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1、一、平面向量数量积的有关概念1.两个非零向量的夹角已知非零向量a与b，作OAa，OBb，则 AOB （ ）叫a与b的夹角；说明： （ 1）当 时，a与b同向；（2）当 时，a与b反向；（3）当 2时，a与b垂直，记作ab；（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的，范围为0 180.2.数量积的概念已知两个非零向量ar与br，它们的夹角为，则arbrar brcos叫做ar与br的数量积（或内积）. 规定00arr；向量的投影： brcos|a barrrR，称为向量br在ar方向上的投影. 投影的绝对值称为射影 .二、平面向量数量积的几何意义及其性质、运算律1.几何意义：arbr等
2、于ar的长度与br在ar方向上的投影的乘积.2.性质：（1）22|a aaarrrr.（2）eaaea,cos|（3）cos,aba bab?rrrrrr|baba（4）|baba（5）abab0 注：乘法公式成立2222ababababrrrrrrrr；2222abaa bbrrrrrr222aa bbrrrr；3.运算律（1）交换律成立：a bb arrrr；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - （2）对实数的结合律成立：aba b
3、abRrrrrrr；（3）分配律成立：abca cb crrrrr rrcabrrr.（4）向量的夹角：coscos,a ba bab?rrrrrr|baba222221212121yxyxyyxx.注：平面向量数量积的运算不满足结合律.当且仅当两个非零向量ar与br同方向时， 0， 当且仅当ar与br反方向时， 180，同时0r与其他任何非零向量之间不涉及夹角这一问题.三、两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量1122(,),(,)ax ybxyrr，则arbr1212x xy y.（1）垂直：如果ar与br的夹角为 90，则称ar与br垂直，记作arbr.两个非零向量垂直的充要条件：aba
4、b 002121yyxx，（2）平面内两点间的距离公式设),(yxa，则222|yxa或22|yxa.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么221221)yy()xx(|a|（平面内两点间的距离公式）.题型一数量积的概念【例 1】判断下列各命题正确与否：(1)若0arr,arbrarcr，则brcr; (2)若arbrarcr,则brcr当且仅当ar0r时成立； (3)0ar0；(4)(arbr)crar(brcr)对任意向量ar,br,cr都成立；(5)对任一向量ar,有ar2|ar|2 (6)0rar0. 【变式练习】 1若ar、br、cr为任
5、意向量， mR，则下列等式不一定成立的是() A.()()abcabcrrrrrrB.()abca cb crrrr rr rgggC.()m abmambrrrrD.()()a b cab cr rrrr rggg g2设ar,br,cr是任意的非零平面向量,且相互不共线 ,则()()0a bcc abr rrr rrrg ggg; |ar|br|arbr|;(brcr)ar(crar)br不与cr垂直 ; (3ar2br)(3ar2br)9|ar|24|br|2中,是真命题的有 ()ABCD3.已知下列各式： |ar|2ar2，2a bbaar rrgrr(a br rg)2ar2br2，
6、(arbr)2ar22arbrbr2. 其中正确的有 ()A1 个B2 个C3 个D4 个题型二向量的模与数量积【例 2】(1)已知ar、br满足|arbr|3|arbr|，|ar| |br|1，求 |3ar2br|. (2)若|ar|13，|br|19，|arbr|24，则|arbr|的值为 _变式题 1、已知4,3, 23261abababrrrrrr（1）求ar与br的夹角（2）求abrr和abrr精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -
7、 - （3）若,ABa ACbuu u rr uuu rr作三角形 ABC ，求ABC的面积。变式题 2、已知 a、b 是非零向量，若a+b 与 7a-5b 垂直， a-4b 与 7a-2b 垂直，试求a 与b 的夹角。变式题 3.已知 a=(23sin,23cos) ，b=(2sin,2cos)且3,0. (1)求baba的最值。(2)是否存在 k 的值，使bkabak3题型三夹角问题【例 3】 设ar(cos ， sin ),br(cos ， sin ),且ar与br具有关系 |karbr|3|arkbr|(k0)(1) ar与br能垂直吗？ (2)若ar与br的夹角为 60 ，求 k 的
8、值【变式练习1】已知 |ar|4，|br| 3，(2ar3br) (2arbr) 61 求：(1) ar与br的夹角 ；(2)|arbr|和|arbr|；(3) 若ABuuu rar，ACuuu rbr，作三角形ABC，求 ABC 的面积 ; (4) 若ar(1,2)，br(3，x)，且ar，br的夹角 为钝角，求x 的取值范围【变式练习2】. ) 3,(),1 ,2(ba，且（ 1）a与b的夹角为钝角，则的取值范围为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - -
9、- - - - - _ 23且6（2） ）a与b的夹角为锐角，则的取值范围为 _ （3）a与b的夹角为直角，则的取值为 _ 题型四向量的平行、垂直与数量积【例 4】已知向量ar(1,2),br( 2,1),k，t 为正实数，向量xu rar(t21)br,yu r kar1tbr，(1)若xu ryu r,求 k 的最小值 ;(2)是否存在k，t 使xu ryu r？若存在 ,求出 k 的取值范围 ;若不存在 ,请说明理由【巩固练习】1 若平面四边形ABCD 满足0,()0ABCDABADACuuu ruuu rruuu ruuu ruuu r,则该四边形一定是 ()A正方形B矩形C菱形D直角
10、梯形2.设向量ar,br,cr满足ar+br+cr=0r，arbr，|ar|1，|br|2，则 |cr|2()A.1 B.2 C4 D5 3 已知 |ar|1，|br|6，ar (brar)2，则向量ar与向量br的夹角是 () 4 定义运算 |ar?br|ar|br|sin ,其中 是向量ar,br的夹角 若|xu r|2，|yu r| 5，x yu r u rg 6，则|xu r?yu r|5 若向量ar(2,1)，br(3，x)，若 (2arbr)br，则 x 的值为6 若非零向量ar,br满足 |ar|br|,(2arbr) br0,则ar与br的夹角为7.已知平面向量u r,u r,
11、(2)u ru ru r,则2u ru r的值是 _ _8.设12,e eu r ur是 夹 角 为60 的 两 个 单 位 向量 ,且ar1eu r 22eur,br 21eu r2eur,则 |arbr|= 9.已知向量 |ar|10，|br|8，ar与br的夹角 120 ，则向量ar在br方向上的投影为( ) A4 B 4 C5 D5 10.已知向量ar与br的夹角为120o,3,13,aabrrr则br等于（） A.5B.4C.3D.1 11在 ABC 中，若,BCa CAb ABcuuu rr uu u rr uuu rr，且arbrbrcrcrar, 则 ABC 的形状是()A锐角
12、三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 12.定义平面向量之间的一种运算“ ” 如下:对任意的ar(m,n),br(p,q),令arbrmqnp，下面说法错误的是() A若ar与br共线，则arbr0rBarbrbrarC对任意的 R，有(ar)br (arbr) D(arbr)2 (arbr)2|ar|2|br|213.已知点 O 是 ABC 所在平面上的一点，CACB，设arOA，brOB
13、，crOC，若 |ar|4，|br|2，求cr (arbr)14.已知 ABC 中， A(2，1)，B(3,2)，C(3， 1)，BC 边上的高为AD ，求ADuuu r的坐标15.设ar(cos ，sin ),br(cos ,sin ),且ar与br具有关系 |karbr|3|ar kbr|(k 0)(1)求证： (arbr)(arbr)；(2)求将ar与br的数量积表示为关于k 的函数 f(k)；(3)求函数 f(k)的最小值及取最小值时ar与br的夹角 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -
14、-第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 作业一、选择题1.已知： | ar|1，| br|2，crarbr，且car，则向量ar与br的夹角为（）A. 30B. 60C. 120D. 1502.在ABC中， M 是 BC 的中点， AM 1，点 P 在 AM 上，且满足：PMAP2，则)(PCPBPA（）A.94B.34C.34D.943.在AOB中 ， O 是 坐 标 原 点 ，),sin5 ,cos5(),sin2,cos2(OBOA若)(S5AOBOBOA，则A.23B.233C.3D.2354.在 ABC 中,若(CACB)(CACB)0?uu u vuuu
15、vu uu vu uu v,则 ABC 为 （）A正三角形B直角三角形C等腰三角形D无法确定5.若|a|=|b|=|ab|, 则b与a+b的夹角为（）A30B60C150D1206.已知|a|=1,|b|=2 ，且(ab)与a垂直，则a与b的夹角为 （）A60B30C135D457.若2ABBCAB0?uuu vu uu vuuu v,则 ABC为 （）A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D等腰直角三角形8.设|a|= 4，|b|= 3，夹角为 60 ，则|a+b|等于 （）A37 B13 C37D139.若 |a|= 1，|b|= 2，a与b的夹角为 60，c=3a+b，d= ab，若cd，
16、则实数 的值为（）A74B75C47D5710.设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线， 则下列结论正确的是（） (a b) c(c a) b=0 |a | |b | |ab | 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - (b c) a(c a) b 不与 c垂直 (3a+2b) (3a2b)= 9|a | 24|b | 2ABCD11.在ABC中， M 是 BC的中点， AM1， 点 P在 AM 上且满足 AP2PM， 则PA
17、 (PBPC)等于（）A49B43C.43D.4912.已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|5，若(ab) c52，则a与c的夹角为（）A120B60 或 120 C150 D30 或 150二. 填空题13.已知e是单位向量，ae且18ea，则向量a=_. 14.若|a|=6，|b|=4，则（a+2b） （a3b）=72，则a与b的夹角为15.已知1a，2b，120,ba，则ba等于_. 16.若0,5,3,4abcabcrrrr rrr，则accbba=_. 17. 已知向量ar与br的夹角为 120，3,13,aabrrr则br_. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -