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1、5.3 5.3 平行线的性质平行线的性质5.3.2 5.3.2 命题、定理、证明命题、定理、证明人教版人教版 数学数学 七年级七年级 下册下册小明的百米小明的百米成绩有进步成绩有进步,已达到已达到9秒秒9.有一位田径教练向领导汇报训练成绩有一位田径教练向领导汇报训练成绩;相传相传,阎锡山在观看士兵篮球阎锡山在观看士兵篮球赛赛,双方争抢非常激烈双方争抢非常激烈.于是命令于是命令:导入新知导入新知好好!继续努力继续努力,争取超争取超过过10秒秒.“不要再抢啦不要再抢啦!每个人发一个球每个人发一个球!”1.理解理解命题命题,定理定理及及证明证明的概念的概念,会区分命题的会区分命题的题设和结论题设和结
2、论.2.会判断会判断真假真假命题命题,知道证明的意义及必要性知道证明的意义及必要性,了了解解反例的作用反例的作用.素养目标素养目标3.理解证明要理解证明要步步有据步步有据,培养学生养成科学严谨培养学生养成科学严谨的学习态度的学习态度.请同学读出下列语句请同学读出下列语句:（1）如果两条直线都与第三条直线平行）如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互那么这两条直线也互相平行相平行;（2）两条平行线被第三条直线所截）两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补同旁内角互补;（3）对顶角相等）对顶角相等;（4）等式两边都加同一个数）等式两边都加同一个数,结果仍是等式结果仍是等式像这样判断一件事
3、情的语句像这样判断一件事情的语句,叫做叫做命题命题.探究新知探究新知知识点 1命题的概念命题的概念2.如果一个句子如果一个句子没有没有对某一件事情作出任何对某一件事情作出任何判断判断,那么那么它就它就不是命题不是命题.如如:画线段画线段AB=CD.1.只只要对一件事情作出了要对一件事情作出了判断判断,不管正确与否不管正确与否,都是都是命题命题.如如:相等的角是对顶角相等的角是对顶角.注意注意:探究新知探究新知例例 判断下列四个语句中判断下列四个语句中,哪个是命题哪个是命题,哪个不是命题哪个不是命题?并并说明理由说明理由:（1）对顶角相等吗）对顶角相等吗?（2）画一条线段）画一条线段AB=2cm
4、;（3）两条直线平行）两条直线平行,同位角相等同位角相等;（4）相等的两个角）相等的两个角,一定是对顶角一定是对顶角.解解:（3）（）（4）是命题）是命题,（1）（2）不是命题）不是命题.理由如下理由如下:（1）是问句）是问句,故不是命题故不是命题;（2）是做一件事情）是做一件事情,也不是命题也不是命题.探究新知探究新知素素养养考考点点 1命题的识别命题的识别下列语句在表述形式上下列语句在表述形式上,哪些是命题哪些是命题?哪些不是命题哪些不是命题?（1）对顶角相等）对顶角相等;（2）画一个角等于已知角画一个角等于已知角;（3）两直线平行）两直线平行,同位角相等同位角相等;（4）a、b两条直线平
5、行吗两条直线平行吗?（5）温柔的李明明温柔的李明明;（6）玫瑰花是动物玫瑰花是动物;（7）若若a24,求求a的值的值;（8）若若a2b2,则则ab.否否是是否否否否是是否否是是是是巩固练习巩固练习 观察下列命题观察下列命题,你能发现这些命题有什么共同的结构特你能发现这些命题有什么共同的结构特征征?与同伴交流与同伴交流.（1）如果如果两个三角形的三条边相等两个三角形的三条边相等,那么那么这两个三角形的周长这两个三角形的周长相等相等;（2）如果如果两个数的绝对值相等两个数的绝对值相等,那么那么这两个数也相等这两个数也相等;（3）如果如果一个数的平方等于一个数的平方等于9,那么那么这个数是这个数是3
6、.都是都是“如果如果那么那么”的形式的形式.知识点 2命题的构成命题的构成探究新知探究新知 命题命题一般都可以写成一般都可以写成“如果如果那么那么”的形式的形式.1.“如果如果”后接的部分是后接的部分是题设题设,2.“那么那么”后接的部分是后接的部分是结论结论.如命题如命题:熊猫没有翅膀熊猫没有翅膀.改写为改写为:如果如果这个动物是熊猫这个动物是熊猫,那么那么它就没有翅膀它就没有翅膀.注意注意:添加添加“如果如果”“”“那么那么”后后,命题的命题的意义不能改变意义不能改变,改写改写的句子要完整的句子要完整,语句要通顺语句要通顺,使命题的题设和结论更明朗使命题的题设和结论更明朗,易易于分辨于分辨
