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1、考 点 1 1 二 次 函 数 命 题 趋 势 二 次 函 数 是 非 常 重 要 的 函 数，年 年 都 会 考 查，总 分 值 为 1820分，预 计 2022年 各 地 中 考 还 会 考，它 经 常 以 一 个 压 轴 题 独 立 出 现，有 的 地 区 也 会 考 察 二 次 函 数 的 应 用 题，小 题 的 考 察 主 要 是 二 次 函 数 的 图 象 和 性 质 及 或 与 几 何 图 形 结 合 来 考 查。知 识 梳 理 1、二 次 函 数 的 概 念：一 般 地，形 如 广 以 2+法+。，h,C是 常 数，存 0)的 函 数，叫 做 二 次 函 数.2、二 次 函 数
2、 解 析 式 的 三 种 形 式(1)一 般 式：y=axz-bx+c(，b,c 为 常 数，。和).(2)顶 点 式：y-a(x-/z)?+k(m h,A为 常 数，存 0),顶 点 坐 标 是(，k).(3)交 点 式：y=a(x-xi)(x-X2),其 中 x i,也 是 二 次 函 数 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标，存 0.3、二 次 函 数 的 图 象 及 性 质 解 析 式 二 次 函 数 y=or2+x+c(a,b,c 是 常 数，存 0)对 称 轴 bx=-2a顶 点 h 4ac-b2(.-,-)2a 4aa 的 符 号 0 a0图 象 V,Iy y、/f F开 口
3、方 向 开 口 向 上 开 口 向 下 最 值*b 4ac-b2当 l 时，y 股 小 值 一 2a 4a*b Aac-b2当 第-时，y 最 大 值 一 2a 4a最 点 抛 物 线 有 最 低 点 抛 物 线 有 最 高 点 增 减 性 当 X _ 2 时，y 随 x 的 增 大 而 减 小；2a当 时，y 随 X 的 增 大 而 增 大 2ab当 工-2 时，y 随 x 的 增 大 而 减 小 2a向 上 代 0)【或 下 依 0)】平 移 个 单 位 寺 向 上 Q0)或 下 依 0)】平 移 I4个 单 位 向 右(力 0)或 左 色 0)平 移 囿 个 单 位 wy=a(x-h)2
4、4、抛 物 线 的 平 移 二 次 函 数 平 移 遵 循“上 加 下 减，左 加 右 减”的 原 则，据 此，可 以 直 接 由 解 析 式 中 常 数 的 加 或 减 求 出 变 化 后 的 解 析 式；二 次 函 数 图 象 的 平 移 可 看 作 顶 点 间 的 平 移，可 根 据 顶 点 之 间 的 平 移 求 出 变 化 后 的 解 析 式.y=ax2+k向 右 仇 0)或 左(0)平 移 I 川 个 单 位 uy=a(x-h)2+k5、二 次 函 数 与 一 元 二 次 方 程 的 关 系 1)二 次 函 数 y=o+bx+c(a#),当 产 0 时，就 变 成 了 一 元 二
5、次 方 程 ar2+6x+c=0(4#0).2)ax2+hx+c=0(加)的 解 是 抛 物 线 y=x2+/x+c(存 0)的 图 象 与 x轴 交 点 的 横 坐 标.3)(1)房-4农 00 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根，抛 物 线 与 x 轴 有 两 个 交 点；(2)加 口 收=0=方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根，抛 物 线 与 x 轴 有 且 只 有 一 个 交 点；(3)抉 方 程 没 有 实 数 根，抛 物 线 与 x 轴 没 有 交 点.6、二 次 函 数 的 综 合 1)函 数 存 在 性 问 题 解 决 二 次 函 数 存 在 点 问 题，一
6、 般 先 假 设 该 点 存 在，根 据 该 点 所 在 的 直 线 或 抛 物 线 的 表 达 式，设 出 该 点 的 坐 标；后 用 该 点 的 坐 标 表 示 出 与 该 点 有 关 的 线 段 长 或 其 他 点 的 坐 标 等；最 后 结 合 题 干 中 其 他 条 件 列 出 等 式，求 出 该 点 的 坐 标，然 后 判 别 该 点 坐 标 是 否 符 合 题 意，若 符 合 题 意，则 该 点 存 在，否 则 该 点 不 存 在.2)函 数 动 点 问 题(1)函 数 压 轴 题 主 要 分 为 两 大 类：一 是 动 点 函 数 图 象 问 题；二 是 与 动 点、存 在 点
