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1、【百强各校】2023届新高考地区百强各校新高考数学模拟考试压轴题精编卷（二新高考通用）一、单选题1.(2023春浙江杭州高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习己知尺，F2是椭圆和 双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且LF,PF,一，则椭圆和双曲线的离心 L 4 率乘积的最小值为（A.fj_.Ji,B.一一C.2.fi,D.2【答案】B【分析】根据双曲线以及椭圆的定义可得IPF;I1龟，IPF;II吨，进而在焦点三2-Ji 2在角形中运用余弦定理即可得亏了工厂4，结合均值不等式即可求解【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为衔，则根据椭圆及双曲线的定义：JPF;J+JPF；卡2
2、1 IPF;J-IP乓1=2鸟，:.I PF;I=a，饨，JP乓l一句，立设I F;F2 J=2c,LF;P乓一，则：在APF;F;中由余弦定理得，L 4 4c2二（a，叫问q叫川问叫）问叫）co号，2-Ji 2在化简得：（2-.fi.）矿（2+.fi.）；4c2，即丁;i-42-.fi.2+.Ji r;:-I l I言仄又一一一一主2、2一一，一三.2，即e,e、三卫工，t e2L e1e2 e1e2 ,.2即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为主故选：Byx 2.(2023春湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习）如图，己知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 一一l一3一一的体积为Y，四边形 AB
3、CD是平行四边形，点E在平面ACC1A1内，且 AE=-AC+-ACI.4 4.则三棱锥 DI-ADC与三棱锥 E-BCD的公共部分的体积为（C1A.-28B.-213V c.一28【答案】Av D.可【分析】作出辅助线，找到两三棱锥的公共部分，结合三角形相似知识得到边长比，从而得到体积比，求出答案一一l一3一一【详解】先找两三棱锥的公共部分，由 AE=-AC+-AC 知：f(AE）i（-AE），故百3町，在CCI上取点E，使得CE=3ECI连接 DE,设 DE nDp=F,AC nBD=G，连接 FG,c,4 4 则三棱锥 F-CDG 为三棱锥DIADC 与三棱锥 E-BCD的公共部分，,6
4、CEF的1:,.DIDF,D.F DD.4 FC 3 一一一一一：一一一一FC CE 3 Dp 7 点F到平面ABCD的距离是点DI到平面ABCD的距离的；，又s.ax;=fs呵，1 1 3 V VFcDG=-X一一v=一.山34 728 故选：A3.(2023春湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习设P是双曲线；丘l(a胁。）。与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F；，几分别是双曲线的左，右焦点，若tanPl吭3，则双曲线的离心率为（,.-:-/1(lA.、10B.二二二c.J3.2【答案】B公众号：高中试卷君D.J2【分析】先由双曲线定义与题中条件 得到IPF;I一IP乓仨2，tanPl
5、三尺3，求出IPF;仨3，IP乓，再由题意得到F;PJ飞90。，即可根据勾股定理求出结果【详解】解：根据 双曲线定义：IP叩一IPJ飞卡2a,tanPl识3,:.I PF;I=3 I PF;I,.I PF;卡切，IP叩ar而可b2=c,:.F；凡是圆的直径，-LF;P乓90。，在Rt.6.町P乌中，（3a)2+a2=(2c)2，得e子故选B.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型4.(2023春河北衡水高三河北衡水中学校考阶段练习从2,3,4,5,6,7,8,95中随机取两个数，这两个数一个比m大，一个比m小的概率为一，已知m为上述数据14 中的x%分位数