7、,改写过程中改写过程中,要适当增加词语要适当增加词语,切不可生搬硬套切不可生搬硬套.探究新知探究新知命题命题题设题设结论结论已知事项已知事项由已知事项推出的由已知事项推出的事项事项 两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等题设（条件）题设（条件）结论结论命题的组成命题的组成:探究新知探究新知例例 分别把下列命题写成分别把下列命题写成“如果如果那么那么”的形式的形式.(1)两点确定一条直线两点确定一条直线;(2)等角的补角相等等角的补角相等;(3)内错角相等内错角相等.解解:(1)如果有两个定点如果有两个定点,那么过这两点有且只有一条直线那么过这两点有且只有一条直线;(2)如果两个角分别是两个
8、等角的补角如果两个角分别是两个等角的补角,那么这两个角相等那么这两个角相等;(3)如果两个角是内错角如果两个角是内错角,那么这两个角相等那么这两个角相等.素素养养考考点点 1命题表述形式的变换命题表述形式的变换探究新知探究新知请将它们改写成请将它们改写成“如果如果,那么那么”的形式的形式.（1）两条直线被第三条直线所截）两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补同旁内角互补;（2）等式两边都加同一个数）等式两边都加同一个数,结果仍是等式结果仍是等式;（3）互为相反数的两个数相加得）互为相反数的两个数相加得0;（4）同旁内角互补）同旁内角互补;（5）对顶角相等）对顶角相等如果两条直线被第三条直线所截
9、如果两条直线被第三条直线所截,那么同旁内角互补那么同旁内角互补;如果等式两边都加同一个数如果等式两边都加同一个数,那么结果仍是等式那么结果仍是等式;如果两个数互为相反数如果两个数互为相反数,那么这两个数相加得那么这两个数相加得0;如果两个角是同旁内角如果两个角是同旁内角,那么这两个角互补那么这两个角互补;如果两个角互为对顶角如果两个角互为对顶角,那么这两个角相等那么这两个角相等巩固练习巩固练习 有些命题如果题设成立有些命题如果题设成立,那么结论一定成立那么结论一定成立;而有些命题题设而有些命题题设成立时成立时,结论不一定成立结论不一定成立.正确的命题叫正确的命题叫真命题真命题,错误的命题叫错误
10、的命题叫假命题假命题.如命题如命题:“如果两个角互补如果两个角互补,那么它们是邻补角那么它们是邻补角”就是一个就是一个错误错误的命的命题题.如命题如命题:“如果一个数能被如果一个数能被4整除整除,那么它也能被那么它也能被2整除整除”就是一个就是一个正确正确的命题的命题.确定一个命题真假的确定一个命题真假的方法方法:利用已有的知识利用已有的知识,通过通过观察、验证、推理、举反例观察、验证、推理、举反例等方法等方法.探究新知探究新知知识点 3真假命题的概念真假命题的概念例例 下列命题下列命题哪些命题是正确的哪些命题是正确的,哪些命题是错误的哪些命题是错误的?（1）两条直线被第三条直线所截）两条直线
11、被第三条直线所截,同旁内角互补同旁内角互补;（2）等式两边都加同一个数）等式两边都加同一个数,结果仍是等式结果仍是等式;（3）互为相反数的两个数相加）互为相反数的两个数相加得得0;（4）同旁内角互补）同旁内角互补;（5）对顶角相等）对顶角相等 探究新知探究新知真假命题的识别真假命题的识别素素养养考考点点 1 下列句子哪些是命题下列句子哪些是命题?是命题的是命题的,指出是真命题还是假命题指出是真命题还是假命题?（1）猪有四只脚）猪有四只脚;（2）内错角相等内错角相等;（3）画一条直线）画一条直线;（4）四边形是正方形）四边形是正方形;（5）你的作业做完了吗你的作业做完了吗?（6）同位角相等）同位
