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1、1.3空间向量及运算的坐标表示学习目标（1分钟）1.1.了解空间直角坐标系了解空间直角坐标系. .2 2、掌握空间向量的加、减、数乘、数量积运算的坐标表示以及空间两、掌握空间向量的加、减、数乘、数量积运算的坐标表示以及空间两点间的距离公式。点间的距离公式。3 3、掌握利用向量的坐标判定两个向量垂直、平行，以及求长度、夹角、掌握利用向量的坐标判定两个向量垂直、平行，以及求长度、夹角等简单的立体几何问题；等简单的立体几何问题；问题导学（8分钟）1 1.如何建立直角坐标系如何建立直角坐标系? ?2.类比平面向量的坐标运算，能得出空间向量运算的坐类比平面向量的坐标运算，能得出空间向量运算的坐标表示？标
2、表示？3.类比平面向量类比平面向量给出空间向量中平行、垂直、模、夹角给出空间向量中平行、垂直、模、夹角的坐标表示？的坐标表示？点拨精讲（23分钟）一空间直角坐标系1（1）定义：）定义：在空间选定一点在空间选定一点O和一个单位正交基底和一个单位正交基底 ,以点以点O为原点，分别以为原点，分别以 的方向为的方向为x轴、轴、y轴、轴、z轴的正方向，建立一个轴的正方向，建立一个空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz ,ij k ,ij k 点点O叫做原点，向量叫做原点，向量 都叫做都叫做坐标向量坐标向量.通过每两个通过每两个坐标轴的平面叫做坐标轴的平面叫做坐标平面，坐标平面，分别称为分别称为Oxy平面，
3、平面， Oyz平面，平面， Oxz平面平面。它们把空间分成八个部分它们把空间分成八个部分,ijk(2)画法建系 建立右手直角坐标系 .画轴 画空间直角坐标系Oxyz时，一般使xOy=135(或45),yOz=90.说明：本书建立坐标系的都是 右手直角坐标系.xyzOijk2.空间-点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量 ，且点A的位置由向量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 xiyjzk.在单位正交基底i，j，k下与向量 对应的 叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点A的横坐标， 叫做点A的
4、纵坐标， 叫做点A的竖坐标.有序实数组(x，y，z)A(x，y，z)xyz3.空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作 a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使axiyjzk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a(x，y，z).=（0,4,0）.=（0,0,-2）.=（-3,4,0）.=（-3,4,2）.类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？二二 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示向量运算向量表示坐标表示加法a+b减
5、法ab数乘a数量积ab设设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则，则(1)空间向量的坐标运算：空间向量的坐标运算：平行或垂直坐标表示a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)平行(ab)ababa1b1,a2b2 ,a3b3, (R且b0)垂直(ab) abab0_模|a|a|=夹角 cos=空间两点间的距离公式设空间两点间的距离公式设P P1 1( (x x1 1，y y1 1，z z1 1) )，P P2 2( (x x2 2，y y2 2，z z2 2) )是空是空间中任意两点，则间中任意两点，则 21PP类比平面向量类比平面向量给出空间向量中平行、垂直、模、夹角的坐标表
6、示吗？给出空间向量中平行、垂直、模、夹角的坐标表示吗？例例2 2 如图，在正方体如图，在正方体1111ABCDABC D中，中，E E，F F分别是分别是BBBB1 1，D D1 1B B1 1的中点，求证的中点，求证EFEFDDA A1 1(1)(1)求求AMAM的长；的长；(2)(2)求求 与与 所成的角的余弦值所成的角的余弦值. .1BE1DF例例3 3 在棱长为在棱长为1 1的正方体的正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,M M为为BCBC1 1的的中点，中点，E E1 1、F F1 1分别在棱分别在棱A A1 1B B1 1、C C1
7、1D D1 1上，上，1 11 11 11 11 11 11 11 11111B E =A B ,D F =C DB E =A B ,D F =C D4444F1E1C1B1A1D1DABCyzxOM.（1）：如图建立空间直角坐标系Oxyz)21, 1 ,21(),0 , 0 , 1 (MA则26)21(1)21()21, 1 ,21(222AMAM(1)(1)求求AMAM的长；的长；(2)(2)求求 与与 所成的角的余弦值所成的角的余弦值. .1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO例3 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC1的中点，E1、F1分别在棱A1B1
8、、C1D1上，1111111141,41DCFDBAEBM.证明：如图证明：如图建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系OxyzOxyz(2)(2)13(1,1, 0) ,1,1,4BE11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF，1311,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBE DFBEDF 课堂小结（1分钟）1.1.空间向量坐标的求法空间向量坐标的求法：(1)(1)由点的坐标求向量坐标；
9、由点的坐标求向量坐标；(2)(2)利用运算利用运算求坐标；求坐标；(3)(3)利用方程组求坐标利用方程组求坐标2.2.向量平行与垂直的判断：向量平行与垂直的判断：3.3.空间中两向量夹角的空间中两向量夹角的求求法法: :建立正确、恰当的空间直角坐标系，建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数运算问题把几何问题转化为代数运算问题, ,夹角的范围夹角的范围a a，b b00，. .当堂检测（12分钟）2.已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是_3.（0，0，-3）5(选做)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB ，BC1，PA2，E为PD的中点，求AC与PB所成角的余弦值；解由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，