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1、考 点 0 8 位置与函数 命题趋势该版块内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，是非常基础也是非常重要的，年年都会考查，分值为 8 分左右，预计2022年各地中考还将出现，在选填题中出现的可能性较大.-0知识梳理1.有序数对（1）有顺序的两个数。与 6 组成的数对，叫做有序数对.平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的.（2）经一点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a,6 分别叫做点P 的横坐标和纵坐标.有序实数对（a,b）叫做点P 的坐标.2.点的坐标特征点的位置横坐标符号纵坐标符号第一象限+第二象限-+第三象限-第四象限+-X 轴上正半轴上+0负半轴上-
2、0y 轴上正半轴上0+负半轴上0-原点003.轴对称（1）点（x,y）关于x 轴对称的点的坐标（x,-y）；（2）点（x,y）关于y 轴对称的点的坐标（-x,y）.4.中心对称两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x,y）关于原点的对称点为尸 Lx,-y）.5.图形在坐标系中的旋转图 形（点）的旋转与坐标变化：(1)点 尸(x,y)绕坐标原点顺时针旋转90,其坐标变为?S，-X)；(2)点P (x,y)绕坐标原点顺时针旋转1 8 0,其坐标变为P Y-x,-y)；(3)点P (x,y)绕坐标原点逆时针旋转90。，其坐标变为P L y,x)；(4)点P (x,y)绕坐标原点逆时针旋转
3、1 8 0。，其坐标变为P (-x,-y).6 .图形在坐标系中的平移图形(点)的平移与坐标变化(1)点、P(x,y)向右平移个单位，其坐标变为产(x+“，y)；(2)点P (x,y)向左平移a个单位，其坐标变为尸，(x-a,y)；(3)点P (x,y)向上平移匕个单位，其坐标变为产(x,y+b)；(4)点、P(x,y)向下平移6个单位，其坐标变为尸(x,y-h).7 .函数(1)函数的定义:一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与 必 并 且 对 于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.例如：在s=6 0 f中，有两个变量；s与1,当f变化
4、时，s也随之发生变化，并且对于f在其取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称r是自变量，s是/的函数.对函数定义的理解，主要抓住以下三点：有两个变量.函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化.函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同，如：函数尸炉，当户1和时，)，的对应值都是1.在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数.(2
5、)函数取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义.(3)函数解析式及函数值函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.注意：函数解析式是等式.函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数.书写函数的解析式是有顺序的.产2 x-l表示y是x的函数，若42厂1,则表
6、示x是y的函数，即求)，关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y,就是等式左边是一个变量y,右边是一个含x的代数式.用数学式子表示函数的方法叫做解析式法.函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值“，函数y所对应的值为4即 当 尸 时，叫做自变量x的值为a时的函数值.(4)函数的图象及其画法：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜.描
