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1、考 点 1 8 图形的相似 命题趋势该板块内容主要考查相似的性质和判定，2022年各地中考仍以考查基础为主，在选择题中单独考查，是广大考生的得分点，相似应用的考查，主要体现在综合题中，作为综合题的一部分，在解决求线段长问题时和勾股定理、三角函数一起运用，此时解答题的难度变大，综合性就较强了，分值在15分左右，为避免丢分，应扎实掌握，灵活应用。知识梳理一、比例的相关概念及性质1.线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比.a b2 .比例中项：如果石=即 6=这，我们就把人叫做a,C的比例中项.3.比例的性质性质内容性 质 1a =ca d=bc(。,b,c,dW O).b d性质2,m a c
2、 m,a士b cd如 果:=一,那么-=-.b d b d性质3,m a c m a+c+/篦 m,丁 、如果一二=,=(b+d+/#O),则-=(不唯一*).b d n 力+1+4.黄金分割:如果点C 把线段4 B 分成两条线段，使 J=那么点C 叫做线段A C 的黄金分割点，A CAB AC是 B C 与 A B 的比例中项，A C 与 A B 的比叫做黄金比.二、相似三角形的判定及性质1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.2.性质：1）相似三角形的对应角相等；2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；3）相似三角形的
3、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.3.判定：1）有两角对应相等，两三角形相似；2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；3）三边对应成比例，两三角形相似；4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）;2）条件中若有一对等角，可再找一对等角 用 判 定（1）或再找夹边成比例 用 判 定（2）；3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成
4、比例.三、相似多边形1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比.2.性质：1）相似多边形的对应边成比例；2）相似多边形的对应角相等；3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方.四、位似图形1.定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比.2.性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为女,那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-%2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距
5、离之比等于位似比或相似比.3.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心.4.画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.重点考向考向1比例线段及其性质1.比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项.2.对于四条线段4、b、C、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 4：b=c：d（即 a d=bc）,我们就说这四条线
6、段是成比例线段，简称比例线段.3.判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系.典例引领1.（2 0 2 1黑龙江大庆市中考真题）已知曰=上=三#0,则一？=2 3 4 y z【答案】f6【分析】设1=与=；=，再将，y，z分别用上的代数式表示，再代入约去上即可求解.2 3 4Y V Z【详解】解：设一=2=一=左。0,则x =2 Z,y=3/c,z-4/c,2 3 42故上（2左）2+2左 X 3左 4/c2+6 k2 10k2 5 ，5-=-=-=-,故答案为 一
7、3k 又 4 k 1 2/1 2/6 6 【点睛】本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键.2.（2 0 2 1湖南湘潭中考真题）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”.如图，点C把线段A 8分成两部分，如 果 包=垦！=0.6 1 8,那么称点C为线段A B的黄金分割点.AC 2（1）特例感知：在图口中，若4 8 =1 0 0,求4 c的长；（2）知识探究：如图口，作一。的内接正五边形：口作两条相互垂直的直径MV、A/：口 作O N的中点P,以P为圆心，以 为 半径