6、，则x的取值可能为（A.50B.60c.70D.80【答案】C【分析】利用分步乘法计数原理及组合求出事件种数，结合古典概率求出m值，再利用第p百分位数的意义计算作答【详解】从2,3,4,5,6,7,8,9中随机取两个数有c;=28种，一个数比m大，一个数比m小的不同结果有（m-2)(9-m),一（m-2)(9-m)5,2 于是得一，整理得：m-1 lm+28=0，解得m=4或m=7,28 14 当m=4时，数据中的x%分位数是第3个数，则2x%8 3，解得25x 37.5，所有边项都不满足：当m=7时，数据中的x%分位数是第6个数，则5x%86，解得62.5x-2,1 x+l:.f。）1亏二二
7、x+2 x+2 当一2x-l时，l(x)-l时，(x)O,f(x）单调递增，:.f(x)min=f(-1)=0,:.x一l为方程f(x)=0的根，即x,=-I 故Ix,-xii三l，即为1-1-x2I剖，解得2幻2三O码是函数g(x)=x22ax+44的零点，方程x2-2ax+44。在2,0上有解即（2x-4）x2+4在2,0上有解:-8至2x-4至4.2主1在 2,0上有解X-L.何（x）尘，x巾，Oxi+4(xi一牛88 贝Llg(x)=x+2+=(x-2)+4x-2 x-2x-2 x-2 设t=x-2,(-4至t三2),则h(t)=t 户，易知h(t）在斗，2F2J上单调递增，在2-!i
8、.,-2上单调递减又h(-4)=-2,h(-2)=-2,:.h(t)min=-2:.2兰一2，兰一I.故实数的最小值是I故选：A.8.(2023春浙江杭州高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习己知在矩形 ABCD 中，AB=2,AD=4,E,F 分别在边AD,BC上，且 AE=I.BF=3，如图所示，沿 EF将四边形AEFB翻折成AEFB，设二面角BEF-D的大小为，在翻折过程中，当二面角BCDE取得最大角，此时sin的值为（）A E B F c A.iB.一4 55【答案】B产气足B F c.2-i.3 D.I3【分析】过B作 EF 的垂线交 EF 与0，交 AD 于M,CD 于G，然后利用定义
9、法可得3 5 3 LBKH 为二面角BCD-E 的平面角，设 LBOH，可得BHsin，HK一cos，、22 2 从而 tanLBKH 主旦3F2！旦旦一，然后求函数最大值时的sin值即可5-3cos【详解】过B作 EF 的垂线交 EF 与0，交 AD 于M,CD 于G,设B在平面AC 内的投影为H，则H 在直线 BM上，过H作 CD的垂线，垂足为K，则BKH 为二面角BCD-E的平面角，设LBOH 由题意 BO=BO去，BOsin去sm则BH=BO+BOcosa 元(I由LGBC=45,BG=4-fi.，得HG=BGBH=4J2去川s），5 3 所以 HKHG=4一一(I+cosa)一一co
10、s，、n2 2 2 BH c s a 所以协nLBKH一一3。二二一HK 5-3cos令t忐盐，可得si附3tcos5时912，则t寸，sinl.4 3,1叮所以，当 t一即一一一一一，也即Sill一时，tanL.BKH取到最大值之二，-3cos45 4 此时 LBKH 最大，即二面角BCD-E 取得最大角A B 图l故选：BG 令B F 图29.(2023春湖北武汉高三华中师大一附中校考阶段练习）己知P（句，Yo）是椭圆 2-Jh,0 X x0 若直线y与曲线y=J(x）恰有两个交点A与B，则MEN周长的取值范围是（A.(2./3,4)B.(4号）c.（号。D.(8,4+4-J2)【答案】C
11、公众号：高中试卷君【分析】抛物线与椭圆联立，得到Xo和Yo，从而得到J(x），画出y和y=J(x）图像，根据焦半径公式，得到圳和BN，从而表示出MEN的周长，根据勺的范围，得到答案r x2 y2 1 口一一 l 4 日2【详解】1612 解得Xo士，Yo土、J子 y2=8xJ .J I 2-Jh,Ox所以J(x）仁一一A J J.:.,J 48-3x2.工x4脚（0 0,m 0，（0,2），己知该摩天轮的旋转半径为 60m，最高点距地面135m，旋转一周大约 30min，现有甲乘客乘坐l l号乘坐舱，当甲乘坐摩天轮 15min时，乙距离地面的高度为75+30-v2)m，则乙所乘坐的舱号为（A.
12、6B.7c.15【答案】BC【分析】由题意，作图，根据图中的几何性质，可得答案【详解】由题意，可作图如下：D A1 p IB AB代表地面，00代表摩天轮乘坐舱运动的轨迹，则DP=135,OE=OF=OC=OD=60,D.16因为摩天轮旋转一周大约30min，甲乘坐ll号舱15min后，运动到点D位置，假设乙乘坐的乘坐舱运动到点E，则EA=75+30-v2,由OP=DP-OD=75剧，则EM=EA-MA=30-v2 EM 30-v2.J2 在Rt60儿伍中，sinL.MOE一一一一一一一，则MOE=-:-,OE 60 2 4 由题意，相邻两个乘坐舱之间的夹角为2芝旦，32 16 由主王4，即甲
13、乙两人相隔4个舱位，4 16 由l1+4=15，得点E对应的乘坐舱为15号，由l1-4=7，得点F对应的乘坐舱为7号故选：BC.12.(2023春浙江杭州高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习己知定义域为R的函数J(x）在（1,0上单调递增，J(l+x)=J(l-x），且图像关于（2,0）对称，则J(x)()A./(0)=/(-2)B.周期T=2c.在（2,3）单调递减D.满足J(2021)J(2022)J(2023)【答案】AC【分析】根据题意化简得到f(x)=/(x+4），得到f(x）的周期为T=4，结合（2)=/(2),求得（0)=/(-2），得到A正确，B错误：再由f(x）的对称性和单调性
14、，得出f(x）在(2,3）单调递减，可判定C正确：根据f(x）的周期求得J(2021)=J(I),/(2022)=J(2),J(2023)=J(3），结合特殊函数f(x）的值，可判定D不正确【详解】由（l+x)=/(1-x），可得f(x）的对称轴为x=l，所以（0)=/(2),又由f(l+x)=f(l-x）知：f(2+x)=f(-x),因为函数f(x）图像关于（2,0）对称，即f(2+x)=-f(2-x），故f(4+x)=-f(-x),所以f(2+x)=f(4+x），即一f(x)=/(2+x),所以f(x)=f(x+4），所以f(x）的周期为4，所以（2)=/(2），所以（0)=/(-2），故
15、A正确，B错误：因为f(x）在（1,0上单调递增，且T=4，所以f(x）在（3,4）上单调递增，又图像关于（2,0）对称，所以（x）在（0,1上单调递增，因为关于x=l对称，所以f(x）在（1,2上单调递减，又因为关于（2,0）对称，可得函数f(x）在（2,3）单调递减，故C正确：根据f(x）的周期为T=4，可得J(2021)=J(1),1(2022)=J(2),/(2023)=J(3),因为关于x=l对称，所以J(2)=J(O）且（3)=/(-1),tIP J(2021)=f(1),J(2022)=f(0),/(2023)=J(-1),由函数（x）在（1,2上单调递减，且关于x=l对称，可得
16、（x）在0,1）上单调递增，确定的单调区间内均不包含x=1，若（1)=0=/(1)=/(0),所以J(2021)J(2022)J(2023）不正确故选：AC.【点睛】规律探求：对于函数的基本性质综合应用问题解答时，涉及到函数的周期性有时需要通过函数的对称性得到，函数的对称性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的时函数值随自变量变化 而变化的规律，因此在解题时，往往西药借助函数的对称性、奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题13.(2023春浙江杭州高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习己知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2-fi_,E,F分别是PC
17、,AB的中点，M为棱PB上异于P,B的一动点，则以下结论正确的是（A异面直线肌叫成角的大小为？B.直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为圣6 C.1:,.EMF周长的最小值为F6+2hD.存在点 M使得PBi平面MEF【答案】BC【分析】根据空间中异面直线所成角，直线与平面所成角的定义，空间中折叠问题以及垂直关系的判定与性质，逐个选项运算求解即可【详解】如图l，取PD的中点Q，连接EQ,AQ,因为E,F分别是PC,AB的中点，所以EQJJ DCJJAF，且EQ=AF，所以四边形AFEQ为平行四边形，则EFJJAQ，又正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2-fi_,则AQ1-PD，所以异面直线EF
18、,PD所成角为7，故A错误：A B A 设正方形ABCD的中心为0，连接OC,PO,则POi平面ABCD,OC=OP=2,设oc的中点为H，连接EH,FH,则EHJJ OP，且EHi平面ABCD,E FB 图2所以川为直线EF与平面ABCD所成角，所以贮fPo=I,c AOFH中，OH=1.OF=.Ji.,LFOC=135。，所以 由余弦定理可得FH=Js，所以EF=1EH2+FH2 品，EH I,I瓦所以sin EFH一一-r=二二，故B正确：、66 将正APAB和APBC沿用翻折到一个平面内，如图2当E,M,F三点共线时，ME+MF取得最小值，此时，点M为PB的中点，ME+MF=BC=2.
19、Ji.所以V EMF 周长的最小值为F6+2.fi.，故C正确：若PBi平面MEF，则PB 1-ME，此时点M为PB上靠近点P的四等分点，而此时，PB与FM显然不垂直，故D错误：故选：BC.14.(2023春湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习）在如图所示试验装置中，两个长方形框架ABCD与ABEF全等，AB=1,BC=BE=2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M,N分别在长方形对角线AC与BF上移动，且CM=BN=a(O,/s），则下列说法正确 的是（E A F A.AB1-MNB.MN的长最小等于.Ji.c.当峭的长最小时，平面MNA与平面MNB所成夹角的余弦值为jD.v.ABN 叮2)【答
20、案】ABC【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量数量积的运算即可判断选项A：利用空间两点间距离公式即可判断选项B：根据工面角的余弦值推导即可判断选项C：根据棱锥的体积计算公式即可判断选项D.【详解】由题意可知：BA,BC,BE两两互相垂直，以点B为坐标原点，BA,BE,BC为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系，z E y F x 建系可得（子2Fsa1（品2Js，i-(一一Io，一半忡川:.ABMN=0,:.AB l_ MN，故选项A正确：又川忏个手）二Jfa半叶当a手时刷lmin=J2 故选项B正确：；（引2+2,当MN最小时，主M N分别是AC,BF的中，点，取MN
21、中点K，连接AK和BK,c E A F:AM=AN,BM=BN,:.AK l_ MN,BK l_ MN,:.LAKE是二面角A-MN-B的平面角aB剧中，BM=BN豆MN=-fi,2 可得BK=./BM2!MN2空，同理可得AK豆，V 4 2 2 3 3.一一一l 由余弦定理可得cosLAKB=4 4土，故选项C正确：2.Jjfi 3一x一2 2 2Js(2Jsa l 2Js 2a2v3川h=6了12丁j=15故选项D错误故选：ABC15.(2023春湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习己知kZ，则函数f(x)=xk(Y+rx）的图象可能是（A B.。x飞y y c.寸？。x x【答案】ABC【分
22、析】令g(x)=2x+2飞先分析函数g(x）的奇偶性，再分情况讨论h(x)川的奇偶性，然后逐项分析四个选项即可求解【详解】令g(x)=y+rx，则g(-x)=rx+2x=g(x），故g(x)=2x+rx为偶函数当k=O时，函数f(x)=2x+rx为偶函数，且其图象过点（0,2），显然四个选项都不满足当k为偶数且 k=tO时，易知函数h(x)=xk为偶函数，所以函数f(x)=xk(2x+rx）为偶函数，其图象关于Y轴对称，则选项C,D符合：若k为正偶数，因为f(x)=xk(Y+Tx),则f（x)阳k-i(2x+Tx)+xk(2x In 2-Tx In 2），当xO时，f（x)0，所以函数f(x）
23、在(0,+oo）上单调递增，又因为函数f(x)=xk(2x+rx）为偶函数，所以函数f(x）在（oo,0)上单调递减，选项C符合：如为负偶数，易知函数f（归的定义域为xix叫，排除选项D当k为奇数时，易知函数h(x)=xk为奇函数，所以函数f(x)=xk(Y+Tx）为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则选项A,B符合，若k为正奇数，因为f(x)=xk(2x+rx),则f（x）缸k-1(2x+rx)+xk(2x In 2-rx In 2），当xO 时，f（x)0，所以函数f(x）在(0,+XJ）上单调递增，又因为函数f(x)=xk(Y+rx）为奇函数，所以函数f(x）在（Xl,0)上单调递增，选项
24、B符合：如为负奇数，函数f(x)=xk(Y+rx）斗（2x+2寸的定义域为xi x:;tox Y+rx 不妨取k=-1，则f(x）一一一，当xo时，f(x）：x、在斗!J_当x土时，！（土）一一_L=3F2：当x=l时，f(I)=2土：2 l 17当户2时，（2）气：当x=3时，（3)=22豆/(2);当x趋向于正无穷时，因为指数函数的增长速率比幕函数的快，所以f(x）趋向于正无穷：所以（O,+oo）内f(x）先减后增，故选项A符合故选：ABC.16.(2023春河北衡水高三问北衡水中学校考阶段练习）已知A,B分别为圆cl x2+y2-2x+8y+16=0与圆C2x2+y2-6x+5=0上的两