7、点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点.描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限(或坐标轴)之间的关系，描出的点大小要适中，位置要准确.连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.(5)函数的表示方法函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用.重点考向考向1有序数对与位置确定有序数对的作用I：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置.有序数对一般用来表示位置，如用“排”“列”表示教师内座位的位置，用经纬度表示地球上的地点
8、等.确定点在坐标平面内的位置，关键是根据不同象限中点的坐标特征去判断，根据题中的已知条件，判断横坐标、纵坐标是大于0,等于0,还是小于0,就可以确定点在坐标平面内的位置.典例引领1.(2021贵州遵义中考真题)数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+b i(a,人为实数)的数叫做复数，用2=+应表示，任何一个复数z=a+4在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z (a,6)表示，如：z=l+2 i表示为Z (1,2),则z=2-i可表示为()A.Z(2,0)B.Z(2,-1)C.Z (2,1)D.(-1,2)【答案】B【分析】根据题中的新定义解答即可.【详解】解：由题
9、意，得 z=2T可表示为Z (2,-1).故选：B.【点睛】本题考查了点的坐标，弄清题中的新定义是解本题的关键.2.(2 0 2 1 海南中考真题)如图，点 A、B、C都在方格纸的格点上，若点力的坐标为(0,2),点 8的坐标为(2,0),则点C的坐标是()A.(2,2)B.(1,2)C.(1,1)D.(2,1)【答案】D【分析】根据点A5 的坐标建立平面直角坐标系，由此即可得出答案.【详解】解：山点A,8的坐标建立平面直角坐标系如下：则点。的坐标为(2,1),故选：D.【点睛】本题考查了求点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解题关键.变式拓展1.(2 0 2 0 湖北宜昌市 中考真题)小李、小
10、王、小张、小谢原有位置如图(横为排、竖为列)，小李在第2排第4歹 IJ,小王在第3排第3歹 U，小张在第4排第2歹 U，小谢在第5 排第4歹 I .撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是().I七鬲A.小李现在位置为第1排第2 列C.小王现在位置为第2 排第2 列B.小张现在位置为第3 排第2 列D.小谢现在位置为第4 排第2 列【答案】B【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可.【详解】解：A.小李现在位置为第1排第4 列，故 A 选项错误；B.小张现在位置为第3 排第2 列，故 B 选项正确；C.小王现在位置为第2 排第3 列，故
11、C 选项错误；D.小谢现在位置为第4 排第4 歹 I ，故 D 选项错误.故选：B.【点睛】本题考查了位置的确定，根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键.3.(2021四川成都二模)如图，雷达探测器发现了 4 B,C,D,E,尸六个目标.目标C,尸的位置分别表示为C(6,120。)，F(5,210),按照此方法表示目标Z,B,D,E 的位置时，其中表示正确的是()90)【答案】CC.D(4,240)D.E(3,60)【分析】按已知可得，衣示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别写出坐标A(5,30),B(2,90),D(4,240),E(3,300),即可判断.
12、【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，由题意可知A、B、。、E 的坐标可表示为：A(5,30。)，故 A 不正确；B(2,9 0),故 B 不正确；D(4,240),故 C 正确；E(3,300),故 D 不正确.故选择：C.【点睛】本题考查新定义坐标问题，仔细分析题中的c、F两例，掌握定义的含义，抓住表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数是解题关键.考向2点的坐标特征1 .象限角平分线上的点的坐标特征：(1)第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数；(2)平行于x轴(或 垂直于y