8、画弧交。”于点0；口以点“为圆心，A。为半径，在口。上连续截取等弧，使弦A B=B C =8=Z）E=AQ,连接A E；则五边形A 8 CDE为正五边形.在该正五边形作法中，点。是否为线段O股的黄金分割点？请说明理由.（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系.延 长 题（2）中的正五边形A B CDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图口，点E是线段P骁的黄金分割点，请利用题中的条件，求c os 72。的值.【答案】（1）6 1.8：（2）是，理由见解析；（3）以 二4【分析】（1）根据黄金分割的定义求解即可；（2）设口。的半
9、径为。，则 勿=C W=O M=a,利用勾股定理求出 玄，继而求出0 0,M Q,即可作出判断；（3）先求出正五边形的每个内角，即可得至I L P E/=L R 1 E=1 8（）。-1 0 8。=72。，根据已知条件可知。行72。=2，再根据点E 是线段PD的黄金分割点，即可求解.P Ec版/1 A CB /5 1 八（1 0 A 8-A C /5 1 八【详解】解：（1）=-0.6 1 8,-=-0.6 1 8,A C 2 A C 2即 吐 综上，四边形A B C D s 四边形A BCD.(3)解：如图，四边形A B C D s四边形A&CD,以4为圆心、A D为半径作圆交C。延长线于点
10、。，A D A,D,AR R 则=F=F=.，ZB/=Z B,Z C=Z C,但 四 边 形 不 与 四 边 形4?C O相似AD AD AB BC如图，四边形A B C D s四边形AB。，以C 为圆心、。力 为半径作圆交过点咫且和A 3平行的直线相交于点。，过。作Z TA7/O A交A 9于点A，则C Z =C Z ,四边形4。7 rA为平行四边形.则Ar,DnADA。ADB C CD，CD”C C D CDCDCDZ B AD =Z A =Z A,ZB=/B,但四边形A 9C Z X不与四边形AB C 相似.,即瞽矗已知：如图，四边形AB C。和四边形A ECD中，铠=等=%，4 B C
11、 =Z A,B,C,NBCD=N B C D .AB D C C L/求证：四边形A A C Q S四边形4后。.证明：连接 8 0，U D.ZBCD=ZBCD,且黑B CCD-C D,.,.A B C*B C D,;.4CDB=4 C D B ,NC E D =NCBD,BD BCAB BC CDBD ABB D BC府 一 就 一FF.BD A:Bfv Z A B C =Z A C,:.ZABD=Z A B D,AD AB市=而，N A =ZADB=Z A D B,/L)D4。，AB BC CDBC C D A!D,ZADC=Z A D C ,Z A =Z Ar,ZABC=ZA,B,C 9
12、/B C D =/B C D,四边形AB C。与四边形A B C D相似;如图，四边形A B C D s四边形A 0。，以C 为圆心,CA为半径作圆交A E于点A,在CA左侧作 C WO/Z XC A。，则。=。7/=左8,AnDr=A iy =kAD,BC=kBC,Nf=Z ,但四边形A 8 C Z T不与四边形AB C。相似.故答案为：，（4）解：因为四边形内角和为360。，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边.若成比例的两边是对边，则有反例“矩形若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下：A R An已知：四边形 和四边形中，ZA=Z A Z
13、B=Z B，ZC=Z C.A D A D求证：四边形ABCD s 四边形ABCD.证明：ZA=ZA,NB=NB，ZC=Z.C,ZD=3600-Z A-Z B-Z C =360-ZA,-Z B,-Z C,=ZD,.Z1=Z 5,AB ADAB ADBD ABBD AB，ZA=ZA!,，Z3=ZADC-Z1=ZADC N5=N7,连接 8 0、Biy,BeCD BD AB AD又 NC=NC,公B C 4 A F C iy,BC CD BD AB AD综上，四边形ABCD s 四边形A 8，C.【点睛】此题是相似形综合题，考查了相似多边形的判定方法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添
14、加常用辅助线，把四边形问题转化为三角形问题，属于中考压轴题.考向4 相似三角形性质与判定1.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方.由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方.2.相似三角形的判定：平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形
15、相似；两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.典例引领1.（2021湖南湘潭中考真题）如图，在AABC中，点。，E 分别为边A3,A C 上的点，试添加一个条件:，使 得 组 与AABC相 似.（任意写出一个满足条件的即可）【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题.【详解】解：根据题意，添加条 件 当=会，AB ACAF）A p NA=NA AADE AA8C 故答案为：.AB AC【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.4 n s p 12.（2021四川巴中中考真题）如图，“8C 中，点 I）、E 分别在4 5、4 C 上，且=后