7、、相 似 等 有 关 的 二 次 函 数 综 合 题.(2)解 答 动 点 函 数 图 象 问 题，要 把 问 题 拆 分，分 清 动 点 在 不 同 位 置 运 动 或 不 同 时 间 段 运 动 时 对 应 的 函 数 表 达 式，进 而 确 定 函 数 图 象；解 答 二 次 函 数 综 合 题，要 把 大 题 拆 分，做 到 大 题 小 做，逐 步 分 析 求 解，最 后 汇 总 成 最 终 答 案.(3)解 决 二 次 函 数 动 点 问 题，首 先 要 明 确 动 点 在 哪 条 直 线 或 抛 物 线 上 运 动，运 动 速 度 是 多 少，结 合 直 线 或 抛 物 线 的 表
8、 达 式 设 出 动 点 的 坐 标 或 表 示 出 与 动 点 有 关 的 线 段 长 度，最 后 结 合 题 干 中 与 动 点 有 关 的 条 件 进 行 计 算.i.-1 1 M重 点 考 向 I考 向 1 二 次 函 数 的 有 关 概 念 1.二 次 函 数 的 一 般 形 式 的 结 构 特 征：函 数 的 关 系 式 是 整 式；自 变 量 的 最 高 次 数 是 2；二 次 项 系 数 不 等 于 零.2.一 般 式，顶 点 式，交 点 式 是 二 次 函 数 常 见 的 表 达 式，它 们 之 间 可 以 互 相 转 化.3.二 次 函 数 的 图 象 是 一 条 关 于
9、某 条 直 线 对 称 的 曲 线，叫 做 抛 物 线，该 直 线 叫 做 抛 物 线 的 对 称 轴，对 称 轴 与 抛 物 线 的 交 点 叫 做 抛 物 线 的 顶 点.典 例 引 领 1.（2021甘 肃 兰 州 中 考 真 题）二 次 函 数 y=x?+2x+2的 图 象 的 对 称 轴 是（）A.x=1 B.x=2 C.x=D.x=2【答 案】A【分 析】将 二 次 函 数 y=x?+2x+2写 成 顶 点 式，进 而 可 得 对 称 轴.【详 解】解：,ry=x2+2x+2=（x+l）2+l.二 次 函 数 y=/+2x+2的 图 象 的 对 称 轴 是 x=-l.故 选 A.【
10、点 睛】本 题 考 查 了 二 次 函 数 的 性 质，将 一 般 式 转 化 为 顶 点 式 是 解 题 的 关 键.2.（2021浙 江 中 考 真 题）如 图，已 知 经 过 原 点 的 抛 物 线 y=2/+相 x 与 x 轴 交 于 另 一 点 4 2,0）.（1）求 用 的 值 和 抛 物 线 顶 点”的 坐 标；（2）求 直 线 A M 的 解 析 式.【答 案】（1）m=-4,例（1,-2）；（2）y=2 x-4【分 析】（1）将 4 2,0）代 入 抛 物 线 的 解 析 式，可 求 得，的 值，再 配 成 顶 点 式 即 可 求 解;（2）利 用 待 定 系 数 法 即 可
11、 求 得 直 线 A M的 解 析 式.【详 解】解（1）.抛 物 线 丁=2/+,研 过 点 4 2,0）,/.2 x 22 4-2m=0 解 得 利=-4,y=2x2 4x,=2(x l)2-2,.顶 点 历 的 坐 标 是(1,-2)；（2）设 直 线 AM的 解 析 式 为 丁=丘+人 仅。0）,2 k+8=0,图 象 过 A(2,0),何(1,2),.，k+b=-2k=2解 得。=一 4.直 线,的 解 析 式 为 y=2 x 4.【点 睛】本 题 考 查 了 待 定 系 数 法 求 函 数 解 析 式，二 次 函 数 的 图 象 和 性 质，解 题 的 关 键 是 灵 活 运 用
12、所 学 知 识 解 决 问 题.变 式 拓 展 1.（2020江 苏 无 锡 中 考 真 题）请 写 出 一 个 函 数 表 达 式，使 其 图 象 的 对 称 轴 为 y 轴：【答 案】y=f（答 案 不 唯-）【分 析】根 据 二 次 函 数 的 图 象 和 性 质，对 称 轴 为 y 轴，即 b=o,写 出 满 足 条 件 的 函 数 解 析 式 即 可.【解 析】解：设 函 数 的 表 达 式 为 y=ax?+bx+c,h.图 象 的 对 称 轴 为 y轴，对 称 轴 为 x=0,.-.b=0,2a,满 足 条 件 的 函 数 可 以 是：y=F.（答 案 不 唯-）故 答 案 是：y
13、=x?（答 案 不 唯-）【点 睛】本 题 考 查 二 次 函 数 的 图 象 和 性 质，熟 练 掌 握 二 次 函 数 的 图 象 和 性 质 是 解 题 的 关 键.2.（2021安 徽 碓 北 市 中 考 模 拟）若、=（+根）/“_ x+3是 关 于 x 的 二 次 函 数，则 相=【答 案】1【分 析】根 据 二 次 函 数 的 定 义 列 出 方 程，解 方 程 后 综 合 考 虑 取 值 即 可.【详 解】解：；y=（病+/%x+3是 关 于 x 的 二 次 函 数，7 八 m+m w 0+1=2,解 得:m H 0,m*-1m=+机=1.故 答 案 为：L【点 睛】此 题 考
14、 查 了 二 次 函 数 定 义，解 题 的 关 键 是 熟 练 掌 握 二 次 函 数 定 义.二 次 函 数 定 义：般 地，把 形 如 y=or2+/u+c（、c 是 常 数，且 aw O）的 函 数 叫 做 二 次 函 数，其 中 a 称 为 二 次 项 系 数，b 为 一 次 项 系 数，c 为 常 数 项.x 为 自 变 量，y 为 因 变 量.考 向 2 二 次 函 数 的 图 象 二 次 函 数 的 图 象 是 一 条 关 于 某 条 直 线 对 称 的 曲 线，叫 做 抛 物 线，该 直 线 叫 做 抛 物 线 的 对 称 轴，对 称 轴 与 抛物 线 的 交 点 叫 做 抛
15、 物 线 的 顶 点.典 例 引 领 1.（2021湖 北 襄 阳 市 中 考 真 题）一 次 函 数 y=or+b 的 图 象 如 图 所 示，则 二 次 函 数 y=的 图 象 可 能 是（）【答 案】D【分 析】根 据 一 次 函 数 图 像 经 过 的 象 限 以 及 与 坐 标 轴 的 交 点 可 知：a 0,由 此 可 知 二 次 函 数 开 口 方 向，坐 标 轴 情 况，依 此 判 断 即 可.【详 解】解：观 察 一 次 函 数 图 像 可 知 a 0,故 选：D.2a【点 睛】本 题 主 要 考 查 一 次 函 数 的 图 像 以 及 二 次 函 数 的 图 像，根 据 一
16、 次 函 数 图 像 经 过 的 象 限 以 及 与 坐 标 轴 的 交 点 情 况 判 断 a、h 的 正 负 是 解 题 的 关 键.2.（2021江 西 中 考 真 题）在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中，二 次 函 数 y=ax2与 一 次 函 数 了=反+。的 图 象 如 图 所 示，则 二 次 函 数 y=a f+b x+c 的 图 象 可 能 是（）【答 案】D【分 析】根 据 二 次 函 数 卜=3 2 与 一 次 函 数 y=bx+C 的 图 象 可 知。（）,h0,C 0,.次 函 数 y=A+c 的 图 象 经 过 一、三、四 象 限，.力 0,c 0,开 口 向
17、 上，排 除 4、8 选 项；h,/aQ,Z?0,，对 称 轴 x=0，bQ,c 0 是 解 题 的 关 键.变 式 拓 展 1.（2021山 东 聊 城 市 中 考 真 题）已 知 二 次 函 数 y=o2+6x+c的 图 象 如 图 所 示，则 一 次 函 数 y=bx+c的 图 象 和 反 比 例 函 数 的 图 象 在 同 一 坐 标 系 中 大 致 为（）X【答 案】D【分 析】先 通 过 二 次 函 数 的 图 像 确 定 a、b、c的 正 负，再 利 用 户 1代 入 解 析 式，得 到 a+b+c的 正 负 即 可 判 定 两 个 函 数 的 图 像 所 在 的 象 限，即 可
18、 得 出 正 确 选 项.【详 解】解：由 图 像 可 知：图 像 开 口 向 下，对 称 轴 位 于 y轴 左 侧，与 y轴 正 半 轴 交 于 一 点，可 得：aO,b（O,c O,又 由 于 当 x=l 时，y-a+h+c=3，C D=4.点 P 沿 折 线。一 4 一。以 每 秒 1个 单 位 长 度 的 速 度 运 动（运 动 到。点 停 止），过 点 尸 作 于 点 E,则 CPE的 面 积 y 与 点 尸 运 动 的 路 程 x 间 的 函 数 图 象 大 致 是（）【分 析】先 根 据 矩 形 的 性 质、勾 股 定 理 可 得 A C=5,再 分 0 x 5 和 5 x K
19、8 两 种 情 况，解 直 角 三 角 形 分 别 求 出 的 长，利 用 直 角 三 角 形 的 面 积 公 式 可 得 丁 与 x 间 的 函 数 关 系 式，由 此 即 可 得 出 答 案.【详 解】解：.四 边 形 是 矩 形，A D=3,8=4,.AB=4,BC=3,AC=A D2+C D2=5,ZB=9O-：.A C+A D S.由 题 意，分 以 下 两 种 情 况：（1）当 点 P 在 C 4 上，即 0 W x W 5 时，AD A B C 3在 m AABC 中，sinZACB=,cosZACB=.在 心 CPE 中，C P=x，P E 1 B C，A C 5 A C 5:
20、.CE=C P cos Z P C E=3x,PE=CP-sin Z P C E-x,y-C E-P E x2.5 5-2 25（2）如 图，当 点 2 在 4。匕 即 5 x W 8 时,四 边 形 A 5 C 0 是 矩 形，P E A.B C,四 边 形。尸。是 矩 形，P E=C D=4,CE=D P=A C+A D-(A C+A P)=8 x,:.y=C E PE=-2x+16,综 上，y 与 X 间 的 函 数 关 系 式 为 y=6 2 X2(0 X 5)25-2x+16(5 x8)观 察 四 个 选 项 可 知，只 有 选 项 D 的 图 象 符 合，故 选：D.【点 睛】本
21、题 考 查 了 矩 形 的 判 定 与 性 质、解 直 角 三 角 形、二 次 函 数 与 一 次 函 数 的 图 象，正 确 分 两 种 情 况 讨 论 是 解 题 关 键.考 向 3 二 次 函 数 的 图 象 与 字 母 系 数 的 关 系 典 例 引 领 1.(2021山 东 日 照 中 考 真 题)抛 物 线 y=2+bx+c(a*0)的 对 称 轴 是 直 线 x=-l,其 图 象 如 图 所 示.下 列 结 论:而 C();(4“+/居+1时,%；抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为(-1,?)，则 关 于 X 的 方 程 依 2+法+。=,”-1无 实 数 根.其 中 正 确 结
22、 论 的 个 数 是()【答 案】BD.1【分 析】由 图 象 开 口 方 向，对 称 轴 位 置，与 y 轴 交 点 位 置 判 断。，b,c 符 号.把 X=2分 别 代 入 函 数 解 析 式，结 合 图 象 可 得(4a+c)J(24 的 结 果 符 号 为 负.由 抛 物 线 开 口 向 上，距 离 对 称 轴 距 离 越 远 的 点 y 值 越 大.由 抛 物 线 顶 点 纵 坐 标 为 机 可 得 如 2+公+.机，从 而 进 行 判 断 以 2+m+,=m-1无 实 数 根.【详 解】解：,抛 物 线 图 象 开 口 向 上，.1a。，,对 称 轴 在 直 线 y 轴 左 侧，
23、“，匕 同 号，b0,抛 物 线 与 y 轴 交 点 在 x 轴 下 方，.故 正 确.(4a+c)2-(26)2=(4a+c+2b)(4a+c-2Z),当 X=2时 渥+加 r+c=4a+c+劝，由 图 象 可 得 4+c+如 0,当 X=2时，ac+hx+c=4a+c-2h 由 图 象 可 得 4a+c-2b0,.(4+c)2-(2ft)2|+I I,点 区，乂)到 对 称 轴 的 距 离 大 于 点(9,必)到 对 称 轴 的 距 离，%必 I，故 错 误.,抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为(-1,加，+瓜+C.S,.+bx+c=*l 无 实 数 根.故 正 确，综 上 所 述，正 确
24、，故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 二 次 函 数 的 图 象 的 性 质，解 题 关 键 是 熟 练 掌 握 二 次 函 数 y=ax2+bx+c(axo)中“，b,c与 函 数 图 象 的 关 系.2.(2021四 川 遂 宁 市 中 考 真 题)已 知 二 次 函 数=G 2+法+。(。/0)的 图 象 如 图 所 示，有 下 列 5 个 结 论：a b c 0；。2 4 a c；2 c m(am+b)(机。1)；若 方 程 辰？+陵+4=i 有 四 个 根，则 这 四 个 根 的 和 为 2,其 中 正 确 的 结 论 有()【答 案】A【分 析】根 据 抛 物 线 的 开 口 向
25、 下，对 称 轴 方 程 以 及 图 象 与 y 轴 的 交 点 得 到 a,b,c 的 取 值，于 是 可 对 进 行 h 1判 断;根 据 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 的 个 数 可 对 进 行 判 断;根 据 对 称 轴 可 得-一=1,则 a=-b，根 据 龙=12a 2可 得。一 力+。anr+b m+c，则 可 对 进 行 判 断；由 于 方 程 ax2+bx+(-1有 2 个 根，方 程 ax2+bx+c-1有 2个 根，则 利 用 根 与 系 数 的 关 系 可 对 进 行 判 断.【详 解】解：.抛 物 线 开 口 方 向 向 下，,。0/.b2 4ac，故 错 误；
26、抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 后 1,2=1,.。=一,2a 2由 图 象 得，当 尤=-1 时，y=a-b+c 0,：.-h-b+c 0：,2 c am2+b m+c A a+b m（am+b）（m w l）,:a+2b m（a m+b）（m w l）,故 正 确；丁 方 程 la+bx+cgl有 四 个 根，方 程 ax2+bx+c=l有 2 个 根，方 程 ax2+bx+c=-i有 2 个 根，1 G.所 有 根 之 和 为 2x（一 一）=2x-=4,所 以 错 误.正 确 的 结 论 是，故 选：Aa a【点 睛】本 题 考 查 了 二 次 函 数 图 象 与 系 数 的
