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1、第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一一对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质二二对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法三三三三 两类曲面积分的关系两类曲面积分的关系1 1第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分一一 对坐标的
2、曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质其方向用其方向用法向量指向法向量指向方向余弦方向余弦 0 为为前侧前侧 0 为为右侧右侧 0 为为上侧上侧 0 为为下侧下侧外侧外侧内侧内侧 设设 为有向曲面为有向曲面,侧的规定侧的规定 指定了指定了侧侧的曲面叫的曲面叫有向曲面有向曲面,表示表示:其面元其面元在在 xoy 面上的投影记为面上的投影记为的面积为的面积为则规定则规定类似可规定类似可规定2 2第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分设稳定流
3、动的不可压缩流体的速度场为设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面求单位时间流过有向曲面 的流量的流量 .分析分析:若若 是面积为是面积为S 的平面的平面,则流量则流量法向量法向量:流速为常向量流速为常向量:1.引例引例3 3第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分对一般的对一般的有向曲面有向曲面 ,用用“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极取极限限”对稳定流动的不可压缩流体的对稳定流动的不可压缩流体的速度场速度场进行分析
4、可得进行分析可得,则则 4 4第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分设设 为光滑的为光滑的有向曲面块有向曲面块,的的任任意分割意分割和在局部面元上和在局部面元上任意取点任意取点,分分,记作记作P,Q,R 叫做叫做被积函数被积函数;叫做叫做积分曲面积分曲面.或或第二类曲面积分第二类曲面积分.下列下列极限极限都存在都存在个个有界有界向量场向量场若对若对则称此极限为向量场则称此极限为向量场 A 在有向曲面上在有向曲面上对坐标的曲面积对坐标的曲面积2.定
5、义定义.在在 上定义了一上定义了一5 5第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分引例中引例中,流过有向曲面流过有向曲面 的流体的流量为的流体的流量为称为称为Q 在有向曲面在有向曲面 上上对对 z,x 的曲面积分的曲面积分;称为称为R 在有向曲面在有向曲面 上上对对 x,y 的曲面积分的曲面积分.称为称为P 在有向曲面在有向曲面 上上对对 y,z 的曲面积分的曲面积分;若记若记 正侧的单位法向量为正侧的单位法向量为令令则对坐标的曲面积分也常写成如下向
6、量形式则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式称为称为有向面元素有向面元素6 6第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分3.性质性质(1)若若之间无公共内点之间无公共内点,则则(2)用用 表示表示 的反向曲面的反向曲面,则则7 7第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分二二 对坐标的曲面积分的计算法对坐标
7、的曲面积分的计算法定理定理:是是 上的连续函数上的连续函数,则则证证:取上侧取上侧,若光滑曲面若光滑曲面垂直于垂直于面，面，则则若光滑曲面若光滑曲面其中其中 为上侧时，取正号，否则取负号。为上侧时，取正号，否则取负号。8 8第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分当当 取下侧时取下侧时 若若则有则有 若若则有则有(前正后负前正后负)(右正左负右正左负)9 9第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第
8、第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分例例1 计算曲面积分计算曲面积分其中其中长方体长方体表面的外侧。表面的外侧。解解先计算先计算由于由于垂直于垂直于面，面，所以所以后侧后侧前侧前侧1010第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分所以所以同理同理原式原式1111第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线
9、积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分例例2 计算曲面积分计算曲面积分其中其中为球面为球面部分外侧。部分外侧。解解上侧上侧下侧下侧1212第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分1313第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分例例3 计算曲面积分计算曲面积分其中其中为由圆锥面为由圆锥面
10、与与所围物体的表面外侧。所围物体的表面外侧。解解上侧上侧下侧下侧下侧下侧1414第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分1515第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分三三 两类曲面积分的关系两类曲面积分的关系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画曲面的方向用法向量的方向余弦刻画1616第五节第五节第五节第五
11、节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分令令向量形式向量形式(A 在在 n 上的投影上的投影)1717第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分部分上侧。部分上侧。其中其中为为例例4 4 计算曲面积分计算曲面积分的位于的位于解解上侧的法向量为上侧的法向量为方向余弦方向余弦1818第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标
12、的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分例例5 设设是其外法线与是其外法线与 z 轴正向轴正向夹成的锐角夹成的锐角,计算计算解解:1919第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分例例6 计算曲面积分计算曲面积分其中其中 解解:利用两类曲面积分的联系利用两类曲面积分的联系,有有 原式原式=旋转抛物面旋转抛物面介于平面介于平面 z=0 及及 z=2 之间部分的下侧之间部分的下侧.2020第五节第五节第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分原式原式 2121