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1、考点0 2整式与因式分解1cH命题趋势以考查整式的加减、乘除、乘法公式、幕的运算、因式分解、探究规律为主，也是考查重点，年年考查,是广大考生的得分点，分 值 为12分左右。预 计2 0 2 2年各地中考还将继续考查基的运算性质、因式分解、整式的化简、代入求值、探究规律，为避免丢分，学生应扎实掌握.，知识梳理1)代数式代数式的书写要注意规范，如乘号 x”用 表 示 或 省 略 不 写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.2)整式1.单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.注：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其
2、中系数不能用带分数表示，如这种表示31 Q就是错误的，应写成-一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如一5 a 3)2。3是6次单项式。2 .多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.3 .整式：单项式和多项式统称为整式.4 .同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.5 .整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6 .幕的运算:a-a=a+ni(d )=；Cab)=%；aa=an.7 .整式的乘法：(1)单项式与单项式相乘，把它们的
3、系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.(2)单项式与多项式相乘：(a+H c)=ma+mb+mc.(3)多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nh.8.乘法公式：（1）平方差公式：+份一份=（2）完全平方公式：（a 2 =/2 +/.9 .整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的基分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.3）因式分解1.把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘
4、法是互逆运算.2 .因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：m a +m h +m c m（a+b+c）.（2）公式法：运用平方差公式：/炉=（a +h）（a一份.运用完全平方公式：a2+2ab+h2=（a+h）2.3 .分解因式的一般步骤：（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。以上步骤可以概括为“一提二套三检查。重点考向考向1代数式及相关问题1.用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开
5、方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.2.用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.典例引领1.（2 0 2 1青海中考真题）一个两位数，它的十位数字是X,个位数字是V,那么这个两位数是（）.A.x+y B.1 0 x y C.1 0（x+y）D.l O x+y【答案】D【分析】根据两位数的表示方法：十位数字X 1 0+个位数字，即可解答.【详解】解：；一个两位数，它的十位数是x,个位数字是y,.根据两位数的表示方法，这个两位数表示为：1 0 x+y.故选：D【点睛】本题考查了用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示数量是解题的关键.2.（2
6、 0 2 1 浙江台州市中考真题）将 x克含糖1 0%的糖水与y克含糖3 0%的糖水混合，混合后的糖水含糖（）A.2 0%B.-xlOO%C.-xlOO%D.x l O O%2 2 0 1 0 x+1 0 y【答案】D【分析】先求出两份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水总重，即可求解.【详解】解：混合之后糖的含量：-=方x l O O%,故选：D.x+y 1 0 x +1 0 y【点睛】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键.变式拓展1.（2 0 2 1 浙江金华市中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（）A.先打九五折，再打九五折 B.先提价
7、50%,再打六折C.先提价3 0%,再降价3 0%D.先提价25%,再降价2 5%【答案】B【分析】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可.【详解】设原件为x元，：先打九五折，再打九五折，.调价后的价格为0.9 5 x x 0.9 5=0.9 0 2 5 x 元，:先 提 价 50%,再打六折，调价后的价格为1.5 x x 0.6=0.9 0 x 元，先提价3 0%,再降价3 0%，.调价后的价格为1.3x x 0.7=0.9 1 x 元，先提价2 5%,再降价25%，二调价后的价格为1.25XX0.75=0.9375X元，V 0.9 0 x 0.9 0 2 5.r 0.9 1
8、 x,，一+=-=1,故答案为：1.x y 孙【点睛】本题主要考查同底数幕乘法、积的乘方、募的乘方等知识点，熟练掌握以上知识点的运算法则是解决本题的关键.变式拓展1.(2021陕西中考真题)计算：=()1 ,1A.俞 B.ab-C.前【答案】AD.-2a3/?【分析】根据积的乘方，慕的乘方以及负整数指数幕运算法则计算即可.【详解】解:（明-2=,故选：4【点睛】本题考查积的乘方，幕的乘方以及负整数指数累等知识点，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键.1 32.（2021四川泸州市中考真题）己知10 =2 0，100 =5（），则-4 +一的值是（）2 25 9A.2 B.C.3 D.一2 2
9、【答案】C【分析】根据同底数鼎的乘法10 100 =1。3,可求。+=3再整体代入即可.【详解】解：TO =20,100 =5（），；10 100 =10 2=20 x 5 0=1000=103，13 1 1ci+2Z 3 -4 +万=（a +2/?+3）=（3+3）=3.故选：C.【点睛】本题考查幕的乘方，同底数累的乘法逆运算，代数式求值，掌握 累的乘方，同底数基的乘法法则，与代数式值求法是解题关键.3.（2020河南中考真题）电子文件的大小常用B,K B,M B,G B等作为单位，其中1GB=2，=T。KB,1KB=2B ,某视频文件的大小约为 1G B,1G 8 等于（）A.2XB B.
10、83 OB C.8X10B D.2X1030B【答案】A【分析】根据题意及塞的运算法则即可求解.【详解】依题意得 1GB=2 M B =2l 0 x 2l 0A：5 =210 x 2随 x 2 8 =23 8 故选 A.【点睛】此题主要考查累的运算，解题的关键是熟知同底数累的运算法则.考向5 整式的混合运算整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项.典例引领1.（2021江苏常州市中考真题）计算：2a 2（/+2）=【
11、答案】a2-2【分析】先去括号，再合并同类项，即可求解.【详解】解：原式=2。2一“2一2=一2，故答案是：“2 一 2.【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握去括号法则以及合并同类项法则，是解题的关键.012.(2021湖南长沙市中考真题)先化简，再求值：(x 3)-+(x+3)(x 3)+2x(2 x),其 中 户-储【答案】2x,1.【分析】先计算完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将无的值代入即可得.【详解】解：原式=%2_6X+9+X2_9+4X_2X2,=2X,将x =-g代入得：原式=-2彳=-2*-=1 .【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整
12、式的运算法则是解题关键.变式拓展1.(2021湖北荆州市中考真题)若等式2a 2.。+()=3/成立，则括号中填写单项式可以是()A.a B.a2 C.a3 D.1【答案】C【分析】根据同底数幕的乘法法则以及合并同类项法则，即可求解.【详解】解：.3/22”=3。3-2/=。3,等式2a 2“+(/)=3/成 立,故 选C.【点睛】本题主要考查整式的加减运算，掌握同底数幕的乘法法则以及合并同类项法则，是解题的关键.2.(2021贵州中考真题)(1)有三个不等式2%+3(一1,一5 1 5,3(%-1)6,请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集：(2)小红在计算a(l +a)(
13、a I 1时，解答过程如下：a(l +)-(a-l)2=a+a2-(a2-)第一步=。+Y一。2一1第二步=a-第三步小红的解答从第 步开始出错，请写出正确的解答过程.【答案】（1）x-3：（2）第一步，正确过程见详解【分析】（1）先挑选两个不等式组成不等式组，然后分别求出各个不等式的解，再取公共部分，即可；（2）根据完全平方公式、去括号法则以及合并同类项法则，进行化简，即可.+3 -1【详解】解：（1）挑选第一和第二个不等式，得 广 ，-5 x 15由得：x -2,由得：x-3,.不等式组的解为：x满足 :.，则 代 数 式4 y2的值为_ _ _ _ _ _.x+2y=3【答案】-6【分析
14、】根据方程组中x+2y和x-2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可.【详解】解：.x-2y=-2,x+2j=3,；./的2=(x+2y)(x-2y)=3x(-2)=-6,故答案为：-6.【点睛】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键.3.(2020四川内江市中考真题)我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=m x n(?，是正整数，且，9 2 6-3,所以3x6是18的最佳分解，所以T.I/(18)=|=-.填空：/(6)=；/(9)=；o 2(2)一个两位正整数f (f=10a +。，l a h 3-2,./(6)
15、=；29=l x9=3x3,V9-1 3-3,A/(9)=1,故答案为：y ：1；(2)由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b+a T 0a-b=9 (b-a)=54,b-a=6,V l a b 9,，b=9,a=3 或 b=8,a=2 或 b=7,a=l,为 39,28,17；V39=1x39=3x13,/(39)=卷；28 =1x28=2x14=4 x7,/(28)=；17=1x17,4 1 7)=，；的最大值，n n ：22 x 3 x 5 x 7 =20 x21；./(22 x3x5x7)=；23x3x5x7=28 x30；./Q 3x3x5x7)=|=4 0 20：24
16、x3x5x7 =4 0 x4 2/./(24 x3x5x7)=；：25 x 3 x 5 x 7=5 6 x 6 0.x3x5x7)=而=*,故答案为：-,【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键.变式拓展1.(2021黑龙江绥化市中考真题)在实数范围内分解因式：ab2-2a=【答案】及)仍-0).【分析】利用平方差公式。2-=3+与(。一份分解因式得出即可.【详解】解：a/-2a=a(2-2)=a(b+e)(b-6)故答案为:a(b+6)(b-五).【点睛】此题主要考查了利用平方差公式-匕2=3 +6)3-切分解因式,熟练应用平
17、方差公式是解题关键.2.(2020柳州市柳林中学中考真题)下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是()A.a2-b2 B.-a2-b2 C.c+b2 D.a2+2ab+b2【答案】A【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】解：A、分符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；8、-层-从两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；C、4+加两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；。、/+246+62是三项，不能用平方差公式进行因式分解.故选：A.【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解.熟记平方差公式的结构特
18、点是解题的关键.平方差公式:a2 b1=(a+/?)(-/?).3.(2021湖北十堰市中考真题)已 知 肛=2,x-3 y =3,则2 d y 12x2y2+i8孙3 =【答案】36【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可.【详解】町=2/3丁 =3,.原式=2肛(x 3yp=2x2 x32=3 6,故答案是：36.【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键.考向7 乘法公式的几何背景与运用完全平方公式的运用主要考查是“知二求二”、参数问题与最值问题，乘法公式的几何背景为素材的题型近年来考查也比较多。典例引领1.(2021浙江台州市中考真题)已 知(a
19、+b)三 49,a2+b2=2 5,则ab()A.24 B.48 C.12 D.276【答案】C【分析】利用完全平方公式计算即可.,49-25【详解】解：+。2+2ah=49,a2+b2=25 =-=12,故选：C.【点睛】本题考查整体法求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键.2.(2021.安顺中考模拟)若 f+2(/”一3)x+16是关于x 的完全平方式，则加=.【答案】7或-1【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2(m-3)=8,进而求出答案.【解析】.x2+2(m-3)x+16是关于x 的完全平方式，2(m-3)=8,解得：m=-l或 7,故答案为-1或 7.点睛：此题主要考查了
20、完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键.3.（2 0 2 0宁夏中考真题）2 0 0 2 年 8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的 勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如 图 1）,且大正方形的面积是1 5,小正方形的面积是3,直角三角形的较短直角边为m 较长直角边为江如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为一.【答案】2 7【分析】根据题意得出a 2+b 2=1 5,（b-a）2=3,图 2中大正方形的面积为：（a+b）2,然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2 即可.【详
21、解】解：由题意可得在图1 中：a2+b2=1 5,（b-a）2=3,图 2中大正方形的面积为：（a+b）2,（b-a）2=3 a2-2 a b+b2=3,1 5-2 a b=3 2 a b=1 2,（a+b）2=a2+2 a b+b2=1 5+1 2=2 7,故答案为:2 7.【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键.变式拓展1 13 11.(2 0 2 1广东中考真题)若 +=，且0 xl,则-?=.X 6 J T【答案】一线361 1 Q 1 7 5 1【分析】根据X +=今，利用完全平方公式可得(上)2 =W，根据X的取值范围可得X-上 的值，利x
22、 6 x 36 x用平方差公式即可得答案.、人”.一 1 1 3.z 1 2 z 1、2 ,1 2 5 讣解.x H ,.(x )=(x H )4 x ,x 6 x x x 36.八 ,.1 .1 5 .2 1 ,I 1、1 3,5、6 5 6 5 0 X 1 ,.X 0）与y =的图像交于点尸（a,。）,X则 代 数 式 的 值 为（）a b【答案】C【分析】把P（a，。）代入两解析式得出人一。和，力的值，整体代入即可求解Ca b ab【解析】.函数y =3（x 0）与y =x-l的图像交于点P（a,。），X4 1 1 b-a 1:.b=一,b=a l,即 ab =4,ba=-=-.故选：C
23、.a a b ab 4【点睛】本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点3.（2 0 2 1四川达州市 中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入工的值为3,则输出了值为【答案】2【分析】根据运算程序的要求，将x=3代入计算可求解.【详解】解：户3 4.把户3代入y =W-l（x W 4）,解得：y =|3|-l =2,.V值为2,答案：2.【点睛】本题主要考查列代数式，代数式求值，读懂运算程序的要求是解题的关键.变式拓展1.（2020山东潍坊市中考真题）若加2+2根=1，则4机2+8%3的 值 是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【分析
