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1、浙江省2020年高二数学上学期期中考试卷（二）（考试时间100分钟 满分120分）一、单项选择题：本大题共18小题，每小题3 分，共 54分.1.不等式x（x-1）0 的解集是（）A.（一，0）B.（0,1）C.（1,+8）D.（一，0）U（1,+8）2.已知数列1，星，3,.V2n-1.则 亚 是这个数列的第（）项.A.10 B.11 C.12 D.213.一个正方体的体积是8,则这个正方体的内切球的表面积是（）A.8n B.6R C.4n D.R4.若关于x 的不等式mx+20的解集是 x|xV2）,则实数m 等 于（）A.-IB.-2 C.1 D.25.已知数列（a j 为等差数列，首项
2、ai=l,公差d=2,则a=（）A.6 B.9 C.25 D.316.已知a,b 是异面直线，直线ca,那么c 与b（）A.一定是异面B.一定是相交直线C.不可能是相交直线D.不可能是平行直线7.下列结论成立的是（）A.若 a c b c,则 ab B.若 a b,则 a2b2C.若 ab,c b+dD.若 ab,c d,贝a-db-c8.下列结论中正确的是（）1 1A.若 a 0,则（a+1）+1）22 B.若 x 0,贝lnx+弁 22C.若 a+b=l,则 a2+b225 D.若 a+b=l,贝 U a2+b2或59.设 a 为平面，a、b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A.若
3、 20（,b/a,则 ab B.若 aj_a,ab,则 b_LaC.若。0,ac a,bu 0 则 ab D.若 2。，a b,则 b_Laa2 a4 a6 a2n10.在等比数列 a j 中，已知 M=3a3，则+a2+a3+.+an=（）3n-3 31n-3 3n-3 3前-3A B C.D.1 1.如图，长方体 A B C D-A iB iJD 中，AA=AB=2,AD=1 点 E,F,G 分别是 DDi，AB,CCi的中点，则异面直线AE与GF所成的角是（）A.90 B.60 C.45 D.301 2.已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积 为 竽，则该锥体的俯视图可以-2 T -2
4、11 3.四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a,则该四面体的体积的最大值为()A华 B.较 C.1 a3 D.导314.已知正项等比数列 aM满足：a7=a6+2a,若存在两项am,an,使得aman=16ai2,则1+9的最小值为（）in nA.B.盘C.孕 D.不存在2 3b1 5.如图，正方体A B C D-A iB fiD i的棱长为1,E,F 是线段B1D上的两个动点，且EF弩，则下列结论错误的是（）A.ACBF B.直线AE、BF所成的角为定值C.EF平面ABC D.三棱锥A-BEF的体积为定值1 6.设函数f(x)=X2-4X+3,若f(x)N m x对任意的实数x 2 2都成立
5、，则实数m的取值范围是()_A.-2/3 4,-2/3+4 B.(-2、石-4 U -2方+4,+0)C.-2、方+4,+8)D.(-8,-17.已知数列 a j的通项公式为吗严一。产I,则数列 a/()A.有最大项，没有最小项B.有最小项，没有最大项C.既有最大项又有最小项D.既没有最大项也没有最小项18.已知关于x的不等式x2+bx+cV0(a b l)的解集为空集，则T至 口 占J邛军的最小值为()ab 1A.V3 B.2 C.25/3 D.4二、填空题：本大题共4小题，共7空，每空4分，共28分.19.一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则
6、该几何体的体积为，表 面 积 为 一.20.已知数列 a/是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且a2=3,又a4、a5 ag成等比数列，则an,使Sn最大的序号n的值.21.若x0,y 0,且L E=1,则x+3y的最小值为；则x y的最小值为.x y22.如图，在棱长为1的正方体A B C D-A iB iQ D i中，点E,F分别是棱BC,C C 的中点，P是侧面BC C iB内一点，若A1P平面A E F,则线段A】P长度的取值范围是.三、解答题：本大题共3小题，共38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23.已知 f(x)=ax2+x-a,aGR(1)若 a=l,解不等式
