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1、第 1 页 共 10 页平面向量经典例题：1.已知向量 a(1,2)，b(2,0)，若向量 ab 与向量 c(1， 2)共线，则实数 等于 () A 2B13C 1 D23答案 C 解析 ab( ，2 )(2,0)(2 ，2 )， ab 与 c 共线， 2(2 )2 0， 1. 2.(文)已知向量 a(3，1)，b(0,1)，c(k，3)，若 a2b 与 c 垂直，则 k() A 1 B3 C 3 D1 答案 C 解析 a2b(3，1)(0,2)(3，3)，a2b 与 c 垂直， (a2b) c3k330， k 3. (理)已知 a(1,2)，b(3， 1)，且 ab 与 a b 互相垂直，则
2、实数 的值为 () A611B116C.611D.116答案 C 解析 ab(4,1)，a b(13 ，2 )，ab 与 a b 垂直，(ab) (a b)4(13 )1(2 )611 0， 611. 3.设非零向量a、b、c满足 |a|b|c|，abc，则向量 a、b 间的夹角为 () A150B120C60D30答案 B 解析 如图，在 ?ABCD 中，|a|b|c|，cab， ABD 为正三角形，BAD60 ， a，b 120 ，故选 B. (理)向量 a，b 满足 |a|1，|ab|32，a 与 b 的夹角为 60 ，则 |b|() A.12B.13C.14D.15答案 A 解析 |a
3、b|32， |a|2|b|22a b34， |a|1， a，b 60 ，设|b|x，则 1x2x34， x0， x12. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第 2 页 共 10 页4.若AB BCAB20，则 ABC 必定是 () A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰直角三角形答案 B 解析 AB BCAB2AB (BCAB)AB AC0， ABAC，ABAC， ABC 为直角三角形5.若向量 a(1,1)，b(1，1)，c
4、(2,4)，则用 a，b 表示 c 为() A a3bBa3bC3abD 3ab答案 B 解析 设 c a b，则 (2,4)( ， )， 2 4， 1 3， ca3b，故选 B. 在平行四边形ABCD 中，AC 与 BD 交于 O，E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F，若ACa，BDb，则 AF等于 () A.14a12bB.23a13bC.12a14bD.13a23b答案 B 解析 E 为 OD 的中点， BE3ED，DFAB，|AB|DF|EB|DE|，|DF |13|AB|， |CF|23|AB|23|CD |，AF AC CFAC23CDa23(ODOC)a
5、23(12b12a)23a13b. 6.若 ABC 的三边长分别为AB7， BC5，CA6，则 AB BC的值为 () A19 B14 C 18 D 19 答案 D 解析 据已知得 cosB7252622751935，故 AB BC|AB|BC|(cosB)75()1935 19. 7.若向量 a(x1,2)，b(4，y)相互垂直，则9x3y的最小值为 () A12 B23 C32 D6 答案 D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -
6、 第 3 页 共 10 页解析 a b4(x1)2y0， 2xy2， 9x3y32x3y232xy6，等号在x12，y1 时成立8.若 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，若O 不在 l 上，存在实数x使得 x2OAxOBBC0，实数 x为() A 1 B0 C.152D.152答案 A 解析 x2OAxOBOCOB0， x2OA(x1)OBOC0，由向量共线的充要条件及A、B、C共线知， 1xx21， x0 或1，当 x0 时， BC0，与条件矛盾，x 1. 9.(文)已知 P 是边长为 2 的正 ABC 边 BC 上的动点，则 AP (ABAC)() A最大值为8 B最小值为2 C是定
7、值 6 D与 P 的位置有关答案 C 解析 以 BC 的中点 O 为原点， 直线 BC 为 x 轴建立如图坐标系，则 B(1,0)，C(1,0)，A(0， 3)，ABAC(1，3)(1，3)(0， 23)，设 P(x,0)， 1x1，则 AP(x，3)，AP (ABAC)(x，3) (0， 23)6，故选 C. (理)在 ABC 中， D 为 BC 边中点，若 A120 ，AB AC 1，则|AD|的最小值是 () A.12B.32C.2 D.22答案 D 解析 A120 ，AB AC 1，|AB| |AC| cos120 1，|AB| |AC|2， |AB|2|AC|22|AB| |AC|4
