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1、考点1 7圆命题趋势该板块内容以考查综合题为主，也是考查重点，除了填空题和选择题外，年年都会考查综合题，对多数考生来说也是难点，分 值 为 12 分左右。预 计 2 0 2 2 年各地中考肯定还是考查的重点在选择、填空题中考查三角形的外心、正多边形、弧长、扇形面积，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。知识梳理一、圆的有关概念1.与圆有关的概念和性质1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.2）弦与直径：连接圆上任
2、意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.6）弦心距：圆心到弦的距离.2.注意1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；2）3点确定一个圆，经 过 1 点或2点的圆有无数个.3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.二、垂径定理及其推论1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过
3、圆心作弦的垂线，构造直角三角形.2.推论1）平 分 弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.三、圆心角、弧、弦的关系1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.2.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.四、圆周角定理及其推论1.定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2.推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.2）直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形的对角互补.在圆
4、中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.五、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.（l）d r=点在。外.判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系ctrd-rd C.4-V 3 D.2二一2.（2 02 1湖北武汉市中考真题）如图，AB是。的直径，BC是。的弦,点、D.再将8 0沿A8翻折交8。于点E.若B E =D E，设N A B C =a，Z B =90,/B C
5、 D =1 20。,ie，先将BC沿BC翻折交AB于则a所在的范围是（）BA.2 1.90 a 2 2.3 B.2 2.3 2 2.7 C.22.70 a 2变式拓展1.（2 02 1浙江绍兴市中考真题）如图，正方形A 8C。内接于3.1 D.2 3.1 0 a CE=100。，则弦CE的 长 是（）A.2 b B.2 C.V3 D.1考向4 点 直线与圆的位置关系1.点和圆的位置关系：在圆上；在圆内；在圆外.2.直线和圆的位置关系：相交、相切、相离.典例引领1.（2021浙江嘉兴市中考真题）已知平面内有。和点A,B,若。半径为2 c m,线段。4=3cm,OB=2 c m,则直线AB与。的位
6、置关系为（）A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切2.（2021上海中考真题）如图，已知长方形A8CD中，A B =4,AD=3,圆8的半径为1,圆A与圆8内切，则 点 与 圆A的位置关系是（）A.点C在圆A外，点。在圆A内C.点C在圆A上，点力在圆A内B.点C在圆A外，点。在圆A外D.点C在圆A内，点力在圆A外3.（2021四川成都市中考真题）如图，在平面直角坐标系X。），中，直线）=立+空与0。相交于A,3 3B 两点，且点A 在 x 轴上，贝 I弦 A B 的长为变式拓展1.（2021青海中考真题）点 p 是非圆上一点，若点P 到。上的点的最小距离是4 c m,最大距离是9cm,则
7、Q O的半径是.2.（2020上海中考真题）在矩形A8CD中，48=6,BC=8,点。在对角线AC上，圆。的半径为2,如果圆O与矩形A B C D的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是.考向5切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法.典例引领1.（2021山东泰安市中考真题）如图，在 A A bC 中，A B =6,以点A 为圆心，3 为半径的圆与边B C 相切于点。，与 A C,A 3 分别交于点E 和点G,点 F 是优弧GE上一点，Z C D E =1 8,则 NG FE的度数是（）C.45 D.362.（2021江苏连云港市中考真
8、题）如图，中，NA3C=9 0 ,以点C 为圆心，C B为半径作O C,。为 G）C 上一点，连接A。、C D,A B A D，A C 平分（1）求证：A O 是 O C 的切线；（2）延长4）、5 c 相交于点E,若 S.E=2SBC，求 ta n/B 4 c 的值.3.（2021河南中考真题）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构“，设计图如图1,两个固定长度的“连杆”AP,5 P 的连接点P在 O O 上，当点尸在O。上
9、转动时，带动点A,B 分别在射线Q M,ON上滑动，Q 0 _ L Q N.当AP与。相切时，点 3 恰好落在。上，如图2.请仅就图2 的情形解答下列问题.（1）求证：N P A O =2 N P B O；（2）若。的半径为5,A P =,求33 P 的长.变式拓展1.（2021四川泸州市中考真题）如图，。的直径AB=8,AM,BN是它的两条切线，QE与。相切于点E,并与AM,8N 分别相交于 ,C 两点，BD,OC相交于点F,若 CZ=10,则 3 F 的长是A8 g D 10V17 0 8 厉 10V159 9 9 92.（2021湖北随州市中考真题）如图，。是以A 8 为直径的。上一点，
10、过点。的切线。E 交 A B 的延长线于点E,过点B 作 8 C L O E 交的延长线于点C,垂足为点F.（1）求证：AB=B C；（2）若。的直径A 3 为 9,sinA=-.求线段B E 的长；求线段BE的长.3考向6三角形的内切圆与外接圆典例引领1.（2021浙江中考真题）如图，已知点。是AABC的外心，N A =4 0 ,连结8 0,C O,则 ZBO C的度数 是（）.A.60B.70C.80D.902.（2 0 2 1四川泸州市中考真题）在锐角AABC中，Z A,NB,/C 所对的边分别为a,b,c,有以下结论:bcsi nA sinB sinC=2 R（其中R为AABC的外接圆
11、半径）成 立.在AABC中，若乙4=7 5。，N B=4 5。,c=4,则AABC的外接圆面积为（）16兀A.36 4 万B.3C.16%D.6 4%3.（2 0 2 1陕西西安益新中学模拟预测）如图，圆。是四边形A 8 C D 的内切圆，连接A。、B O、C O、DO,记 A OD,A OB,C O B、OOC 的面积分别为Si、8、5 人S4,则 S/、$2、8、S,的数量关系为变式拓展1.（2 0 2 1山东中考真题）古希腊数学家欧几里得在 几何原本中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：在。上任取一点A,连接40并延长交。于点8,8。为 半 径 作 圆 孤 分 别 交 于 C,。两
12、点，。并延长分交。于点E,F；顺次连接8 C,FA,A E,D B,得至U 六边形A F C B C E.连接A。，交于点G,则下列结论错误的是A.A A O E 的内心与外心都是点G B.Z F G A=Z F O A C.点 G是线段EF的三等分点 D.E F=猴 A F2.（2 0 2 1青海西宁中考真题）如图，A45C的内切圆板与A8,8 C,AC分别相切于点。，E,F,连接。,OF,N C =9 0。，A C =6,B C=8,则阴影部分的面积为（）A.2-7C B.4-7T C.4 一 4 D.1-7 T2 2 43.（2019山西中考真题）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱
13、 昂 哈 德 欧 拉 是 瑞 士 数 学 家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在AABC中，R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则如 图 1,。和。1分别是AABC的外接圆和内切圆，。1与 AB相切分于点F,设。O 的半径为R,。1的半径为r,外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离01=d,则有 d2=R2-2Rr.下面是该定理的证明过程（部分）：延长A I交（DO于点D,过点I 作。O 的直径M N,连接DM,AN.V/D=/N,/D M I=/N A I（同弧所对
14、的圆周角相等），.-.MDIAANI,：.IA ID=IM IN,1A IN如图2,在 图 1（隐去MD,AN）的基础上作。O 的直径D E,连接BE,BD,BL IF,VDE 是OO 的直径，,ZDBE=90,【与 AB 相切于点 F,A Z AFI=90,/DBE=NIFA,/B A D=/E（同弧所对圆周角相等），.A IFsED B,必 IFDEBD；IABD=D EIF,任务：（1）观察发现：IM=R+d,IN=（用含R,d 的代数式表示）;（2）请判断BD和 ID 的数量关系，并说明理由；（3）请观察式子和式子，并利用任务（1）,（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩
15、余部分；（4）应用：若AABC的外接圆的半径为5 c m,内切圆的半径为2 c m,则4ABC的外心与内心之间的距离为 cm.考向7正多边形与圆任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.典例引领1.（2021 河北中考真题）如图，点。为正六边形A 5C D EE对角线F D 上一点，5A A FO=8,SCD0=2,则S正 六 边 形 A B C。6 的值是()A.20 B.302.C.40D.随点。位置而变化（2021 黑龙江绥化市中考真题）边长为4 cm 的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是3.（2021 湖南湘西土家族苗族自治州中考真题）如图，面积为18的正方形A
16、3C O 内接于。，则 A 5 的长 度 为（）变式拓展1.（2021贵州安顺市中考真题）如图，。与正五边形A8CDE的两边AE,C相切于A C 两点，则Z AO CA.144 B.130 C.129 D.1082.(2021湖北随州市中 考真题)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等“等性质解决有关数学问题，在解题中,灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷.(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4,则该直角三角形 斜 边 上 的 高 的
17、 长 为,其内切圆的半径长为；(2)如 图1,P是边长为。的正AABC内任意一点，点。为AA5c的中心，设点P到 A B C各边距离分别为九，力2，4，连 接 小，BP，CP，由等面积法，易知+%)=SOBC=3 SA Q A B，可得4+饱+/=；(结果用含。的式子表示)；如 图2,P 是边长为的正五边形45a内任意一点，设 点P到五边形A B C D E各边距离分别为九，h2,小，心,%,Q1 1参照的探索过程，试用含“的式子表示+4+为+力4 +色的值(参考数据：t a n 3 6 ,t a n 5 4 -5-)1 1 8(3)如图3,已知。的半径为2,点A为。外一点，Q4 =4,A8切
18、。于 点B,弦8 C 7/Q4,连 接AC,则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为；(结果保留乃).如图4,现有六边形花坛A B C D E F,由于修路等原因需将花坛进行改造.若要将花坛形状改造成五边形ABCDG,其中点G在A厂的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由.考向8弧长和扇形面积1)弧长公式：/=喘；2).扇形面积公式：s扇形=*或S扇形=；东 典例引领1.（2021湖北宜昌市中考真题）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形.如图，以边长为2 厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三
19、角形”，该”莱洛三角形”的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _平方厘米.（圆周率用表示）2.（2021浙江金华市中考真题）在扇形A O 8中，半径。4=6,点尸在0A 上，连结P 8,将沿PB折叠得到Q B P.（1）如 图 1，若NO=7 5 ,且 3 0 与 A B 所在的圆相切于点艮 求NAP。的度数.求AP的长.（2）如图2,BO与 4 B 相交于点。，若点。为 4 6 的中点，且 P D/O B,求 A B 的长.O B图2变式拓展1.（2021 重庆中考真题）如图，矩形ABC。的对角线AC,8。交于点O,分别以点A,C 为圆心，A。长为半径画弧，分别交AB,C D 于点
20、E,F.若 BD=4,NCA8=36。，则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为.（结果保留力）.D F C2.（2021湖北荆州市中考真题）如图，在菱形A B C。中，=6 0,4?=2，以8为圆心、长为半径画AC，点P为菱形内一点，连 接B4,PB,P C.当 BP C为等腰直角三角形时，图中阴影部分的 面 积 为（）A 2 6 +1 口 2 6-1 上 口。V 3-1A.式-B.兀-C.D.24-3 2 3 2 2考向9圆锥的相关问题典例引领 1.（2021广西来宾市中考真题）如图，从一块边长为2，N A =1 20的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影部分），且圆
21、弧与BC,8分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是2.（2021江苏南京市中考真题）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图，圆锥的母线长为1 2c m,B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC的长为4乃cm.在图所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点8的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）.o（2）图中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.0是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上.设圆锥的母线长为/,圆柱的高为h.蚂蚁从点A爬行到点0的 最 短 路 径 的 长 为（用含I,h的代数式表示）.设AO的长为如 点B在 母 线 上，O B=b.圆柱