13、轴)的直线上的点的纵坐标相等，平行于y 轴(或垂直于x轴)的直线上的点的横坐标相等.2 .点 P(x,y)到 x 轴的距离为|y|,到 y 轴的距离为卜|,到坐标原点的距离为Jd十V.典例引领1.(2 0 2 1 青海中考真题)已知点A(2 m-5,6-2 根)在第四象限，则”的 取 值 范 围 是.【答案】m 3【分析】根据直角坐标系、一元一次不等式组的性质计算，即可得到答案.,、f 2 m-5 0 m 【详解】二点A(2 加一5,6-2 加)在第四象限，,、2m3故答案为：加 3.6 -2 m 3【点睛】本题考查了直角坐标系、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握象限、一元一次不等式
14、组的性质，从而完成求解.2.(2 0 2 1 青海西宁中考真题)在平面直角坐标系x O y 中，点工的坐标是(-2,-1),若 A 8 y 轴，且 4 3 =9,则点B的坐标是.【答案】(-2,8)或(-2,-10)【分析】由题意，设点8的坐标为(-2,y),贝!|由/B=9 可得|y-(-1)|=9,解方程即可求得y 的值，从而可得点B的坐标.【详解】口 A B/y轴口设点8的坐标为(-2,刃 口/5=9 口,一(一1)|=9 解得：尸 8 或 尸 一10点B的坐标为(-2,8)或(-2,-10)故答案为：(-2,8)或(-2,-10)【点睛】本题考查了平面直角坐标系求点的坐标，解含绝对值方
15、程，关键是抓住平行于坐标轴的线段长度只与两点的横坐标或纵坐标有关，易错点则是考虑不周，忽略其中一种情况.3.（2021江苏江都二模）如果点尸（x,y）的坐标满足工中，那么称点P 为 和谐点”，若某个和谐点”P到 x 轴的距离为2,则 尸 点 的 坐 标 为.2【答案】（2,2）或（,-2）【分析】设 P 点的坐标为（x,y）,由“和谐点”P 到 x 轴的距离为2 得出|y|=2,将 y=2或-2分别代入x+y=xy,求出x 的值即可.【详解】设 P 点的坐标为（x,y）,和谐点”P 到 x 轴的距离为2,口阱2 ny=2.将 产 2 代入x+y=xy,得 x+2=2x,解得x=2,C1P点的坐
16、标为（2,2）；2 7将 y=-2代入x+尸x y,得 x-2=-2x,解得x=1,C3P点的坐标为（,-2）.2 2综上所述，所求P 点的坐标为（2,2）或（,-2）.故答案为（2,2）或（,-2）.【点睛】本题考查了点的坐标，新定义，得出P 点的纵坐标为2 或-2是解题的关键.变式拓展1.（2020 贵州毕节市中考真题）在平面直角坐标系中，第 二 象 限 内 有 一 点 点 M 到 x 轴的距离为5,到y 轴的距离为4,则点M 的坐标是（）A.（5,4）B.（4,5）C.（T,5）D.（-5,4）【答案】C【分析】根据点到x 轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到 y 轴的距离为点的横坐标的绝对
17、值，得到点M 的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M 的具体坐标.【详解】解：设点M 的坐标是（x,y）.：点 M 到 x 轴的距离为5,到 y 轴的距离为4,.|y|=5,|x|=4.又.点M 在第二象限内，.-.x=-4,y=5,.,.点M 的坐标为（-4,5）,故选C.【点睛】本题考查了点的坐标，用到的知识点为：点到x 轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到 y 轴的距离为点的横坐标的绝对值：第二象限点的坐标符号（-,+）.2.（2021广西河池中考真题）从-2,4,5 这 3 个数中，任取两个数作为点尸的坐标，则点P 在第四象限的概率是.【答案】|【分析】先画树状图展示所有6 种等可能
18、的结果，利用第四象限点的坐标特征确定点P 在第四象限的结果数，然后根据概率公式计算，即可求解.【详解】解：画出树状图为：开始-2 4 54$-2 5-2 4共有 6 种等可能的结果，它们是：(-2,4),(-2,5),(4,-2),(4,5),(5,4),(5,-2),其中点尸在第四象限的结果数为2,即(4,-2),(5,-2),2 1 1所以点尸在第四象限的概率为：-=.故答案为：4.6 3 3【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率和点的坐标特征，通过列表法或树状图法列举出所有可能的结果求出，再从中选出符合事件/或8 的结果数目”，求出概率是解题的关键.3.(2021广东香洲二模)在平面直
19、角坐标系中，点 P(a-在 轴上，则”的值是.【答案】1【分析】根据y 轴上的点的横坐标为0 列出方程求解得到。的值，即可得解.【详解】解：1点 P(a+在y 轴上，-1=0,解得：a=l,故答案为：1.【点睛】本题考查了点的坐标，熟记x 轴上的点纵坐标为0 是解题的关键.考向3对称点的特征一般地，点 p 与点P 关于X轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；点尸与点P2关于y 轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，点 P 与点P3关于原点对称，则横、纵坐标分别互为相反数，简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”.典例引领1.(2021湖北荆州市中考真题)若点P(a+l,2-2 a)关干X轴
20、的对称点在第四象限，则。的取值范围在数轴上表示为()A.W/加 小.B.V 勿 /；-1 0 1-1 0 1_c.-1 0 17 7 7 7 7 7 7 i Y r-1 0 1【答案】c【分析】先根据题意求出点P关于X轴的对称点P 坐标，根据点p，在第四象限列方程组，求解即可.【详解】05+1,2 2 a）点 p 关于x轴的对称点P 坐标为。（a +1,2 a-2）a +1 0P在第四象限c c 解得：一 l al 故选：C2 a 2 0,即可得出点P 所在的象限，再根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出结论.【详解】解：1+0,I点 P（-3,1+1）在第二象限，点P（-3,
21、加+1）关于原点对称点在第四象限.故选D.【点睛】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特征，明确关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数是解答的关键.考向4坐标系中的平移 旋转与对称图形的旋转性质：对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度和方向决定.图形的平移性质：平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动：连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等.典例引领1.（2021湖南湘潭中考真题）在平面直角坐标系中，把点A（-2,l）向右平移5 个单位得到点A,则 点 的坐标为
22、.【答案】（3,1）【分析】把点A（-2,l）向右平移5 个单位，纵坐标不变，横坐标增加5,据此解题.【详解】把点A（-2,l）向右平移5 个单位得到点A,则点4 的坐标为A（-2+5,l）,即4（3,1）,答案：（3,1）.【点睛】本题考查平面直角坐标系与点的坐标，涉及平移等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.2.(2021江苏南通田家炳中学二模)已知点4L-2),点O 为坐标原点，连接OA,将线段O A 按顺时针方向旋转9 0。，得到线段。4,则点A的坐标是()A.(-1,-2)B.(1,2)C.(2,1)D.(-2,-1)【答案】D【分析】根据旋转的概念结合点A的坐标为(
23、1,-2),画出图形，利用全等三角形的知识，即可得到点A的坐标.【详解】解：如图，过 A D y 轴 于 D,过 A作 A E x 轴 于 E,L A|O E+D A|O D=9 0,D A O D+A i O D=9 0,匚 A|O E=I AO D.X JUAIEO=LADO,OAI=OA,OUAIEO D AD O,A,E=AD=1,O E=O D=2,D Ai(-2,-1),故 选:D.【点睛】本题主要考查了图形的旋转，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解.3.(2021广西南宁十四中三模)如图，在平面直角坐标系
24、中，已知AA8 c 的三个顶点坐标分别是4(2,2)、8(4,0)、C(4,Y).(1)请画出AABC绕点A 顺时针旋转9 0。得到的 破 G；(2)若点O在线段用6上，且直线A 力将 A8 1 G 分成面积相等的两部分，请画出线段A D,并写出。的坐标.【答案】（I）见解析；（2）画图见解析，0（-2,0）【分析】（1）根据题意将AABC绕点A 顺时针旋转9 0。,即将AB,A C绕点A 顺时针旋转9 0。，得至l j 网，连接qG即可，则与G即为所求；（2）根据三角形中线的性质，找到 4 B 1 G，B C i 的中点，连 接 即可，根据坐标系写出。点的坐标即可.【详解】（1）如图，将AA