25、个动点，P为直线l:x-y+2=0上的一点，则（A.IPAl+IPBI的最小值为3M-3B.IPAl+IPBI的最小值为.JG+.ff?3c.IPAI-IPBI的最大值为2占3D.IPAI-IPBI的最小值为2.J5-3【答案】AC【分析】把圆的方程化为标准方程，找到圆心坐标和半径，求出点c2关于直线l对称的点C，当 C,P,CI三点共线，IPC2l+I PC)I最小，点P,A,B 共线时，IPA卜IPBI取到最大值【详解】圆cl:x2+y2-2x+8y+16=0的标准方程为（x一1)2+(y+4)2=l，所以其圆心为C1(l，一4），半径为同I,圆C2:x2+y2-6x+5=0的标准方程为（
26、x-3)2+y2=4，所以其圆心为C2(3,0），半径为几2,，、J呵C HU 叮今一气40，。llL曰可元，吁n气L，b21J句3一，。一一句，今aa?mmh ac 为占川的如小哥作对线直于关 占川设如图，x 连接CCI交直线l于点p，连接PC2，此时C,P,C，三点共线，！Pc21+1Pc,I最小，则IPAl+IPBI 最小，所以(IPAl+IPBILn=IPC2l+IPC,-fjICC,1罚3M-3，故A正确、B错误：因为IPAI-IPBI三IABI，所以当IABI取到最大值且点P,A,B共线时，IPAl-1阳取到最大值由图可知，IAB lmax=I础I=IC,C2I川2Fs+3，所以I
27、PAI-IPBI 的最大值为2Fs+3，故C正确：JPAI IPBI时，P,A,B不能共线，IPAI-IPBI最小值不存在，D错跃故选：AC17.(2023春湖北武汉高三华中师大一附中校考阶段练习设双曲线 C：1的旷b,.左右焦点分别为町，Fi，以C的实轴为直径的圆记为D，过F；作圆D的切线与C交于M4、N两点，且COSLF,NF,一，则C的离心率可以为（）.5 Js A.-5 B.J34 c.一一JoD.一【答案】BD【分析】当直线与双曲线交于两支时，设过F；的切线与圆D:xi+Yi2相切于点P,从而可求得IPF;I，过点几作乓Ql_附于点Q，由中位线的性质求得剧，例，在Rte.QN.乓中，
28、可求得IN乌l,INQI，利用双曲线的定义可得，b的关系，再由离心率公式求解即可，当直线与双曲线交于同一支时，同理可求得离心率【详解】当直线与双曲线交于两支时，设过F；的切线与圆D:x2+y2 2相切于点P,则IOPI，OP 1-PF;,因为IOF;I=c，所以IPF;l IO町12-IOPl2 乒亡歹b,过点F2作F;Q1-MN 于点Q,所以OPII F2Q,因为0为F；乌的中点，所以IFiQl=2IPF;l=2b,IQ乓l=2IOPl=2，因为叫叫iLF;问为锐角，所以sinLF;NF2l-cos2LF;问；，IQ凡I_2 IOa所以叽I=sin矶叽一丁，104 8 所以INQl=I问！c
29、o叫N凡X一一3 5 3 所以叫I=INQI+IFiQI 子2b,因为IN叫IN几1=2，8lOa 所以一2b一一2，化简得 3b旬，3 3 b 4 所以一丁，J 为e二白了白了：y N,x 当直线与双曲线交于一支时，记切点为A，连接OA，则OA，F;A=b,过乓作乓Bl_MN-f-B，则F;B=2，所以BF;I=JF;Fi2一JB几12劲，因为叫叫；，所以叫NF2为锐角，所以SI叫NI旷LF;NF2=%,JB乓_ 2a _ IOa所以叫SI叫问丁，NB=I叫cos矶问平子，所以川I=NB-F;B 子矶IOa(81 所以NF2-INF;I一一岛I=2a，化简得3b=2，3 3)b 2 所以一丁
30、，J?fr IV-,e,，率为e白了斥了子综上，双叫离心率为拉手，故选：BDy、10.几X18.(2023春湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习在平面四边形 ABCD 中，点D为动点，卒ABD 的面积是卒BCD 面积的2倍，又数列，）满足，2，恒有面（矶，21-I）函札，22霄，设功的前n项和为乱，则（A.，）为等比数列c.饨，）为递增数列J川JfOZ舶J数川差川等训为于1丁J一句411SBD【答案】BD【分析】连 AC 交 BD 于E，根据面积关系推出 AE=2EC，根据平面向量知识推出l一2一一I I、I，一一一BE=-BA+-BC，结合 BD=(an-2，）BA归川2庐C，推出寸f:,-2，
31、即3 3飞J飞I2 2 生土L2，求出主2n+4，=(-n+2)2”，根据等比数列的定义可判断A:2”2萨I2n-l 根据等差数列的定义可判断B，根据数列的单调性可判断C：利用错位相减法求出乱，可判断D.【详解】如图，连 AC 交 BD 于 E,A B _!_ BD AE sin DAEBsf:;.ABD _ 2 _ AE 则一一一一一一2，即 AE=2EC,St;.BCD I EC-BD EC sin D CED2 所以居2EC，所以BE函2（配一码，一C5 231 JA Mt l3E二dMk 以一且所设因为豆D（，11-l）画札I+2 JB，所以觅：（气2（；（斗；，所以，I+2=2(G1