22、的侧面展开图如图所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.变式拓展1.（2021江苏宿迁市中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4,侧面展开图扇形的圆心角为1 20。，则它的侧面展开图面积为.2.（2021内蒙古呼伦贝尔市中考真题）将圆心角为1 20。的扇形围成底面圆的半径为1 c m的圆锥，则圆锥的母线长为.考点冲关1.（2021湖南怀化市中考真题）以下说法错误的是（）A.多边形的内角大于任何一个外角 B.任意多边形的外角和是360C.正六边形是中心对称图形 D.圆内接四边形的对角互补2.（2021江苏苏州市振华中学校九年级阶段练习）如图，点。为AABC的
23、内心，ZA=60,OB=2,0 c =4,则AOBC的面积是（）A.4百 B.2G C.2 D.43.（2021广西玉林市中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直 ，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”.下列判断正确的是（）A.两人说的都对 B.小铭说的对，小燕说的反例不存在C.两人说的都不对 D.小铭说的不对，小熹说的反例存在4.（2021青海中考真题）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于 A,B两 点,他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，
24、则“图上”太阳升起的速度为（）.A.1.0厘米/分 B.0.8厘米分 C.12厘米/分 D.1.4厘米/分5.（2021江苏九年级专题练习）如图，在AABC中，45=4 C B C.小丽按照下列方法作图：作ZBAC的角平分线A D,交BC于点。;作AC的垂直平分线，交AD于点E.根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（）A.点 E 是AABC的外心 B.点 E 是“BC的内心C.点 E 在D8的平分线上 D.点 E到 AC,8 c 边的距离相等6.（2021山西中考真题）如图，在。中，A 3 切。于点A，连 接 交。于点C,过点A 作 AO/Q B交。于点。，连接C O.若 N8=50。，
25、则 NO CD为（）A.15B.20C.25D.307.（2019广西玉林市中考真题）如图，在 RtMBC中，ZC =90，AC=4,BC=3，点。是 AB的三等分点，半圆。与 AC相切，M,N 分别是BC与半圆弧上的动点，则 的 最 小 值 和 最 大 值 之 和 是（）A.5B.6C.7D.88.（2021上海长宁二模）如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内 相 交 如 图 1,已知AABC中，Z C=90,AC=4,B C=3,点 O 在边AC上.如 果。C 与直线 A8相切，以 OA为半径的。与。内相交”，那么0 4 的长度可以是（）16 c
26、 12 c 4A.B.C.-D.一5 5 5 59.（2021河北桥西二模）“已知点?小,为）和直线 =+求点尸到直线丫=履+。的距离d 可用公式4 二与7”计算”.根据以上材料解决下面问题：如图，OC的圆心C 的坐标为（1,1）,半 径 为 直 线/的表达式为y=-2x+5,M 是直线/上的动点，N 是。C 上的动点，则 的 最 小 值 是（）10.（2021上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，在AABC中，Z ACB=90,A C =6cm,BC=8cm,CM是它的中线，以 C为圆心，5cm为半径作O C,则点与。C 的位置关系为（）A.点 M 在G）C 上 B.点 M 在。C 内
27、C.点 M 在G）C 外 D.点 M 不在。C 内11.（2021全国九年级专题练习）已知0。，。02,G）。?是等圆，“8尸内接于。1,点 C,E 分别在。2,。3上.如 图，以 c 为圆心，4P长为半径作弧交。2于点 ,连接C。；以 E 为圆心，BP长为半径作弧交。Q 于 点 凡 连 接 E F；下面有四个结论：C D +EF=A B；C+EF=AB；Z C O2D +Z E OF=Z A OtB;N C D O2+NEFO,=N P ,所有正确结论的个数是（）12.（2022甘肃平凉模拟预测）如图，在半径为后的。中，弦月8 与 C交于点E,2 D E B =75。，A B =4,A E
28、=,则 C。长 是（）3A./2 B.2石C.3亚 D.2而13.（2021辽宁营口 中考真题）如图，。中，点 C 为弦A 8中点，连接OC,O B,NCO3=56。，点。是4B 上任意一点，则NADS度 数 为（）A.112 B.124 C.122 D.13414.（2021河北中考真题）如图，等腰AAOB中，顶角NAO8=4 0 ,用尺规按到的步骤操作:以。为圆心，OA为半径画圆；在。上任取一点P（不与点A,8 重合），连接A P；作A 8 的垂直平分线与。交于M，N；作AP的垂直平分线与。交于E，F .结 论 1：顺次连接M，E,N ,/四点必能得到矩形；结论II：。上只有唯一的点P，使
29、得S扇 形=S 扇 形 以 对于结论I 和 II，下列判断正确 的 是（）A.I 和 n 都对 B.I 和 n 都不对 c.I 不对n 对 D.I对 n 不对15.（2021湖北荆州中考真题）如图，A 3 是。的直径，A C 是。的弦，Q D L A C 于。，连接OC,16.（2021湖北襄阳市中考真题）点。是AABC的外心，若 N3OC=1 1 0 ,则 ZR4C为.17.（2021上海中考真题）六个带30。角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1,求中间 正 六 边 形 的 面 积.18.（2021山东泰安市中考真题）若 A A bC 为直角三角形，AC=BC=4,以B C
30、 为直径画半圆如图所示，则 阴 影 部 分 的 面 积 为.19.（2021浙江拱墅二模）如图，点。是A8C的内心，AO的延长线交ABC的外接圆于点O,交 B C 于20.（2021广东九年级期中）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离.依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点 A（2,l）到以原点为圆心，以1为半 径 的 圆 的 距 离 为.21.（2021山东
31、郑城县第三中学一模）如图，半径为4的。中，CD 为直径,弦且过半径。的中点，点 E 为。上一动点，C尸，AE于点F,当点E 从点8 出发顺时针运动到点。时，点 F 所经过的路径长为一.22.（2021江苏连云港市中考真题）如图，OA、O B是。的半径，点 C 在。上，2 4 0 8 =30。，NOBC=4 0 ,则 N Q 4C=23.（2021浙江宁波市中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如示意图，AC,8。分 别 与 相 切 于 点 c,D,延长AC,8。交于点p.若/尸=120。，。的半径为6cm,则图中CO 的长为 c m.（结果保留万）24.（2021
32、四川凉山彝族自治州中考真题）如图，等边三角形4BC的边长为4,O C 的 半 径 为 百，P为AB边上一动点，过点尸作0 c 的切线P。，切点为。，则 P 0 的最小值为.25.（2021江苏徐州市中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长/为8 c m,扇形的圆心角6=9 0 ,则圆锥的底面圆半径 为cm.26.（2021广西百色中考真题）如图，P M、PN是。的切线，切点分别是A、B,过点。的直线CE/PN,交。于点C、D,交 PM于点E,的延长线交PN于点F,若BCPM.（1）求证：Z P=45；（2）若C D=6,求 PF的长.N27.（2021四川泸州市中
33、考真题）如图，AABC是。O 的内接三角形，过点C 作。的切线交BA的延长线于点F,A E是。0的直径，连接EC（1）求证：N A b =N 3；（2）若AB=3 C,A D L B C于点O,F C =4,4 =2,求A DA E的值28.（2021安徽中考真题）如图，圆。中两条互相垂直的弦AB,CD交于点（1）M是CC的中点，OM=3,C D=1 2,求圆。的半径长；（2）点尸在C上，且 C E=E F,求证：A F A.B D.29.（2021河北中考真题）如图，。的半径为6,将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A“（”为112的整数），过点4作。的切线交A A i延长线于点P.
34、（1）通 过 计 算 比 较 直 径 和 劣 弧 长 度哪个更长；（2）连接A,A，则A7Al和P A有什么特殊位置关系？请说明理由；（3）求切线长P 4的值.30.（2021湖南邵阳市中考真题）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径 与母线A。长之比为1:2.制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中A B =A C,A D 1B C.将扇形A E 尸围成圆锥时，A E，A b 恰好重合.（1）求这种加工材料的顶角4 4 c 的大小（2）若圆锥底面圆的直径E D 为 5 c m,求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积.（结果保留了）31.（2021山东蒲泽市中考真题）如图，
35、在中，A 3 是直径，弦 C D L A 3,垂足为H,E 为 B C 上一点，F 为弦。延长线上一点，连接庄并延长交直径A B 的延长线于点G,连接A E 交 C D 于点P,3若 F E=F P.（1）求证：E E 是。的切线；（2）若。的半径为8,sinF=-,求 B G 的长.32.（2021山西孝义二模）阅读下列材料，并完成相应的学习任务:我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.由于三角形的三 条 高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心.下面我们以锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点.如图，在AAB
36、C中，AD,BE分别是2C,AC边上的高，且AZ）与2E相交于点P.连接CP并延长，交AB于点F.求证：CF1.AB.证明：分别过点A,B,C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M,N,Q.分别连接 PM,PN,PQ.,:MNHBC,MQ/AB,NQ/AC,二四边形MA8C,四边形4VBC,四边形AB0c都是平行四边形.:.BC=AM=AN,AC=BN=BQ,AB=MC=CQ.：ADBC,：.ZMAD=ZADB=90,即 AO_LMN.：.PM=PN.学习任务：（1）请将上面剩余的证明过程补充完整；（2）点P是的一.（填出字母代号即可）A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心（3）若NC
37、4B=40,则乙WP N=.直通中考1.（2 0 2 1 山西中考真题）如图，正六边形A B C D E F的边长为2,以A为圆心，A C的长为半径画弧,得E C，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）A.2 B.4 C.-7 T D.龙兀3 32.（2 0 2 1 河北兴隆二模）如图，在“A B C 中，Q）作 A B 和 B C 的垂直平分线交于点。；（2）以点。为圆心，长为半径作圆；（3）。分别与A3和BC的 垂 直 平 分 线 交 于 点N；（4）连接A ,AN,C M,其中AN与CM交于点P.根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中,BC=2 N C;A 8 =24W;点。是A
38、ABC的外心；点尸是A/WC的内心.所有正确结论的序号是（）A.B.C.D.3.（2 0 2 1 江苏镇江中考真题）如图，N B A C=3 6。，点。在边A B 上，。与边AC相切于点。，交边A 8于点E,F,连接FD,则N AFD等 于（）A.2 7 B.2 9 C.3 5 D.3 7 4.（2 0 2 1 湖北荆州市中考真题）如图，矩形QABC的边O A,OC分别在x轴、轴的正半轴上，点。在OA的延长线上.若A（2,0）,0（4,0）,以。为圆心、0。长为半径的弧经过点5,交 y轴正半轴于点E，连接。E，B E、则的度数是（）A.15 B.22.5 C.30 D.455.（2 0 2 1
39、 山东滨州中考真题）如图，。是AABC的外接圆，CD是。的 直 径.若 8 =1 0,弦 A C =6,则cos/A BC的 值 为（）6.（2021山东青岛中考真题）如图，4 3 是。的直径，点E,C 在上，点A是 EC的中点，过点A 画。的切线，交 8 c 的延长线于点。，连接E C.若 NADB=58.5。，则NACE的度数为（）A.29.5 B.31.5 C.58.5 D.637.（2021浙江丽水市中考真题）如图，A 3 是 的 直 径，弦 C D L Q 4 于点E,连结OC8.若 0。的半径为 NAOO=Na,则下列结论一定成立的是（）A.OE=m-tan a B.CD=2m-s
40、ina C.A E m cosa D.,sin cz8.（2021浙江金华市中考真题）如图，在RMABC中，ZAC B=9 0 ,以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点及 E G,4,M,N 都在同一个圆上.的 值 是（）F、-彳 E547A.-B.37r C.5%2记该圆面积为，5 c 面积为$2,则U11万D.29.（2021四川广元市中考真题）如图，从一块直径是2 的圆形铁片上剪出一个圆心角为90。的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥.那么这个圆锥的底面圆的半径是（）10.（2021湖北鄂州中考真题）如图，MAABC中，Z4CB=90,A C =2 6,BC=3.点 P 为A4
41、BC内一点，S.P A2+P C2=A C2.当心的长度最小时，AACP的面积是（）A.3 B.373 C.D.毡4 211.（2021湖南娄底市中考真题）如图，直角坐标系中，以5 为半径的动圆的圆心A 沿 x 轴移动，当O A 与直线/：y=N 尤只有一个公共点时，点A的坐标为（）A.(-12,0)B.(-13,0)C.(12,0)D.(13,0)12.（2021四川眉山市中考真题）如图，在以A B 为直径的。中，点。为圆上的一点，BC=3A C，弦8 _ 1 4 3 于点石，弦 4/交 霓 于 点，交 8。于点6.若点”是 4 6 的中点，则/。8/7的度数为（）13.（2021江苏连云港
42、市中考真题）如图，正方形ABCD内 接 于 线 段 M N 在对角线8。上运动，若。的面积为2兀，M N =,则AAAW周长的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.614.（2021四川宜宾市中考真题）如图，。的直径AB=4,P 为。上的动点，连结A P,。为 AP的中点，若点尸在圆上运动一周，则点。经过 的 路 径 长 是.15.（2021江苏宿迁市中考真题）如图，在 R t B C 中，ZABC=90,乙4=32。，点 B、C 在 0。上，边 A3、AC分别交0。于。、E 两 点，点 B 是 C。的中点，则.16.（2021广东中考真题）在AABC中，Z A B C =9Q,AB=2,B
43、C=3.点。为平面上一个动点，NAZ犯=4 5 ,则线段C O 长 度 的 最 小 值 为.17.（2020四川成都市中考真题）如图，六边形ABCDE尸是正六边形，曲 线 必 由弓书叫做“正六边形的渐开线“，E&,A 4，G 4，G Q,的圆心依次按A，B,C,D,E,尸循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角.当4 3 =1时，曲线F A B D K的长度是18.（2021陕西中考真题）如图，正方形ABCO的边长为4,。0 的半径为1.若。在正方形ABC。内平 移（。可以与该正方形的边相切），则点A 到。上 的 点 的 距 离 的 最 大 值 为.19.（2021广西河池中考真题）如
44、图，在平面直角坐标系中，以M（2,3）为圆心，A 2为直径的圆与x 轴相切,与 y 轴交于4 C两点，则点B 的坐标是.20.（2021浙江温州市中考真题）如图，。与AOLB的边A B 相切，切点为3.将AOAB绕点3 按顺时针方向旋转得到OAB，使点。落在。上，边 交 线 段 A O 于点C.若 NA=2 5 ,则NOCB=度.21.（2021江西中考真题）如图，在边长为6 G 的正六边形ABCD户中，连接5E,C F ,其中点M，N分 别 为 鹿 和 C尸上的动点，若以M，N ,。为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为22.（2021湖北十堰市中考真题）如图，在边
45、长为4 的正方形ABC。中，以A B 为直径的半圆交对角线AC于点E,以 C 为圆心、B C 长为半径画弧交A C 于点F,则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是.23.（2021湖南中考真题）如图，方老师用一张半径为18cm 的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）.如果圆锥形帽子的半径是10cm,那么这张扇形纸板的面积是 cm?（结果用含的式子表示）.24.（2021江苏泰州市中考真题）如图，平面直角坐标系xOy中，点 A 的坐标为（8,5）,O A与 x 轴相切，点 P 在），轴正半轴上，PB与。A 相切于点B.若NAP8=30。，则点尸的坐标为 一.25.（2021广东广州中
46、考真题）如图，正方形ABC。的边长为4,点 E 是边8 c 上一点，且 BE=3,以点A为圆心，3 为半径的圆分别交4 8、4。于点F、G,DF与AE交于点H.并 与 交 于 点 K,连结，G、C H.给7出下列四个结论.（1）H 是 FK 的中点；（2）dHGD名AHEC；（3）SHG：SDHC=9:16；（4）DK=其 中 正 确 的 结 论 有 （填写所有正确结论的序号）.26.（2021内蒙古通辽中考真题）如图，AB是。O的弦，48=26，点C是。上的一个动点，且 NACB=60,若点例，N 分别是A8,8 c 的中点，则 图 中 阴 影 部 分 面 积 的 最 大 值 是.27.（2
47、020广西中考真题）如图，在 Rt A B C 中，A B=A C=4,点 E,F 分别是AB,AC的中点，点户是扇形4E尸的4 7上任意一点，连接8P,C P,则 3B P+C P的 最 小 值 是.2 8.（2 0 2 1内江中考真题）如图，A 8 是。的直径，C、O是。O上两点，且8 =8，过点。的直线。，4。交 AC的延长线于点E,交 AB的延长线于点尸，连接A。、。交于点G.（1）求证：OE是 的 切 线;（2）若 段=。，。半径为2,求阴影部分的面积；（3）连结5E,在（2）的条件下，求 防 的长.AG 329.（20 21 四川绵阳中考真题）如图，四边形A 3 C D 是。的内接
48、矩形，过点A 的切线与C。的延长线交于点 M,连接。M 与 A D 交于点 E,A D,C Q =1.(1)求证：3C AAME ；(2)设 A O =x，求V C O W的 面 积（用x的式子表示）；（3）若ZAOE=N C O D,求。的长.30.（20 21 贵州遵义中考真题）点 A 是 半 径 为 的。上一动点，点 B 是。外一定点，O B=6.连接OA,AB.（1）【阅读感知】如图，当A A B C 是等边三角形时，连接0C,求 0C 的最大值；将下列解答过程补充完整.解：将 线 段 绕 点 B 顺时针旋转6 0。到。夕，连接0。，CO.由旋转的性质知：Z0 8 0,=6 0,8（7
49、=8 0=6,即。8。，是等边三角形.A OO=BO=6又 是 等 边 三 角 形，NA8 C=6 0,AB=BC：.ZOBO=Z ABC=60：.ZOBA=ZOBCOB =OB在 OBA 和 0,8 c 中，-ZOB A =ZOB C A B =C B：.（S AS）.0 4=0 9在 0 0，C 中,0 C 0）.过点P的弦CD_LA8,Q 为B C上一动点（与点8不重合）,垂足为H.连接A D.BQ.（1）若m=3.求证：Z OAD=6 0；求 黑 的 值；（2）用含，的 代 数 式 表 示 瞥，请直接写出结果；（3）存在一个大小确定的。，对点。的任意位置，都有8。-2OH2+P82的值是一个定值，求此时/Q 的度数.备用图