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1、1平面向量题型 1. 基本概念判断正误：例 2 （1）化简：ABBCCD_；ABADDC_；()()ABCDACBD_ （2）若正方形ABCD的边长为 1，,ABa BCb ACc，则|abc_ （3）若 O是ABC所在平面内一点，且满足2OBOCOBOCOA，则ABC的形状为 _ 9与向量a=（12，5）平行的单位向量为（）A125,1313 B125,1313C125125,13 131313或 D125125,13 131313或10如图， D、E、F 分别是ABC边 AB 、BC、CA上的中点，则下列等式中成立的有_：FDDAAF0FDDEEF0DEDABE0ADBEAF011. 设
2、P是 ABC所在平面内的一点，2BCBABP，则（）A.0PAPB B.0PCPA C.0PBPC D.0PAPBPC12. 已知点(3,1)A，(0,0)B，( 3,0)C设BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BCCE，其中等于（）A.2 B.12 C.-3 D.1313. 设向量a=(1, 3),b=( 2,4),c=( 1, 2) ，若表示向量4a,4b2c,2(ac),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为 ( ) A.(2,6) B.(2,6) C.(2,6) D.(2, 6) 14. 如图 2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ADx AByAC，则x，y . 图 2
3、 15、已知O是ABC所在平面内一点D为BC边中点 且 20OAOBOC那么（）AOOD2AOOD3AOOD2AOODFEDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 2题型 3平面向量基本定理平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e12e2。性质： 向量PA PB PC、中三终点ABC、 、共线存在实数、使得PAPBPC且1. 例 3 （1）若(1,
4、1),ab(1, 1),( 1,2)c，则c_ （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1, 2)eeB. 12( 1,2),(5,7)eeC. 12(3,5),(6,10)ee D. 1213(2, 3),(,)24ee（3）已知,AD BE分别是ABC的边,BC AC上的中线 , 且,ADa BEb, 则BC可用向量,a b表示为（4）已知ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，ACsABrCD，则sr的值是 _ （5）平面直角坐标系中，O为坐标原点， 已知两点)1 ,3(A,)3 , 1(B, 若点C满足OCOBOA21, 其中R21,且121, 则点C的
5、轨迹是 _ 练习1. 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1, 2)ee B. 12( 1,2),(5,7)ee C. 12(3,5),(6,10)ee D. 1213(2, 3),(,)24ee2. （2011 全国一 5）在ABC中，ABc，ACb若点D满足2BDDC，则AD=（）A2133bcB5233cbC2133bcD1233bc3如图所示， D是 ABC的边 AB上的中点，则向量CD（）. ABABC21 BBABC21CBABC21 DBABC21题型 4向量的坐标运算例 4 （1）已知点(2,3),(5,4)AB，(7,10)C，若()APABA
6、CR，则当_时，点 P在第一、三象限的角平分线上（2）已知1(2,3),(1,4),(sin,cos )2ABABxy且，,(,)2 2x y，则xy（3）已知作用在点(1,1)A的三个力123(3,4),(2, 5),(3,1)FFF，则合力123FFFF的终点坐标是（4）设(2,3),( 1,5)AB，且13ACAB，3ADAB，则 C、D的坐标分别是 _ 练习1. 已知(4,5)AB，(2,3)A，则点B的坐标是。2. 设平面向量3,5 ,2,1ab，则2ab( ) （）7,3（）7,7（）1,7（）1,33. 若向量(1,2)AB，(3,4)BC，则ACA. (4,6) B. ( 4,
7、 6) C. ( 2, 2) D. (2, 2)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 3题型 5. 求数量积平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|cosab叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a?b，即a?bcosa b。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量 。平面向量数量积坐标表示：1212abx xy y?a ? b的几何意义 ：数量积a ? b等于a的模|a与
8、b在a上的投影的积。向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：0abab?；当a，b同向时，a ? ba b，特别地，222,aaaaaa?；当a与b反向时，a ? ba b；当为锐角时，a ? b0，且a b、不同向，0a b是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，a ? b0，且a b、不反向，0a b是为钝角的必要非充分条件；例 5 （1）ABC中，3|AB，4| AC，5| BC，则BCAB_（2）已知11(1, ),(0,),22abcakb dab，c与d的夹角为4，则k等于 _ （3）已知2,5,3aba b，则ab等于 _；（4）已知,a b是两个非零向量，且abab
9、，则与aab的夹角为 _ （5）已知向量a（ sinx ，cosx ）, b（ sinx ，sinx ）, c（ 1，0） 。 （1）若 x3，求向量a、c的夹角；（ 2）若 x4,83，函数baxf)(的最大值为21，求的值（6）下列命题中：cabacba)(；cbacba)()(；2()ab2|a22 | |abb；若0ba，则0a或0b；若,a bc b则ac；22aa；2a bbaa；222()a bab；222()2abaa bb。其中正确的是_ 练习1. 已知| 3,|4ab，且a与b的夹角为60，求（ 1）a b， （ 2）()aab，（3）2)(ba， （4）(2) (3 )a
10、bab。2. 已知(2,6),( 8,10)ab，求（ 1）|,|ab， （2）a b，3. 已知向量 a = (1,1)，b = (2,x).若 a b = 1,则 x = (A) 1 (B) 12 (C) 12 (D)1 4 已知向量a与b的夹角为120，且4ab，那么ba ?的值为5. ABC中，60, 3, 2BBCAB, 则_?BCAB6、设a、b、c是单位向量且ab0 则acbc?的最小值为 ( ) （A）2（B）22（C ）1 (D)12精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页
11、，共 6 页 - - - - - - - - - - 47、设ABC的三个内角,A B C向量( 3sin,sin)ABm(cos,3 cos)BAn若1cos()ABm n则C=（）A6B3C23D56题型 6求向量的夹角非零向量a，b夹角的计算公式：cosaba b?；| |abab?例 6 （1）已知)2,(a，)2,3(b，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是 _ （2）已知OFQ的面积为S，且1FQOF，若2321S，则FQOF ,夹角的取值范围是 _ （3）已知(cos ,sin),(cos ,sin),axx byya与b之间有关系式3,0kabakbk其中，用k表示a b；求
12、a b的最小值，并求此时a与b的夹角的大小练习1. 已知| 8,| 3ab，12a b，求a与b的夹角。2. 已知( 3,1),( 2 3,2)ab，求a与b的夹角。5. 已知(,3)am，(2,1)b， （1）若a与b的夹角为钝角，求m的范围；（2）若a与b的夹角为锐角，求m的范围。6若,a b是非零向量且满足(2 )aba，(2 )bab，则a与b的夹角是（）A6 B3 C 32 D 65题型 7. 求向量的模向量的模 ：222222|,|axyaaxy。两点间的距离 ：若1122,A xyB xy，则222121|ABxxyy。例 7、已知, a b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|
13、3 |ab _；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 51. 已知| 3,|4ab，且a与b的夹角为60，求（ 1）|ab， （2）|23 |ab。2. 设xR，向量( ,1),(1, 2),axb且ab，则|ab（A）5（B）10（C ）2 5（D）103. 若向量a，b满足12ab，且a与b的夹角为3，则ab11. （全国 II ）已知向量a(sin，1)，b(1 ，cos) ，22（）若ab，求；（）求ab的最大值题型 8投影问题
14、b在a上的投影 为|cosb，它是一个实数，但不一定大于0。例： 已知3|a，5| b，且12ba，则向量a在向量b上的投影为 _ 1 已知，4, 5 ba，ba与的夹角32，则向量b在向量a上的投影为3关于caba.且0a，有下列几种说法：)(cba； bc；0).(cbab在a方向上的投影等于c在a方向上的投影；ab；cb其中正确的个数是（）（A）4 个（B）3 个（C）2 个（D）1 个5若a=)3 ,2(，b=)7, 4(，则a在b上的投影为 _。题型 9. 向量的平行与垂直向量平行 ( 共线 ) 的充要条件 ：/abab22()(|)a ba b1212x yy x0。向量垂直的充要
15、条件：0| |aba babab12120 x xy y练习1. 已知(6,2)a，( 3,)bm，当m为何值时，（1）/ /ab？（ 2）ab？2. 已知平面向量(1,2)a，( 2,)bm，且a/b，则23ab（）A、( 5, 10) B、( 4, 8) C、( 3, 6) D、( 2, 4)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 6题型 10 平面向量与三角形四心四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂
16、心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。结论 10PAPBPCP为ABC的重心；若112233,A x yB xyC xy，则其重心的坐标为123123,33xxxyyyG结论 2PA PBPB PCPC PAP为ABC的垂心；结论 3设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心OOCcOBbOAa0为ABC的内心 . 向量()(0)|ACABABAC所在直线过ABC的内心 (是BAC的角平分线所在直线) ；结论 4OCOBOAO为ABC的外心。例
17、10. 若ABC的三边的中点分别为（2，1） 、 （-3 ，4） 、 （ -1 ，-1） ，则 ABC的重心的坐标为_ 例 11：O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心例 12;O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACACABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心例 13：O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，动点P满足)coscos(CACACBABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -