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1、【百强名校】2023届新高考地区百强名校新高考数学模拟考试压轴题精编卷（四新高考通用）一、单选题1.(2023重庆沙坪坝重庆南开中学校考模拟预测己知点码，Ai,A3，A，和数列U山U町(2n.2rm,、uuuuur uuuu山町11,bll满足A11A.，忡1=I cos,s m I(nN），代，A11A11+1，忡IAn+)A,i+2=(0，功，若 3 3 J飞。I=1,s11,T,，分别为数列（小D.0 c.48.J3-20B.24F3-20 A.【答案】D【分析】根据题意分析可得数列（小一一一（1 F31一一(1 刀一一一【详解】由题意可得：2k-l=I？I,A3k-lk=I 5-f-J
2、,A3kA3k+I斗，0)d2 d2 GG J2 d2 旧只:a1=1，则2一l,b1=.J3,由2（，子）叫（1叶同理厂l./3厂a.一lb,一一一，=I b.=-.J 3 a,=-b,=-a,=I b,=-Gn 一l7,3ao=-吨J2 J怜。2 2，。2。，y,bo 豆Lu 2 即数列（小123456=0/)1+b2+b3+b4+b5+b6=0,乌2T60=0 故选：D.2.(2023秋湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习已知函数f(x)=F3 sin 2纪.!-sin 01(-马OJ 0），若f(x）在（主，刮上无零点，则的取值范围二飞22)是（?8QJFIllE1L 川U，1ll12
3、9nu fIll飞、AD.(,%Ju I,+x)2 8 c.(0，一JU一，I9 9【答案】Bm】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简，得到只x）斗斗，由.0)、/、i三一一一f马州7万I(OJ:r:r)1 万I 2 3 题可得二一丁一了1三二一和句，结合OJO即可得解-/-J-OJ j(k+I）位旦主l 2 3 2 OJX J.、11Ji【详解】因为f(x)=.J3sin一寸mmx一司OJ 0)才I-cos mx)+-sin mx一2 2 2 手COSOJX=sinf)3 30J 右一x一一，、l一一一OJX一一一一一，2 2 2 3 3 2 3.u字号（子）三？二，则0)2到，又OJ
4、O，解得0 OJ三lt旦旦!_2 3 2 2 8 句，解得2k豆OJ豆k一（kE Z)马O)Jr33 9(k+I）三二一一2 3 2 2 8 2k一三k一3 3 9 4 I，如得k豆一，：kZ,:.k=0或一1.2 8 3 2-k一03 9 2 8 当k=O时，兰OJ至一：当k=-1时，0 OJ到，可得0bcB.acbC.cbD.b C【答案】C万2(x-1)【分析】根据题意构造函数f(x)=sinx-x(O 0），利2 x+I 用导数研究函数f(x）的单调性可得sinxx，进而（b+1)8=(/08(e8)8=e3（1)89 9 1 则bl时g(x)0，即g(-)=ln-0,7 7 4 则C
5、，进而得出结果【详解】由b=esini _1得b+I=/i:s ls loo 1,ls s 由一，得（a+1)8=(18=（一）C（Cs+斗（丁俨C节I+二-Cs=34 4 4 Jr 设函数f(x)=sinx-x(O x 一），则j(x)=cosx-1 sO,2 所以函数f(x）在咛）上单调递减，故f(x)/(0)=0,I I I I 即sinxx，所以sins豆有ses，得c/s)8(e8)8=e所以（b+1)8=(/0可（e可 e 0),4些lx+I I 4 则g(x)一一一0，所以函数g(x）在（O,+oo）单调递增，且g(l)=Ox飞x+I）一所以当xl时，g(x)0,综上，cb.故选
6、：C2(2.-1)9 9 7 即g（一）In一一一一一一0,7 7 2-+1 79 I 即In一一，所以c7 4 4.(2023春重庆渝中高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）己知平而向量斗，革，豆满足：马I=2 lz;I=3,I斗I，。一二）（b二）斗，则川的取值范围是（A.1,9 B.币，9C.ffi,sD.J2扎ffi【答案】C公众号：高中试卷君【分析】先以CA,CB为相邻两边构造平行四边形CAEB，则百白罚，再由（马二）.(b-二）=-4可得矿cit=16，进而得到百J=2,J;-bJ=JABJ在；，数形结合得百百1-1码，呵叫，由此可求出1;-b1的范围【详解】令OA，OB=b,OC=c，其
7、中F为AB 的中点，以CA,CB为相邻两边构造平行四边形CAEB，则百白币，AB=CB-CA,y A x 则4（马二）（豆豆）CACB（百CB)?cs-Gi)=cr2 卢2,所以豆豆2-C2=16 以0为圆心，2为半径作圆，。为原点，为x轴的正方向建立直角坐标系，如图所刁飞，又因为2(0:t矿）（刃sf+(DA-mf=(2百f+Ali2，2（玩2百2)=（百百f（玩百f=(2oif 百Z，得（刃2丙丁（矿丙丁矿产2=8，所以百1=2这样点Eili：圆。上，所以川同在古；，又因为百百一网，呵呵，所以lcrl叫，所以同m,s.故选：C.5.(2023春重庆渝中高三重庆巴蜀中学校考阶段练习己知双曲线
8、三1（O,b 0）的左、右焦点分别为尺，凡，过点乓的直线与双叫右支交于P,Q两点，若 6.PF;F2的内切圆。l的半径与1:,.F.,的内切圆02的半径的乘积为2 则双曲线的离心率为（A.2 B.3c._/2 D.fj【答案】A【分析】设F;(-c,O),F2(c,O),q(xy1）、02(x2,Y2），过01分别作P町、Pl三、乓乓的垂线，垂足分别为R、s、T，根据切线长定理及双曲线的定义得到IT町c，即可得到X1，同理可得X2，再由01F202主由射影定理得到I01TlIO川ITF2l2，即2 可得到c=2，从而得解【详解】设町（c,O），乓（c,O）其中c22折，设0i(x1,Y1）、0
9、2(x2，只），过01分别作P罚、Pf二、F.F2的垂线，垂足分别为R、S、T，由切线长定理可得IPRI=IPSI、IF.RI=IF.TI、乌Sl=I乓Tl,则IPF;l-1町I=(IPRl+I町1)-(JPSl+I问）町明l=ITF;l-1町l=2a,因为乓町I=ITF.I+IT,乓纭，所以ITF;Ic，所以T（，0),liP X1，同理可得X2，所以01、02在直线x上，又因为几01平分T几pF202平分Tl飞Q,Pl飞Q，所以01乌02主，在1:;.0iF202中丘。l乓02主，IT！飞l=c一，2 由射影定理可得I07lIO川IT乓12，即2=(c-a)2，所以c=2，则双曲线的离心率
10、e三2 x 故选：A6.(2023重庆沙坪坝重庆南开中学校考模拟预测）己知CD为圆A:(x+1)2+(y+1)2=4的一条弦，且以CD为直径的圆始终经过原点。，则CD中点B的轨迹方程为（A.x2+y2=l C.x2+y2+x一1=0【答案】B8.x2+y2十x+y一1=0 D.x2+y2+x+y=0【分析】由题意可得4=AB2+OB2，设B(x,y），用x,y表示出4=AB2+OB2，化简即可求得答案【详解】由题意 可得：AB1-CD，连接 AC，则AC=2,则4=AB2（护r=AB2+OB2,y,D x 由圆 A:(x+I)2+(y+I)2=4可知 A(-1,-1),设B(x,y），则（x+
11、l)2+(y+1)2+x2+y2=4,化简得：x2+y2+x+y 一l=0,即店、B的轨迹方程为x2+y2十x+y 一l二0,故边：B7.(2023春河北石家庄高三石家庄二中校考开学考试己知椭圆三乒1（叫0)P(0,2),Q(O,2）过点P的直线I与椭圆交于 A,B，过点Q的直线儿与椭圆交于C,D,且满足II 12，设 AB和 CD的中点分别为M,N，若四边形PMQN 为矩形，且面积为4/3,则该椭圆的离心率为（2 A.一B.3 3c.Ji D.-J63 3【答案】Dr1PMlIMQ1=4.3【分析】不妨设I/2两条直线的斜率大于零，连结OM，由题意知llPM 12+IMQ 12=16求出IP
12、MI,IQMI，求出 AB,OM的斜率，设 A(x1yJB（毛，Y2），利用点差法，转化推出椭圆的离心率即可【详解】解：如图，不妨设I4两条直线的斜率大于霉，连结OM,r IP Ml IMQI=4.J)由题意知IPM 12+IMQ 12=16 解得IPMl=2,IMQl=2-J3，或IPMl=2-J3,I l,f(I=2（舍，所以JPMJ=2,IMQl=2-J3,在t:.PMQ 中，因为IOM 1=1 PM 1=1 PO 1=2，所以BPO=LPOM=60。，故此时k=tan 30。丑，ktanl50。豆，nu 3 vm 3 兰丘1设A(x1,y1),B的，Yi），则气b主-4-=1l QL
13、bL(x1 毛）（x1+x2)+(Y1-Y21+Y2)-0,两式相减得向向b2I b2 即一一土一寸，即丸。.k,.,=一-:;-X1-X2 X1+X2 d nu v川3a d3以耳门，23bddd率A离此因故选：D.VJ x8.(2023秋山东青岛高三青岛二中校考期末）己知函数/(x)=4cos乙叫叫巳主1-t(CO 0）在区间1王，主上单调递增，且在区间2 2 J 2 6J I 3 4 I(0，上只取得一次最大值，则的取值范围是（A.0,%【答案】C【分析】根据三角恒等变换化简f(x），结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整?89A?Bc.；另lIlll89374?D体法即可求得参数的范
14、围【详解】因为f(x)=4叶一字co仔）一I=4sin子c咛千咛）1-c cox cox、cox.c.-.(Ji=L-.Jj sm-cos-+Lsin-1、J5 Sin COX-COS COX=L Sin I COX-因为州）在区叶7号上单调递增，由民，子，则、I.I.则一一三一二0)：！：，一，解得OJ-:,I OJ三二，即0 0)三二：3 6 2 4 6 2 当xO，l 时，OJX 主主，句，要使得该函数取得一次最大值，6 I 6 6 I 故只需乌0)1主三万，解得们三，引2 6 2 133)综上所述，的取值范围为II卢I 3 9 I 故选：C9.(2023春河北石家庄高三石家庄二中校考开
15、学考试已知x=tanl.04，。log3x,b=2,c=sinb，则，b,c的大小关系为（A.bcB.acbC.Cb D.cb【答案】Bl I【分析】由一1.04 一，得出 Oa一，再判断一c1，得出结果3 2 2 c【详解】因为一1.04 一，x=tan 1.04 tan-=I，则3 3 1xf3,0lo俨lo川，即Oaf:所以1b=2.J2，即lbh,所以工sin主 sin 1 c=sinb I，即.！cI2 6 所以acb故选：B10.(2023秋山东青岛高三青岛二中校考期末）定义在R上的函数f(x）满足f(x+I)=.!_ f(x），且当xO,1）时，（x)=l-J2x-lJ若对:;f
16、x忡，），都有f(x）三三，81 则m的取值范围是（A.I；叩）B.￥什C.I；何）D.川【答案】B【分析】根据己知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解I 2x O 臼！【详解】因为当归”，I）时，f(x)=l-l2x-ll，所以f(x）2I 2-2x J二三xABC为锐角三角形，故B正确：对于C：正方体3组对面相互平行，由面面平行的性质定理可知，五边形中有两组对边平行，所以截面五边形不可能为正五边形，故C错误：对于D：截面EHGF分别交棱AB、AD于点G、H，假设四边形EHGF为直角梯形，(EFI/GH），则EH 1-HG,又因为AA,1-HG 且 AA，、EH共面，所以AA,I/EH或
17、AA,nEH=P,当AA,/EH时，因为AA,C面AAFG,EH ct面AA,FG，则EH面AA,FG,又面AA,FGn面EFGH=FG，所以EHI/FG，又因为EFI/GH,所以四边形EHGF为平行四边形，与假设矛盾，当AA,nEH=P，因为AA,1-HG、EH 1-HG 且 AA,nEH=P,AA,EH C面APH,所以HGi平面APH，即HGi平面AA,D1D，又因为ABi平面AA1D1D,所以ABI/GH，与ABnGH=G矛盾，所以假设不成立，故D错误：Ai C1此，二、uk.,cA G B 故选：BD13.(2023春重庆渝中高三重庆巴蜀中学校考阶段练习已知f(x)=a In x+x
18、（R，0），当x主1时，存在b,cR，使得f(x)bx+c三川成立，则下列选项正确的是（A.a（0,I【答案】ABB.b（1,2 C.C=1 D.b+c2【分析】根据题意，令F(x)=x2-a lnx-x，由F(x）三O即可判断A:分别画出f(x)=alnx+x与g(x)=x2的图像，即可判断B:取x=l得（1)=12至b+c匀。）1，即可判断CD.【详解】由x气。In令h(x)=2x2-x-a，其对称轴为x！，故函数h(x）在（！，+oo）递增，4 所以h(x)h(l)=1-a,当l 三0时，即0三l时，h(x)O,F(x)O，则函数F(x）递增，所以F(x)F(l)。当10时，即 I时，存
19、在Xo吨，），使得忡。）0，即2x-x0-a=0,当x（l,x0）时，h(x)O,F(x)O，则函数F(x）递减，所以F(x0).S翩d刁7，根据均值不等式计算得到D错误，得到答案【详刷刷项A：母线长 SC=F阿2，侧面积为S=nrl=2品，正确；对选项B:f:,SAB 中，SA=SB=2,0 AB O,即当t（o,f）时g(t）单调递增3/E（，忻州0.g(t）在tE(,J）单调递减且g()=2-2ln20,g（去）川去(1卡2叶0冲击）川去(1去）叫卡，结合t O,t0时，g（t）一00;t 1,tl时，g（t），故存在t1E(o，）叫；1）使得g(t)=O,HP有纠t）在（0忡调递减在（
20、t，抽调递增，在（12,1）单调递减，注意到。0L叫“）O to时g(t）oI 1 从而对于t=co当xEIj时 g(t)0,J(x)0,l叶2J 4 J f(x）在区可f O，单调递增，.x主为f(x）在区可rO，号l上的唯一极大值点，.4 J 4 飞中故D正确，故选：Am【点睛】难点点睛：利用导数解决f(x）在区间（o，%）上有唯一极大值点的问题时，求出函数的导数，由于导数形式比较复杂，故而难点就在于要根据导数的结构形式构造函数，进而再次求导结合零点存在定理判断导数正负，从而判断函数的单调性，解决极大值点问题16.(2023重庆沙坪坝重庆南开中学校考模拟预测正四棱台ABCD-A,B,Cp，
21、中，AB=2,A,B,=1，侧棱AA，与底面所成角为.E,F,G分别为AD,AB,BB，的中点，M为3 线段BP1上一动点（包括端点，则下列说法正确的是（A F B 7.，瓦A.该四棱台的体积为工B.二棱锥E-FGM的体积为定值6 c.平面EFG截该棱台所得截面为六边形D.异面直线AB，与EDi所成角的余弦值为sh【答案】ABD【分析】将在四棱台补形为TF四棱锥S-ABCD，求得相关线段长度，根据棱台的体积公式计算该四棱台的体积，判断A：根据线面平行的性质结合棱锥体积公式可判断B：根据平面的基本性质作出平面EFG截该棱台所得截面，判断C：采用平移法，找到异面直线AB，与ED1所成角，解三角形，
22、可求得异面直线AB，与ED1所成角的余弦值，判断D.【详解】将正四棱台补形为正四棱锥S-ABCD,B 由AB=2,A,B,=I，可得A,B,C,D，为其中截面设0,0，分别为ABCD,A,B凡D，的中心，AO=k2F2=F2,so 1-底面ABCD，故础。为侧棱均与底面所成角，故础。号，可得归从AA,=Ji,SO=2.JfJ2（2=,o,t(l飞2-I叮l1 2.j予2侧面AB制为等腰梯形，高为，2士立，故础（2一一）（一）=2 V.2)2 可2 2 n、l l./:7 4一对于A,V=-(S+S 0/,$D i劝-U+l+.J4x1 k一一一一，正确3飞ABCDA,B,C,D,Y ABCJY
23、-A,B,C,1)3 V寸，、r 2 6 对于B，连接BD，则EF II BD，而Bp,II BD,所以B,D,II EF,EF C平面EFG,B,D,ex.平面EFG，得B,D,2平面EFG,由于S.EFG为定值，M在BIDI上，故三棱锥M-EFG的体积为定值即三棱锥E-FGM的体积为定值，B正确：对于C，取DD，中点H，连接EH并延长交A1D，于P,连接FG并延长交直线AB，于Q,A F p 则EDH旦l!.PDIH，则ED=PDI，而ED=AIDI=1,故AP1=PDI，同理AIBI=QBI,连接PQ，则PQII BIDI，即BIDI为6AIPQ 的中位线，而01为AICI的中点，故cl
24、在PQ上，即P,C1,Q三点共线，连接GC1,C1H，则五边形EFGCIH为平面EFG截正棱台所得的截面，C错误对于D，由题意AP1II AE,AIDI=AE知四边形AEDIAI为平行四边形，故DIEII AIA，可得A1AB1为异面直线ABI与ED1所成角或补角，AA2+B1A2-(A1B1)2 _ 2+4-1 _5-Ji在6A1AB1中，由余弦定理得cosLA1AB1=2A1AB1A2-ii.28 由于异面直线ABI与ED1所成角范围为什，5,l 故异面直线ABI与ED1所成角的余弦值为之二，D正确，8 故选：ABO【点睛】难点点睛：解答本题要发挥空间想象，明确几何体中的线面位置关系，计算
25、出相关线段长度，难点在于判断半面EFG截该棱台所得截面的形状，此时要根据主f面的基本性质，作出该截面，判断形状，17.(2023秋山东青岛高三青岛二中校考期末已知函数J(x)=sin(2mx）（为(331 正整数，？）的最小正周期T一，将函数f(x）的图象向右平移：个单位长2 4 2 J 度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数J(x）的说法正确的是（A.；是函数f(x）的一个零点称C方程f(x）护叫上有三个解B.函数J(x）的图象关于直线x对D.函数J(x）在（i，？）上单调递减【答案】ABD【分析】先由周期范围及为正整数求得m=I，再由f(x）平移后 关于原点对称求得俨；，从而得到f(x)
26、咔对于AB，如；与X：代入检验即可：对于C，利用换元法得Jljsin t！在豆豆内只有两个解，从而可以判断：2 L3 3对于D，利用整体法及y=sin x的单调性即可判断(33 32 32 4 日解】因为f(x）叫2m叫）T忡，刻，所以4阿，解得3=1，所以f(x)=sin(2x时，所以函数f(x）的图象向右平移一个单位长度后所得图象对应的函数6 州umvx 内“?n03 lllllmv 州ux?呵，牛IllLn03、，x J，、ob（点拨：函数y=sin mx(a 0）的图象经过平移变换得到y=sin(mx冽的图象时，不是平移个单位长度，而是平移l到个单位长度，由题意知，函数g(x）的图象关
27、于原点对称，加一；加kEZ），即阳kEZ),又叶，所以k=O，片，所以冲）=si卡？），对于A,f(-i）叫2忖）=sinO=0，故A正确：对于B1（引斗x(-）才sin（一l故B正确对于A，令t叶，因为x巾，所以叫7I 513l 显然sint尹于了l内只有？两个解，ep方程f(x）严叫上只有两个解，故C错误：I1（24飞（31 对于A，当x1621时，2x+3了了1豆122J因为y=sin x在（%号）上单调递减，所以函数f(x）在（刊上单调酬，故D正确故选：ABD【点睛】关键点点睛：求解此类问题的关键是会根据三角函数的图象变换法则求出变换后所得图象对应的函数解析式，注意口诀u左加右减，上加
28、下减，横变工，纵变A在解题中的应用，18.(2023秋山东青岛高三青岛二中校考期末对于伯努利数B11(nN），有定义：鸟l,B11=I:c：鸟（n2）则（）A.B2=6C.B42B.且土吨30D.B211+3=0【答案】ACD【分析】根据伯努利数的定义以及二项式定理，将B11(nN）写成递推公式的形式，逐一代入计算即可判断边项【详解】由鸟l,B11=I,c：乌（n注2）得，k=O 歧，LC!Bk=CB0+CB1+C泸2+C，B3C纠正n泣），k=O 所以，CBo+CBI+c:B2+C!B3 c:1 Bii-i=0(n三2),同理，cI鸟C.,+1B1+C;,+1B2+c!+1B3+C；二B11
29、_1+c;+1B11=O(n主1)所以，c:+1B11=-(c1B0+c,.+131+c,:卢2 311+1B3+C飞IB/1应I)B（c1B0+c；刊iB1+C;,+1B2吨：IB3叫ln+l 其中第m+I项为(n+l)n(n-1）.(n-m+2)n(n-1）切m+2)一一C.一一xB=n+I 11+1 m n+I l2x3mm l23mm n(n-1）n-m+2)(n-m+I)Bm _ r,m 8111 lx2x3xxmn-m+l”n-m+I(B B B B.飞即可得乱IcoL+CIC2_l_C m一C叶f斗非I)l 1 n II n-1 11 n-m+I 11 2 J 令n=1，得B1=
30、-(C 主l=-_!_ l一1+1 J 2(,Bo,B.丁(11飞1 令n=2，得民一IC：二立C；I一一一一一：L L 3 L 2)3 2)6(f Bo I尺，尺飞(1 1 1飞令n=3，得战Ic：C；C；一l=OJ J 4 J 3 J 2 J 4 2 4)同理，可得且土O,Br.上，B1=O,BR=-，BQ=O,B,0=巳B,=0吗30J v 42，。30歹，v66 即可得选项AC正确，B错误：由上述前12项的值可知，当n为奇数时，除了B1之外其余都是0,即B2n+I=O(n 运I），也即B211+3=0,n N：所以D正确故选：ACD.19.(2023秋湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练
31、习定义在R上的函数f(x）与g(x)的导函数分别为（x）和g。），若g(x+1)-/(2-x)=2,f（x)=g（x-1），且g(x+2）为奇函数，则下列说法中一定正确的是（A.g(2)=0 B.函数（x）关于x=2对称20型3c.函数f(x）是周期 函数D.Lg(k)=0【答案】ACD【分析】由g(x+2）为奇函数可得g(2)=0，由g(x+l)-/(2-x)=2取导数可得g（x+l)+f（2-x)=O，结合条件可得f（x+2)+f（2-x)=O，判断B，再由条件判断函数f(x),g(x）的周期，由此计算I:g(k），判断C,D.k=I【详解】因为g(x+2）为奇函数，所以g(x+2)=-g
32、(-x+2),取x=O可得g(2)=0,A对，因为g(x+l)-/(2-x)=2，所以g（x+I)+f(2-x)=0 所以g。）f(3-x)=0，又f）g（x-1），即f（x+l)=g（x)f。I)+f（3-x)=O，故f。2)+f（2-x)=O,所以函数f(x）的图象关于点（2,0）对称，B错，因为f(x)=g（x一1），所以（x)-g(x-1)=0 所以f(x)-g(x-l)=c,c为常数，因为g(x+l)-/(2-x)=2，所以g(3-x)-f(x)=2,所以g(3-x)-g(x-1)=2+c，取x=2可得c=-2,所以g(x-l)=g(3-x），又g(x+2)=-g(-x+2),ep
33、g(x+1)=-g(-x+3),所以g(x+l)=-g(x-1），所以g(x)=-g(x-2),所以g(x+4)=g(x+2)=g(x），故函数g(x）为周期为4的函数，因为g(x+2)=-g(x），所以g(3)=-g(1),g(4)=-g(2)=0,所以g(I)+g(2)+g(3)+g(4)=0,所以Lg(k)=g(l)+g(2)+g(3)+g(4)+g(S)+g(6)+g(7)+g(8)+k=I+g(2017)+g(2018)+g(2019)+g(2020)+g(202 l)+g(2022)+g(2023),所以Lg(k)=505xO+g(202l)+g(2022)+g(2023)=g(l
34、)+g(2)+g(3)=-g(4)=0,k=I 故Lg(k）的值为0,D正确：k=I 因为g(3-x)-f(x)=2,11Pf(x)=g(3-x)-2 故函数f(x）也为周期 为4的函数，C正确故选：ACD.【点睛】本题的关键在于结合g(x+l)-f(2-x)=2,f）g（x-1），且g(x+2）为奇函数三个条件，得到函数f(x),g(x）的周期，利用对称性和周期性判断各个选项20.(2023秋湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习）已知双曲线C：专专1（b 0）的左，右顶点分别为A，码，点P,Q是双曲线C上关于原点对称的两点（异于顶点），直线叽 PA2,QA1 的斜率分别为k川PA2 kQA1
35、，若kPA,从f则下列说法正确的是（A.双曲线C的渐近线方程为y中c kPA1 kQAi为定值【答案】BCDB.双曲线C的离心率为主2 D.tanL.A1叫的取值范围为（0,+co)【分析】求得双曲线C的渐近线方程判断选项A：求得双曲线C的离心率判断选项8;化简kPAi.kQA，后再判断选项C：求得tanL纣IPJ毛的取值范国判断选项D【详解】设加）则川（二才四I(-a,Q),Ai（0)b2I毛1 J 故yy y2 I a I k k 一一一一一一一一一一一干一一二一Ai p句。+xx-a x-a a b2 3 b.h 依题意有：；二，所以一立，.42 b.ll 所以双曲线C的渐近线方程为y=
36、x子x,L 时e=ff=H子蛐项A错误肌B.iE1i.ffl;因为点P,Q关于原点对称，所以四边形AP；毛Q为平行四边形，即有kAiQ=kA,P 所以kA,P.kAiQ=kAiP.kA,P=i，故C正确：圳的倾斜角为，叫的倾斜角为，由题意可得tan叫i,则LA,P=I，根据对称性不妨设P在x轴上方，则，则A,P.1毛，贝LltanLA,P 阳（一）1了正巳H,-k,H，一二二：）J3 J3 因为P在x轴上方，则kv,一一，或一kv,O),P(2,1)为抛物线内一点，不经过P点的直线ly=2x+m与抛物线相交于 A,B 两点，连接 AP,BP分别交抛物线于C,D 两点，若对任意直线l，总存在，使
37、得APPC,BPPD（0，:;c 1）成立，则该抛物线方程为一一一y。x【答案】y2=4x【分析】设A(x,Y,),B(X2，月），C（鸟，y3),D(X4,y4），根据APPC，否pjj推出Yi+Y2（YJ+Y4)=2(1），结合点在抛物线上可得Yi+Y2=P，月凡p，即可求得p，即得答案【详解】由题意设A(Xi,Yi),B(X2,Y2),(x,:;c乓），C(儿YJ）叫剖，YJ，（与:;c X4:,由主PPC可得：（2-x1,l-y1）（x3-2，只I)AA 叮衔，儿 呵L1一一一一4h4 hhd 毛UArl飞曰守匀41可mt T噜且，同禹dh叮硝dA叫L11一一一一列片句儿AdAY叮只1
38、L曰寸1 可贝Ll:x2（X3+X4 lY1+Y2（A+y4)=2(1）、将A,B两点代入抛物线方程得y=2px1,y;=2px2 作差可得：且二.b_(Y1+Y2)=2p，而且二.b_=2，即Y1只pX1-X 同理可得，只只p，代入（町，可得p=2此时抛物线方程为y2缸，故答案为：y2=4x 22.(2023秋湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习如图，己知椭圆cl：t=I（b 0）和抛物线C2:y2=2px(p 0）的一个交点为p，直线PO交cl于 o-点Q，过Q作PQ的垂线交cl于点R（不同于Q），若PR是C2的切线，则椭圆cl的离心率是【答案】空公众号：高中试卷君2 Y2+Y1 _ x1
39、 _,_【分析】根据垂直关系以及两点斜率公式可得一一一一一，联.lL.直线方程与抛物线方X2+x1 Y1,.b2 I 程以及结合点差法的运用得：；一，进而可求离心率.2【详解】不妨设点P(x1,Y1），点R(x2,Y2），则YJ2=2px1，且点Q(-xi,-Y1),则直线PQ的斜率为kPQ且，因为PQ 1-RQ，得RQ的斜率为kRQ五X1-Y1 认Yi X1,-.f导.！.，X2+x1 Y1 因为PR是C2的切线，记切线的斜率为k，则切线方程为y-y1=k(x-x1),由（叫x-x1)、消去x得y2-y-kx1+Y1=0,y2=2px,2p 由Ll=l-4去（训Yi)=0 又因为X1主2p
40、y2悦，Y1-Y,Y1 整理得k一，又因为p=-9-，得k士.！.，得一了一，Y1 LX1 LX1 X2-X1 LX1 Y2+Y1 Y2-Y1 _ X1 Y1,.y2 2-y;I 由得，一一一一一一x一，得一卡一毛X1 X2-X1 Y1 2x1 x2,-x(l王丘 1,又因为点P(x1,Y1），点R(x2,Y2）都在椭圆上，贝叫己？；口主三毛=1 la b 两式相减得五三：丘二二0，得乓斗；.a扩x2-x,a 故笔斗，得亡2b2，又因为b2=a2-c2，得户2（户2），得，a-L 则椭圆c，的离心率为e主空，故答案为主2 Z23.(2023春河北石家庄高三石家庄二中校考开学考试）已知f(x)=
41、x3-3x，若过点P(-.JJ,o）的动直线l与f(x）有三个不同交点，自左向右分别为P,E,F，则线段EF的中点纵坐标的取值范围为I 9.1飞cl【答案】亏，913j【分析】将直线l与f(x）的方程联立，化简后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理、中点坐标公式即可得线段EF的中点横坐标，再求出过点（Ji,O）的两条切线，结合图像，即可求得线段EF的中点纵坐标的取值范围【详解】设E(x1,y1),F(:s,Yi），线段EF的中点M（），l:y=k(x+./3），易得P(-.JJ,o)在f(x）上，由x3-3x=k(x+./3），得（x+.3)(x2-.f3x-k)=O,故x1，叫岛2-.JJ
42、x-k=0的叫所以S 三丘，故点M在直线x手2 2 上，f）=3x2-3,f（x)0，解得xI;f）0，解得lxI,:.f(x）在（oo,-1）和（！，+oo）上单调递增，在（1,1）上单调递减，f(-1)=2,f(l)=-2,过P作f(x）的切线，设切点坐标为A（勺，Yo)(Xo*-.JJ),则有f(xo）杰；性，即对品。一3=0，解得斗，此时切线斜率ko切线方程为y（x+.fi).又f(.fi)=6，则P点处的切线方程y=6(x+.fi).如图所示，Yi fx)=x3-3x x y牛x乒）两条切线与x子的交机标分别为芋，州，如（子）故答案为：（芋叫【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，
43、辨析清楚“在点”与“过点”的切线方程的求法是解题的关键24.(2023秋山东青岛高三青岛二中校考期末已知函数1(x)=Ix+!1 如x+！一卡有六个不同零点，且所有零点之和为3，则的取值范I XI I m-xl 围为【答案】（5，棚）时】根据瞅的对称性可求酬的值将问题转化为仲）斗1+11-x亡与y有6个不同交点的问题，通过分类讨论和导数的方式得到g(x）单调性和极值，进而确定g(x）的图象，采用数形结合的方式得到结果【详解】f(m叫扣x+_!._I咔.！.a=f 非），f(x）图象关于x号对称，I m-XI I XI 又f(x）的六个零点之和为3:.l旦，解得：m=l,6 2 川x)令g(x）
44、十：l+ll一x亡则纠x）与y吨 6个不同交点，I I I I I一一1-XIl x x-1 当.！xl时，g（x)=2一丁一一一一(x 1)2 仰又y斗与y丁在（l,+oo）上单调递减，.g(x）在（1,+oo）上单调递增，x(x-1)叫：2)f吏的（x0)=0且x E(l,x0）时g(x）山（xo,+oo）时州）0;.g(x）在（l,x0）上单调递减，在（剖，）上单调递增，g（）=5,g(x0)g（%）子5,结合g(x）对称性可得其大致图象如下图所示：y。I1 xo 2 g(x)y=a x 由图象可知：若g(x）与y有6个不同交点，则5,即实数a的取值范国为（5,+oo).故答案为：（5,
45、-tO)的焦点为F，过点T(l,0）的直线l与抛物线C交于A,B两点，点A在第二象限，当F在l上时，A与B的横坐标和为4.(I)求抛物线C的方程：过A作斜率为的直线与X轴交于点M，与直线OB交于点NCO为坐标原点，四川求2 IANI _)【答案】（I)x1=4y(II）一2公众号：高中试卷君.Y IAMI-【分析】（I)设A(x1,y1),B（冉，Y2），代入抛物线方程，利用kAB=1-F可求得P，得抛物线方程：(II）由题意直线l斜率存在，设l y=k(x-1），代入抛物线方程，整理后应用韦达定理得X1+x2=4k,X1X2=4k，设N（剖，只），由直线AM,OB 方程联立解得元，而IA N
46、I-y-y y 一一一一一I，此式用横坐标表示后代入上面的结论可得IAMI Yi Yi【详解】解：Cl）设A(x1,y1),B(x2，只），由题x;=2py1x;=2py2,x;x;由Xi+X2=-4，则直线l斜率为tYi-Y2 2 p 2 p Xi+X2 2 .,-xi-x2 xi-x2 2p p 又F(o,fT川则k=-f从而有7所以p=2从而抛物线C的方程为x2=4y.(II）由题意直线l斜率存在，设ly=k(x-1),（：士1）得川kx+4k=0,则庄16k2-16kO，解得k1,又点A在第二象限，所以kYi),(x2,Y2），直线方程 与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理得Xi+
47、X2,XiX2把Xi+X2,XiX2代入其他条件化简变形计算27.(2023春重庆渝中高三重庆巴蜀中学校考阶段练习已知椭圆C三乓I的焦a o g;(x轴上它机率为；且经过点怦叶(1）求椭圆C的方程：(2）若椭圆C的左焦点为F，过点 F 的直线l与椭圆C交于A,B两点，且过点A,B和的（。于）的圆的圆山轴上求直线Iabl 0）与“l Di 双时l川阳同的焦点双叫左顶叩（1,0），过A斜率为Jj的直线和双曲线仅有一个公共点A，双曲线的离心率是椭圆离心率的3倍y x(1）求双曲线和椭圆的标准方程：(2）椭圆上存在一点P(xp,yp)(-1 Xp 0），过AP的直线l与双曲线的左支相交于与A不重合的另
48、一点B，若以 BP为直径的圆经过双曲线的右顶点E，求直线l的方程【答案】(1）双曲线方程为x2_2一I，椭圆方程为主一L=I3 9 5 飞7（勾y于（川1)公众号：高中试卷君【分析】（1）根据题意得出2=1，主，求出双曲线方程，得到c=2，再利用双曲线吗的离心率是椭圆离心率的3倍，得a1=3，进而求出椭圆方程：(2）设出直线方程为y=k(x+I),(k）将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出山标进阳面（舌击EP=(xp-1,yp），然后问时量的数量积即可求解【详解】Cl）由题意a2=l 斗可得双附程为x2-f=I此时c=2由双曲线的离心率是椭圆离心率的3倍，1a1=3，可得I=3,bl
49、抨占，故椭圆方程为三丘 I.9 5(2）由过A的直线l与双曲线的左支相交于与A不重合的另一点B,设直线方程为y=k(x+I),(k$)f y=k(x+I)联立直线和双曲线12 Y2，可得（3-k2)x2-2 k2 x-k2-3=0,Ix-一l-k2-3 k2+3 6k 由韦达定理知，（l)x8一一一，解得x一y一一3 k2 B 3-k2B 3-k2 可得面（舌兰兰），EP=(xp-1,yp),以BP为直径的圆经过双曲线的右顶点E，可得百EB=O,2k26炒pep一一（xp一1）一一03-k2 3-k2 1 1 将yp=k(xp+l）代入得，Xp一，外k2 2 1 1 1 k2,175 将P点坐
50、标代入椭圆可得：一一一一1，解得k气一39 4 5 4 9 飞l7故直线l的方程为：y于（川1)4年J7故k二，3 29.(2023秋山东青岛高三青岛二中校考期末已知直线方程为(2-m)x+(2m+l)y+3m+4=0，其中mER(1）当m变化时，求点Q(3,4）到直线的距离的最大值及此时的直线方程：(2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求OB面积的最小值及此时的直线方程【答案】(1）距离最大值为2./13，此时直线方程为2x+3y+8=0;(2）0B面积的最小值为4，此时直线方程为2x+y+4=0;【分析】(I）求出直线恒过定点M，由两点间距离公式 即可求出最大值，由两条直线垂