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1、一、定向曲面概念一、定向曲面概念二、概念的引入二、概念的引入三、概念及性质三、概念及性质五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系四、计算法四、计算法六、小结六、小结第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 (第二类曲面积分第二类曲面积分)一、定向曲面概念一、定向曲面概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面;2.2.单侧曲面单侧曲面.典典型型双双侧侧曲曲面面莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:播放播放选定了侧的双侧曲面称为选定了
2、侧的双侧曲面称为定向曲面定向曲面或或有向曲面有向曲面.用用表示选定了某个侧的定向曲面，表示选定了某个侧的定向曲面，则选定其相反侧的定向曲面用则选定其相反侧的定向曲面用表示表示.注意注意：与与是不同的曲面是不同的曲面.1 1 定向曲面定向曲面规定规定:定向曲面上任一点处的法向量的方向总定向曲面上任一点处的法向量的方向总是指向曲面取定的侧是指向曲面取定的侧.例如例如，空间直角坐标系中，空间直角坐标系中 x轴指向轴指向前方前方，y轴指向轴指向右方右方，z轴指向轴指向上方上方。yzO x1 1 定向曲面定向曲面取上侧，取上侧，则它在点则它在点(x,y,z(x,y)处的处的法向量取法向量取S S,),(
3、yxzz=的方程为：的方程为：若光滑曲面若光滑曲面S S即即 与与oz 轴正向交成锐角轴正向交成锐角关于关于oz 轴的方向余弦轴的方向余弦1 1 定向曲面定向曲面取下侧，取下侧，则它在点则它在点(x,y,z(x,y)处的处的法向量取法向量取S S,),(yxzz=的方程为：的方程为：若光滑曲面若光滑曲面S S即即 与与oz 轴正向交角为钝角轴正向交角为钝角关于关于oz 轴的方向余弦轴的方向余弦1 1 定向曲面定向曲面光滑曲面光滑曲面y=y(x,z)的右侧和左侧的法向量分别为：的右侧和左侧的法向量分别为：光滑曲面光滑曲面x=x(y,z)的前侧和后侧的法向量分别为：的前侧和后侧的法向量分别为：1
4、1 定向曲面定向曲面二、概念的引入二、概念的引入实例实例:流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.1.分割分割则该点流速为则该点流速为 .法向量为法向量为 .2.求和求和3.3.取极限取极限三、概念及性质三、概念及性质被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义存在条件存在条件:组合形式组合形式:物理意义物理意义:性质性质:四、计算法四、计算法1.分面投影法分面投影法注意注意:1.1.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.3.3.2.2.解解2.合一投影法合一投影法解解五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系向量形式向量形式六、小结六、小结1 1、物理意义、物理意义2 2、计算时应注意以下两点、计算时应注意以下两点曲面的侧曲面的侧“一投一投,二代二代,三定号三定号”思考题思考题思考题解答思考题解答此时此时 的左侧为的左侧为负负侧，侧，而而 的左侧为的左侧为正正侧侧.练练 习习 题题练习题答案练习题答案