7、f(x)2 1；(2)若 aV O,解不等式f(x)1.24.如图，四棱锥S-ABCD中，AABD是正三角形，CB=CD,SC1BD.(I)求证：SB=SD；(II)若NBCD=120。，M 为棱SA的中点，求证：DM平面SBC.25.各项均为正数的数列 a j 中，ai=l,Sn是数列 aM的前n 项和，对任意ndN”,W 2Sn=2pan2+pan-p(pGR)(1)求常数p 的值；(2)求数列 a j 的通项公式；4s(3)记-2n，求数列 4 的前n 项和求n+3参考答案一、单项选择题1.D 2.B 3.C 4.A.5.B.6.D.7.D.8.C.9.B.10.D.11.A.12.C
8、13.C.14.A 15.B.16.D 17.C.18.D.二、填空题19.解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的后侧面SAC与底面垂直，W j so 为y,如图：其中 OA=OB=OC=1,S O,平面 ABC,AB=BC=&,SA=SB=SC=2,底面AABC的面积为：呆2X1=1，后侧面4SA C 的面积为：y x 2又对两,左右两个侧面4SAB 和4SB C 的底 面 边 长 为 两 腰 长 为 2,故底边上的高为：-噜 产=号故左右两个侧面4SA B 和4SB C 的面积为：x J?X下卫2*4 2 2故几何体的表面积：V3+V7+1-几 何 体 的 体 积 X1X小 空，J J
9、故答案为：J5+J7+120.解：设等差数列 aM的公差为d,dWO,*2=3,a4，as，ag成等比数列,a+d=3l(3+3d)2=(3+2d)(3+6d)又 dW O,解得 a1=5,d=-2,an=5-2(n-1)=-2n+7；Sn=n5 2 =-02+6 n=(n-3)2+9,.当n=3时，Sn取到最大值为9,故答案为：=-2n+7；3.i 22 1.解：Vx,y 0,且-=1,x y _.x+3y=(x+3y)(=10+显 3 2 10+6区 工=1 6,当且仅当工=三即 x=x y x y V x y x y 4=y取等号.由此x+3y的最小值为16.Vx0,y 0,且工=1，_
10、 x y,“WR，化为x y 2 1 2,当且仅当y=3x时取等号.则 xy的最小值为12.故答案为：16,122 2.解：如下图所示：分别取棱BB、B 1 J 的中点M、N,连接M N,连接BQ,.M、N、E、F 为所在棱的中点，MNBCi，EFBC,；.MNE F,又 MNQ平面 AEF,EFc 平面 AEF,，MN 平面 AEF；.AANE,AA)=N E,二四边形AENA1为平行四边形，.,.ANA E,又 AN4平面 AEF,AEu 平面 AEF,；.AiN平面 AEF,又 ANcMN=N,二平面 AiMN平面 AEF,P是侧面BCCiB内一点，且 AiP平面AEF,则 P 必在线段
11、MN上，在 RtAAiBiM 中，AiM=jAB J+BM2=同理，在 RtA iBN中，求得A N=,V52，.AMN为等腰三角形,当P 在 MN中点0 时 AiP_LMN,此时A iP最短，P 位于M、N 处时A】P 最长,AIO=A J2-0叶净2-吟)2 ,A1M=A1N=-,所以线段A R 长度的取值范围是 斗，坐 .故答案为：斗，坐 .三、解答题2 3.解:(1)若 a=l,不等式 f(x)21 可化为:x2+x-1 1,即 x2+x-220,解得：X E(-8,-2 U 1 ,+8),(2)若 a 0,即(x-l)(x+a 1,即-V aV 0 时，不等式的解集为(1,-亘包).
12、a 2 a2 4.证明：如图示：(I)设 BD中点为O,连接OC,O E,则由BC=CD知，COBD,又已知 SC_LBD,SC_LCO=C,所以 BDL平面 SOC,所以BD_LSO,即SO是 BD的垂直平分线，所以SB=SD,(II)取 AB 中点 N,连接 DM,MN,DN,.,M 是 SA 的中点，MNBE,/AABD 是正三解形，DNAB,.NBCD=120。得NCBD=30,.,.ZABC=90,即 BCLAB,所以NDB C,所以平面MND平面BSC,故DM平面SBC.2 5.解：(1)V a i=l,对任意的 nN*,W 2Sn=2pan2+pan-p/.2ai=2pai2+p
13、ai-p,即 2=2p+p-p,解得 p=l；(2)2Sn=2an2+an-1,2Sn.i=2an.i2+an.i-1,(n 2 2),-即得(n-an-i-)(an+an.j)=0,因为 an+an _1 W O,所以 an-a i-=0,.为=.n 2(3)2Sn=2an2+an-1=2 x 3 1 2+-i，4 2 q _n,+3n,0n-,44Sk=四严n2nDn n+3 4Tn=lX 2,+2X 22+.+n2nX 2Tn=lX 22+2X23+.+(n-1)2n+n2n+1 -丁产-1X21-(22+23+.+2n)+n2n+1=(n-1)2n+1+2.Tn=(n-1)2n+1+2