27、关 系：对 于 二 次 函 数 产 以 2+加+C（存 0）,二 次 项 系 数。决 定 抛 物 线 的 开 口 方 向 和 大 小.当”0 时，抛 物 线 向 上 开 口；当 4 0）,对 称 轴 在 y 轴 左：当。与 异 号 时（即 ab0时，抛 物 线 与 x 轴 有 2 个 交 点；=/A4ac=0时，抛 物 线 与 x 轴 有 1个 交 点；=-4ac 0；4 a+2 h+c 0；y c,则 x W 2 或 x 2（）；b+c=m.其 中 正 确 的 有（）个.2【答 案】B【分 析】根 据 开 口 方 向、对 称 轴，判 断。、匕 的 符 号 及 数 量 关 系，根 据 抛 物
28、线 与），轴 的 交 点 判 断。的 符 号，根 据 图 象 与 X 轴 交 于（-3,0）和 对 称 轴 判 断 抛 物 线 与 x 轴 的 另 一 个 交 点，则 可 判 断 卡 2 时 y 的 正 负，取 x=l,4-1时，函 数 的 表 达 式，进 行 相 关 计 算 即 可 证 明 力+c=，机 的 正 确 性.2b【详 解】解：.抛 物 线 开 口 向 上，二 百，：对 称 轴 为 直 线 x=-1,.b=2o0，2a抛 物 线 与 y轴 的 交 点 在 负 半 轴，二 c 0，历 0 故 正 确；若 y N c,当 产 c时，户-2或 0,根 据 二 次 函 数 对 称 性，则
29、x W 2 或 x 2 0,故 正 确；当 x=-l 时，a-/?+c=，当 x=l 时，a+b+c-0+得：a+c=m,2,对 称 轴 为 直 线 x=-=-1 b 2o.a b,b+c in,故 错 误；2a 2 2 2综 上：正 确，故 选：B.【点 睛】本 题 主 要 考 查 二 次 函 数 图 像 的 性 质，根 据 开 口 方 向，对 称 轴，与 坐 标 轴 的 交 点 坐 标 等 判 断 所 给 式 子 的 正 确 性，解 题 关 键 是 熟 悉 函 数 图 像 与 解 析 式 的 对 应 关 系.2.（2021黑 龙 江 齐 齐 哈 尔 市 中 考 真 题）如 图，二 次 函
30、数 丁=内 2+版+4 4 工 0）图 象 的 一 部 分 与 x 轴 的 一 个 交 点 坐 标 为（1,0）,对 称 轴 为 x=-1,结 合 图 象 给 出 下 列 结 论：a+0+c=0；a-+c 0；关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 如 2+。龙+c=0（aw0）的 两 根 分 别 为-3和 1；若 点（4，X），（-2,必），（3,%）均 在 二 次 函 数 图 象 上，则/丫 2%；。一 人 相（。加+勿（机 为 任 意 实 数）.其 中 正 确 的 结 论 有（）A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答 案】C 分 析 根 据 二 次 函 数 的 图 像 及 性
31、质 逐 项 分 析 即 可 判 断.【详 解】解：.二 次 函 数 y=G?+力 x+c(a w O)图 象 的 一 部 分 与 x 轴 的 一 个 交 点 坐 标 为(1,0)，,当 4 1时，a+/?+c=0，故 结 论 正 确；根 据 函 数 图 像 可 知，当 x=-l,y Q,即 a 0+c 0,：.a-b+c-h 0,即 a+c 0,故 结 论 正 确；根 据 抛 物 线 与 x 轴 的 一 个 交 点 为(1,0),对 称 轴 为 x=l 可 知：抛 物 线 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 为(-3,0),关 于 x 的 一 元 二 次 方 程*2+笈+。=0 5 声 0)的
32、 两 根 分 别 为-3和 1,故 结 论 正 确；根 据 函 数 图 像 可 知：为 X=依 2+法+。上 的 部 分 点 的 横 坐 标 工 与 纵 坐 标 的 对 应 值 如 表：以 下 结 论 正 确 的 是()X-1 0 1 2 3y3 0-1 m 3A.抛 物 线 丁=0?+法+。的 开 口 向 下 B.当 x 0 时，X的 取 值 范 围 是 0 x 2【答 案】C【分 析】利 用 表 中 数 据 求 出 抛 物 线 的 解 析 式，根 据 解 析 式 依 次 进 行 判 断.【详 解】解：将(1,3),(0,0),(3,3)代 入 抛 物 线 的 解 析 式 得；a-b+c=3
33、 c=0,解 得：a-l,b-2,c-0,9a+3b+3=3所 以 抛 物 线 的 解 析 式 为：y=d-2x=x(x-2)=(x-l)2-1,A、：。，抛 物 线 开 口 向 上，故 选 项 错 误，不 符 合 题；B、抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=l,在 l x 0 时，x 的 取 值 范 围 是 x 2,故 选 项 错 误，不 符 合 题 意；故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 了 二 次 函 数 的 解 析 式 的 求 法 和 函 数 的 图 象 与 性 质，解 题 的 关 键 是：利 用 待 定 系 数 法 求 出 解 析 式，然 后 利 用 函 数 的 图 象 及
34、 性 质 解 答.2.(2021山 东 荷 泽 市 中 考 真 题)定 义：a,c 为 二 次 函 数 3；=办 2+以+。(a0)的 特 征 数，下 面 给 出 特 征 数 为 上,1一 根,2 向 的 二 次 函 数 的 一 些 结 论：当 m=1 时，函 数 图 象 的 对 称 轴 是 y 轴；当 m=2时，函 数 图 象 过 原 点；当 机 0 时，函 数 有 最 小 值；如 果 加,时，y 随 的 增 大 而 减 小，2其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答 案】.【分 析】利 用 二 次 函 数 的 性 质 根 据 特 征 数 卜 区 1-?,2-加,以 及 2的 取
35、 值，逐 一 代 入 函 数 关 系 式，然 判 断 后 即 可 确 定 正 确 的 答 案.【详 解】解：当 加=1 时，把 加=1 代 入/一 加,2-?,可 得 特 征 数 为 1,0：.a=,b=3 c=l,.函 数 解 析 式 为 y=+l,函 数 图 象 的 对 称 轴 是 y 轴，故 正 确；当 机=2 时，把 m=2 代 入 租,1一 见 2 一 向，可 得 特 征 数 为 2,-1,0 二 a=2,b=,c=0,.,.函 数 解 析 式 为 y=2/-x,当 X=0 时，y=0,函 数 图 象 过 原 点，故 正 确；函 数 y=AH?+(i-m)x+(2-机)当 机 0 时
36、，函 数 y=zd+(l-m)x+(2-/n)图 像 开 口 向 上，有 最 小 值，故 正 确;当 加=!?+（-机）x+（2-m）图 像 开 口 向 下，对 称 轴 为：x=-F=丝 二=1-2m 2m 2 2m 2时，X 可 能 在 函 数 对 称 轴 的 左 侧，也 可 能 在 对 称 轴 的 右 侧，故 不 能 判 断 其 增 减 性，故 错 误；2综 上 所 述，正 确 的 是，故 答 案 是：.【点 睛】本 题 考 查 了 二 次 函 数 的 图 像 与 性 质，二 次 函 数 的 对 称 轴 等 知 识 点，牢 记 二 次 函 数 的 基 本 性 质 是 解 题 的 关 键.3
37、.（2021北 京 中 考 真 题）在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，点（1,加）和 点（3,）在 抛 物 线 y=ax2+hxa（）上.（1）若 根=3,=15,求 该 抛 物 线 的 对 称 轴；（2）已 知 点（一 l,yj,（2,必）,（4,%）在 该 抛 物 线 上.若，而 3的 大 小，并 说 明 理 由.【答 案】（1）x=-l；（2）%,为，理 由 见 解 析【分 析】（1）由 题 意 易 得 点（1,3）和 点（3,15）,然 后 代 入 抛 物 线 解 析 式 进 行 求 解，最 后 根 据 对 称 轴 公 式 进 行 求 解 即 可；（2）由 题 意 可 分 当
38、机 0,0）得：。+=3 f（7=1.bL c,.=，解 得：,一，；.抛 物 线 解 析 式 为 丁=/+2%，.抛 物 线 的 对 称 轴 为=-l；9a+3/?=15 b=2/2a（2）由 题 意 得：抛 物 线 y=ar2+加（a0）始 终 过 定 点（0,0）,则 由 机 0,0）始 终 过 定 点（0,0）可 得 此 时 的 抛 物 线 开 口 向 下，即 a 0 矛 盾；当?0 时，；抛 物 线 y-ax2+bxa 0）始 终 过 定 点（0,0）,1 3,此 时 抛 物 线 的 对 称 轴 的 范 围 为 V 点（-1,X）,（2,%）,（4,%）在 该 抛 物 线 上，3 5
39、 1 3 5 7,它 们 离 抛 物 线 对 称 轴 的 距 离 的 范 围 分 别 为 一 x-（-l）-,-2-x-,-4-x 0，开 口 向 上，由 抛 物 线 的 性 质 可 知 离 对 称 轴 越 近 越 小，二 2 v x%【点 睛】本 题 主 要 考 查 二 次 函 数 的 综 合，熟 练 掌 握 二 次 函 数 的 图 象 与 性 质 是 解 题 的 关 键.变 式 拓 展 1.（2021江 苏 泰 州 市 中 考 真 题）在 函 数 y=（x-1）2中，当 x l 时,），随 x 的 增 大 而.（填“增 大”或“减 小”）【答 案】增 大【分 析】根 据 其 顶 点 式 函
40、 数 y=（x-1猿 可 知，抛 物 线 开 口 向 上，对 称 轴 为 x=l,在 对 称 轴 右 侧 y 随 x 的 增 大 而 增 大，可 得 到 答 案.【详 解】由 题 意 可 知：函 数 y=（-1）2,开 口 向 匕 在 对 称 轴 右 侧 y 随 x 的 增 大 而 增 大，乂 对 称 轴 为 x=L.当 x 1时,y 随 的 增 大 而 增 大，故 答 案 为:增 大.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 二 次 函 数 的 对 称 轴 及 增 减 性,掌 握 当 二 次 函 数 开 口 向 上 时，在 对 称 轴 的 右 侧），随 x 的 增 大 而 增 大，在 对 称 轴
41、 的 左 侧 y 随 x 的 增 大 而 减 小 是 解 题 的 关 键.2.（2021山 东 中 考 真 题）在 直 角 坐 标 系 中,若 三 点 A（1,-2）,B（2,-2）,C（2,0）中 恰 有 两 点 在 抛 物 线 y=ax2+hx-2（a 0 且 a力 均 为 常 数）的 图 象 上，则 下 列 结 论 正 确 是.A.抛 物 线 的 对 称 轴 是 直 线 九=,2B.抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 坐 标 是（-g。）和（2,0）29C.当 t 一 一 时，关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax2+bx-2=t有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 4D.若 尸
42、（m,n）和。（m+4,h）都 是 抛 物 线 上 的 点 且 V0,则）0.【答 案】ACD【分 析】利 用 待 定 系 数 法 将 各 点 坐 标 两 两 组 合 代 入 丁=融 2+加 一 2,求 得 抛 物 线 解 析 式 为）=/一 一 2，再 根 据 对 称 轴 直 线 x=求 解 即 可 得 到 A 选 项 是 正 确 答 案,由 抛 物 线 解 析 式 为 y=x2-x-2,y=0，求 2a解 即 可 得 到 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 坐 标（-1,0）和（2,0）,从 而 判 断 出 8 选 项 不 正 确,令 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 9ax2+b
43、x-2-t=0 的 根 的 判 别 式 当 A 0,解 得-，从 而 得 到 C 选 项 正 确，根 据 抛 物 线 图 象 的 4性 质 市 0，推 出 3+4 0，得 到。选 项 正 确.【详 解】当 抛 物 线 图 象 经 过 点 A 和 点 8 时，将 4（1,-2）和 B（2,-2）分 别 代 入 y=办?+区 一 2.a+b-24a+26-2=2，解 得 a=0g=0，不 符 合 题 意,当 抛 物 线 图 象 经 过 点 8 和 点 C 时,将 8(2,-2)和 C(2,0)分 别 代 入 旷=奴 2+云-2,4a+2 6-24a+2b-2=2，此 时 无 解,=00a+b-2=
44、-2当 抛 物 线 图 象 经 过 点 A 和 点 C 时，将 A(1,-2)和 C(2,0)分 别 代 入 丁=公 2+以 一 2 得.4a+28-2=0a=解 得 1 因 此，抛 物 线 经 过 点 4 和 点 C 其 解 析 式 为 y=x2-x-2，抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 b=-1 1x=-二 一，故 4 选 项 正 确，2x1 2因 为 y=/_ 入 _ 2=(x-2)(*+1),所 以%=2=T，抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 坐 标 是(-1,0)和(2,0),故 B 选 项 不 正 确，由 ax2+bx-2=t 得 a/+bx-2-t-0,方 程 根 的 判
45、 别 式 4=”4a(-2%)当。=1,Q。=一 1 nt,A=9+4t,当 4 0 时,即 9+4-0,解 得 t-，此 时 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 4ax2+bx-2=有 两 个 不 相 等 的 实 数 根，故 C 选 项 正 确，因 为 抛 物 线 y=Y-x-2 与 x 轴 交 于 点(-1,0)和(2,0)，且 其 图 象 开 口 向 上，若 P(?,)和。都 是 抛 物 线 上 y=-x-2 的 点，且 0,得-l/w 2，又 得 3 加+4 0,故。选 项 正 确.h 0 故 答 案 为：4 S.【点 睛】本 题 考 查 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点、根 的
46、 判 别 式、二 次 函 数 的 性 质 及 二.次 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征，解 题 的 关 键 是 利 用 数 形 结 合 思 想，充 分 掌 握 求 二 次 函 数 的 对 称 轴 及 交 点 坐 标 的 解 答 方 法.3.(2021浙 江 嘉 兴 市 中 考 真 题)已 知 二 次 函 数 y=V+6 x 5.(1)求 二 次 函 数 图 象 的 顶 点 坐 标；(2)当 1 W X K 4 时，函 数 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 多 少？(3)当+3时，函 数 的 最 大 值 为 加，最 小 值 为，m-n=3求 1的 值.【答 案】(1)(3,4
47、)；(2)函 数 的 最 大 值 为 4,最 小 值 为 0；(3)f=3 6 或【分 析】(1)把 二 次 函 数 y=f+6 x 5 配 成 顶 点 式 即 可 得 出 结 论；(2)利 用 二 次 函 数 的 图 象 和 性 质 确 定 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值.(3)分 t0；o r 3；三 种 情 况，根 据 二 次 函 数 的 性 质 和 m-n=3列 出 关 于 t的 方 程，解 之 即 可.【详 解】(1)=一/+6%-5=-(-3)2+4,，顶 点 坐 标 为(3,4).(2).顶 点 坐 标 为(3,4),.当 尤=3时，加 大 值=4,.当 1 X K 3时
48、，V 随 着 x 的 增 大 而 增 大，当 x=l时，为*小 值=0.当 3 x W 4 时，了 随 着 x 的 增 大 而 减 小，.当*=4时，V最 小 值=3.,.当 时，函 数 的 最 大 值 为 4,最 小 值 为 0.(3)当 r W x W f+3 时，对 f进 行 分 类 讨 论.当，+33 时，即，t0,V 随 着 x 的 增 大 而 增 大.当 x=/时，“=/+6/5。.加 一=一 厂+4(一 厂+6r5)=67+9.-6f+9=3,解 得 r=l(不 合 题 意，舍 去).当 0Wf3 时，顶 点 的 横 坐 标 在 取 值 范 围 内，相=4.i)当 时，在*=。时
49、，=/+6/5,加 一=4(广+67 5)=广 6/+9.t2 6t+9-3 解 得 A=3,2=3+/(不 合 题 意，舍 去).ii)当 T r 3时 在 x=r+3 时，n-r+4-m-n=4-r+4)=z2.=3,解 得，彳=6，t2=-y/3(不 合 题 意 舍 去).当，上 3 时.，V 随 着 x 的 增 大 而 减 小，当 无=，时，根=/+6/5，当 x=r+3 时，”=(/+3)+6(r+3)5=v+4,/.w-n=-?+6f-5-(-?+4)=6z-9.6f-9=3,解 得 r=2(不 合 题 意,舍 去).综 上 所 述，r=3一 6 或 百.【点 睛】本 题 是 二
50、次 函 数 综 合 题，考 查 抛 物 线 的 性 质 以 及 最 值 问 题，有 难 度，并 学 会 利 用 参 数 解 决 问 题 是 解 题 的 关 键，属 于 中 考 常 考 题 型.考 向 5 二 次 函 数 的 平 移 1.抛 物 线 在 平 移 的 过 程 中，。的 值 不 发 生 变 化，变 化 的 只 是 顶 点 的 位 置，且 与 平 移 方 向 有 关.2.涉 及 抛 物 线 的 平 移 时，首 先 将 表 达 式 转 化 为 顶 点 式 产。Cv-/?)2+k的 形 式.3.抛 物 线 的 移 动 主 要 看 顶 点 的 移 动，y=or2的 顶 点 是(0,0),y=