16、=：，下列结论DB EC 2正确的是（）A.DE：B C=l：2 B.ANDE 与 的面积比为 1：3C.与 8 C 的周长比为 1：2 D.DE/BC【答案】D【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可.An AE 1【详解】解：=AD：AB=AE：AC=：3,DB EC 2DUA=DA,DUADEDnABC,DDE：BC=1：3,故 4 错误；C L A D E S ABC,/O E 与A/SC 的面积比为1：9,周长的比为1：3,故 8 和 C 错误;UADEDrABC,ADE=LB,DDEQBC.故 iE确.故 选：D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是
17、掌握相似三角形的判定与性质.3.（2021上海中考真题）如图，在梯形ABCO中，AO/8C,NABC=90。,4。=8,0是对角线AC的中点，联结B。并延长交边CO或边A。于E.（1）当点E在边CO上时，求证：ADACS AOBC；An若BE L C D,求的值；（2）若DE=2,O E=3,求 8的长.BC2【答案】（1）见解析；（2）i+Ji或3+5【分析】（1）根据己知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，ZD AC =ZD CA=ZO B C =Z O C B,由此可得Z M CSA.C；若 8E，CD，那么在Rt BCE中，由N2=N3=N 4.可得N2=N
18、3=N4=30,作。”_L3C于H.设AT）A D C D =2 m,那么8”=AT=2 m.根据30。所对直角边是斜边的一半可知C”=机，由此可得一BC的值.（2）当点E在AD上时，可得四边形ABCE是矩形，设AD=CD=x,在R jA C E和RtVDCE中，根据。炉=。石2,列方程62（X 2）2=/-22求解即可.当点E在CD上时，设AO=CD=x，由AZ M CSAOBC,W-=.所以土=，所以OC BC m BCPC xBC 2mEO ECill AEOCSECB 得=EC EBOCCB3所以x 2x 2 OCm+3 CB解出X的值即可.【详解】（1）由 AD=C D,得N1=N
19、2.由 AB C,得N1=N3.因为80是Rt ABC斜边上的中线，所以。B=O C.所以N3=N4.所以N1=N2=N3=N 4.所以AD4 c sAOBC.若区ELCO，那么在RSBCE中，由N2=N3=N4.可得 N2=N3=N4=30.作 D H 工 BC 丁 H.设 AD=Cr）=2 m,那么 6 =AZ=2m.在 Rt/XOCH 中，ZD C H =60,DC=2 m,所以 CH=机.yi 7 2/72 2所以 B C =B H +C H =3 in.所以一=-.B C 3 m 3（2）如图5,当点E在AD上时，由AD/BC，。是AC的中点，可得03=。七，所以四边形ABCE是平行
20、四边形.又因为NABC=90,所以四边形ABCE是矩形,设AD=C）=x,已知）七=2，所以短=-2.已知。=3,所以AC=6.在 Rt ACE 和 RtVOCE 中，根据 C E 2=C“2,列方程62（-2）2 =f -2?.解得x=i+Ji3 或x=1 5/回（舍去负值）.如图6,当点E在C上时，设AO=CZ）=x,已知。=2,所以C=x 2.设 O B =O C =m ,已知 0E=3，那么 EB=/?l+3.D C A C x一 方面，由Z M CSAOBC,得-=-,所以一 二O C B C m2 O C ,O C x-，所以=B CB C 2 m另一方面，由N2=N4,NBEC是
21、公共角，得AEOCSECB.所 以 空=二=T，所以3=空E C E B C B x-2 租+3 C B等量代换得由 白X2 m得m =Y-2x6丫2_,a x-2将机=代入-=-整理，得月一6%-10=0.6 x-2 加+3解得X=3 +M，或X=3 M（舍去负值）.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关犍.变式拓展11.（2021山东淄博市中考真题）如图，A氏CQ相交于点E,且ACV/E尸 D B,点 在 同 一 条 直 线上.已 知A C =P，律=r,O 8=q,则P，q/之间满足的数量关系式是（）D【答案】CC
22、.1 1 2D.+-=一【分析】山题意易得EF BFCEFS D B ,则有-=-AC B CE F C F1BD1BC然后可得1 1 1 I =p q 丫qr P+空=1，进而问题可求解A C BD【详解】解：A C H E F H D B,：./x B E F /x B A C.ACEFACDB，.里=也 变=空.空+空=如:+红 7AC B C B D B C AC B D B C B Cr r 1 1 1*：AC =P,EF=r,DB=q,：l =1,即l =一 ；故选 C.p q p q r【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.2.（
23、2 0 2 1 江苏扬州市中考真题）如图，在6c中，AC =B C,矩形。石FG的顶点。、E在A8上,点、F、G分别在BC、AC上，若C尸=4,B F =3,且D E =2 E F,则EF的长为.1 2【答案】y7 r【分析】根据矩形的性质得到G/证明 C G F s a C f B,可得旗=5，证明得到3A D=B E=-x,在A B E尸中，利用勾股定理求出x值即可.4【详解】解：-：D E=2 E F,设E F=x,则D E=2 x,;四 边 形。E b G 是矩形，:.G F/AB,:ACG F s 丛CAB,G F CF 4 4 2 x 4 lx lx 3-=-,B P =-,A A
24、B=f：.AD BE=AB-D E=-2 x=-x ,AB CB 4 +3 7 AB 1 2 2 2V C=S C,，N4=N8,又 D G=E F,N A D G=N B E F=9。,工 A A DG宝/BE F (AAS),i 3 3 B P -x +%2=32 122 4 1 4 J1 2 I9 1 2 1 2解得：尸 了 或 一?（舍），二 尸=丁，故答案为：y.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到的长.3.(2 0 2 1四川绵阳中考真题)如图，在A C D 中，A D =6,BC=
25、5,A C?=A B(A 8+3 C),且 A/MB AOC4,若A =3,点。是线段A 3上的动点，则R2的最小值是（)【答案】AC.好2D-I【分析】根据相似三角形的性质得 至 喘=今得 到 如4,A B=5O =4,过 8 作8 _ LA )于，根据等腰三角形的性质得到A”=；A =3,根据勾股定理得到BH=JAB。-AH 2=右 于 =币,当P 0 L A 8时,PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论.【详解】解：.皿3-A D C 4,.黑=察，上=次 产，解得：即=4（负值舍去）,BD AD BD 6.Z MB-A D GA,AC CD _9 _3A D-6-23:,AC=
26、-ABf2.A C2=AB(AB+BC),二 回=AB(AB+BC),8 =4,:.AB=BD=4,过 8作 8H_ LA 于 ，A =g A =3,.BH =lAB2-AH2=742-32=77,.A D =3AP,AD =6,.-.AP =2,当 P。，A B 时，的值最小,ZAQP=ZAHB=90,NPAQ=NBAH SAPQ ABH,AP PQ _ 2 _PQAI3BH 4-/7:.PQ=故选：A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.考向5 相似比相关问题1）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线
27、）成比例;2）相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.典例引领1.（2021江苏镇江中考真题）如图，点D,E 分别在口43。的边4C,上，OADEUUABC,M,N 分别是DE,8 c 的中点，若 券=；,则沁=.AN 2 S c【答案】74DE【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出岩，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解oC答即可.【详解】解：N 分别是。,8 c 的中点，口 4屈、AN分别为匚N Q E、口/18。的中线，DDADEaUABC,黑=翌=5,口 衿=（刍）2=。，故答案为：1 .BC AN 2 3 A 48 c BC 4 4【点睛】本题考查了相似三
28、角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键.2.（2021四川雅安市中考真题）如图，将AA6 c 沿 B C 边 向 右 平 移 得 到 D E 交 A C 于点G.若B C:E C =3:1.S g0c=1 6.则 SMEG 的 值 为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【分析】根 据 平 移 的 性 质 可 得S.AD/BE,故可得C E Gs V f/JG,由相似三角形的性质及已知条件即可求得A C E G的面积.【详解】山平移的性质可得：A D=B E,且4 D BE：.A C EGsA A DG：.G_ =S.AD G（1
29、 A2V B C:E C =3:：.BE:EC =2:1：.AD:EC =2 A V SA DG=1 6：.s rF r=一 x l 6=4 故选：B.J【点睛】本题考查了平移的性质及相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质是本题的关键.3.（2021广西玉林市中考真题）如图，在 A A b C 中，。在 A C 上，D E/BC,D F/AB.Is（1）求证：A DFC s AAED；若 C 0 =A C,求 皆 的 值.3、AAE DC EA DI B P s CE GACCUCEYA D JX S AD GS 1【答案】（1）见详解：（2）甘=1【分析】（1）由题意易得ADFCS AAB
30、CQAEDAABC.然后问题可求证;2（2）由（1）及题意易得AO=：7AC,然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得314SA.DL/rFCC=八S.ABC，S.AED=7；SAABC，然后问题可求解A/ADV-tC jU 八 A/1D V【详解】（1）证明：。石 3C，D F H A B,：.AD F CS AA B C,AA E 4 4 A B C,：.AD F CS A E D；(2)解：由(1)可知AO E CSAA B CAA E DSAA B C,1 2 SV C D =-A C,：.AD =-A C,3 3 V 0 ABCCD)2CA,l-AEO3 S jB C _ 1 _
31、4 SQFC=g S 4ABeS&AED=S SB C 1Q&DFCq0 AED4【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.变式拓展1.（2021湖北黄冈市中考真题）如图，在AAB C和AO E C中，NA=ND，N B C E =Z AC D.（1）求证：AABC-ADEC；（2）若S.c ：5必改=4：9,B C =6,求EC的长.【答案】（1）证明见解析；（2）9.【分析】（1）先根据角的和差可得NACB=N O C E,再根据相似三角形的判定即可得证；（2）根据相似三角形的性质即可得.【详解】证明：（1）;N B C E =Z A C D,
32、;.Z B C E+Z A C E =Z AC D+Z AC E,即 NACB=/DCE,在 A 3c 和 AD E C 中,:.S nr=-x B C x O D =-x 2 x =3 2 2 3 3S.ABC=*B C A D =；X2X6=K；（2）由（1）可知，穿=是定值；普 照=，-=黑=；是定值；QA 2 SQABC 1 BC-AD 32（3）I四边形 ABCD 是正方形，C D/A B,A B+B C=C D =4,EM CE 1.CME AAM B-=E 为 CD 的中点，CE=CD-2BM AB 2.BE=ylI-B-C-2-+-C-E-2 =2广5,E拓My =J1 E,M
33、卞=1%，n即 EM=2a 6/-DM 2 DLL J J且 碗L s _9.M E.c-BM-2,%明 阡J SAMB B M）4 S AM B=4SACME=4,SABC=SBMC+SAAB=2+4=6,又 SAAIK=SABC S440c=6 止方形 ABCD 的面积为：6+6=12.【点睛】本题考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是灵活运用三角形重心的性质.考向6 相似三角形的实际应用典例引领1.（2021辽宁朝阳中考真题）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在 G 处放置一个小平面镜，当一位同学站在尸点时，恰
34、好在小平面镜内看到这棵古树的顶端力的像，此时测得尸G=3 m,这位同学向古树方向前进了 9m 后到达点D,在D 处安置一高度为1m的测角仪C D,此时测得树顶A 的仰角为 30。，已知这位同学的眼睛与地面的距离欧=1.5m,点 8,D,G,尸在同一水平直线上，且CD,斯均垂直于8 R 求这棵 古 树 的 高.（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）【答案】（9+4 6）m【分析】过点C作C H 4 8于点H,则C H=B D,B H=C D=T m,由锐角三角函数定义求出B D=C H=A H,再 证E F G A B G,得一=,求出/1/=(8+4 73)m,即可求解.AB BG【详
35、解】解：如图，过点C作C W 4 B 于点H,则 C H=BD,B H=C D=m,由题意得：D F=9m,U D G=D F-F G 6(w),AH/T在&二4 c中，0 4 6 77=3 0 ,D t a nQ ACH=t a n300=,f JB D=C H=3 AH,C H 3U E F U F B,AB2 F B,0 D E F G=ABG 90.由反射角等于入射角得E G F n L M G B,E F G A B G,E F =F G,即n r,1.5 ，=r=-3-,AB BG A,H +X 4 3 A H+6解得：4 H=(8+4石)m,A B=A H+B H=(9+4 6)
36、m,即 这 棵 古 树 的 高 为(9+4 7 3)m.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明D E PG /8 G是解题的关键.2.（2 0 2 1山西中考真题）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务.图算法图算法也叫诺模图，是根据儿何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量.比如想知道1 0摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：/=1C+3 2得出，当。=1 0时，产=5 0.但是如果你
37、的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法.再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？1 1 1我们可以利用公式=+方 求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个A1 2 0。的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图.我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值.图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到
38、它的优越性.任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；1 1 1（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：用公式高计算：当N=7.5,K A j/4=5时，R的值为多少；如图，在中，Z A O B =2 0,0c是“OB的角平分线，Q 4 =7.5,0 8=5,用你所学的几何知识求线段0C的长.【答案】（1）图算法方便；宜观；或不用公式计算即可得出结果等；（2）R =3；O C =3【分析】（1）根据题意可直接进行求解问题；（2）利用公式可直接把用=7.5,6=5代入求解即可；过点A作A A/CO,交50的延长线于点M，由题意易得N l=N 2 =60，则仃N 3 =N 2
39、 =60,=4=60，然后可得 O U/为等边三角形，则。知=40 =。4 =7.5,所以可得“8。历 函，最后利用相似三角形的性质可求解.【详解】（1）解：答案不唯一，如：图算法方便；直观；或不用公式计算即可得出结果等.11111 7.5 +5 1（2）解：当 4=7.5，&=5 时，=+=+-=，R =3.Tv fx./.2）D/.3 X 3 3解：过点A作A M C O.交8。的延长线于点/，如图所示：O C 平分 ZA O B,Z1 =Z2 =-N A O B=-x l2 0=60,2 2A M/C O.二 N 3 =N 2 =60,NM=N 1 =60,，N 3 =N A/=60，O
40、 A =O M,.O U；为等边三角形，.0/0=40 =Q 4 =7.5,O C B O/LB=,4=/M ,:.ABCOABAM,-=-M A B M O C 5.7?-5 +7.5O C -3.【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定是解题的关键.变式拓展1.（2 02 1河北中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面A8=（）图1 图2A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm【答案】C【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对
41、应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出4 5.【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：1 5-7=8 (cm),第二个高脚杯盛液体的高度为：1 1-7=4 (cm),因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，所以图1和图2中的两个三角形相似，.。.丝=弓，.A B=3 (cm),故选：C.6 8【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求.2.(2 02 1浙江金华市中考真 题)如 图1是一种利用镜面反射，放大
42、微小变化的装置.木条8 c上的点P处安装一平面镜，8 c与刻度尺边AW的交点为。，从 N点发出的光束经平面镜尸反射后，在AW上形成一个光点 E.已知 肋V _ L B C,A B =6.5,BP =4,P D =8.(1)E。的长为.(2)将木条8 c绕点8按 顺 时 针 方 向 旋 转 一 定 角 度 得 到(如 图2),点P 的对应点为P,B C 与MN的交点为D,从A 点发出的光束经平面镜P 反射后，在 上 的 光 点 为 E.若DD=5 ,则EE的长为.【答案】1 3 g2 32【分析】(D由题意，证 明 尸 s)/5,根据相似三角形的性质，即可求出E D 的长度；(2)过工作AHYB
43、N交NB延长线于H,过E作 ET1.BN于尸，设ED=x,ED=5+x,.R M D N 中，由勾股定理.0 5 =1 2,可证4 8SZZ)DS4 E3 EA/=6,BH=25,EF=6。+龙,9=25+,从/1 3 1 36 6.5点发出的光束经平面镜尸反射后，在 上 形 成 一 个 光 点 E，.AHPSEFP,6 0+1 2 X，2 5 +5X,-y-1 3 1 3解得x=1.5.【详解】解：(1)由题意，Z A B P=N D P =9 0 ,从/点发出的光束经平面镜尸反射后，在MV上形成一个光点E./.ZAPB-ZEPD./.AB P/XEDP,即 箜=,；.E D =1 3 ；故