8、， D 为 BC 边的中点，AD12(ABAC)， |AD|214(|AB|2|AC|22AB AC)14(|AB|2|AC|22)14(42)12，|AD|22. 10.如图，一直线 EF 与平行四边形ABCD 的两边 AB，AD 分别交于 E、 F 两点，且交其对角线于K， 其中 AE13AB， AF12AD，AK AC，则 的值为 () 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第 4 页 共 10 页A.15B.14C.13D.1
9、2答案 A 解析 如图，取 CD 的三等分点M、N，BC 的中点 Q，则 EFDGBMNQ，易知 AK15AC， 15. 11.已知向量 a(2,3)，b(1,2)，若 ma4b 与 a2b 共线，则 m 的值为 () A.12B2 C 2 D12答案 C 解析 ma4b(2m4,3m8)，a2b(4，1)，由条件知 (2m4) (1)(3m8)40， m 2，故选 C. 12.在 ABC 中， C90 ，且 CACB3，点 M 满足 BM2MA，则 CM CB等于 () A2B3C4D6 答案 B 解析 CM CB(CAAM) CB(CA13AB) CBCA CB13AB CB13|AB|
10、|CB| cos45 13323223. 13.在正三角形ABC 中， D 是 BC 上的点， AB3，BD1，则 AB AD_. 答案 152解析 由条件知， |AB|AC|BC|3， AB，AC 60 ，AB，CB 60 ，CD23CB，AB ADAB (ACCD)AB ACAB23CB33cos60 2333cos60 152. 14.已知向量 a(3,4)，b(2,1)，则 a 在 b 方向上的投影等于_答案 2 55。解析 a 在 b 方向上的投影为a b|b|25255.15.已知向量 a 与 b 的夹角为23，且 |a|1，|b|4，若 (2a b)a，则实数 _. 答案 1 解
11、析 a，b23，|a|1，|b|4， a b|a| |b| cos a，b 14cos23 2， (2a b)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第 5 页 共 10 页a， a (2a b)2|a|2 a b22 0， 1. 16.已知： |OA|1，|OB|3，OA OB0，点 C 在 AOB 内，且 AOC30 ，设 OCmOAnOB(m，nR)，则mn_. 答案 3 解析 设 mOAOF，nOBOE，则 OCOFOE， AO
12、C30 ， |OC| cos30|OF|m|OA|m，|OC| sin30 |OE|n|OB|3n，两式相除得：m3n|OC|cos30 |OC|sin301tan30 3，mn3. 17.(文)设 i、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA2ij，OB4i3j，则 OAB 的面积等于 _答案 5 解析 由条件知， i21，j21，i j0，OA OB(2ij) (4i3j) 83 5，又OA OB|OA| |OB| cosOA，OB 55cosOA，OB ，cosOA，OB55， sinOA，OB255，SOAB12|OA| |OB| sin
13、OA，OB12552555. (理)三角形 ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，能得出三角形ABC 一定是锐角三角形的条件是 _(只写序号 ) sinAcosA15AB BC0. 答案 解析 若 A 为锐角，则sinAcosA1， sinAcosA15， A 为钝角， AB BC0， B 为锐角， 由 B 为锐角得不出ABC 为锐角三角形； 由正弦定理bsinBcsinC得，3sin30 3 3sinC，sinC32，C60 或 120 ， c sinB3 32，33320，及 A、B、C(0，)，ABC知 A、B、C 均为锐角， ABC 为锐角三角形18.已知平面向量a(
14、1，x)，b(2x 3， x)(1)若 ab，求 x 的值(2)若 ab，求 |ab|. 解析 (1)若 ab，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第 6 页 共 10 页则 a b(1，x) (2x3， x)1(2x3)x(x)0，整理得 x22x30，解得 x 1 或 x3. (2)若 ab，则有 1(x)x(2x3)0，则 x(2x4)0，解得 x0 或 x2，当 x0 时， a(1,0)，b(3,0)，|ab|(1,0)(3
15、,0)|(2,0)|22022，当 x 2 时， a(1， 2)，b(1,2)，|ab|(1， 2)(1,2)|(2， 4)|22 4225. 19.已知向量 a(sinx， 1)，b(3cosx，12)，函数 f(x)(ab) a2. (1)求函数 f(x)的最小正周期T；(2)将函数 f(x)的图象向左平移6上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3 倍，得到函数 g(x)的图象，求函数g(x)的解析式及其对称中心坐标解析 (1)f(x)(ab) a2a2a b2sin2x13sinxcosx122 1cos2x232sin2x1232sin2x12cos2xsin(2x6)，
16、周期 T22.(2)向左平移6个单位得， ysin2(x6)6 sin(2x6)，横坐标伸长为原来的3 倍得，g(x)sin(23x6)，令23x6k得对称中心为 (3k24，0)，kZ. 20.(文)三角形的三个内角A、B、C 所对边的长分别为a、b、c，设向量 m(ca，ba)，n(ab，c)，若 mn. (1)求角 B的大小；(2)若 sinAsinC 的取值范围解析 (1)由 mn 知caabbac，即得 b2a2c2ac，据余弦定理知cosB12，得 B3. (2)sinAsinCsinAsin(AB)sinAsin(A3) sinA12sinA32cosA32sinA32cosA3
17、sin(A6)，B3， AC23， A(0，23)，A6(6，56)， sin(A6)(12，1，sinAsinC 的取值范围为 (32，3(理)在钝角三角形ABC 中， a、b、c 分别是角A、B、C 的对边， m(2bc，cosC)，n(a，cosA)，且 mn. (1)求角 A的大小；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第 7 页 共 10 页(2)求函数 y2sin2Bcos(32B)的值域解析 (1)由 mn 得(2bc)
18、cosAacosC0，由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC0，sin(AC)sinB， 2sinBcosAsinB0，B、A(0，) ， sinB0， A3. (2)y1cos2B12cos2B32sin2B112cos2B32sin2Bsin(2B6)1，当角 B 为钝角时，角C 为锐角，则2B023B2?2B23，562B676， sin(2B6)(12，12)， y(12，32)当角 B 为锐角时，角C 为钝角，则0B2223B? 0B6，62B66， sin(2B6)(12，12)， y(12，32)，综上，所求函数的值域为(12，32)21.设函数 f(x)
19、a b，其中向量 a(2cosx,1)，b(cosx，3sin2x)，xR. (1)若 f(x)13且 x3，3，求 x；(2)若函数 y2sin2x 的图象按向量c(m，n)(|m|2)平移后得到函数y f(x)的图象，求实数m、n 的值解析 (1)依题设， f(x)2cos2x3sin2x12sin(2x6)由 12sin(2x6)13，得 sin(2x6)32，3x3，22x656， 2x63，即 x4. (2)函数 y2sin2x 的图象按向量c(m，n)平移后得到函数y2sin2(xm)n 的图象，即函数yf(x)的图象由 (1)得 f(x)2sin2(x12)1.|m|2， m12
20、，n1. 22.已知向量 OP(2cosx1，cos2xsinx1)，OQ(cosx， 1)，f(x)OP OQ. (1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)当 x0，2时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x 值解析 (1)OP(2cosx1，cos2xsinx1)，OQ(cosx， 1)，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第 8 页 共 10 页f(x)OP OQ(2cosx1)cosx(cos2xsinx1) 2cos2
21、xcosxcos2xsinx1cosxsinx2sin(x4)，函数 f(x)最小正周期T2.(2)x0，2， x44，34，当 x42，即 x4时， f(x)2sin(x4)取到最大值2. 23.ABC 的三个内角A、B、C 所对的边分别为a、b、 c，向量 m(1,1)，n(cosBcosC， sinBsinC32)，且 mn. (1)求 A 的大小；(2)现在给出下列三个条件：a1； 2c(31)b0； B45 ，试从中选择两个条件以确定ABC，求出所确定的ABC 的面积(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分)解析 (1)因为 mn，所以 cosBcosCsi