24、】把所求代数式4/+8加-3变形为4（/+2-3,然后把条件整体代入求值即可.【详解】+2加=1，,4/?+8 m-3 =4（，+2 m）-3=4 xl-3=l.故选：D.【点睛】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式4 m 2 +8利-3变形为4（m2+2 m）-3 .2.（2021贵州铜仁市中考真题）如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1,则输出的结果是【答案】11【分析】把41代入运算程序的尸6 9,输出答案，问题得解.【详解】解：把代入y =d+2 x+3得）=1+2+3=6 9,输出答案.故答案为：11【点睛】本题考查了根据运算程序进行计算，理解运
25、算程序是解题关键.3.（2020浙江嘉兴市中考真题）比较/+1与级的大小.（1）尝 试（用“”填空）：当 x=l 时，炉+1 2 x；当 x=0 时，x2+l 2x；当 x=-2 时，x2+2x.（2）归纳：若x取任意实数，f+1与2%有怎样的大小关系？试说明理由.【答案】（1）0;；（2）/+G 2 x,理由见解析【分析】（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案：（2）根据完全平方公式，可得答案.【详解】解:（1）当x=1时，.F+l =2 x；当x=0时，x2+l 2 x；当x=-2时，x2+l 2 x.故答案为：=；.（2）x 2x.证明：,.4+_ 2 x=
26、（x-1）2 0,：.+2x.【点睛】本题考查了求代数式的值，有理数的大小比较，两个整式大小比较及证明，公式法因式分解、不完全归纳法，解题关键是理解根据“A-B”的符号比较“A、B”的大小.考向9 新定义与阅读类问题典例引领1.（2021甘肃武威市中考真题）对于任意的有理数。力，如果满足0 +2 =巴 也，那么我们称这一对数2 3 2 +3为“相随数对“，记为（。,。）.若（加,）是“相随数对，则3 m+2 3加+（2-1）=（）A.-2 B.-1 C.2 D.3【答案】A【分析】先根据新定义，可得9?+4 =0,将整式3加+2 3 m+（2-1）去括号合并同类项化简得9 m+4”一2 ,然后
27、整体代入计算即可.【详解】解：（加,）是“相随数对，+1 =整理得9?+4 =0,3 m+2 3 m+（2 n-1）=3 m+6m+4/i-2 =9m+4H-2 =-2.故选择 A.【点睛】本题考查新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值，掌握新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值是解题关键.2.（2 0 2 1湖北鄂州市中考真题）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题.猜想发现：由5 +5 =27=1 0;-+-=2 J-x l =-；0.4 +0.4 =2,0
28、.4 x 0.4 =0.8；3 3 V 3 3 3h 5 2./x5=2；0.2 +3.2 2 j 0.2 x 3.2 =1.6 ;I 2 -x=5 5 2 8 V 2 8 2猜想：如果a 0,b0,那么存在石（当且仅当a =b时等号成立）.猜想证明：；（右 逐 了2 0当且仅当五一=0，即。=匕时，。一2而+/=0，a+h=2yah;当G 即 出。时，一2疝+/?0，,。2fah.综合上述可得：若。0,Z?0,则 +。2 2而 成 立（当日仅当a =b时等号成立）.猜想运用：（1）对于函数y =x+；（x 0）,当x取何值时，函数V的值最小？最小值是多少？变式探究：（2）对于函数）=1+尢（
29、%3）,当工取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题.高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用6 3米长的钢丝网围成了 9间相同的长方形隔离房，如图.设每间离房的面积为S （米2）.问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？/,/1/（墙）7【答案】（1）x=,函数y的最小值为2；（2）x =4,函数y的最小值为5；（3）每间隔离房长为一米,2宽为 米时，S的最大值为 米8 16【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；变式探究：将原式转换为y=一+x-3+3
30、,再根据材料中方法计算即可；x 3拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为8米，与墙垂直的边为y米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可.【详解】猜想运用：Y x。，L 0,.=%+!2 2、k=2,%X X.当x=_L时，ymin=2,此时/=1，只取x=l,即x=l时，函数y的最小值为2.X变式探究：；x3,30,-0,：.y=-L-+x-3+32.（x-3）+3=5,x-3 x-3 v x 3，当一=时，min=5，此时（工一？）？=1,X|=4,I,=2（舍去），即x=4时，函数y的最小值为5.拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x
31、米，与墙垂直的边为y米，依题意得：9x+12y=6 3,即 3x+4y=21,丁 3x0,4 y 0,，3x+4y N2j3x4y,i-147 147即2122J3尤4y,整理得：,即SW,16 16147 7 21.当 3x=4y 时 S,11ax=宝 ,此时 x=j,y,lo 2 o7?1 147即每间隔离房长为7米，宽 为 一 米时，S的最大值为一米2.2 8 16【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题.变式拓展1.（2021凉山州中考真题）阅读以下材料，苏格
32、兰数学家纳皮尔（J.1550-1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直 到18世纪瑞士数学家欧拉（EWer.1707178 3年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一 般 地.若a=N（。0且。H1），那么x叫做以。为底N的对数，记作x=log N，比如指数式24=16可以转化为对数式4=log21 6,对数式2=log3 9可以转化为指数式32=9.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga(Af-?/)=loga M+log N(a Q,a 0,N 0),理由如下:设 log(,M=m,log(/N=n,则 M=a,N=a.M N=am-an=am+n.由
33、对数的定义得 m+n=loga(M-N)又；m+n=log4 M+log“N.,.loga(M-N)=log.M+log“N.根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：(1)填空：log2 32=；log3 27=,(3)log7l=；(2)求证：log“=log“M-log“N(a 0,a。0,N 0)；(3)拓展运用：计算logs 125+logs6-logs30.【答案】(1)5,3,0；(2)见解析；2【分析】(1)直接根据定义计算即可；(2)结合题干中的过程，同理根据同底数罪的除法即可证明；(3)根据公式：log“(MN)=log“M+logN和 loga-=logJW-log“
34、N 的逆用，将所求式子表示为：logs,计算可得结论.【详解】解:(1)0V 25=32，.-.10g232=5,言=27，A log3 2 7=3,：7=1，log7l=0；M(2)设 logM=?,logJV=，a=M,a=N,cT-i-a=an n=,NM M.logO-=m-n,.,.log(=logM-logfl N；(3)logs 125+log5 6-log5 30=log5=抽 25=2.【点睛】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系.2.(2021重庆中考真题)如果一个自然数M的个位数字不为
35、0,且能分解成AxB，其中A与8都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为1 0,则称数M为“合和数”，并把数M分解成M=Ax8的过程，称为“合分解例如.609=21*29,21和29的十位数字相同，个位数字之和为10,r.609是“合和数”.又如.234=18 x13,18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于1 0,二234不是 合和数(1)判断168,621是否是“合和数”？并说明理由；(2)把一个四位“合和数”M进行“合分解，即 用=4、3.A的各个数位数字之和与3的各个数位数字之和的和记为P(M)；A的各个数位数字之和与5的各个数位数字之和的差的绝对值记为。().令G(M)P
36、(M)Q(M),当G(M)能被4整除时，求出所有满足条件的【答案】(1)168不是“合和数”,621是“合和数，理由见解析；(2)M有1224，1221，5624.5616.【分析】(1)首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数M的个位数字不为0,且能分解成AxB，其中A与5都是两位数，A与5的十位数字相同，个位数字之和为1 0,则称数M为“合和数”,再判断168,621是否是“合和数”;(2)首先根据题目内容，理解 合分解 的定义.引进未知数来表示A个位及十位上的数，同时也可以用来P(M)表示5.然后整理出：G(M)=；=，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的Q(
37、M)【详解】解：(1)168不是“合和数”,621是“合和数”.168 =12x14,2+4/1 0，,168 不是“合和数”，.621=23x27,十位数字相同，且个位数字3+7=10,.621是“合和数”.(2)设A的十位数字为m,个位数字 为 (团，为自然数，月.3W/nW9,1W W 9),则 A =1 0m+n,B=10m 4-10 n./.PM)=m+n+m-Q-n=2m+Q,0(M)=|(m+n)-(/?i4-10-n)|=|2H-10|.P(M)Q(M)2m+10 _/T I+5 _|2 n-1 0|-|n-5|-(左是整数).,.3m 9，/.8 m+514,.,左是整数，.