44、答案为：1 3.ED DP ED 8(2)过/作 AHVBN 交 NB 延长线于 H,过 E 作 EFLBN 于-F,设 ED=x,ED=5+x,在RdBDN中，；BD=12,DD=5,由勾股定理。5=后 万 不 丽 万=疝 工 学 =1 3，NAHB=NABD=NEFN=NBDD=90,NABH+NDBD=NDBD+/DDB=4 FED +NEDF,：.NABH=NBDD=ZEDF,：.AABH sBD D s二EDF,.AB A H B H E D E F F D ,6.5 A H B H BD BD D D 访 一 访 访五一 W5+x E F F D A H=6,断25改=啜，和=空:
45、从4 点发出的光束经平面镜P 反射后，在 上 形 成 一 个 光 点 E.ZAPH =N E P F，:.AHPSAEFP,H P=H 8+8 尸=2.5+4=6 5 PD=BD-BP=13-4=9,2 5+5xPF=PD-FD=9-1 3 1 f-1 L t-f _ _.丁 =,即6 0+1 2 x 一025+5X,解得尸1.5,经检验尸1.5是方程的解，1 3 1 32 3 2 3EE=DE-DE=3-.5=.5=.故答案为一.2 2【点睛】本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，掌握相似三角形性质与判定,6 _ 6.5勾股定理，光束经平面镜P性质，用相似三角形的性质构
46、造方程6 0+1 2 x=仆2 5 +5 x是解题关键.-y-1 3 1 3考 向 7 位似I.如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.2.位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相 似 比 为 那 么 位 似 图形对应点的坐标的比等于k或-k.典例引领1.（2 0 2 1山东东营市中考真题）如图，A B C中，A,8两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1,0）,以点C为位似中心，在x轴的下方作 A B C的位似图形V A 5 C ,并把 A B C的边长放大到原来的2倍，设点2的
47、横坐标是。，则点8的对应点8 的横坐标是（)【答案】AC.-2cl+2D.2a 2【分析】设点3,的横坐标为工，然后表示出8C、的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解.【详解】设点9的横坐标为尢，则3、C间的横坐标的差为。1,B、C间的横坐标的差为一%+1，AA B C 放大到原来的2倍得到 B C ,二2（。-1）=T+1,解得：=-2。+3.故选：A.【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键.2.（2021重庆中考真题）如图，A 4 B C 与A B E F 位 以,点O是它们的位似中心，其中OE=2O
48、8,则2U8CA.1：2 B.1：4 C.1：3 D.1：9【答案】A【分析】利用位似的性质得O E=1：2,然后根据相似三角形的性质解决问题.【详解】解：与ACM位似，点。为位似中心.Z B CS/V J E F,O B：OE=1 ：2,.Z8C与 OE/：的周长比是：1：2.故选：A.【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键.3.（2021黑龙江绥化市中考真题）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，。为平面直角坐标系的原点，矩形OA B C的4个顶点均在格点上，连接对角线在平面直角坐标系内，以原点。为位似中心，把 。针 缩
49、小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与z/M B的相似比等于g；（2）将AO A B以。为旋转中心，逆时针旋转9 0,得至心。4 4，作出AO 44，【答案】（1）见详解：（2）见详解；弧长是（4万+岳 万）【分析】（1）根据位似图形的定义作图即可；（定义：如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线交于一点,这两个图形叫做位似图形，交点叫做位似中心；）（2）根据图形旋转的方法：将顶点与旋转中心的连线旋转9 0 即可得旋转后的图形-044；旋转后扇形的半径为08长度，在坐标网格中，根据直角三角形勾股定理可得OB长度，然后代入扇形弧长公式，同时加上扇形两半径即可求出答案.【详解】（D 位似图形如
50、图所示（2）作出旋转后图形AO AM，0 3 =后 二 不=2 而，周长是也好3 +2X2 J将=4 万+旧 万.1 8 0【点睛】题目主要考察位似图形的画法、旋转图形画法、勾股定理及弧长公式的计算，难点是对定义的理解及对公式的运用.变式拓展1.（2 0 2 1 浙江温州市中考真题）如图，图形甲与图形乙是位似图形，。是位似中心，位似比为2:3,点A,3的对应点分别为点A ,B .若 A B =6,则 A 5 的 长 为（）【答案】BC.10D.15【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案.【详解】解：图形甲与图形乙是位似图形，。是位似中心,4 R 2位似比为2:3,.=一AB 3z