12、角相等,两直线平行两直线平行;（7）同角的补角相等）同角的补角相等;（8）同垂直于一直线的两直线平行同垂直于一直线的两直线平行;（9）过点）过点P画线段画线段MN的垂线的垂线;（10）x2.是是 真命题真命题否否是是 假命题假命题是是 假命题假命题否否是是 真命题真命题是是 真命题真命题是是 真命题真命题否否否否巩固练习巩固练习“因为因为早上我发现王五从苹果园那边过来早上我发现王五从苹果园那边过来,把一袋东西背回家把一袋东西背回家,还还发现我果园的苹果被人偷了发现我果园的苹果被人偷了,我知道王五家没有苹果树我知道王五家没有苹果树.所以所以我家苹果肯定是王五偷的我家苹果肯定是王五偷的.”.”情节
13、情节1:1:一天早上一天早上,张张老汉来到老汉来到公安局里告状说公安局里告状说:王五刚刚在他地里偷王五刚刚在他地里偷了一袋子苹果了一袋子苹果.文局长立即派干警将王五传唤到公安局审讯文局长立即派干警将王五传唤到公安局审讯:文局长问文局长问张老汉张老汉:“:“你怎知是王五偷了你的苹果你怎知是王五偷了你的苹果?”?”这种从已知条件出发（列出理由）这种从已知条件出发（列出理由）,推断出结论的证明方法推断出结论的证明方法,叫综合法叫综合法.综合法是最常用的证明方法综合法是最常用的证明方法.知识点 4证明和反证法（举反例）证明和反证法（举反例）探究新知探究新知张老汉想证明什么张老汉想证明什么?他是怎么证明
14、的他是怎么证明的?根据张老汉的证明根据张老汉的证明,你能断你能断定苹果是王五偷的吗定苹果是王五偷的吗?你觉你觉得有疑点吗得有疑点吗?情节情节2:文局长一时拿不定主意文局长一时拿不定主意,就问旁边的梁副局长就问旁边的梁副局长:“:“梁局长梁局长,你怎么看你怎么看?”?”梁局长说梁局长说“这事要证明是王五干的这事要证明是王五干的,还得弄清那袋子里装的是不还得弄清那袋子里装的是不是刚摘的苹果是刚摘的苹果,还要看看地里的脚印是不是王五的才行还要看看地里的脚印是不是王五的才行.如果袋子里装的是刚摘的苹果如果袋子里装的是刚摘的苹果,且地里的脚印是王五的且地里的脚印是王五的,那就一那就一定是他偷的定是他偷的
15、.”.”从结论出发从结论出发,逆着寻找所需要的逆着寻找所需要的条件条件的思考过程的思考过程,叫分析叫分析.在分析的过程中在分析的过程中,如果发现所需要的条件如果发现所需要的条件,都已具备或可从都已具备或可从已知条件中推得已知条件中推得.那么证明就很容易了那么证明就很容易了.探究新知探究新知 在很多情况下在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理才能作出一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断判断,这个推理过程叫作这个推理过程叫作证明证明.注意注意:证明的每一步推理都要有证明的每一步推理都要有根据根据,不能不能“想当然想当然”.”.这些根据这些根据,可以是已知条件可以是已知条件,也可以是学过的也
16、可以是学过的定义定义、基本事实、定理基本事实、定理等等.证明的概念证明的概念探究新知探究新知确定一个命题是假命题的方法确定一个命题是假命题的方法:例如例如,要判定命题要判定命题“相等的角是对顶角相等的角是对顶角”是假命题是假命题 ,可以举出可以举出如下如下反例反例:如图如图,OC是是AOB的平分线的平分线,1=2,但它们不是对顶角但它们不是对顶角.）12AOCB只要举出一个例子（只要举出一个例子（反例反例）:它符合命题的题设它符合命题的题设,但不满足但不满足结论即可结论即可.【讨论讨论】如何判定一个命题是假命题呢如何判定一个命题是假命题呢?举反例举反例探究新知探究新知分析分析:要证明要证明AB
17、,CD平行平行,就需要就需要同位角相等的条件同位角相等的条件,图中图中1与与3就是同位角就是同位角.我们只要找到我们只要找到:能说能说明它明它们们相等的条件就行了相等的条件就行了.从图中从图中,我们可以发现我们可以发现:2与与3是对顶角是对顶角,所以所以3=2.这样这样我们就找到了我们就找到了1与与3相等的确相等的确切条件了切条件了.例例 如图如图,1=2,试说明直线试说明直线AB,CD平行平行.素素养养考考点点 1利用证明推理解决问题利用证明推理解决问题探究新知探究新知证明证明:2与与3是对顶角是对顶角,3=2.又又1=2,1=3.ABCD.BDCEAF123如图如图所示所示,直线直线AB和
18、直线和直线CD,直线直线BE和直线和直线CF都被直线都被直线BC所截所截,在下面三个式子中在下面三个式子中,请你选择其中两个作为题设请你选择其中两个作为题设,剩下的一个作为结论剩下的一个作为结论,组成一个真命题并写出对应的推理过程组成一个真命题并写出对应的推理过程ABCD,BECF,12题设题设(已知已知);.结论结论(求证求证):.巩固练习巩固练习理由理由:证明证明:ABCD,ABCDCB,又又BECF.EBCFCB.ABCEBCDCBFCB,12.巩固练习巩固练习数学中有些命题的正确性是人们在数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结长期实践中总结出来的出来的,并把并把它们它们作为判断其
19、他命题真假的原始依据作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做这样的真命题叫做公理公理.两点确定一条直线两点确定一条直线.两点间线段最短两点间线段最短.经过直线外的一点有且仅有一条直线与经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行已知直线平行.直线公理直线公理:线段公理线段公理:平行线公理平行线公理:公理的概念公理的概念探究新知探究新知知识点 5公理和定理的概念公理和定理的概念有些命题是有些命题是基本事实基本事实,还有些命题它们的正确性是经过推理证还有些命题它们的正确性是经过推理证实的实的,这样得到的真命题叫做这样得到的真命题叫做定理定理.定理也可以作为继续推理的定理也可以作为继续推理
20、的依据依据.同角或等角的补角相等同角或等角的补角相等.（2）余角的性质余角的性质:同角或等角的余角相等同角或等角的余角相等.（4）垂线的性质垂线的性质:在同一平面内过一点有且只有一条在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直直线与已知直线垂直;（1）补角的性质补角的性质:（3）对顶角的性质对顶角的性质:对顶角相等对顶角相等.垂线段最短垂线段最短.学过的定理学过的定理:定理的概念定理的概念探究新知探究新知例例 已知已知:bc,ab 求证求证:ac证明证明:a b（已知）（已知）,1=90（垂直的定义）（垂直的定义）.又又 b c（已知）（已知）,2=1=90（两直线平行两直线平行,同位角相
21、等同位角相等）.a c（垂直的定义）（垂直的定义）.abc12探究新知探究新知素素养养考考点点 1利用公理定理进行推理利用公理定理进行推理填空填空:已知已知:如图如图,1=2,3=4,求证求证:EGFH证明证明:1=2（已知）（已知）,AEF=1 （）,AEF=2 （）ABCD（）BEF=CFE（）3=4（已知）（已知）,BEF4=CFE3即即GEF=HFE（）EGFH（）对顶角相等对顶角相等 等量代换等量代换同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行 两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等等式性质等式性质内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行巩固练习巩固练习给出下列说法给出下列说法:
22、(1)两条直线被第三条直线所截两条直线被第三条直线所截,同位角相等同位角相等;(2)平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交,则它与另一则它与另一条也相交条也相交;(3)相等的两个角是对顶角相等的两个角是对顶角;(4)从直线外一点到这条直线的垂线段从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到直线的距离叫做这点到直线的距离.其中正确的命题有其中正确的命题有()A.0个个 B.1个个 C.2个个 D.3个个 B连接中考连接中考 1.如图如图所示所示,从从12 CD AF 三个三个条件中选出两个作为已知条件条件中选出两个作为已知条件,另一个作为结论所组成的命另一
23、个作为结论所组成的命题中题中,正确命题的个数为正确命题的个数为()()A.0 B.1 C.2 D.3D课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题2.下列命题下列命题:两两点点确确定定一一条条直直线线;两两点点之之间间,线线段段最最短短;对对顶顶角角相相等等;内错角相等内错角相等;其中真命题的个数是其中真命题的个数是()()A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个C课堂检测课堂检测3.下列选项中下列选项中,可以用来说明命题可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角两个锐角的和是锐角”是假命题的反例的是是假命题的反例的是 ()()A.A30,B40 B.A30,B110C.A30,B70 D.A
24、30,B90C课堂检测课堂检测4.下列命题是真命题的是下列命题是真命题的是()()A.相等的角是对顶角相等的角是对顶角 B.如果一个数能被如果一个数能被3整除整除,那么它也能被那么它也能被6整除整除C.同旁内角互补同旁内角互补 D.同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行D课堂检测课堂检测5.如图如图所示所示,已知已知AC与与BD相交于点相交于点O,OE是是AOD的平分线的平分线,可可以作为假命题以作为假命题“相等的角是对顶角相等的角是对顶角”的反例的是的反例的是()()A.AOBDOC B.EOCDOC C.EOBEOC D.EOCDOCC课堂检测课堂检测6.在下面的括号内在下面的括号内,
25、填上推理的依据填上推理的依据.如图如图,AB CD,CB DE,求证求证:B+D=180证明证明:AB CD,B=C().().CB DE,C+D=180().().B+D=180().().等量代换等量代换两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补课堂检测课堂检测AB CDE(1)如图如图所示所示,若若12,则则ABCD,试判断该命题的真假试判断该命题的真假:(填填“真真”或或“假假”).”).(2)若上述命题为真命题若上述命题为真命题,请说明理由请说明理由,若上述命题为假命题若上述命题为假命题,请你再请你再添加一条件添加一条件,使该命题成为真命
26、题使该命题成为真命题,并说明理由并说明理由.假假解解:加条件加条件:BEFD.理由如下理由如下:BEFD,EBDFDN(两两直线平行直线平行,同位角相等同位角相等).).又又12,ABDCDN.ABCD(同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行).).能能 力力 提提 升升 题题课堂检测课堂检测证明证明:ABCD(已知已知),),BPQCQP(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)又又PG平分平分BPQ,QH平分平分CQP(已知已知),),GPQ BPQ,HQP CQP(角平分线的定义角平分线的定义),),GPQHQP(等量代换等量代换),),PGHQ(内错角相等内错角相等,两直线平行
27、两直线平行)如图如图,已知已知ABCD,直线直线AB,CD被直被直线线MN所截所截,交点分别为交点分别为P,Q,PG平分平分BPQ,QH平分平分CQP,求证求证:PGHQ.ABCDMNPQHG拓拓 广广 探探 索索 题题课堂检测课堂检测真命题真命题假命题假命题公理公理定理定理（只需举一个（只需举一个反例反例）（不需证明）（不需证明）（由（由推理推理证实）证实）1.命题的命题的定义定义:2.命题的命题的组成组成:3.命题的命题的分类分类:判断判断一件事情的句子一件事情的句子题设题设和和结论结论课堂小结课堂小结课后作业课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习七彩课堂七彩课堂 伴你成长伴你成长谢 谢 观 看