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1、1.3 空间向量及其运算的坐标表示知识回顾 1.在平面直角坐标系中，如何表示向量？一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标2.平面向量的加减运算如何用坐标表示？3.平面向量的数乘运算如何用坐标表示？4.平面向量的数量积如何用坐标表示？两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和知识回顾5.平面向量的模如何用坐标表示？6.平面向量的夹角余弦值如何用坐标表示？我国著名数学家吴文俊先生在数学教育现代化问题中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得
2、几何体系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的腾飞,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法.”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算.在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x 轴，轴，y 轴方向相同的两个轴方向相同的两个单位向量单位向量 ，为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算转化为坐标的运算从而把平面向量的运算转化为坐标的运算.类似地，能否利用空间向量基
3、本定理和空类似地，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？的一一对应呢？空间直角坐标系空间直角坐标系 在在空空间选间选定一点定一点O 和一个和一个单单位正交基底位正交基底 ，以，以点点O 为为原点原点，分分别别以以 ，的方向的方向为为正方向正方向、以以它它们们的的长为单长为单位位长长度，建立三条数度，建立三条数轴轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴，轴，它它们们都叫做都叫做坐坐标轴标轴.这时这时我我们们就建立了一个空就建立了一个空间间直角坐直角坐标标系系
4、Oxyz，O叫做原点叫做原点，叫做叫做坐坐标标向量向量，通通过过每两条坐每两条坐标轴标轴的平面叫做的平面叫做坐坐标标平面平面，分分别别称称为为Oxy平面平面，Oyz平面平面，Ozx平面平面，它它们们把空把空间间分成八个部分分成八个部分.O空间直角坐标系的划分：空间直角坐标系的划分：空间直角坐标系的画法空间直角坐标系的画法(1)(1)画空间直角坐标系画空间直角坐标系Oxyz时，一般使时，一般使xOy=135(或或45)，yOz=90.(2)(2)直角坐标系右手定则直角坐标系右手定则:在空间直角坐标系中，握住右手，四指向手心方向折合在空间直角坐标系中，握住右手，四指向手心方向折合,从从x 的的方向
5、沿小于方向沿小于180180的角转向的角转向y 轴，大拇指的方向就是轴，大拇指的方向就是z 轴轴.在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中，中，为坐标向量，对空间任意一点为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量对应一个向量 ，且点，且点A 的位置由向量的位置由向量 唯一确定，由空间向量基本唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序数组定理，存在唯一的有序数组(x，y，z)，使，使 .在单位正交基底在单位正交基底 下与向量对应下与向量对应的有序数组的有序数组(x，y，z)，叫做点，叫做点A在空间直在空间直角坐标系中的坐标，记作角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其，其中中x 叫做点叫做
6、点A 的横坐标、的横坐标、y 叫做点叫做点A 纵坐标、纵坐标、z 叫做点叫做点A 竖坐标竖坐标.在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中，中，给定向量给定向量 ，作，作 ，由空间向量基本，由空间向量基本定理，存在定理，存在唯一的有序数组唯一的有序数组(x，y，z)，使，使 .有序实数组有序实数组(x，y，z)叫做叫做 在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可中的坐标，上式可简记作简记作 .这样，在空间直角这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示个有序实数表示.思考jiOkxyzABCDA求某点A的坐标的方法：先找到
7、点A在xOy平面上的射影A，过点A向x轴作垂线，确定垂足B.其中|OB|,|BA|,|AA|即为点A坐标的绝对值，再按OBAA确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)，最后得到相应的点A的坐标OxyzABCBACD解:(1)D(0,0,2),C(0,4,0),A(3,0,2),B(3,4,2)例题1空间直角坐标系中一些特殊的点1.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标点的位置x轴上y轴上z轴上坐标形式(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)点的位置Oxy平面Oyz平面Ozx平面坐标形式(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)空间直角坐标系中一些特殊的点2.空间直角坐标系中对称
8、点的坐标（关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反）(1)点(a,b,c)关于原点O的对称点为(-a,-b,-c);(2)点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,-b,-c);(3)点(a,b,c)关于y轴的对称点为(-a,b,-c);(4)点(a,b,c)关于z轴的对称点为(-a,-b,c);(5)点(a,b,c)关于Oxy平面的对称点为(a,b,-c);(6)点(a,b,c)关于Oyz平面的对称点为(-a,b,c);(7)点(a,b,c)关于Ozx平面的对称点为(a,-b,c).空间中点坐标公式和重心坐标公式空间中点坐标公式和重心坐标公式 在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点 和点和点
9、 的中点坐的中点坐标为标为:在空间直角坐标系中，已知点在空间直角坐标系中，已知点 ，点，点 ，点，点 ，则，则ABC的的重心坐标为重心坐标为:知识点2 空间向量及其运算的坐标表示数量积坐标运算的推导：空间向量及其运算的坐标表示：(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a3b3a1b1a2b2a3b30知识点3 空间两点之间的距离公式(x2x1，y2y1，z2z1)例题2 证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间 直角坐标系 ,则 所以 又 所以 所以 因此 ,即 .例题3 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F分别是
10、BB1,D1B1的中点，求证：EFDA1.CABDOxyz总结 向量平行与垂直问题的两种类型(1)平行与垂直的判断.应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线.判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用.适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程.选择坐标形式，以达到简化运算的目的.例题4 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,M为BC1的中点，E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上,（1）求AM的长.（2）求与所成角的余弦值.CABDOxyz解：（1）建立如图的空间直角坐
11、标系 ,则 点 的坐标为 点 的坐标为 .于是 .M（2）由已知得,所以 .所以 .与 所成角的余弦值 .所以 所以,.CABDOxyzM总结 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；(2)求坐标：求出相关点的坐标；写出向量的坐标；(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；(4)转化：转化为几何结论.跟踪训练跟踪训练跟踪训练【类题通法】1.一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标2在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(ab)2a22abb2；(2)(ab)(ab)a2b2.跟踪训练跟踪训练【变式探究1】本例中若G是A1D的中点，点H在平面xDy上，且GHBD1，试判断点H的位置跟踪训练【巩固练习3】如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系过B作BMAC1于M，求点M的坐标跟踪训练跟踪训练【巩固练习4】如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N为A1A的中点(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值跟踪训练THANKS