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1、考点2 4概率命题趋势该板块内容以考查基础为主，也是考查重点，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为1 0 分左右，预计 2 0 2 2 年各地中考还将出现，并且在选择、解答中考查事件的判断、随机事件的概率、概率与几何、频率估计概率、用树状图或列表法求概率、游戏的公平性问题等知识这部分知识是考生的得分点，应掌握扎实。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _知识梳理一、事件的分类1.必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1.2.不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0.3.随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0 1 之间.
2、二、概率的计算1.公式法：P（A）=一,其中为所有事件的总数，皿为事件A发生的总次数.n2.列举法1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率.2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率.三、利用频率估计概率1.定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P 附近，因此，用一个事件发生的频率丝来估计这一事件发生的概率.n2.适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率.3.方法：进行大
3、量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率.四、概率的应用：概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策.重点考向考向一事件的分类1.一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的，它的大小要由它在整个问题中所占比例的大小来确定，它占整体的比例大，它的可能性就大，它占整体的比例小，它的可能性就小，不确定事件发生的概率在0到 1之间，不包括。和 1.2.必然事件发生的机率是100%,即概率为1,不可能事件发生的机率为0,即概率为0.典例引领1.（2021
4、广西玉林市中考真题）一个不透明的盒子中装有2 个黑球和4 个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3 个球，下列事件为必然事件的是（）A.至少有1个白球 B.至少有2 个 白 球 C.至少有1个黑球 D.至少有2 个黑球【答案】A【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.【详解】解：一个不透明的袋子中只有2 个黑球和4 个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3 个球，A、3 个球中至少有1个白球，是必然事件，故本选项符合题意；B、3 个球中至少有2 个白球，是随机事件，故本选项不符合题意；C、3 个球中至少有1个黑球，是随机事件，故本选项不符合题意；D、3
5、个球中至少有2 个黑球，是随机事件，故本选项不符合题意；故选：A.【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.2.（2020湖北武汉市中考真题）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为 1,2,3.从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（）A.两个小球的标号之和等于1 B.两个小球的标号之和等于6C.两个小球的标号之和大于1 D.两个小球的标号之和大于6【答案】B【分析】随机事件是指在某
6、个条件下有可能发生有可能不会发生的事件，根据此定义即可求解.【详解】解：从两个口袋中各摸一个球，其标号之和最大为6,最小为2,选项A：“两个小球的标号之和等于1”为不可能事件，故选项A错误；选项B：“两个小球的标号之和等于6”为随机事件，故选项B正确；选项C：“两个小球的标号之和大于1”为必然事件，故选项C错误；选 项D：“两个小球的标号之和大于6”为不可能事件，故选项D错误.故选：B.【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件的概念，熟练掌握各事件的定义是解决本题的关键.变式拓展1.（2021江苏扬州市 中考真题）下列生活中的事件，属于不可能事件的是（）A.3天内将下雨 B.打开电视，
7、正在播新闻C.买一张电影票，座位号是偶数号 D.没有水分，种子发芽【答案】D（分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.【详解】解：A、3天内将下雨，是随机事件；B、打开电视，正在播新闻，是随机事件；C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；故选D.【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.2.（2021湖北襄阳市 中考真题）不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，从
8、袋子中随机摸出2个球，下列事件是必然事件的是（）A.摸出的2个球中至少有1个红球 B.摸出的2个球都是白球C.摸出的2个球中1个红球、1个白球 D.摸出的2个球都是红球【答案】A【分析】根据随机事件和必然事件的具体意义进行判断即可.【详解】解：袋子里装有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，根据抽屉原理可知，随机摸出2个球，至少有1个红球，故选：A.【点睛】本题考查随机事件，理解随机事件的实际意义是正确判断的前提.考向二概率的意义及计算1）正确理解概率的意义；2）几何概型：主要是利用面积（长度、体积等）表示概率。典例引领1.（2021湖南中考真题）下列说法正确的是（）A.“明天下雨的概率为8 0