38、二 2+5=8或2+5=12,当帆+5=8时;0)与y =x-3的图象交于点P(a,b),则a+6的值为XA.7 5 B.yfj C.2耶)D.7 1 3【答案】D【分析】因为函数y =1(x 0)与y =x-3的图象交于点P(a,b),将P点坐标代入到两个解析式，可以的到Xab=a-b=3,即可求出(一 力？=9,并由(。+4=(-力2+4 3代入计算后即可求解结果.【详解】解：函数y=4(x 0)与y =x-3的图象交于点尸伍力)，Xb=,b=a 3,ab=,a b=3,(a-b)2=a2-2ab+b2=9,aV (a+b)2=a2+2ab+b2=(a b)2+4 ab=9 +4 =1 3
39、,a+b=/3.故选：D.【点睛】本题考查了反比例与一次函数的交点问题，关键步骤是找出代数式必=3和。-8=3与a+6之间的关系，再运用整体思想进行代入，是本题的突破口.5.(2021四川雅安市中考真题)下列运算正确的是()A.(x2)=x6 B.3*2 2 x =x C.(-2 x)，=-6/D.%64-x2=x3【答案】A【分析】分别根据合并同类项法则，募的乘法运算法则，同底数辕的除法法则逐一判断即可.【详解】解：A、1 2 1=犬6正确，该选项符合题意；B、3 f 与一2 x 不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；C、（-2%）3=-8 炉 原计算错误，该选项不符合题意；D、炉+%2=
40、%4 原计算错误，该选项不符合题意；故选：A.【点睛】本题主要考查了同底数累的运算及合并同类项，熟练掌握暴的运算及合并同类项是解题的关键.6.（2021湖南娄底市中考真题）下列式子正确的是（）A.a3-a2=a B.（片）=诡 C.a3-a2=ab D.（/丫=笳【答案】B【分析】根据基的乘方，底数不变，指数相乘;同底数幕相乘，底数不变指数相加;合并同类项法则.对各选项分析判断后利用排除法求解选择正确选项即可.【详解】A、/一。2=4,因为/和/不属于同类项，不能进行加减合并，故 A错误；B、（/y=a 2 x 3=a 6.B 正确；c、/./=2 3+2 =4,c 错误；D （a2）3=a2
41、 x 3=a6,D 错误.故选：B.【点睛】本题考查幕的乘方、同底数幕的乘法、合并同类项，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键.7.（2021江苏南京市中考真题）计算（4 J，.才3的结果是（）A.a2 B./C.a5 D./【答案】B【分析】直接利用塞的乘方和同底数幕的乘法法则进行计算即可.【详解】解：原式=/a-3=/；故选：B.【点睛】本题考查了幕的乘方和同底数累的运算法则，其中涉及到了负整数指数基等知识，解决本题的关键是牢记相应法则，并能够按照正确的运算顺序进行计算即可，本题较为基础，考查了学生的基本功.8.（2021湖北十堰市中考真题）下列计算正确的是（）A.a3-a3-2a3 B.（
42、-2 ）2=42 C.（a+b）2=a2+b2 D.（a+2）（a-2）=2-2【答案】B【分析】根据同底数基相乘、积的乘方、乘法公式逐一判断即可.【详解】解：A.a3-a3=a6,该项计算错误；B.（-2 a）2=4 a2,该项计算正确；C.（a+b）2=a2+2ab+b2,该项计算错误；D.（。+2）（。-2）=/一 4,该项计算错误；故选：B.【点睛】本题考查整式乘法，掌握同底数基相乘、积的乘方、乘法公式是解题的关键.9.(2 0 2 1四川成都市中考真题)下列计算正确的是()A.3mn 2mn=1 B.(m2n3=n z4n6 C.(-m)3 m m4 D.(m+n=m2+n2【答案】
43、B【分析】利用合并同类项法则可判定A,利用积的乘方法则与幕的乘方法则可判定B,利用同底数幕乘法法则可判定C,利用完全平方公式可判定。.【详解】解：A.3mn-2inn-m n1,故选项A计算不正确；B.(叫=()2.(“3)=加*6,故选项B计算正确;C.(-机)3 机=-?.机=一 加4#?4,故选项。计算不正确；D.(m+n)2=m2+2mn+n2 m2+n2,故选项。计算不正确.故选择3.【点睛】本题考查同类项合并，积的乘方与事的乘方，同底数基乘法，完全平方公式，掌握同类项合并，积的乘方与鼎的乘方，同底数嘉乘法，完全平方公式是解题关键.10.(2 0 2 0西藏中考真题)观察下列两行数：
44、1,3,5,7,9,11,13,15,17,.1,4,1,10,13,16,19,2 2,2 5,.探究发现：第 1个相同的数是1,第 2个相同的数是7，若第n个相同的数是10 3,则 n等 于()A.18 B.19 C.2 0 D.2 1【答案】A【分析】根据探究发现:第1个相同的数是1,第2 个相同的数是7,，第个相同的数是6(-1)+1 =6-5 ,进而可得”的值.【详解】解:第 1 个相同的数是l =0 x 6+l,第 2个相同的数是7=l x 6+l,第 3 个相同的数是13=2 x 6+1,第 4 个相同的数是19 =3x 6+1，第个相同的数是6(1)+1 =6 5,所以6-5
45、=10 3,解得=18.答：第九个相同的数是10 3,则等于18.故选：A.【点睛】此题主要考查了数字变化规律，确定出相同数的差值，从而得出相同数的通式是解题的关键.11.(2 0 2 1浙江杭州市中考真题)因式分解：1 4 y 2=()A.(l-2 y)(l+2 y)B.(2-力(2+y)c.(l-2 y)(2+y)D.(2-y)(l+2 y)【答案】A【分析】利用平方差公式因式分解即可.【详解】解：1 4)，2 =(l -2 y)(l +2 y),故 选:A.【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.12.(2 0 2 1广西贺州市中考真题)
46、多项式2/4 f+2 x因式分解为()A.2 x(%-1)B.2 x(x+1)-C.x(2 x-l)D.x(2 x +l)【答案】A【分析】先提取公因式2 x,再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可【详解】解：2d 4/+2 x=2 x(x 2 2 x+l)=2 x(x 故答案选：A.【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解.正确应用公式分解因式是解题的关键.1 3.(2 0 2 0广西贺州市中考真题)多项式2 a2力+8“7 2因式分解为()A.a%2(2 Z?+8 4)B,2加卜活+4叫 c.2a2b2(Z?+4a2)D.2(rbb+42/7)【答案】C【分析】确定公因式
47、，然后用提取公因式法进行因式分解即可.【详解】解：2a2b3+Sa4h2，=2八*+4/).故 选：c.【点睛】本题考查了用提取公因式法进行因式分解，解题关键是准确确定公因式，正确提取公因式.1 4.(2 0 2 0西藏中考真题)下列分解因式正确的一项是()A.X2-9=(X+3)(x -3)B.2 x y+4x=2 (x y+2 x)C.x2-2 x -1 =(x -1)2 D.x2+y2=(x+y)2【答案】A【分析】各式分解得到结果，即可作出判断.【详解】解：A、原式=(x+3)(x-3),符合题意；B、原式=2 x (y+2),不符合题意；C、原式不能分解，不符合题意；D、原式不能分解
48、，不符合题意.故选：A.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.1 5.(2 0 2 0河北中考真题)若(9 2 T)(T)=8X1 0X1 2,则 =()kA.1 2B.1 0C.8D.6【答案】B【分析】利用平方差公式变形即可求解.【解析】原等式（一（2-1）=8 x 1 0 x 1 2变形得:k仅2-川1 1 2 _ 1）_（9-0（9 +0（1 1-1）（1 1 +1）_8xl0 xl0 xl2心运 B.一 8 x 1 0 x 1 2 8 x 1 0 x 1 2 8 x 1 0 x 1 2【点睛】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公
49、式是解题的关键.1 6.（2 0 2 1江苏苏州市中考真题）已知两个不等于0的实数。、匕满足a+h =0,则0等 于（）a hA.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】A【分析】先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果.【详解】解：-：-+-=h _ ,.心+色=/=（）一2曲,a b ab a b ah ah.两个不等于o的实数a、b满足a+b=0,.%g=（a+）-2叽也 口,故选：A.a b ab ab【点睛】本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键.1 7.（2 0 2 0山东枣庄市中考真题）图（1）是一个长为2 m,宽为2 n （m n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（
50、对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后 按 图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）图（1）图（2）A.2 m n B.（m+n）2 C.（m-n）2 D.m2-n2【答案】C【详解】解：山题意可得，正方形的边长为（m+n）,故正方形的面积为（m+n）2.又：原矩形的面积为4m n,.中间空的部分的面积=（m+n）2-4m n=（m-n）2.故 选C.3丙二丙区【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点,灵活运用公式等，本题涉及到的方法为观察、假设与实践，涉及到的思想为数形结合的思想.1 8.(2 0 2 0 湖