25、BC绕点A 顺时针旋转9 0。，即将旬,A C绕点A 顺时针旋转9 0。，得到A 综 AQ,连接BG即 可,则 破 G即为所求;（2）如图，根据三角形中线的性质，找到 AB ,8c的中点，连接A O,则 （-2,0）【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键.变式拓展S _1.（2 0 2 1 四川绵阳中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABI/DC,AC BC,C D =A D =5,A C =6,将四边形AB C。向左平移，”个单位后，点8 恰好和原点。重合，则机的值是（）y4A.1 1.4 B.1 1.6 C.1 2.4 D.1 2.6【答
26、案】A【分析】由题意可得，皿的 值 就 是 线 段 的 长 度，过点。作。E，A C,过点C作C F J _ O B,根据勾股定理求得DE的长度，再根据三角形相似求得5F,矩形的性质得到。尸，即可求解.【详解】解：由题意可得，加的值就是线段08的长度，过点。作 Q E _ L A C,过点C作CFLOB,如下图：C D =A D =5,D E VA C C E =：A C =3,ZD C=9 0。由勾股定理得 DEZCU-CE。=4AB/D C N D C E =N B A C,N O D C =/B O D =90又 AC BC Z A C B =N C E D =90 /D E C/BCA
27、D EBCCEACCD 4 3 5 即解得8 c=8，i 4 B =1 0AD v o ADRF O DpC F L O B Z A C B =Z B F C =90 B C F B A C ,即右=/3 ,N 2=6+t a n 6(T=6+G =2 6 PN=6-2 ,2尸%=2+6-2 6=8-2 有，OE=OF+E F=OF+MN=2+4 y/3.M（8-2 6，2+4指）；H当点M为直角顶点时，则M P=Q M,PMQ=90,过点A f作M N D y轴，交P Q于点、N,过点作M E x轴，延长。P交y轴于点F,则四边形F N M E是平行四边形，过点M作M G P Q,则M G=
28、；P Q=3,由口可知：口的0=。=6 0。，加%=4/6+$皿6 0。=3+立=2百，7 V G=3-t a n 6 0=3-/3 =/3 .2PN=3-也,F N=2+3-4 3=5-y/3,OE=OF+E F=OF+MN=2+2 y/3,M（5-4 3,2+2月）；综上所述：点M的坐标为（5-，2+2省）或（8-2 6,2+4后）.【点睛】本题主要考查图形与坐标，锐角三角函数，以及等腰直角三角形的性质，根据题意画出图形，理解斜坐标系的定义，是解题的关键.考向6坐标系中的动点问题与最值问题1 .动点问题多数情况下会与分类讨论的数学思想及方程、函数思想结合起来进行.2 .把动点产生的线段长用
29、时间变量f表示出来以后，动点问题就“静态化”处理了.典例引领1.（2021辽宁和平二模）如图，若点4 1,2）,点仇-2,-1）,在x轴上找一点P,使|P A-P 8|最小,则点尸坐 标 为（）【答案】CC.(0,0)D.(1,0)【分析】要使陷-尸用最小让以=尸8即可，根据两点间的距离公式，列出方程，即可求解.【详解】解：根据题意要使|刃一尸与最小，则玄=尸8即可，设 尸（4 0）,(1-X)2+(2-O)2=(-2-X)2+(-1-O)2,解得：x=0,P(0,0)故选：C.【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，根 据 题 意 确 定 时 尸 点 符 合 题 意 是 解 题 的 关 键.2
30、.（2021江苏二模）如图，在 RrzMOC中，点0（0,0）,C（1,0）,点A在 轴正半轴上，且UOAC=30。，以AC为一边作等腰直角A C P,使得点P在第一象限.（1）求出所有符合题意的点P 的坐标；（2）在AOC内部存在一点Q,使得AQ、OQ.CQ之和最小，请求出这个和的最小值.【答案】”(省,6 +1),r(6 +l,l),P3G +1 6 +1、2 2；（2）这个和的最小值4 0 =77.【分析】（1）根据C（l,0）,得到OC=1,解直角三角形得到A C=2,O A=3,如图1,当 AC=AP,CAP=90,过 Pi 作 PiBDy 轴于 B,当 AC=CP,OACP=90,
31、过 P2 作 PoDOx 轴于 D,当 CP=AP,APC=90,过P3作 P3E”轴于E,解直角三角形即可得到结论；（2）任取UAOC内一点Q,连接AQ、BQ、C Q,将!ACQ绕点C 顺时针旋转60。得到 ACQ，于是得到当A Q OQ,QQ这三条线段在同一直线时最短，即 AQ+OQ+CQ的最小值=O A 1过 A作 A，B x 轴 于 B,解直角三角形即可得到结论.【详解】（1）如 图 1,AB=OC=1,B P1=A O=6 OB=1+G P l（6 l+6）；当 AC=CP,ACP=90,过 P2 作 P2D x 轴于 D,同理可得：CD=0A=x/3,P2D=1,P2（1 +73,
32、1）;匚当 CP=AP,L APC=90,过 P3 作 P3E：x 轴于 E,则 P3 是 AP2 的中点，OE=；OD=上 叵，P3E=；（OA+P2D）=!1,P 3（1Y I,1且）；22*2 3 2 2 21.（2021山东东营中考模拟）在平面直角坐标系内有两点A 1 B,其坐标为人口口1口口1口 口 8 口 2口 7）,点 M为 x 轴上的一个动点，若要使MBHMA的值最大，则点M 的 坐 标 为 I3【答案】-02分析：要使得MB-MA的值最大，只需取其中一点关于x 轴的对称点，与另一点连成直线，然后求该直线x轴交点即为所求.【解析】取点B 关于x 轴的对称点B，则直线AB，交 x
33、 轴于点M.点 M 即为所求.设直线AB，解析式为：y=kx+b把点A d H-lD B 1 2 口-7）代入3 3 3当 y=0时，x=M 坐 标 为（0故答案为：（02 2 2 2,一 .直线 AB为：y=-2x-3b=-3点睛：本题考查轴对称-最短路线问题、坐标与图象变换，解答本题的关键是明确题意，利用三角形两边之综上所述，P（6，i+G）,（1+6,1）,（上 史，土 叵）；2 2（2）如图2,任取lA O C 内一点Q,连接AQ、OQ、C Q,将1ACQ绕点C 顺时针旋转60。得到口人。/,A，C=AC=2,CQ=CQ AQ=AQ,UACA，=QCQ，=60。，匚 QCQ，是等边三角
34、形，CQ=QQ AQ+OQ+CQ=A,Q+OQ+QQ,当A Q,OQ,QQ这三条线段在同一直线时最短，即 AQ+OQ+CQ的最小值=OA1ACO=UACA=60,A,CB=60,过 A作 A B x 轴于 B,BC=yA,C=l,A B=6，OB=2,AO =y/OB2+AB2=77-AQ、OQ、CQ 之和的最小值是有.【点睛】本题考查了轴对称-最短距离问题，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键.变式拓展差小于第三边和一次函数的性质解答.2.(2020湖北孝感市中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,5),3(3,1)和 C(4,0)
35、,请按下列要求画图并填空.(1)平移线段A B，使点A 平移到点C，画出平移后所得的线段C。，并写出点。的坐标为；(2)将线段A 3 绕点A 逆时针旋转9 0 ,画出旋转后所得的线段A E，并直接写出cos N B C E的值为；(3)在)轴上找出点尸，使AABF的周长最小,并直接写出点F的坐标为.【答案】(1)(2,-4)(2)交 (3)(0,4)5【分析】(1)平移线段A B,使 A 点平移到C 点，可以知道A 点是向右平移5 个单位，向下平移5个单位，故可以确定D 点坐标.(2)根据B、C、E 三点坐标，连接B E,可以判断出4BCE为直角三角形，故可求解cosN5CE的 值.(3)过
36、A点做y 轴的对称点A,连接A B,与 y 轴的交点即为F 点.此时AABF的周长最小，通过求解函数解析式确认点F 的坐标.【详解】解：(1)如图所示：平移线段A B,使 A 点平移到C 点，可以知道A 点是向右平移5 个单位，再向卜平移5 个单位，根据题意可知，B点(-3,1)平移到D点，故可以确定点D的坐标.点D的坐标为(2,-4)；(2)如图所示：根据题意，AE是线段A B 围绕点A 逆时针旋转90。得到，故 AB=AE,不难算出点E 的坐标为(3,3).连接 B E,根据 B、C、E 三点坐标算出 B C=5 0、n=晒、B E=2 jlU，B E2+E C2=B C2,可以判断出AB
37、EC为直角三.角形.故C0S/8CEE C(3)如图所示：过 A 点做y 轴的对称点A、连接A，B,与y 轴的交点即为F点.故 可 知 A，的坐标为(1,5),点B 的坐标为(-3,1),设 A，B 的函数解析式为尸kx+b,将(1,5),(-3,1)代入函数解析中解得k=l,b=4,则函数解析式为y=x+4,则 F 点坐标为(0,4),故点F 的坐标为(0.4).【点睛】（1）本题主要考查平移，洞察点A是如何平移到点C,是求出D点坐标的关键.（2）连接BE,根据 B、C、E三点坐标判断出A B C E 是直角三角形，就不难算出c o s/B C E 的 值.（3）本题通过做A点的对称点A，连
38、接A，B,找到A，B与 y 轴的交点F是解答本题的关键.考向7点的坐标规律探索这类问题通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律.解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决.典例引领1.（2021湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，动点尸从原点O出发，水平向左平移1 个单位长度，再竖直向下平移1 个单位长度得到点（-1,-1）;接着水平向右平移2 个单位长度，再竖直向上平移2 个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点8 ；接着水平向右平移4
39、个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，按此作法进行下去，则点8021的坐标为【答案】(一 1011,(分析先根据点坐标的平移变换规律求出点鸟,A,E 的坐标，再归纳类推出一般规律即可得.【详解】解：由题意得：?(-1+2,-1+2),即4(1,1),鸟(1 3,1-3),即8(-2,-2),巴(-2+4,-2+4),即4(2,2),4(2-5,2-5),即(-3,-3),观察可知，点4的坐标为(T，-D,其中1=2x1 1，点6的坐标为(-2,-2),其中3 =2 x 2 T,点A的坐标为(-3,-3),其中5 =2x3 1,归纳类推得：点外,1的坐标为(一 ，-)，其中为正整数，.2
40、021=2x1011 1,.点 的 坐 标 为(T 01L T 011)，故答案为：(-1011,-1011).【点睛】本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键.2.(2021浙江金东一模)如图，动点P从(0,3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形O/18C的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点尸第2021次碰到矩形的边时，点P的 坐 标 为.【答案】(1,4)【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2021除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.【详解】解：如图,0 I 1 23 4-5 6 7
41、 8 X经过6 次反弹后动点回到出发点（0,3）,反射角等于入射角，等于4 5。，P从（0,3）出发，口第一次反弹的碰触点为（3,0）,第二次反弹的碰触点为（7,4）,第三次反弹的碰触点为（8,3）,第四次反弹的碰触点为（5,0）,第五次反弹的碰触点为（1,4）,第六次反弹的碰触点为（0,3）,依次循环，2021-6=3 3 6.5,1当点P第 2021次碰到矩形的边时为第3 3 6个循环组的第5 次反弹，点尸的坐标为（1,4）.故答案为：（1,4）.【点睛】本题考查了坐标系坐标的规律问题，正确作出反弹的规律图是解题的关键.3.（2021江苏中考模拟）如图，将一等边三角形的三条边各8 等分，按
42、顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8 的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形 坐标系.在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点/的坐标可表示为（1,2,5）,点 8 的坐标可表示为（4,1,3）,按此方法，则点C的 坐 标 可 表 示 为.ftA/A/VW Aa8 7 6 5 4 3 2 1 0 )中的X,y 满足函数解析式.2 .满足函数解析式的任意一对(x,y)的值，所对应的点一定在函数的图象上.3.利用函数困象可以求
43、方程的解、不等式的解集、方程组的解，还可以预测变量的变化趋势.典例引领1.(2 02 1湖北黄石市 中考真题)函数y =J q +(x-2 y 的自变量x的取值范围是()V X +1A.x -l【答案】CB.x 2C.x -l 且无工2 D.x w-l 且 x w 2【分析】根据被开方数大于等于0,分母不为0 以及零次基的底数不为0,列式计算即可得解.【详解】解：函数y =7 3+（1 25 的自变量X的取值范围是：x+l0 且 X-2H0，解得：x -l 且X H2,故选：C.【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数
44、表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.2.（2021黑龙江牡丹江中考真题）春耕期间，市农资公司连续8 天调进一批化肥，并在开始调进化肥的第七天开始销售.若进货期间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个公司的化肥存量s （单位：吨）与时间，（单位：天）之间的函数关系如图所示，则该公司这次化肥销售活动（从【分析】通过分析题意和图象可求调入化肥的速度，销售化肥的速度；从而可计算最后销售化肥2 0 吨所花的时间.【详解】解：调入化肥的速度是3g6=5 （吨/天）,当在第6天时，库存物资应该有3 0 吨，在第8天时库存2 0 吨，销
