(完整版)平面向量复习讲义.pdf-淘文阁

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1、1 平面向量复习讲义一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。2零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与ABuuu r共线的单位向量是|ABABuuu ruuu r)；4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不

2、一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有0r) ；6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。如下列命题：（1）若abrr，则abrr。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDCuuu ru uu r，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDCuuu ruuu r。（5）若,ab bcrr rr，则acrr。（6）若/ , /ab bcrr rr，则/acrr。其中正确的是 _ （答：（4）（5）

3、）二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i，j 为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiy jx yrrr，称, x y 为向量a的坐标，a, x y 叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的线性运算：（1）向量加法：三角形法则 :（ “首尾相接，首尾连”）,如图，已知向量a、.在平面内任取一点A，作ABar，BCbr，则向量AC叫做ar与br的和

4、，记作abrr定： a + 0-= 0 + a=a, 当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|b|，则a+b的方向与a相同，且 |a+b|=|a|-|b|；若|a|0 时， a 的方向与a 的方向 _相同 _；当 0 时， a 的方向与a 的方向相反 _；当 0时， a0_ 3向量数乘的运算律 ( a)_（）a_；( )a_ a a_； (ab)_ a b_。（4）共线向量定理a 是一个非零向量，若存在唯一一个实数，使得 b a，则向量 b 与非零向量a 共线（证明三点共线）三点 ABC、、共线ABACuu u ru uu r、共线。注意：(1)证明三点共线问题，可用向量

5、共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数1，2，使 1a2b0 成立，若1a2b0，当且仅当 120 时成立，则向量a、b 不共线例 1.设两个非零向量a 与 b 不共线，(1)若 ABab， BC2a8b，CD3(ab)，求证： A、B、D 三点共线；(2)试确定实数k，使 kab 和 akb 共线四平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e12e2我们把不共线的向量e1和e2叫做表示这一平面内所有向量的一组

6、基底。向量的夹角 : 已知两个非零向量a、b，作aAO，bBO，则 AOB ，叫向量a、b的夹角，当0o，a、b同向，当180o，a、b反向，当90o，a与b垂直，记作ab。例 1 如图，在 ABC 中， E、F 分别为 AC、AB 的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 4 中点， BE 与 CF 相交于 G 点，设 ABa， ACb，试用 a，b 表示 AG. 用方程思想解决平面向量的线性运算问题：例 2 如图所示，在ABO 中，

7、OC14OA，OD12OB，AD 与 BC 相交于点 M，设OAa，OBb.试用 a 和 b 表示向量 OM. 解设OMmanb，则AMOMOAmanba(m1)anb. ADODOA12OBOAa12b. 又A、M、D 三点共线， AM与AD共线存在实数t，使得 AMtAD，即(m1)anbt a12b . (m1)anbta12tb. m1tnt2，消去 t 得， m1 2n，即 m2n1. 又CMOMOCmanb14a m14anb，CBOBOCb14a14ab. 又C、M、B 三点共线， CM与CB共线存在实数t1，使得 CMt1CB， m14anb t114ab ，m1414t1nt

8、1，消去 t1得，4mn1. 由得 m17，n37，OM17a37b. 课堂练习：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 5 （1）若(1,1),abrr(1, 1),( 1,2)cr，则cr_ （答：1322abrr）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1, 2)eeu ru u rB. 12( 1,2),(5,7)eeu ru u rC. 12(3,5),(6,10)eeu ru u rD. 1

9、213(2, 3),(,)24eeu ru u r（答： B）；（3）已知,AD BEuuu r uuu r分别是ABC的边,BC AC上的中线 ,且,ADa BEbuuu rr uuu rr,则BCuuu r可用向量, a br r表示为 _ （答：2433abrr）；（4）已知ABC 中，点 D 在 BC 边上，且DBCD2，ACsABrCD，则sr的值是_ （答： 0）五平面向量的坐标运算：若在平面直角坐标系下，a(x1，y1)，b(x2，y2) (1)加法： ab(x1x2，y1y2) (2)减法： ab(x1x2，y1y2) (3)数乘：a(x1，y1) （4）向量的坐标：若A

10、(x1，y1)，B(x2，y2)，则2121(,)ABxx yyu uu r，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。（5）中点坐标：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段 AB 的中点坐标为1212(,)22xxyy（6）向量相等：:若 a(x1，y1)， b(x2，y2)，则2121yyxxba（7）向量共线或平行：a(x1，y1)，b(x2，y2)，若/ /abrr，则1221x yx y. 题型一求向量的坐标【例题 1】如图所示，若2OA,OA与x轴正方向夹角为30，求向量OA的坐标 . O x A y 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

11、- - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 6 【例题2】ABC的三个顶点的坐标分别是)8, 1(),6,7(),6,4(CBA，D为BC的中点，求向量BCADAB,. 题型二由向量相等求参数的值【例题 3】已知向量)2,5(),(22bxyyxa，若ba，求yx,的值 . 题型三平面向量的坐标运算1. 向量坐标运算的直接应用【例题 4】已知平面向量)1, 1(),1 ,1(ba，则向量ba2321=（）A. )1 ,2(B. )1 ,2(C. )2, 1(D. )2, 1(2. 利用向量坐标

12、运算求点的坐标【例题 5】已知)4,3(),1,3(),4 ,2(CBA且CBCNCACM2,3,求NM ,的坐标 . 题型四平面向量平行的坐标运算【例题 6】(1) 若向量( ,1),(4, )axbxrr，当x_时ar与br共线且方向相同（答：2）；（2）已知(1,1),(4, )abxrr，2uabrrr，2vabrrr，且/uvrr，则 x_ （答：4）；（3）设( ,12),(4,5),(10, )PAkPBPCkuu u ruu u ruuu r，则 k_时，A,B,C 共线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - -

13、- - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 7 （答： 2 或 11）六平面向量的数量积（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作OA，OB，则（）叫与的夹角. 说明： 1当时，与同向；2当180o时，与反向；3当90o时，与垂直，记；4注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围 0 180（2）平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ab与，它们的夹角是，则数量cosa b叫ab与的数量积，记作a bg，即有a bg=cosa b，（）.注意数量积是一个实数，不再是一个向量。其中是ab与的夹角，cosa(cos

14、 )b叫做向量ab在方向上（ba在方向上）的投影。我们规定 0 向量与任何向量的数量积为0. （3）两个向量的数量积的性质：设 a、b 为两个非零向量，1a b a b = 0 2当 a 与 b 同向时， ab = |a|b|；当 a 与 b 反向时， a b = |a|b|. 特别的 a a = |a|2或aaa |ab| |a|b| cos =|baba3当为锐角时，a ? b0，且a brr、不同向，0a brr是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，a ? b0，且a brr、不反向，0a br r是为钝角的必要非充分条件；当为直角时，a ? b=0. （4）向量的投影：“ 投影 ”

15、的概念：作图定义： |b|cos 叫做向量b 在 a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 8 当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0 时投影为|b|；当 = 180 时投影为|b|. 向量的数量积的几何意义：数量积 a b等于 a 的长度与b 在 a 方向上投影 |b|cos 的乘积 . （5）向量的运算律：1交换律：abbarrrr，aarr，ab

16、ba?rrrr；2结合律：,abcabc abcabcrrrrrr rrrrrr，ababab?rrrrrr；3分配律：,aaaababrrrrrrr，abcacbc?rrrrrrr。如下列命题中：cabacba)(；cbacba)()(；2()ab2|a22 | |abb；若0ba，则0a或0b；若,a bc br rr r则acrr；22aarr；2a bbaar rrrr；222()a babr rrr；222()2abaa bbrrrrrr。其中正确的是 _ （答：）（6）向量的数量积的坐标表示、模、夹角：1数量积： abx1x2y1y2，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

18、3. 已知OFQ的面积为S，且1FQOF，若2321S，则FQOF ,夹角的取值范围是_ （答：(,)43）；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 9 4. ABC中，3|AB，4| AC，5| BC，则BCAB_ （答： 9）；5. 已知11(1, ),(0,),22abcakb dabrrrrr u rrr，cr与du r的夹角为4，则k等于 _ （答： 1）；6. 已知2,5,3aba brrr rg，则abrr等于 _ （

20、若112233,A x yB xyC xy，则其重心的坐标为123123,33xxxyyyG。如若ABC的三边的中点分别为（ 2，1）、（-3，4）、（-1 ，-1），则 ABC的重心的坐标为 _ （答：2 4(,)3 3）；1()3PGPAPBPCuuu ru uu ruu u ruu u rG 为ABC 的重心，特别地0PAPBPCPuu u ru uu ru uu rr为ABC 的重心；PA PBPB PCPC PAPuu u r uu u ruu u r uuu ruuu r uu u r为ABC的垂心；向量()(0)|ACABABACu uu ruu u

21、ruu u ru uu r所在直线过ABC 的内心( 是BAC的角平分线所在直线) ；|0AB PCBC PACA PBPu uu r uuu ruuu ruu u ruu u r uu u rrABC的内心；（3）若 P分有向线段12PPu uu u r所成的比为，点 M 为平面内的任一点，则121MPMPMPu uu u ruu uu ruuu r，特别地 P 为12PP的中点122MPMPMPuuuu ruuuu ruu ur；（4）向量PA PB PCuuu ruuu ruuu r、中三终点 ABC、、共线存在实数、使得 PAPBPCuu u ru uu ruu u r且1.如平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点)1 ,3(A,)3 , 1(B, 若点 C 满足OCOBOA21, 其中R21,且121, 则点 C的轨迹是 _ （答：直线 AB ）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -

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