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1、第11.5节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、其次型（对坐标的）曲面积分的其次型（对坐标的）曲面积分的概念与性质概念与性质 三、其次型（对坐标的）曲面积分的三、其次型（对坐标的）曲面积分的计算法计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系其次型（对坐标的）曲面积分 第十一章 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)其方向用法向量指向方向余弦方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,侧的规定侧
2、的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在 xoy 面上的投影记为的面积为则规定类似可规定二、二、其次型（对坐标的）曲面积分的概念与性质其次型（对坐标的）曲面积分的概念与性质 1.引例引例 设稳定流淌的不行压缩流体的速度场为设稳定流淌的不行压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量.分析分析:若 是面积为S 的平面,则流量法向量:流速为常向量:对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”对稳定流淌的不行压缩流体的速度场进行分析可得,则 设 为光滑的有向曲面,在 上定义了一个意分割和在局部面元上随意取点,分,记作P,Q,R 叫做被积函数被积函数;叫做积分曲面积分曲面.或其次
3、型曲面积分.下列极限都存在向量场若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义定义.引例中,流过有向曲面 的流体的流量为称为Q 在有向曲面上对对 z,x 的曲面积分的曲面积分;称为R 在有向曲面上对对 x,y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面上对对 y,z 的曲面积分的曲面积分;若记 正侧正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式3.性质性质(1)若之间无公共内点,则(2)用 表示 的反向曲面,则三、其次型（对坐标的）曲面积分的计算法三、其次型（对坐标的）曲面积分的计算法定理定理:设光滑曲面取上侧,是 上的连续函数,则证证:取上侧,若则有 若则有
4、(前正后负)(右正左负)说明说明:假如积分曲面 取下侧,则例例1.计算其中 是以原点为中心,边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解:利用对称性.原式 的顶部 取上侧 的底部 取下侧解解:把 分为上下两部分根据对称性 思索思索:下述解法是否正确下述解法是否正确:例例2.计算曲面积分其中 为球面外侧在第一和第五卦限部分.例例3.设S 是球面的外侧,计算解解:四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画令向量形式四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系例例4.设是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角,计算解解:例例5.计算曲面积分其中解解:利用两类曲面积分的联系,有 原式=旋转抛物面介于平面 z=0 及 z=2 之间部分的下侧.原式=