45、售化肥的速度是3-2；+5X2=0（吨/天），剩余的2 0 吨完全调出需要2 0+1 0=2 （天），故该门市部这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是8+2=1 0 （天）.故答案为：1 0.【点睛】此题主要考查了从函数图象获取信息.解题的关键是注意调入化肥需8天，但 6天后调入化肥和销售化肥同时进行.3.（2021辽宁阜新中考真题）育红学校七年级学生步行到郊外旅行.七（1）班出发1 人后，七（2）班才出发，同 时 七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s （h ）2与 七（2）班行进时间，（）的函数关系图象如图所示.若已知联络员用了 h 第
46、一次返回到自己班级，则七（2）班需要 才能追上七（1）班.S/km26 TT【答案】2【分析】分析题目可知，当 七（2）班出发时，七（1）班出发1 小时，已经走了 4 碗，即 七（1）班的速度为4 版/,图中（20）表示联络员追上七（1）班，用 时 可 以 算 出 联 络 员 与 七（1）班的速度差8 bn/,那2 /2 1么联络员的速度为1 2 版/2，联络员用了 第一次返回到自己班级七（2）班，即联络员用走的路程等于2 1七（2）班 走 的 路 程 与 联 络 员 走 的 路 程 之 和，据此列出方程，求 出 七（2）班的速度，即可计算出追3 6上 七（1）班所需时间.【详解】解：由题意得
47、：七（1）班的速度为：4+1 =4 痴/?,联络员与七（1）班的速度差为：4+g =8 h /7,2即联络员的速度为：8 +4 =1 2 切必，当 七（2）班 出 发 时，联 络 员 用1 走 的 路 程 等 于 七（2）班2:九走的路程与联络员（：2 -：1）走的路程之和，1?2 I设 七（2）班 的 速 度 为 列 出 方 程：5 x l 2 =x 4 +（-/）即,解得：v =6,即 七（2）班的速度为6 加，则 七（2）班追上七（1）班需要的时间为：4 +（6-4）=2 力,故填：2.【点睛】本题考查从函数图像获取信息，解题关键是由图像给出的信息，结合实际问题，求出两个班级的速度.变式
48、拓展x2,0 x【答案】2【分析】根据y值可确定x的取值范围，根据x的取值范围结合函数关系式列方程求出x的值即可得答案.x2,0 x 1【详解】031时，0 =Q y=2 时，x L n 2 x-2=2,解得：x=2,故答案为：2【点睛】本题考查函数值，根据y值结合各函数关系式得出对应的x的取值范围是解题关键.2.（2021浙江嘉兴中考真题）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前 3 0 米称为“加速期”，3 0 米 8 0米为“中途期”（m/s）与路程x（m）之间的观测数据（1）丫是关于X 的函数吗？为什么？（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训
49、练建议.【答案】（1）N是x的函数，理由见解析；（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4 m/s；（3）答案不唯一.例如：根据图象信息，小斌在8 0 米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩.【分析】（1）根据函数的概念进行解答；（2）通过识图读取相关信息；（3）根据图像信息进行解答.【详解】（1）y是*的函数.在这个变化过程中，对于的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应.（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4 m/s.（3）答案不唯一.例如：据图象信息，小斌在8 0 米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩.【点睛】本题考查通过函数图像读取信息，理解函数的概念
50、，准确识图是解题关键.3.（2021江苏宿迁市 中考真题）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s（4/n）与慢车行驶的时间/（用之间的关系如图：（1）快车的速度为 k m/h,C点的坐标为.（2）慢车出发多少小时候，两车相距20 0 的?.【答案】（1）10 0,（8,4 8 0）：（2）1.75 6 和 4.8 75/?.【分析】（1）由图像可知，甲乙两地的距离为4 8 0 1m,0-3 小时快车和慢车一起行驶了 3小时，3-4 小时