9、%”，意味着明天有8 0%的时间下雨B.经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯C.“某彩票中奖概率是1%”，表示买1 0 0张这种彩票一定会有1张中奖D.小明前几次的数学测试成绩都在9 0分以上，这次数学测试成绩也一定在9 0分以上【答案】B【分析】根据概率的意义即可求出答案.【详解】解：4明天的降水概率为8 0%”，只能说明有很大机会下雨，而不能说明有8 0%的时间降雨，故/错误；B.经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，说法正确符合题意；C “某彩票中奖概率是1%，只能说明中奖的机会很小，故C错误；D小明前几次的数学测试成绩与这次测试成绩并没有任何关系，故
10、。错误；故选：B.【点睛】本题考查概率的意义，解题的关键是正确理解概率的意义.2.（2021湖北随州市中考真题）如图，从一个大正方形中截去面积为3c m 2和1 2 c m 的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（）3D.-5【答案】A【分析】求出阴影部分的面积占大正方形的份数即可判断.【详解】解：.两个小正方形的面积为3 c m 2和1 2 c m 2,.两个小正方形的边长为道 和26，二大正方形的边长为6+2百=3百，大正方形的面积为3x36=2 7，1 2 4.阴 影部分的面积为2 7-3-1 2 =1 2,.米粒落在图中阴影部分的概率 为 一=大，故
11、选：A.2 7 9【点睛】本题主要考查了几何概率，熟练掌握正方形边长与面积的关系是解题关键.变式拓展1.（2 0 2 1 江苏徐州模拟预测）王刚是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，王刚的进球率为2 0%,他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（）A.王刚明天的进球率为2 0%B.王刚明天每射球2 0次必进球1次C.王刚明天有可能进球 D.王刚明天肯定进球【答案】C【分析】首先根据题意可知该事件是随机事件，即可确定是可能发生的判断即可.【详解】解：王刚是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，王刚的进球率为2 0%,他明天将参加-场比赛，王刚明天有可能进球，故选：C.【点睛】本题主要考
12、查了随机事件，是可能出现也可能不出现的事件.2.（2 0 2 1江苏常州市中考真题）以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次.已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是:，则对应的转盘是（）【答案】D【分析】根据概率公式求出每个选项的概率，即可得到答案.【详解】解：A.指针落在阴影区域的概率是!，B.指针落在阴影区域的概率是1，2 42 1C.指针落在阴影区域的概率是1，D.指 针 落 在 阴 影 区 域 的 概 率 是 故 选D.【点睛】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式，是解题的关键.考向三随机事件（等可能事件）的概率在用列举法解题时，一定要
13、注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象.典例引领1.（2021江苏徐州市中考真题）甲、乙两个不透明的袋子中各有三种颜色的糖果若干，这些糖果除颜色外无其他差别.具体情况如下表所示.袋子 糖果红色黄色绿色总计甲袋2 颗2 颗1颗5 颗乙袋4颗2 颗4颗10颗若小明从甲、乙两个袋子中各随机摸出一颗糖果，则他从甲袋比从乙袋（）A.摸出红色糖果的概率大 B.摸出红色糖果的概率小C.摸出黄色糖果的概率大 D.摸出黄色糖果的概率小【答案】C【分析】分别对甲乙两个袋子的红色及黄色的糖果的概率进行计算，再去比较即可.2?【详解】解：P（甲袋摸出红色糖果）=y，P（甲袋摸出黄色糖果）=-,4
14、2 2 1P（乙袋摸出红色糖果）,P（乙袋摸出黄色糖果）=一，10 5 10 5：.P（甲袋摸出红色糖果）=P（乙袋摸出红色糖果），故 A,B 错误；P（甲袋摸出黄色糖果）P（乙袋摸出黄色糖果），故 D 错误，C 正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了简单概率的计算，掌握概率公式并能灵活掌握是解题关键.2.（2021湖北襄阳市中考真题）中国象棋文化历史久远.在图中所示的部分棋盘中，嘱”的位置在-”（图中虚线）的下方，“焉”移动一次能够到达的所有位置已用“标记，则 焉 随机移动一次，到达的位置在-”上 方 的 概 率 是.【答案】:【分析】直接由概率公式求解即可.【详解】解：嘱“移动一次可能到达
15、的位置共有8 种，到达-”上方的由2种,2 1 1故则 焉 随机移动一次，到达的位置在-”上方的概率是一=一，故答案为：一.8 4 4【点睛】本题主要考查利用概率公式计算简单的概率问题，解题的关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比.变式拓展1.（2021浙江中考真题）某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同.若以每1 0 0 0 张奖券为一个开奖单位，设 5个一等奖，1 5 个二等奖，不设其他奖项，则只抽1 张 奖 券 恰 好 中 奖 的 概 率 是.【答案*【分析】用一等奖、二等奖的数量除以奖券的总个数即可.【详解】解：.有 1 0 0 0 张奖券，设一等奖5个，二等奖1 5 个
16、，.一张奖券中奖概率 为 二?=上，故只抽1 张奖券恰好中奖的概率是上,故答案为：-4.1000 50 50 50【点睛】本题考查了概率公式：随机事件4 的概率P U）=事件/可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.2.（2021浙江嘉兴市中考真题）看 了 田忌赛马故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢.已知齐王的三匹马出场顺序为1 0,8,6则田忌能赢得比赛的概率为.日匹姓名下等马中等马上等号齐王681 0田忌579【答案】76【分析】利用列举法求概率，列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可.【详解】解：齐王的
17、三匹马出场顺序为1 0,8,6：而田忌的三匹马出场顺序为5,7,9；5,9,7：7,5,9；7,9,5；9,5,7：9,7,5；共 6利 b 田忌能赢得比赛的有5,9,7；一种.田忌能赢得比赛的概率为，故答案为：6 6【点睛】本题考查概率的求法，解题的关键是要注意列举法需要做到不重不漏.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.f x-3(x-2)x-lI 3【答案】I2x-3(x-2)x-l3x-3(x-2)l,由得：烂5,-x-3二不等式组的解集为：烂烂5,.整数解有：1,2,3,4,5；2 2.它是偶数的概率是故答案为：j.【点睛】此题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集.用到的
18、知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.考向四利用频率估计概率在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同.典例引领1.(2021福建重庆实验外国语学校模拟预测)某家庭记录使用节水龙头5 0 天的日用水量数据(单位：加)，得到频数分布表如下：日用水量XO x 0.10.1 x 0.20.2,x 0.30.3,x 0.40.4 x 0.50.5 x 0.6频数151 31 01 65估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0 3/的概率为【答案】苏19【分析】
19、分析表中数据，计算50天日用水量少于0.3的频数,由 频 率=|，计算即可.【详解】解：由表可知，使用后，50天日用水量少于0.3的频数为1+5+13=19,19 19所以估计50天日用水量少于0.3的概率为 二，故答案为：【点睛】本题考查频率的计算，用频率估计概率，根据相关知识点解题是关键.2.（2021湖北宜昌市中考真题）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程.整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经 分 析
20、 可 以 推 断 盒 子 里 个 数 比 较 多 的 是 （填“黑球”或 白球”）.。评出黑球的频率50 100 150 200 250 500 350 400 450 500 摸球的总次故【答案】白球【分析】利用频率估计概率的知识，确定摸出黑球的概率，由此得到答案.【详解】解：由图可知:摸出黑球的频率是0.2,根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为0.2,.可以推断盒子里个数比较多的是白球，故答案为：白球.【点睛】此题考查利用频率估计概率，正确理解图象的意义是解题的关键.3.（2021四川成都一模）在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同，通过多次摸
21、球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，则口袋中白球可能有（）A.6 个 B.15 个 C.13 个 D.12 个【答案】D【分析】设袋中白球的个数为x,由摸到红球的频率稳定在20%附近，列出方程，进而求出白球个数即可.3【详解】解：根据题意，得：-=2 0%,解得：x=l2,3+x经检验，x=12是分式方程的解，所以口袋中白球可能有12个.选：D【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键.变式拓展1.（2020辽宁盘锦市中考真题）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下.身高x/c mx
22、 160160 W元170170 x180人数60260550130根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（）A.0.32 B.0.55 C.0.68 D.0.87【答案】C【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解.【详解】解：样本中身高不低于170cm的频率=550+130=0 6 8,1000所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.6 8.故选：C.【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定
23、理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.2.（2020辽宁营口市中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20801002004001000“射中九环以上”的次数186882168327823“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）0.900.850.820.840.820.82根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（）A.0.90 B.0.82 C.0.85 D.0.84【答案】B【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论.【详解】解
24、：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近,.这名运动员射击一次时“射中九环以上 的概率是0.82.故 选：B.【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键.3.（2020湖南邵阳市中考真题）如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5 m,宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不
25、规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（）A.6m2 B.7m2 C.8m2 D.9m2【答案】B【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x,根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解.【详解】假设不规则图案面积为x,由已知得：长方形面积为20,X根据儿何概率公式小球落在不规则图案的概率为：,20当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知,X小球落在不规则图案的概率大约为0.35
26、,综上有：=0.3 5,解得X=7.故选：B.【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高.考向五用树状图或列表法求概率典例引领1.（2021河南中考真题）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和 九章”的概率是（）【答案】A【分析】画树状图，共 有12种等可能的结果，所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，再由概率公式求解即可.【详解】解：把印有“北斗”、天问
27、”、高铁 和 九章”的四张卡片分别记为：A,B、C、D,画树状图如图：开始ABC D/N/K ZN ZNBCDACD A B D AB C共 有12种等可能的结果，所抽中的恰好是8和。的结果有2种，2 1所抽取的卡片正面 的图形恰好是“天问”和“九章”的概率为一.故选：A.12 6【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件4或8的结果数目?，然后根据概率公式求出事件”或8的概率.2.（2021河北中考真题）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可
28、能性均相同.北A 东嘉淇出入口图1树状图：开始下一道口 直结果朝向西图2（1）求嘉淇走到十字道口 A向北走的概率；（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大.【答案】（1）；，（2）嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大.【分析】（1）嘉淇走到十字道口 A一共有三种可能，向北只有一种可能，根据概率公式求解即可；（2）根据树状图的画法补全树状图，再根据向哪个方向出现的次数求概率即可.【详解】解：（1）嘉淇走到十字道口 A一共有三种可能，向北只有一种可能，嘉淇走到十字道口 A向北走的概率为一；3（2）补全树状图如图所示:开始树状图:西南北南东西北 西东道口以下一
29、道口结枭朝向嘉淇经过两个十字道口后共有9种可能，向西的概率为：?3二：1 ；向南的概率为2入 ；向北的概率为2入；向东y 3 9 9的概率为22;嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大.9【点睛】本题考查了概率的应用，解题关键是根据题意准确画出树状图，正确进行求解判断.变式拓展1.（2021内蒙古通辽市中考真题）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关5,S,S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是【分析】根据题意画出树状图，得到共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光有2种等可能性,根据概率公式求解即可.【详解】解：画树状图得s?S3由树状图得共有6 种等可能性，其中能
30、让两个小灯泡同时发光应同时闭合5，S 3,故有2种等可能性，所以概率为2 1 :故答1案为：一【点睛】本题考查了根据题意列衣或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键.2.（2021四川成都市中考真题）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1,。+国+奶 是该三角形的顺序旋转和，即+b q +c r 是该三角形的逆序旋转和.已知某三角形的特征值如图2,若 从 1,2,3中任取一个数作为x,从 1,2,3,4中任取一个数作为y,则对任意正整数,此三
31、角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是.【分析】先画树状图确定苍丁的所有的等可能的结果数，再分别计算符合要求的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案.【详解】解：画树状图如下:开始所以一共有12种等可能的结果,又三角形的顺序旋转和与逆序旋转和分别为：24+3y+4x,4Z+3x+2y2 k+3 y+4 x-4 k-3 x-2 y =x+y-2 k,x+y 2 A V 4 恒成立，攵为正整数，满足条件的 x，y 有：(U),(2,1),(31),(1,2),(2,2),(3,2),(1,3),(2,3),(1,4)共9 种情况，9 3所以此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于 4
32、的概率是：12 43故答案为：4【点睛】本题考查的是自定义情境下的概率计算，不等式的性质，掌握利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率是解题的关键.3.(2021四川广元市中考真题)“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种.截止2021年 5 月 18日 16：20,全球接种“新冠”疫苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%.以下是某地甲、乙两家医院5 月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：甲医院乙医院年龄段频数频率频数频率1829周岁9
33、000.154000.13039周岁a0.2510000.254049周岁2100bC0.2255059周岁12000.212000.360周岁以上3000.055000.125(1)根据上面图表信息，回答下列问题：填空：a=,b=,c=；在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，4049周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为(2)若/、8、C 三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率.甲、乙两医院各年龄段接种总人数的扇形统计图【分析】(1)分别用甲、乙两医院1 8-2 9 周岁的年龄段的频数除以频率即可求出接种总人数，然后根据频数与频率的关系求出相应的值；甲、乙两
34、医院当天接种疫苗的所有人员中，4 0 4 9 周岁年龄段人数与接种总人数的百分比乘以3 6 0。即可得到在扇形统计图中所占圆心角；(2)画出树状图，得出所有等可能的结果数与三人在同一家医院接种的结果数，运用概率公式求解即可.【详解】解：(1)9 0 0+0.1 5=6 0 0 0 (人),4 0 0-0.1=4 0 0 0 (人):.a=6 0 0 0-9 0 0-2 1 0 0-1 2 0 0-3 0 0=1 5 0 0 b=1-0.1 5-0.2 5-0.2-0.0 5=0.3 5C.=4000-400-1 0 0 0-1 2 0 0-5 0 0=9 0 0 故答案为：1 5 0 0,0.
35、3 5,6=9 0 0；3 6 0 x2100+9006000+4000=108故答案为:1 0 8 ；(2)画树状图为:，所有等可能的结果共有8 种情况，而同在一所医院接种的有2种结果数,2 1.三人在同一家医院接种的概率p=?=+o 4【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图以及概率的计算，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举.考向六概率的应用游戏是否公平在于可能性是否相等，即可能性相等，游戏公平；可能性不相等，则游戏不公平.典例引领1.（2021江苏徐州市中考真题）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的
36、钉子,4,男，员,2,2 分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口 A 处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内.用画树状图的方法，求圆球落入号槽内的概率.【分析】根据题意画出树状图，共有8 种等可能的路径，其中落入号槽内的有3 种路径，再由概率公式求解即可.【详解】画树状图得:Di Di D：Ds DJ D3D3 D3所以圆球下落过程中共有8 种路径，其中落入号槽内的有3 种，所以圆球落入号槽内的概率为?O【点睛】树状图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果
37、，当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法.2.（2 0 2 0内蒙古赤峰市中考真题）如 图1,一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1,2,3,4四个数字；如图2,等边三角形/3 C的三个顶点处各有一个圆圈.丫 丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈/起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长.如:若第一次掷得点数为2,就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4,就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈4 （1）丫 丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈”的概率为;（2）丫丫和甲
38、甲一起玩眺圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者.这个游戏规则公平吗?请说明理由.【分析】（1）分别计算投掷点数为1、2、3、4时，丫丫跳跃后回到圈A的次数，再按概率公式计算求解;（2）分别计算投掷点数为1、2、3、4时，丫丫和甲甲跳跃后回到圈A的次数，再按概率公式计算求解：【详解】解：（1）当投掷点为1时，丫 丫跳跃后到圈B；当投掷点为2时，丫 丫跳跃后到圈C；当投掷点为3时，丫 丫跳跃后到圈A；当投掷点为4时，丫 丫跳跃后到圈B；如图,共3种等可能的结果，丫 丫跳跃后到圈A只有一次，丫 =工 故答案为：1 3 3（2）由（1）知丫丫随机投掷一次骰子，跳
39、跃后回到圈A的概率为g ；甲甲随机投掷两次骰子，如图B第二次3 1共有等可能的情况有9种,其中甲甲跳跃后到圈A共3次，=-：.Rr（=P ：.这个游戏公平.【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率.注意根据题意画树状图，然后利用概率=所求情况数与总情况数之比求解是关键.3.（2021福建中考真题）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A，B 1，G，田忌也有上、中、下三匹马4,2,且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A 4 4 员G 。2 （注：表 示/马 与3马比赛，/马 获 胜）.一 天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共
40、赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（GA，4 B”B 2 ）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例.假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率.【答案】（1）田忌首局应
41、出“下马”才可能在整场比赛中获胜，j-；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是（C2Al,A2Bl,B2Cl）,（C z A，8 2 clM 4），9C2A,B2C）,，（2 1 QA），（B z G d g,GA）,7【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率;（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率.【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜.此时，比赛的所有可能对阵为：（。2 4，4 4，与0，（。2 4,8 2。1，4 4），（。2 4，与4，&。3（GAd GWg）,共四种.其中田忌获胜的对阵有（GAAg WG）,（。2 4，&0,右用），
42、共两种，故此时田忌获胜的概率为4 =；.（2）不是.齐王的出马顺序为4，g，G时，田忌获胜的对阵是（。2 4,4 4，40：齐王的出马顺序为A，C，4时，田忌获胜的对阵是（GA，巴1,）；齐王的出马顺序为4,a，G时，田忌获胜的对阵是（4 4,c2 A,星0）；齐王的出马顺序为稣G，4时，田忌获胜的对阵是（4 4,B2CC24）：齐王的出马顺序为G，4,5,时，田忌获胜的对阵是（5 G,G 4，4 4）；齐王的出马顺序为G，g,4时，田忌获胜的对阵是（4G，,GA）综上所述，田忌获胜的所有对阵是（G A A g,与G），（G A eC iM B j，（4 4,G A，3 2 G）,（4片 也G
43、，G A），（四。】，6444），（刍GMa CA）.齐王的出马顺序为4,4,G时，比赛的所有可能时阵是（&V班，G G）,（4 A，G 4，G CJ,（B 2&G 4，G G），（与4，。2男,右。1），（。2 4 5耳，4 ）,共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，所以，此时用忌获胜的概率已=9=.36 6【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想;通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键.变式拓展1.（2021辽宁中考真题）一个不透明的袋子中装有4 个只有颜色不同的小球，其中2 个红球，2 个白球，摇匀后从中
44、一次性摸出两个小球.（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜.这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高【分析】（1）列表格列出所有可能性；（2）分别求出甲乙获胜的情况个数后比较大小即可.【详解】（D 所有可能性如下表：甲乙红 1红 2白 1A 2红 1（红，红）（白，红）（白，红）红 2（红，红）（白，红）（白，红）白 1（红，白）（红,白）（白，白）白2（红，白）（红，白）（白，白）总 共 12种情况.（2）摸到两个小球的颜色相同有4 种，摸
45、到两个小球颜色不同有8 种4 1 Q O甲获胜概率=G=W,乙获胜概 率 哼=2这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高.【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.2.（2021山东青岛二模）小明和小丽用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，其中一个转盘转到红色，另一个转盘转到蓝色，即可配成紫色，两人商定，若能配成紫色，小明胜，否则小丽胜，【答案】不公平，理由见解析【分析】将/盘中蓝色划分为圆心角为1 2 0 度的两部分，将 8盘中红色也划分为圆心角为1 2
46、 0 度的两部分，画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求出两人获胜的概率即可判断.【详解】解：不公平，将“盘中蓝色部分划分为圆心角为1 2 0 度的两部分，记为蓝、蓝 6,8盘中红色部分划分为圆心角为1 2 0 度的两部分，记为红1、红 2,画树状图如下：由树状图可知共有9种等可能结果，其中能配成紫色的有5种结果，二小明获胜的概率为5 4，小丽获胜的概率为5 4.这个游戏对双方不公平.【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.3.（2021江苏苏州市中考真题）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、2、3,将卡片的背面朝上，洗匀后
47、从中任意抽取1 张.将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1 张，同样将卡片上的数字记录下来.（1）第 一 次 抽 取 的 卡 片 上 数 字 是 负 数 的 概 率 为；（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜：否则，乙获胜.小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）.【答案】（1）（2）公平，见解析4【分析】（1）列举出所有可能，进而求出概率；（2）利用树状图法列举出所有可能，再利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案.【详解】解：（1）共有4种等可能的结果，其中数字是负数情况占
48、1 种 P（数字是负数）=1；（2）用树状图或表格列出所有等可能的结果:开始0-2 31 3-23 2 50 1-2第一次A第 二 次 1 -2 3结 果-I 2-3共 有 12种等可能的结果，两个数的差为非负数的情况有6 种,p（结果为非负数）p（结果为负数）=9=.：游戏规则公平.12 2 12 2【点睛】本题考查的是概率以及游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.考点冲关1.（2021湖南怀化市中考真题）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观.下列成语：“水中捞月“，“守株待兔”，
49、“百步穿杨”，瓮中捉鳖 描述的事件是不可能事件的是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，根据定义即可判断.【详解】A 选项，水中捞月，一定不会发生，是不可能事件，符合题意；B 选项，守株待兔，可能会发生，是随机事件，不符合题意；C 选项，百步传杨，可能会发生，是随机事件，不符合题意；D 选项，瓮中捉鳖，一定会发生，是必然事件，不符合题意.故选：A.【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件卜.，可能发生也
50、可能不发生的事件.2.（2021福建省福州外国语学校三模）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1 到 6 的点数，则下列事件为随机事件的是（）A.两枚骰子向上一面的点数之和等于1 B.两枚骰子向上一面的点数之和小于2C.两枚骰子向上一面的点数之和小于6 D.两枚骰子向上一面的点数之和等于13【答案】C【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可.【详解】解：A.两枚骰子向上一面的点数之和等于1,是不可能事件，故此选项不合题意；B.两枚骰子向上一面的点数之和小于2,