32、1-2萨I)（饨，I+2宁7所以乓！.毛2，即乓！.主2,2 2 2 2 又川，所以去2所以（到是首项为2公差为2的等差数列所以去了叫n一1)=-2n 吨所以2n+4)2”I=(-n+2)-2”，_(-n+1)2川-2n+2 因为?_一一不 是常数，所以（，）不为等比数列，故A不正确：(-n+2)2-n+2 因为生(-n+I）俨（刮了）2二问1）归2)=-I,2n+l 2 2肿I2 所以（封为等差数列，故B正确：因为川，（n+l)2+1-n+22=-n2,所以（，）为递减数列，故C不正确：因为丘，lx21+Ox22+(1）23 叫n十辛1,所以2S,=Ix 2 2 I Ox 2飞（一1）24十
33、I E-n I 2)2 n+,所以乱2-(22+23+24+2-f-n+2)2+,4-22 所以正2寸（n+22+1=6非3泸州，所以乱（3-n)2川6，故D正确故选：BD19.(2023春湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A,B两点，点p在抛物线C上，则下列结论中正确的是（A.若M(2,2），则IPMl+IPFI的最小值为4B当AF=3出时，JABJ子c.Q川则罔的取值范时1,2D在直线x上存在点N，使得 LANB=90。【答案】BC【分析】对A，根据抛物线的定义转化求解最小值即可：对B，根据抛物线的定义，结合三角函数关系可得直线AB 倾斜角，再
34、根据抛物线焦点弦长公式求解即可：对C，根四一Is-据抛物线的定义可得JPFI-cosPQF再 分析同界条件求解即可：对D,【详解】对A，如图，由抛物线的定义，PF的长度为P到准线的距离，故JPMJ+JPFI的最小值为JPMI与P到准线距离之和，故JPMJ+JPFI的最小值为M到准线距离2+1=3,1 OllF 2 3 对B，不妨设A在第一象限，分别过A,B作准线的垂线AM,BN，垂足M,N，作BC.l AM则根据抛物线的定义可得BN=BF,AM=AF，故AC AM-CM AF-BN AF-BF 13F-BF I cosAFx=cos LBAC 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一AB AB
35、 AB AF+BF J3F+BF 2 4 16 故 LAFx=60。，所以AB=?一故B正确：sm 60 3 M!y c x JPQJ_ JPQJ _ 对C，过P 作PH垂直于准钱，垂足为H，则一一一一一一一一一，由图易得JPFJ JPHJ cosLPQFIPQI oo:s;PQF90，故一一随PQF的增大而增大，当PQF=0时P在0点处，此时IPFI IPQI 一一取最小值l：当PQ与抛物线相切时丘PQF最大，此时设PQ方程x=ty一l，联立IPFI y2=4x有y2-4ty+4=0,庄=(4t)2 4 2=0，此时解得l士l，不妨设t=l则PQ方程IPQI 1厉y=x+I，此时倾斜角为45
36、。一一一一一.J2IPFI cos45 故罔的阳的1,2故cj:jiffl;y 对D,加（x,y,),B（儿时，AB中点c阻五月土豆），故C到准线x=-1的距离l 2 2 J I CD主士生1，又AB=x1+x2+2，故CD=-AB，故以AB为直径的圆与准线x=-1相.2 切，又满足LANE州所有点在以叫直径的圆上，易得此圆与x卡交点，故D错误：，M町，Lr、x、，、y 故选：BC20.(2023春河北衡水高三河北衡水中学校考阶段练习己知正四面体ABCD的棱长为22，其所有顶点均在球0的球面上己知点E满足磊豆豆（0I)CF=pCD(O Jt 0,V（）单调递增：当3 主I时，v（）3e2，函数
37、f(x）有两个不同零点，的取值范围为【答案】e气1)【分析】由题意可得ax+2bx+e2=exlna+2bx+e2=0有两个不相等的实根，利用换元法，2b e+e2 分离参数，令t=x lna，则一一一一一，再利用导函数求一一一的最小值即可lna t【详解】因为f(x）有两个不同零点。f(x)=0有两个不相等的实根，即ax+2bx+e2=exlna+2bx+e2=0有两个不相等的实根，2bt 2 2b e+e2 令t=xlna，贝e？一e=0,t显然不为零，所以一一一一一，Ina In t 2b因为叫0,1),b 3e2，所以；：0，所以t 0,JO 令g(t)半（t 0），则g(/)=I-(
38、?/+e2)令h(t)旷（e+e2)(tO），则h（t)=e时e=te 0,所以h(t）在（0,+w）上单调递增，又h(2)=0,所以当t（0,2）时，h(t)O,所以当t（0,2）时，g（t)3e2，所以土3，所以巴3即In位6，此e-oe L 又（0,l），所以e-6,l),故答案为：e气1)2b2【点睛】利用换元法，令t=xlna，根据t不为零，分离参数得一一立工二，构造函数，通过求解函数的最值，即可得出的取值范围Ina t 23.(2023春湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习设A,B,C是 LABC的三个内I I 一一_ ktanA 一一一一一一角，BC的外心为0，内心为I.01=1=。
39、且OJ 与 BC共线右B C,tan-tan一则k=【答案】22 2【分析】由 0,I分别是三角形的外心和内心，利用百与BC共线得到线段的长度关系，B C 用tan言tan2表示出相应线段，得到等式【详解】A；=:_-_1)：B D M 设内切圆半径为r，过 0,I分别作 BC 的垂线，垂足分别为M,D,BD一工CD一工一则B.tan tan-2 2 因为百与豆共线，所以 OM=ID=r，又因为BOC=2L二A,LBOM A,所以 BM=rtanLA,2r tan A一一一乙一因为2BM=BD+CD，所以B C,I I 2tanA 一一一一一一一一即牟BC，所以 k=2.一故答案为：22 2
40、tan tan 2 2 24.(2023春河北衡水高三河北衡水中学校考阶段练习）已知椭圆C：三L=1的4 3 两个焦点为R，凡，p为椭圆上任意一点，点（Ill,fl）为6.P叭的内心，则m+n的最大值为L r:;2.!【答案】二。制立二3 3【分析】设P(acos，bsin），内切圆的半径为r，由三角形面积公式建立等式可得be I sin r=In I，公众号：高中试卷君c 由勾股定理求出焦半径IPF;Iccose I Pl飞ccose，由内切圆性质建立等式(c m)(m+c)=I PF;I I P乓，可得m=ccos，结合P(acosB,bsin）在椭圆上消去得m2+3n2=l(n:;cO）
41、，则可设m=cos，n去si【详解】设P（cos，bsin），内切圆的半径为r,所以s.PF1F2=川Is叶加Isin叶2c+2a)r,_ be I sin 则r一一一一In I,c 设椭圆的左右焦点为F;(c,O),f;(-c,O),则I PF;I（c)2+(bsinB)2=.Ja2-2ccos（ccos）2 ccos，同理I PF2I ccos，又内切圆的性质得（c-m)-(m+c)=I PF;I一IP乓（ccos）（ccos），所以m=ccosB,m2 n2 一丁一一一一一=l m2 n2.消去得t(be)（c)2 一一 巨pc2,a-c c2一且，又因为2,c=I,所以m2+3n2=l
42、(n*0),设m=cosa,n 毛sin:;t:O.J3 c 则cosa主sina手m（？，所以的最大值为：J3,故答案为：；d25.(2023春湖北武汉高三华中师大一附中校考阶段练习）己知正数，b满足2a42阳【答案】；2(2）2【分析】利用基本不等式知2旷寸主一，令f(x)=2lnx-x2+l，利用导数研究函扩飞b)(2 数的单调性可知x2三21nx+I，进而可得三2(Ln2Inb)+I，结合己知可得 b)2a42(1n叫时）l，由取等条件即可求解【详解】因为b当且仅当2a4去，目pab=1时，等号成立构造函数f(x)=2lnx-x2+1,xO,一2(1+x)(1-x)求导f）2x一，令f
43、（x)=0，得x=l x x 当x（0,1）时，f(x)0,f(x）单调递增：当x（I,+co）时，f(x)O，从而i正得x2三2lnx+I，再结合基本不等式及取等条件即可求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于难题四、双空题26.(2023春河北衡水高三河北衡水中学校考阶段练习）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法凹，假设待检测的总人数是2气mN），将2m个人的样本混合在一起做第l 轮检测（检测一次，如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染：如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组2”I人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测l 次，如此类推，每轮
44、检测后，排除结果为阴性的那细人，而将每轮检测l后结果为阳忡，的生日再平均分成两细，做下一轮检测，盲到检测出所有感染者（感染者必须通过检测来确定，若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”构测，经过4轮共7次检测后确定了所有感染者，则感染者人数的所有可能值为人若待检测的总人数为2m(m3），且假设其中有2名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为【答案】1,2 4m 1【分析】利用二分检测法分析每轮检测的人数再判断感染人数即可：分类讨论分析每轮检测的人数情况即可【详解】若待检测的总人数为8，则第一轮需检测l 次：第2轮需检测2次，每次检查的均是4人组：第3轮需检测2次，每次检
45、查的是有感染的4人组均分的两组：第4轮需检测2次：则共需检测7次，此时感染者人数为l或2人：若待检测的总人数为2”（m注3），且假设其中有不超过2名感染者，若没有感染者，则只需l次检测即可：若只有l个感染者，则只需1+2m=2m+l 次检测：若只有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组，此时相当两个待检测均为2m-l的组，每组l个感染者，此时每组需要l+2(m-l)=2m-l次检测，所以此时两组共需2(2m-1)=4m-2次检测，故有2个感染者，且检测次数最多，共需4m-2+1=4m-1次检测，所以采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n 的最大值为 4m-l
46、故答案为：I,2;4m-l五、解答题27.(2023春湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习）定义：一般地，当0且;c l时，我们把方程兰乓（b 0）表示的椭圆C称为椭圆兰乓l(abO）的相似L旷扩椭圆N(I）如图，己知罚（占，o）（./3，外，M为。ox2+y2=4上的动点，延长阳至点N,使得IMNl=I町，用的垂直平分线与刑交于肘，记点P的轨迹为曲线C，求C的方程：(2）在条件（I）下，己知椭圆C是椭圆C的相似椭圆，MJ,NI是椭圆C的左、右顶点点Q是C上异于四个顶点的任意一点，当e2(e为曲线C的离心率）时，设直线QMI与椭圆C交于点A,B，直线QNI与椭圆C交于点D,E，求IABl+IDEI
47、的值【答案】（l）亏户l(2)5【分析】（I）由图可知OM是b.F;NJ飞的中位线，由此可得乓N长为定值，因为点p在F;N的垂直平分线上，所以IP罚l+IP凡I=IPF2l+IPNI，根据椭圆定义求解析式即可：(2）假设出点Q坐标，表示直线QMI与直线QNI的斜率，并找出两斜率关系，最后表示出两直线方程，分别与椭圆C联立方程，利用弦长公式和韦达定理求出IABl+JDEI的值【详解】Cl）连接OM，易知OMII！几N且IOMI=2-1乓NI,2 N 乓NJ=4，叉点P在F;N的垂直平分线上，:.IPF;l=IPNI,.JPF;l+IP乓护川阳卡乓卡42/i，满足椭圆定义，2,c=-Ji,b=I,
48、阳的方程为f+y2=l由Cl）知椭圆C方程为二叮y2二/1 3 则离心率e主二二2 4 楠圆C，的标准方程为兰生1,3 3 设Q(xo,Yo）为椭圆CA异于四个顶点的任意一点，直线QM1,QN1斜率kQM,kQN，Yo Yo _ Yo 则kQM,kQN,一一一一一一一一一一与-Jix0-Ji xi-3 又手千I：叶（叫），乌M,kQN,=-i(k旷士；）设直线QM，的斜率为k，则直线QN，的斜率为土4k 直线 QM，为y=k(x剖，f yF3),由 y2得（1+4k2)x2+83k2x+12k2-4=0,ly=l,-8.J3kl2k-4 设A(x1,y1),B（川），贝Llx1+x2=xx 一
49、，1+41I l+4k.1ABlf,-X2I=JbO），四点Pi(2,2），乌（叫，乌（2，占），凡（2，占）中陆有三点在椭圆C上(1）求椭圆C的方程；(2）设直线l不经过Pi点且与椭圆C相交于A,B两点，线段AB 的中点为M，若LAM?z=2LABJ飞，试问直线l是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标：若不过定点，请说明理由【答案】（！）亏亏 1 锢线l恒过定点定点坐标为（0,-f)【分析】(1）根据题意椭圆过点 P2.、凡，代入椭圆方程列出方程组，解之即可求解：(2）根据角、线段之间的数量关系可得乓A乓B=O，设直线l方程y=kx+m，联立椭圆方程，利用韦达定理和平面向量的坐标表示可得P
50、zAPiB=(l+k2）尘呻斗）（忖22=0，灿的值，即可得出直线恒过的定点【详解】(1）由于，马两点关于y轴对称，故由题设知C经过鸟，乌两点又由主乙之佳句，C不经过点 P1，所以点 P2frC上，b，b 因此 I:解得t：=8,22（剖，lb=4.一一故C的方程为三乙 1.8 4(2）在6ABFi中，4三AMP2=2L三AB乓，AMP2ABP2BJ飞M,所以LAB乓LB乓M，从而乓Ml=IBMI,又M为线段AB的中 点，即IBMI=_!_IABI，所以明lIABI,2 2 因此AP2B=90，从而乓Al飞B=O,根据题意可知直线l的斜率一定存在，设它的方程为y=kx+m,A(x,y,),B（