 0 为前侧为前侧 0 为右侧为右侧 0 为上侧为上侧 0 为下侧为下侧外侧外侧内侧内侧 设设 为有向曲面为有向曲面,侧的规定侧的规定其面元其面元在在 xo
3、y 面上的面上的投影投影记为记为的面积为的面积为则规定则规定类似可规定类似可规定二、二、对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 1.引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面求单位时间流过有向曲面 的流量的流量 .分析分析:若若 是面积为是面积为A的平面的平面,则流量则流量法向量法向量:流速为常向量流速为常向量:对一般的对一般的有向曲面有向曲面,用用“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极取极限限”对稳定流动的不可压缩流体的对稳定流动的不可压缩流体的速度场速度场分析可得分析可得,则则 被积函数被积函数定向积分曲
4、面定向积分曲面类似可定义类似可定义以上三个曲面积分均称为第二类（对坐标）曲面积分以上三个曲面积分均称为第二类（对坐标）曲面积分.（1 1）存在条件）存在条件:（2 2）组合形式）组合形式:（3 3）物理意义）物理意义:注：注：若记若记 正侧正侧的单位法向量为的单位法向量为令令（4）向量形式：）向量形式：（5 5）封闭曲面：封闭曲面：3 3、对坐标的曲面积分的性质、对坐标的曲面积分的性质对第二类对第二类曲面积分曲面积分,必须注意必须注意曲面所取的侧曲面所取的侧三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法化成化成的的投影区域投影区域上的二重积分上的二重积分如何投影？如何投影？对坐标的曲
5、面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的必须注意曲面所取的侧侧.一投影一投影,二代入二代入,三定号三定号一投影一投影,二代入二代入,三定号三定号一投影一投影,二代入二代入,三定号三定号解解例例1例例2 2.计算计算其中其中 是以原点为中心是以原点为中心,边长为边长为 a 的正立方的正立方体的整个表面的体的整个表面的外侧外侧.解解:利用轮换对称性利用轮换对称性.原式原式 的顶部的顶部 取取上侧上侧 的底部的底部 取取下侧下侧例例3解解:注注:如果积分曲面是由几片有向光滑曲面组成的如果积分曲面是由几片有向光滑曲面组成的,必必须分片计算积分
6、须分片计算积分,然后把结果相加然后把结果相加.四、两类曲面积分之间的联系四、两类曲面积分之间的联系因为对面积的曲面积分为因为对面积的曲面积分为两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系向量形式向量形式合一投影法合一投影法将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的二重积分二重积分.例例1 1 设设是其外法线与是其外法线与 z 轴正向轴正向夹成的锐角夹成的锐角,计算计算解解:例例2.2.计算曲面积分计算曲面积分其中其中 解解:利用两类曲面积分的联系利用两类曲面积分的联系,有有 原式原式=旋转抛物面旋转抛物面介于平面介于平面 z=0 及及 z=2 之间部分的下侧之
7、间部分的下侧.原式原式=原式原式内容小结内容小结定义定义:1.两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系 性质性质:联系联系:思考思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲面积分的定义一个与 的方向无关,一个与2.常用计算公式及方法常用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化当时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式.作业作业 P229 3(1),(2),(4);4(1),(2)