22、nBsinC320，即 cosBcosCsinBsinC32，所以 cos(B C)32，因为 ABC ，所以 cos(BC) cosA，所以 cosA32，A30 . (2)方案一：选择，可确定ABC，因为 A30 ，a1,2c(31)b0，由余弦定理得， 12b2(312b)22b312b32解得 b2，所以 c622，所以 SABC12bcsinA12262212314，方案二：选择，可确定ABC，因为 A30 ，a1，B45 ，C105 ，又 sin105 sin(45 60 )sin45 cos60 cos45 sin60 624，由正弦定理casinCsinA1 sin105 si
23、n30 622，所以 SABC12acsinB12 162222314. (注意：选择不能确定三角形) (理)如图， O 方程为 x2y24，点 P 在圆上，点 D 在 x 轴上，点 M 在 DP 延长线上， O 交 y 轴于点 N，DPON，且 DM32DP. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)设 F1(0，5)、F2(0，5)，若过 F1的直线交 (1)中曲线 C 于 A、B 两点，求F2A F2B的取值范围解析 (1)设 P(x0，y0)，M(x，y)，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -
24、- -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第 9 页 共 10 页DM32DP，y32y0 xx0，y023yx0 x，代入 x20y204 得，x24y291. (2)当直线AB 的斜率不存在时，显然F2A F2B 4，当直线 AB 的斜率存在时，不妨设AB 的方程为： ykx5，由ykx5x24y291得， (94k2)x285kx160，不妨设 A1(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x285k94k2x1x21694k2，F2A F2B(x1，y15) (x2，y25)(x1，kx125) (x2，kx225)(1k2)x1x225k(x1x2)20
25、16 1k294k280k294k22096k21694k220 420094k2，k20， 94k29， 020094k22009， 4F2A F2B1649，综上所述， F2A F2B的取值范围是 (4，164924.在平面直角坐标系内，已知两点A(1,0)、B(1,0)，若将动点P(x，y)的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的2倍后得到点Q(x，2y)，且满足 AQ BQ1. (1)求动点 P 所在曲线 C 的方程；(2)过点 B 作斜率为22的直线 l 交曲线 C 于 M、N 两点，且 OMONOH0，又点 H 关于原点 O的对称点为点G，试问 M、G、N、H 四点是否共圆？若共圆，求
26、出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由解析 (1)设点 P 的坐标为 (x，y)，则点 Q 的坐标为 (x，2y)，依据题意得， AQ(x1，2y)，BQ(x1，2y)AQ BQ1， x212y21.动点 P 所在曲线 C 的方程是x22y21. (2)因直线 l 过点 B，且斜率为k22， l：y22(x1)，联立方程组x22y21y22x1，消去 y得， 2x22x10. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第 10 页 共 1
27、0 页设 M(x1，y1)、N(x2，y2)，x1x21，x1x212，y1y222(x11)22(x21) 22(x1x2)222. 由OMONOH0 得， OH(x1x2， y1y2)，即 H( 1，22)，而点 G 与点 H 关于原点对称，G(1，22)，设线段 MN、GH 的中垂线分别为l1和 l2，kGH22，则有l1：y242(x12)，l2：y2x.联立方程组y242 x12，y2x解得 l1和 l2的交点为 O1(18，28)因此，可算得 |O1H|9823 2823118，|O1M|x1182 y12823118. 所以 M、G、N、H 四点共圆，且圆心坐标为O1(18，28)，半径为3118. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -