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1、第一节平面向量的概念及其线性运算1向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0 的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1 个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量例 1若向量 a 与 b 不相等，则a与 b 一定 () A有不相等的模B不共线C不可能都是零向量D不可能都是单位向量例 2.给出下列命题：若|a|b|，则 ab；若A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC等价于 四边形ABCD 为平行四边
2、形；若ab，b c，则 ac； ab 等价于 |a|b|且 ab；若 ab，bc，则 ac. 其中正确命题的序号是() ABCDCA 2向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何意义 )运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc) 减法求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算叫做 a 与 b 的差三角形法则aba( b) 数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)| a| |a|；(2)当 0 时， a 的方向与a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与a 的方向相反；当 0 时， a0 (a)()a；( )a a a； (ab)
3、a b例 3：化简 ACBDCDAB得() A.ABB.DAC.BCD0 例 4：(1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BACDEF() A0BBECADDCF(2)设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点，AD12AB， BE23BC.若DE1AB2AC(1，2为实数 )，则 12的值为 _巩固练习：1将 4(3a2b)2(b2a)化简成最简式为_2若 |OAOB|OAOB|，则非零向量 OA，OB的关系是 () A平行B重合C垂直D 不确定3若菱形 ABCD 的边长为 2，则 |ABCBCD|_ 4D 是ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD等于 () ABC12BAB
4、BC12BACBC12BADBC12BA5若 A，B，C，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ABCDBCDA；ACBDBCAD；ACBDDCAB.其中正确的有 () A0 个B1 个C2 个D3 个6如图，在 ABC 中，D，E 为边 AB 的两个三等分点，CA3a，CB2b，求 CD，CE. DD12巩固练习1。16a6b2。C 3。2 4。A 5。C 6解： ABACCB3a2b，D，E为AB的两个三等分点，AD13AB a23bDE. CDCAAD3aa23b2a23b.CECDDE2a23ba23ba43b.3共线向量定理：向量a(a0)与 b 共线等价于存在唯一一个实数 ，使得
5、ba. 例 5已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量a b 与 (b3a)共线，则 _ 例 6设两个非零向量a 与 b 不共线， (1)若ABab，BC2a8b，CD3(ab)，求证： A，B，D 三点共线 (2)试确定实数k，使 kab 和 akb 共线巩固练习：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 2 1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 a0(为实数 )，则 必为零
6、，为实数，若 a b，则 a 与 b 共线其中错误的命题的个数为() A1B2 C3 D4 2.如图，已知ABa，ACb，BD3DC，用 a，b 表示AD，则AD() Aa34bB.14a34b C.14a14bD.34a14b3已知向量a，b，c 中任意两个都不共线，但ab 与 c 共线，且 bc 与 a 共线，则向量 abc() AaBb CcD0 4 如图，在 ABC 中， A60 ， A 的平分线交BC 于 D，若 AB4，且AD14ACAB( R)，则 AD的长为 () A2 3 B3 3C43 D53 5 在?ABCD 中，ABa，ADb，AN3NC， M 为 BC 的中点，则MN
7、_(用a，b 表示 )6设点 M 是线段 BC 的中点， 点 A 在直线 BC 外，BC216，|ABAC|ABAC|，则|AM|_. 例 513例 6解(1)证明： ABab，BC2a8b，CD3(ab)，BDBCCD2a8b 3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB.AB，BD共线，又它们有公共点B，A，B，D 三点共线(2)kab 与 akb 共线，存在实数 ，使 kab (akb)，即 kab akb.(k )a(k1)b.a，b 是不共线的两个非零向量，k k10， k210. k 1. C B D B 14a14b 2 4向量的中线公式 : 若 P 为线段 AB 的中点， O 为
8、平面内一点，则OP12(OAOB)5三点共线等价关系A，P，B 三点共线 ?APAB( 0)?OP(1t) OAtOB(O 为平面内异于 A，P，B 的任一点， tR)?OPxOAyOB(O 为平面内异于 A，P，B 的任一点， xR，yR，xy1)第二节平面向量的基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(
9、x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)， a(x1，y1)，|a|x21y21. (2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)，|AB|x2x12 y2y12. 3平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.ab? x1y2x2y10. 例 7若 A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，则 AB2BC_ 例 8.已知点 M(5，6)和向量 a(1， 2)，若MN3a，则点 N 的坐标为 () A(2,0)B(3,6) C(6,2) D(2,0) 例 9已知 A
10、(2,4)，B(3， 1)，C(3， 4)设ABa，BCb，CAc.(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n. 巩固练习：1若向量 a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则 c() A3abB3ab C a3bDa3b2已知向量a(x，y)，b(1,2)，且 ab(1,3)，则 |a|等于() A.2 B.3 C.5 D.10 3已知向量a(3,2)，b(x， 4)，若 ab，则 x() A4 B5 C6 D7 4设点 A(2,0)，B(4,2)，若点 P 在直线 AB 上，且 |AB|2|AP|，则点 P 的坐标为 () A(3,1) B(1， 1) C(3,1)或
11、(1， 1) D无数多个精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 3 5已知 a(1,2)，b(3,2)，当 kab 与 a3b 平行时， k() A.14B14C13D.136已知向量a(cos ，sin )，向量 b(3， 1)，则 |2ab|的最大值、最小值分别是()D A4 2，0 B4 2，4 C16,0 D4,0 7已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(4,1)，若用 a 和 b 表示 c，则 c_. 8已知向量a(3,1)，
12、b(1,3)，c(k,7)，若 (ac)b，则 k_.例 7(3， 3) 例 8.A 例 9解： 由已知得a(5， 5)，b(6， 3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5， 5)( 6， 3) 3(1,8) (1563， 15324)(6， 42)(2)mbnc(6mn， 3m8n)，6mn 5，3m8n 5，解得m1，n 1.B C C C C D 2ab 5平面向量基本定理及其应用：如果，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2，其中 e1，e2是一组基底特别注意： 若 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，a1e12e2，2211eeb则2211ba例
13、 10： （1）如图，平面内有三个向量OA，OB， OC，其中 OA与OB的夹角为 120 ，OA与OC的夹角为 30 ，且 |OA|OB|1，|OC|23，若 OC OA OB( ， R)，则 的值为 _（2）已知,AD BE分别是ABC的边,BC AC上的中线 ,且,ADa BEb,则BC可用向量,a b表示为 _ （3） 如图，已知C为OAB边 AB上一点，且),(,2RnmOBnOAmOCCBAC, 则mn=_变式训练：1. 在ABC中, 已知D是AB边上一点 , 若123ADDB CDCACB，, 则（）AA23B13C13D232.设 D，E分别是 ABC 的边 AB，BC 上的点
14、， AD12AB，BE23BC.若DE1AB2AC(1，2为实数 )，则 12的值为 _3. 若M为ABC内一点 , 且满足ACABAM4143, 则ABM与ABC的面积之比为 _. 4.若点 M 是ABC 所在平面内的一点，且满足5AMAB3AC，则 ABM 与 ABC 的面积比为() C A.15B.25C.35D.925例 10：6 2433ab29 A 121:4 C平面向量共线的坐标表示例 11已知 a(1,2)，b(3,2)，当实数 k 取何值时， ka2b与 2a4b 平行？练习： 1已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，则mn等于()C A 2 B2 C
15、12D.122已知 A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若 A，B，C 三点共线，求a，b 的关系式； (2)若AC2AB，求点 C的坐标3平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足 ambnc 的实数m，n；(2)若(akc) (2b精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 4 a)，求实数 k；例 11解法一： 2a4b 0，存在唯一实数 ，使 ka2b (2a4b)将 a，b 的坐标代入上式，得(
16、k6,2k4) (14，4)，得 k614 且 2k4 4 ，解得 k 1. 解法二： 同法一有 ka2b (2a4b)，即 (k2 )a(24 )b0.a 与 b 不共线，k2 0，24 0.k1. 1C 2解： (1)由已知得AB (2， 2)，AC(a 1，b1)，A，B，C 三点共线，ABAC. 2(b1)2(a1)0，即 ab 2. (2)AC2AB，(a1，b 1)2(2， 2)a14，b1 4，解得a5，b3.点 C 的坐标为 (5， 3)3解(1)由题意得 (3,2) m(1,2)n(4,1)，所以m4n3，2mn2，得m59，n89.(2)akc(34k,2k)，2ba( 5
17、,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0. k1613平面向量的数量积及应用知识梳理1两个向量的夹角(1)定义：已知两个_向量 a 和 b，作OAa，OBb，则 _称作向量 a 与向量 b 的夹角，记作a，b (2)范围：向量夹角a，b的范围是 _，且 _b，a (3)向量垂直：如果a，b _，则 a 与 b 垂直，记作 _2平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：_叫作向量a 和 b 的数量积 (或内积 )，记作 a b_.可见， a b 是实数，可以等于正数、负数、零其中 |a|cos (|b|cos )叫作向量a 在 b 方向上 (b 在 a 方向上 )的投影(2)向量数量积的
18、运算律a b_(交换律 ) (ab) c_(分配律 ) ( a) b_a ( b)(数乘结合律 )3平面向量数量积的性质：已知非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2) 性质几何表示坐标表示定义a b|a|b|cosa，ba ba1b1a2b2模a a|a|2或|a|a a2221|aaa若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1) AB(x2x1)2(y2y1)2ab的等价条件a b0a1b1a2b20 夹角cosa，ba b|a|b|(|a|b|0)cos a，b 2221222122211bbaababa|a b|与|a|b|的关系|a b|a|b|2221222
19、12211|bbaababa一、平面向量数量积的运算例 1(1)在等边三角形ABC 中，D 为 AB 的中点， AB5，求ABBC，CD；(2)若 a(3，4)，b(2,1)，求 (a2b) (2a3b)和|a2b|. 变式训练1已知下列各式：|a|2a2；a b|a|2ba；(a b)2a2b2； (ab)2a22a bb2，其中正确的有()A1 个B2 个C3 个D4 个2.下列命题中： cabacba)(；cbacba)()(； 2()ab2|a22| |abb； 若0ba，则0a或0b； 若,a bc b则ac；其中正确的是 _（答：）3.23120oabab已知，与 的夹角为，求22
20、12323a bababab（）；（ ）；（ ）（） （）4.已知3a，4b，a与b的夹角为43，求(3) (2 )abab。5已知 a(1， 3)，b(4,6)，c(2,3)，则 (b c)a 等于 ()精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 5 A(26， 78) B(28， 42) C 52 D 78 二、求平面向量的模例 2 （1）设向量,a b满足1ab及323ab，求3ab的值（2）设平面向量a(1,2)，b (2，y)，若
21、ab，则 |3ab|等于 ()A5 B6C17D26 变式训练1已知 |a|=2,|b|=5,ab=-3, 则|a+b|= ,|a-b|= 2.若向量 a，b 满足 |a|1，|b|2 且 a 与 b的夹角为3，则 |ab|_.3. ABC 中，3| AB，4| AC，5| BC，则BCAB_（答： 9） ；4.已知向量 a cos3x2，sin3x2，bcosx2， sinx2，且 x 3，4. (1) 求 a b 及|ab|；(2)若 f(x)a b|ab|，求 f(x)的最大值和最小值三、求夹角例 3 已知|a|4，|b|3，(2a 3b) (2ab)61.(1)求 a 与 b 的夹角
22、；变式训练：1. 12ababaab已知，且与 垂直，求与 的夹角。2若,a b是非零向量且满足(2 )aba，(2 )bab，则a与b的夹角（）A. 6 B. 3 C. 32 D. 653.已知,a b是两个非零向量，且abab，则与aab的夹角为 _（答：30）4、已知(6,0)a，( 5,5)b，则a与b的夹角为（）A、045B、060C、0135D、01205.已知11(1, ),(0,),22abcakb dab，c与d的夹角为4，则k等于 _（答： 1） ；6. 已知3|a，5|b，且12ba，则向量a在向量b上的投影为 _（答：512）四。利用数量积解决垂直问题例 4 若非零向量
23、、满足，证明 :变式训练：1. 已知( 1,2),(3,)OAOBm，若OAOB，则m（答：32） ；2.以原点 O 和 A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B，则点 B 的坐标是 _ （答：(1,3)或（3，1） ） ；3.已知( , ),na b向量nm，且nm，则m的坐标是 _ （答：( ,)(, )bab a或）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 6 4已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c
24、满足 (ac) (bc)0，则|c|的最大值是 () 答案：B A.7 B.2C.3 D.5 5. 在ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k) ，且 ABC的一个内角为直角，求k值五：求夹角范围例 5 （ 1）已知|2|0ab, 且关于x的方程2|0 xa xa b有实根 , 则a与b的夹角的取值范围是( ) A.0,6 B., 3 C.2,33 D., 6（2）已知)2,(a，)2,3(b, 如果a与b的夹角为锐角, 则的取值范围是变式训练1.设平面向量a=(2，1)，b=(， 1)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是（）答案： A A、),2()2,21(B、), 2(C、),2
25、1(D、)21,(2.已知OFQ的面积为S，且1FQOF，若2321S，则FQOF ,夹角的取值范围是_（(,)4 3） ；六、向量与三角综合应用例 6 设(cos,(1)sin),(cos,sin),(0,0)2ab是平面上的两个向量，若向量ab与ab互相垂直 .( ）求实数的值； (）若45a b，且4tan3，求tan的值 . 变式训练 设)sin,cos1(a，)sin,cos1(b，)0, 1 (c，其中), 0(，)2,(，a与c的夹角为1，b与c的夹角为2，且621，求4sin的值。【答案】)cossin2,2cos2(2a)2sin,2(cos2cos2)2cos2sin2,2sin2(2b)2cos,2(sin2sin2因为)2,(),0(，所以)2,0(2，),2(2，故2sin2,2cos2ba，2cos2cos22cos2cos21caca2cos)22cos(2sin2sin22sin22cbcb因为2220，所以222，又,621所以6222，故32，所以21)6sin(4sin。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -