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1、吉林省2020年高二数学上学期期中考试卷（一）（文科）（考试时间120分钟 满分150分）一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题5 分，共 60分）1.直角坐标系中，点（1,一 加）的极坐标可以是（）A.（2,等）B.（2,4）C.（2,罕）D.（2,岑 士）3 3 6 62.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2,则抛物线的方程是（）A.y=-8x B.y=-4 x C.y=8x D.y=4x2 2 2 23.已知椭圆与+k l（a 0）与双曲线工二-2 _=1 有相同的焦点，则 a 的值为（）a2 4 9 3A.7 2 B.A/1QC.4 D.104.下列有关命题的说法正确的是（）A
2、.命题“若 x 2=l,则 x=l的否命题为：“若 x?=l,则 xWl”B.x=-1是4 -5x-6=0”的必要不充分条件C.若 pA q为假命题，则 p、q 均为假命题D.命题“若 x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题5.极坐标方程pcos）=4sin 6 所表示的曲线是（）A.一条直线B.一个圆 C.一条抛物线 D.一条双曲线2 2 缶 ;入 X（人 0）1、6.将椭圆工 _+?_=1按。：，变换后得到圆x 4 y，2=9,则（）9 4 y=l y（U 0）A.入=3,u=4 B.入=3,u=2 C.X=1,|i=-|-D.A=1,7.过抛物线y2=4x的焦点F 的直线交该抛
3、物线于点A.若|AF i =3,则点A的坐标为（）A.（2,272）B.（2,-2-72）C.（2,2&）D.（1,2）8.下面四个条件中，使a b 成立的充分而不必要的条件是（）A.ab+l B.a b-1 C.a2 b2 D.a3b39.直线y=kx-k+1与 椭 圆 的 位 置 关 系 是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定10.已知 p：VxGR,x2-x+1 0,q：3 xG（0,+）,sinxl,则下列命题为真命题的是（）A.pA qB.-pV q C.p Vq D.pA q2 八-1 1 .椭圆2-+y 2=i 两个焦点分别是F ,F 2,点 P是椭圆上任意一点，则P F/P
4、F 2 的取值范围是()A.1,4 B.1,3 C.-2,1 J D.-1,1 2 21 2 .已知F 1，F 2 是双曲 线 与-9 l（a 0,b 0）的左右焦点，若双曲线右支上存a2 bz2在一点（0-亚）与点F i 关于直线尸 一 旦 对称，则该双曲线的离心率为（）c c aA.巡 B.零 C.2 D.V 2二、填空题（本大题共4 个小题，每小题5 分，共 20分）1 3 .命题p：V x G R,x 2+l 0 的 否 定 是.2 21 4 .m -1 是 方程J L-2=1 表示双曲线 的一个 条件.2+m 1+in1 5 .已知命题p：B x e R,x2+2 x+a/sina（
5、a为参数）.（I）求直线OM的宜角坐标方程；（I I ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值.1 8 .已知 p：|4 x-l|W l,q：x2-(2 a+l)x+a (a+1)W0,若是-q 的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围.1 9 .已知中心在原点的椭圆C的左焦点F （-“，0）,右顶点A （2,0）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为的直线1 与椭圆C交于A、B两点，求弦长A B|的最大值及此时1 的直线方程.20.己知曲线C 的极坐标方程为p2cos29=8,曲线C2的极坐标方程为8 d，曲线6G、C2相交于A、B 两点.(pGR)(I)求 A、B 两点的极坐标；x=l+零
6、t(I I)曲线C 与直线=(t 为参数)分别相交于M,N 两点，求线段MN的 可1长度.21.已知曲线 C 上任意一点 M 满足|MF|+|MF21=4,其中 F(0,-J)，F2(0，M),(I)求曲线C 的方程；(I I)已知直线L y=kx+T与曲线C 交于A,B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22.如图，已知椭圆(a b 0)的离心率为 坐，以该椭圆上的点和椭圆的2 1 2 9a b,左、右焦点F”F2为顶点的三角形的周长为4(&+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一
7、点，直线PF1和 PF2与椭圆的交点分别为A、B 和 C、D.(I)求椭圆和双曲线的标准方程；(II)设直线PF,、PF2的斜率分别为k1、k2,证明lk2=l；探究iL 是否是个定值,|A B|I C D I(III)若是，求出这个定值;若不是，请说明理由.参考答案一、单项选择题1.B.2.C.3.C.4.D.5.C.6.D.7.C 8.A.9.A.1 0.C.1 1.C.1 2.A.二、填空题1 3 .答案为：B xG R,x2+1 0.1 4 .答案为：充分不必要.1 5 .答案为：(1,+8).1 6 .答案为：V 5-1.三、解答题J T J T1 7 .解：(I )由点M的 极 坐
8、 标 为,瓦),得点M 的 直 角 坐 标 c os 丁二4,jry=4 /2 s in-4 即 M(4,4).，直线OM的直角坐标方程为y=x.x=l+x/2 c os C l,(I I)由曲线C的参数方程 二乙(a 为参数)，消去参数a得普通方iy=V 2 s inC L程为：(x-1)2+y2=2.圆心为A (1,0),半径由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最小值为|M A|-r=7 32+42-行5 -圾.1 8.解：由|4 x-1|W1 得 OW x,由 x2 -(2 a+l)x+a (a+1)W0 得x-(a+1)(x-a)WO,即 a WxWa+1,若p 是q 的必
9、要而不充分条件，则q 是p 的必要而不充分条件，a 0 f a 0即 一MaW O.21 9.解：(1)由题意可知：c=a=C2,.bu 2=a 2-c 2=1.焦点在x轴上，2，椭圆C的方程为：A-+y2=l.(2)设直线1的方程为y=x+b,可得 x2+2bx+2b2-2=0,1y=5x+b由 21与椭圆C交于A、B两点,A=4b2-4(2b2-2)N O,即 b?W2.设 A(xp yi),B(X 2，y2)，则 X+X2=-2b,xjX2=2b2-2.弦长 I AB (X j+X 2)2 4 x jX21=710-5 bk,V 0 b22,-AB|=A/1 0 5 b V 1 0,.当
10、b=0,即1的直线方程为y=x时，弦长I AB|的最大值为J记.P 2cos2 8=8 0 7r2 0.解：(I)由 0）,I T/n/因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点.所以m=2,2因此双曲线的标准方程为三-4-T=1证明：(I I)设 P (x0,yo),F (-2,0),F2(2,0)因为点P在双曲线x?-y2=4上，所以xj-yj=4.42O一y2X o2=o-yXo2o+yXo故 k1k2=l.解：(I I I)设 A (xP y P，B(X2，y2)，由于P F 1的方程为y=ki(x+2),将其代入椭圆方程得(2 k 2+1)x 2 +8 k i 2 x+8 k 2 -8=0-k2+1同理可得|C D|=4及 )2 k 2+1111 十J L Z K o 十.则时ER(7AT+TAI又 k1k2=L1 1 I 2 k.2+l k/+l 近 2 kl2+1 kJ+2 3&所 以 向周志 才+士 T 掌r#r)如故由局邛恒成 立 即 向-啮 俨 定 值 华.