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1、2022-2023学年南京市高二上期末考试数学模拟试卷一.选 择 题（共8小题）1.（2020淄博模拟）命 题“入06（0,+8）,lnxo=xo-1 M的否定是（）A.V x g (0,+8),lnxx-1C.3x o G (0,+8),I nxoxo-12.(2019 新课标 H)若 a b,则()A.I n(a -b)0 B.3a 0 D.间|b|3.（2020秋江宁区期末）直线x-J v+l=0与 圆（x-1）2 t/=1 的位置关系是（)A.直线过圆心 B.相切C.相离 D.相交4.（2020秋江宁区期末）中国古代词中，有 一 道“八子分绵”的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分八子做盘
2、缠，次第每人多十六，要将第八数来言”.题意是：把 9 9 2斤绵分给8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多16斤绵，那么第8 个儿子分到的绵是（）A.17 4 斤 B.18 4 斤 C.18 0 斤 D.18 1 斤5.（2020秋江宁区期末）已知x 工，则 3x+的最小值是（）2 2 x-lA.擀 B.痔 C.V3+2 D.2 T 好6.（2020秋南京期末）在矩形中，AB=4,BC=4,点 G,，分别为直线8 C,CD 上的动点，4 H交 D G于点P.若 而=2 入庆，CG=J.X C B（0 X 0,b 0)的左、右焦点分别为F i，2,2a b/2,实
3、轴长为6,渐近线方程为y=工,动点M在双曲线左支上,点N为圆E：/+（尹 正）32=1 上一点，则|孙+明/2|的最小值为（）A.8B.9C.10D.118.（2020秋南京期末）某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相第 1页 共 2 8 页同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移f =2VsinQ,其中v 为测，入速仪测得被测物体的横向速度，入 为激光波长，平为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离
4、高铁1 机处，发出的激光波长为1 5 0 0 小（1 加=1 0 一%）,某次检验中可测频移范围为9.5 0 0 X I O ）至 1 0.0 0 0 X 1 09（l/z）,该高铁以运行速度（3 3 7.5 痴/至 375kmih）经过时，可测量的概率为（）二.多 选 题（共 4 小题）9.（2 0 2 0 秋南京期末）对下列命题的否定说法正确的是（）A.P：Vx ER,X 0；：3 x ER,XW OB.P：S x G R,X2 -1；p：2 x 6 R,x2 -1C.P：如果x V 2,那么x V l；p：如果x V 2,那么D.P：V x E R,使/+l#0；p：3 x G R,，+
5、l=02 ,1 0.（2 0 2 0 秋江宁区期末）设椭圆C：三-+y 2=i 的左、右焦点为Fi，F1，尸是C上的动2 丫点，则下列结论正确的是（）A.离心率e 2B.PF；PF j 的最小值为0C.尸为尸2 面积的最大值为加D.以线段R/2 为直径的圆与直线x+y-a=O f f l 切I I.（2 0 2 0 秋鼓楼区校级期末）下面是关于公差d0的等差数列 斯 的几个命题，其中正确 的 有（)第2页 共2 8页A.数列 斯 递增SB.数 列 是递增的等差数列nSC.若加=，S 为 ”的前项和，且 _ 2 _ 为等差数列，则 c=0n+cD.若 即=0，则方程S,=0 有唯一的根=1 31
6、 2.（2 0 2 0 秋南京期末）正方体小8 1。|的棱长为3,点 E,尸分别在棱C C i,DC 上，J&C E=2EC,DiF=2FC i，下列命题：A.异面直线B E,CF 所成角的余弦值为父_：1 0B.过点B,E,尸的平面截正方体，截面为等腰梯形；C.三棱锥B-B E F的体积为国；2D.过 8 1 作平面a,使得/E La,则平面a 截正方体所得截面面积为2垣.2其中所有真命题为（）A.A B.B C.C D.D三.填 空 题（共 4小题）1 3.（2 0 2 0 秋鼓楼区校级期末）已知空间向量之=（2,-1,3）,b=（-4,2,x）,3=（1 -x,2）,若（a+b）-L c
7、,则 x=.1 4.（2 0 2 1 佛山模拟）已知三棱锥S-N 8 C 的四个顶点都在球。的球面上，且 S Z、SB、SC两两垂直,S N =3,S B=4,S C=5,则该三棱 锥 的 体 积 为，球O的 表 面 积 为.1 5.（2 01 9 黄冈模拟）已知 a R,命题p：VA-G1,2 ,x2-a 2 0,命题 q：3AGR,x2+2a x+2-a=0,若命题pA夕为真命题，则实数a的 取 值 范 围 是.1 6.（2 02 0秋南京期末）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口8/（?是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦
8、点为上，片门位于另一个焦点尸2 上.由 椭圆一个焦点F i 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点尸2.已知8。，尸 1 乃，尸 向=迫，国乃|=4,则截口38 4 C 所 在 椭 圆 的 离 心 率 为.第3页 共2 8页四.解 答 题（共 6 小题）1 7.（2 02 0秋南京期末）已知命题p：方程 2-2 后+?=0 有两个不相等的实数根；命题q；2m+14.（1）若p为真命题，求实数，的取值范围；（2）若pVq为真命题，p 八夕为假命题，求实数，的取值范围.1 8.（2 02 0秋鼓楼区校级期末）2 02 0年 9月份，南京出台了南京市生活垃圾管理条例,提出2 02 0年 1
9、 1 月 1日起，实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度.为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需征集一部分垃圾分类志愿者.已知某垃圾站的日垃圾分拣量（千克）与垃圾分类志愿者人数x （人）满足线性回归直线方程丫=br+a，数据统计如表：志愿者人数X （人）23456日垃圾分拣量y （千克）2 53 04 04 5t_ 5 5 5（1）已知刀=工 =4 0,xJ=90,x】y =8 8 5,根据所给数据求，和线性回5 i=i i=l
10、 1 i=l 1 1归直线方程y=H+a-（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与为对应的口垃圾分拣量的估计值v.当分拣数据H与估计值v 满足l v _v|W 2 时，则将分拣数据（为，）称为一个“正常数据”.现y i 了 i y i从题中5 个分拣数据中任取2个，求 2个 都 是“正常数据”的概率.第4页 共2 8页一2（xx）（yy）._=参考公式：b=i K 1，a=v.b x-（x1G）2i=l1 9.（2 0 2 0秋江宁区期末）已知等差数列 0“的前项和S,”且“5=6,。3+。9=1 4.（1）求斯，S”：（2）设。=s -n.设 仇 的前项和为T“，若 ,PA=2.（1）求8
11、c的长；2 1.（2 0 2 0秋鼓楼区校级期末）已知抛物线C：炉=2 p x的焦点坐标为尸，焦点到准线的距离与抛物线通径长度的和为旦，过点尸（1,0）的直线/交C于/,8两点.2（1）求抛物线的方程：（2）请从以下条件中选择一个作为条件，求出直线/的方程.条件：瓦|=四 逗；屈=3而；%4。8=2.32 22 2.（2 0 2 0秋江宁区期末）已知O为坐标原点，椭 圆C：=+7 _=1（6 0）的左、2 ,2右焦点分别为Q,Fz，|F|F2|=2,尸为椭圆的上顶点，以尸为圆心且过尸1,尸2的圆与直线 =-&相 切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线/交椭圆C于 ，N两点；（i）若直线/
12、的斜率等于1,求 O M N面积的最大值；第5页 共2 8页(i i)若 祈 而=-1,点。在/上,证明：存 在 定 点 使 得 叼 为 定 值.第6页 共2 8页2022-2023学年南京市高二上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一.选 择 题（共8小题）1.（2020淄博模拟）命 题“太（）6 （0.+8）,I nxoxo-lr的否定是（）A.（0,+）,lnx=x-1 B.V x G （0,+O）,I nxx-1C.3 x o6 （0,+8）,I nxoxo-1 D.（0,+）,lnxo=xo-1【考点】命题的否定.【专题】定义法；简易逻辑；逻辑推理.【分析】根据特称命题否定的方法，
13、结合已知中的原命题，可得答案.【解答】解：命 题“太（）e （0,+）,/x o=x o-1 的否定是 a V x G （0,+）,I nxx-故选：B.【点评】本题考查的知识点是命题的否定，难度不大，属于基础题.2.（2019新课标 0）若 a b,则（）A.I n（a-b）0 B.3 0 0 D.【考点】不等式的基本性质.【专题】不等式的解法及应用；不等式.【分析】取a=0,b=-I,利用特殊值法可得正确选项.【解答】解：取a=0,b-,贝II n（a -b）=ln=0,排除 4;3a=30=l 3b=3-1=l.,排除 8；o 3 =0 3 （7）3=_ =/,故 c 对；|a|=0,排
14、除 D故选：C.【点评】本题考查了不等式的基本性质，利用特殊值法可迅速得到正确选项，属基础题.3.（2020秋江宁区期末）直线x-伤+1=0与 圆（x-1）2到2=1的位置关系是（）A.直线过圆心 B.相切 C.相离 D.相交【考点】直线与圆的位置关系.第7页 共2 8页【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.【分析】求得圆心到直线-加 叶 1=0 的距离等于半径，可得直线和圆相切.【解答】解：由于圆心（1,0）到直线x-我 叶1=0 的距离为d=中1工=1 （半径），V1+3故直线和圆相切.故选：B.【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判定方法，点到直线的距离公式的应用，属
15、于中档题.4.（2020秋江宁区期末）中国古代词中，有 一 道“八子分绵”的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十六，要将第八数来言”.题意是：把 992斤绵分给8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多16斤绵，那么第8 个儿子分到的绵是（）A.174 斤 B.184 斤 C.180 斤 D.181 斤【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和.【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算.【分析】由题设条件将所要解决的问题转化为：已知一等差数列的前8 项和与公差，求该数列的第8 项，然后利用等差数列的前项和公式求出首项，再求得结
16、果即可.【解答】解：设按照年龄从大到小的顺序每个儿子所分棉的斤数构成数列 斯,由题设知：数列 斯 的公差d=1 6,前 8 项和隗=992,又 S8=8ai+8 X 7 X 16=9 9 2,可解得：ai=68,2/.418=68+7 X 16=180,故选：C.【点评】本题主要考查数列的实际应用及等差数列基本量的计算，属于基础题.5.（2020秋江宁区期末）已知x工，则 3x+，的最小值是（）2 2x-lA.B.C.V 3+2 D.【考点】基本不等式及其应用.【专题】转化思想：综合法：不等式的解法及应用：数学运算.【分析】由 3x+?=3（X-1）然后利用基本不等式即可求解.2X-1 2 1
17、 22第8页 共2 8页【解答】解：因为x 工,2所以3x+，=3（x -1）旦 2y 总，2 x-l 2 v2 MA/392当且仅当3（x-1）=-J,即x=2，应寸取等号,2 1 2 32则3户5 2 1的最小值2 号.故选：D.【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题.6.（2020秋南京期末）在矩形Z8CQ中，AB=4,B C=4炳，点 G,分别为直线8C,C。上的动点，交0 G于点P.若 而=2入前，C GU-XC B（0A1）,则点P的轨迹 是（）A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线【考点】轨迹方程.【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推
18、理.【分析】分别以M N和/。所在的直线为x,y轴建立平面直角坐标系，利 用 而=2入庆,而 卷 入 诬（0（人 1）,得到直线/和。G的方程，从而求出点尸的坐标，根据点尸的坐标满足椭圆的标准方程，从而判断得到答案.【解答】解：分 别 以 和所在的直线为x,夕轴建立平面直角坐标系，则A（0,-2%），D（0,2匾），M（2,0）,N（-2,0）,因 为 羽=2 为庆，C G-|X C B O A 0,6 0）的左、右焦点分别为F”2 .2a bFi，实轴长为6,渐近线方程为y=L,动点M在双曲线左支上,点N为圆反+（7+a）32=1上一点，则|孙+|例乃|的最小值为（）A.8 B.9 C.1
19、0 D.1 1【考点】双曲线的性质.【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】求得双曲线的a,b,可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接EQ,交双曲线于，圆于N,计算可得所求最小值.【解答】解：由题意可得2 a=6,即a=3,渐近线方程为=士1，即有且=工，3 a 3第1 0页 共2 8页2即 b=l,可得双曲线方程为王-炉=1,9焦点为尸1（-V 1 0-0），F 2,（行，0）,由双曲线的定义可得M/2 1=2a+M F|=6+M F,由圆 E：/+2=1 可得 （0,-半径/=1,M N+M F2 6+M N+M F I,连接EQ,交
20、双曲线于M,圆于N,可 得 取 得 最 小 值，且为|E Q|=M 6+1 0=4,则则咐N|+|W 2|的最小值为6+4 -1=9.故选：B.【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题.8.（2 0 2 0 秋南京期末）某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移f =2V sin2,其中v 为测速仪
21、测得被测物体的横向速度，入 为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1 W处，发出的激光波长为1 5 0 0 机（1 加=1 0%）,某次检验中可测频移范围为9.5 0 0 X 1 0 皿）至 1 o,OOOX 1 09（l/A）,该高铁以运行速度（3 3 7.5 加/至 3 7 5?）经过时，可测量的概率为（）第1 1页 共2 8页2 X 3 3 7.5 X 1 0 0 0 X7;公：频移为-0 1 8.9 9 8 X1 5 0 0 X 1 0-92 X 3 7 5 X 1 0 0 0 X-,-0 2【考点】根据实际问题选择函数类型.【专题】转化思想；综合法；函
22、数的性质及应用；概率与统计；数学运算.【分析】计算s i m p,再根据所给公式计算高铁的频移范围，由测度比是长度比得答案.【解答】解：i n,p=2。=0.0 2 一4 1+(2 0 X1 0-3)2 71.0 0 0 42 -Q-0 2f =2 V s i n Q=/l.0 0 0 4P 入 1 5 0 0 X 1 0-9当高铁以运行速度3 3 7.5 W A经过时1 09(1/A)；当高铁以运行速度31 5km比经过时，频移为-”坐 里 比9.998X 1 091 5 0 0 X 1 Q-9(1/A).则频移范围为 9998X1 0 9(1/A)至 8.998X1 0 9(皿),又检验中
23、可测频移范围为9.5 0 0 X 1 0 9(i/h)至1 0.0 0 0 X 1 09(1/A),该 高 铁 以 运 行 速 度(331 5 k m M至31 5kmM)经 过 时，可 测 量 的 概 率 为 尸=(1 0.0 0 0-9.5 0 0)x 1()9=1(9.998-8.998)X 1 09 2故选：A.【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查几何概型概率的求法，考查运算求解能第1 2页 共2 8页力，是基础题.二.多 选 题（共 4 小题）9.（2020秋南京期末）对下列命题的否定说法正确的是（）A.P：VxGR.X 0；-/?：3x6R,x-1C.P：如果x 2,那么xl
24、：p：如果x 0；p：3X6R,XWO,Z 正确；P：SxGR,F W-l；1p：VXGR,X2 1 8 错误；P：如果x V 2,那么x l；p：太 0 的等差数列 劭 的几个命题，其中正确 的 有()A.数列“”递增sB.数 列 是递增的等差数列nSC.若如=，S”为 的前项和，且 _=为等差数列，则。=0n+cD.若 7=0，则方程S,=0有唯一的根 =13【考点】等差数列的性质；等差数列的前n 项和；数列递推式.【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算.【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据d 0 说 明(1)正确，然后逐一写出(2)、(3)、(4)所对应的函数式，再
25、利用函数的单调性加以判断.【解答】解:Z、设等差数列的首项为。1，公差d 0,则 an=a+(/?-1)d=dn+a-d,所以数列S 是递增数列，故 4 选项符合题意；sB、!=(/?-1)刈=i+(-1),n 2 2 2 2 2c所以数列 是 以 为 首 项，旦为公差的等差数列.旦0,n 2 2第1 4页 共2 8页该数列是递增的等差数列，故8选项符合题意；。、由斯=得到：S产n（n+l）2S s由 为 等 差 数 列 可 设：，-=初+瓦n+c n+c即 S =R（Q1）-=（+c）（kn+b）=kn2+（kc+b）n+b c.2所以当（鹿+1）=n2+n=2kn22 C kc+b）+历恒
26、成立时,2k=1,2 （kc+b）=1,b c=O.所以左=1 ,b=0或c=0.2当b=0时，c=l.当c=0时，.综上所述，c=1或c=0.故C选项不符合题意；2D、由7 =0，得 S 6 =S 7，又因为数列 递增，所以当W6时，&递增，当 27时，&递 增.所 以S,最小值是S 6或S 7，所以S i 2=S i=a i V 0.由当“W6时，S”0.故当且仅当=1 3时，S i 3=-i-=1 3 2 7=0,故。选项2符合题意.故选：ABD.【点评】本题考查递推公式，等差数列的性质以及等差数列的前项和，考查了命题的真假判断与应用，考查数列的函数特性，是中档题.1 2.（2 0 2
27、0秋南京期末）正方体力8 C D-小的棱长为3,点E,尸分别在棱C C i,DC 上，且 C i E=2 E C,D F=2FC,下列命题：A.异面直线B E,C F所成角的余弦值为乌；10B.过点8,E,尸的平面截正方体，截面为等腰梯形；C.三棱锥B-B E F的体积为反；2D.过 囱 作平面a,使得力E _ L a,则平面a截正方体所得截面面积为殳叵.2其中所有真命题为（）A.A B.B C.C D.D【考点】命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征.【专题】计算题；数形结合；转化思想；向量法；数形结合法；转化法；简易逻辑；立体几何；逻辑推理；数学运算.第1 5页 共2 8页【分析】对于4取
28、出 历 的三等分点为Fi，使 小尸1=2尸出1，利用已知条件找到异面直 线BE,CF所成的角，即可得出结果；对 于 民 取8/的三等分点为Ei，使BiEi=2EiB,利用已知条件得到四边形B E F G即为所求截面，即可得出结论；对于C利用等体积法求解即可；对 于 ：取CD的三等分点为H ,使C H=2DH i，取8 c的三等分点为，使C H=2 B H,猜想出面BiDiH iH即为所求的截面a,建立空间坐标证明推测，代入数值即可求出结论.【解答】解：对于4 取 的 三 等 分 点 为Fi，使AiFi=2FiBi，又 DiF=2FC i，:.田以尸Ci且 尸 由1=尸。，.四边形尸。的尸1为平
29、行四边形，：.FF/BC/BC 且 F F i=8Ci=8C,.四边形 FFC B 为平行四边形,.8F i CE,则NQ8 E为异面直线BE,CF所成的角,连接 E F ,由题意得：8尸i=05，EQ=g，所以 c os/FiBE=BF/+BE 2-E F/_6 _=_32 BF i -BE 20 1 0故/正确:对 于 反 取 与8的三等分点为Ei，使B i E i=2 E B 又 C iE=2EC,：.BE/C E 且 B i=CE,.四边形 BEEC 为平行四边形，则 E i E 8c 且 EiE=BC,又 由/得，FF/BC且F F =B C,于 是 小1 +且FF=EE,.四边形E
30、 E RF为平行四边形，.E E i aQ F,取 的 中 点 为G,连 接BG,B 所以 平面 BDH H,由已知条件得，BD=3近,H H i=Z i D i=2近,8i =O i/7 i =/而，3等腰梯形B i D MH的高为“(万)2 _(3加；爽产等,所以截面面积为5=空 史 返 乂 返_=&/1互，故。正确.2 2 2故选：AC D.【点评】本题主要考查命题真假的判断，异面直线所成角以及线线平行问题，四棱锥的体积以及线面垂直问题，截面面积问题，属于难题.三.填 空 题(共4小题)1 3.(2 0 2 0秋鼓楼区校级期末)已知空间向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=
31、(1,-x,2),若(a+b)c，则 x=-4.【考点】空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直.【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算.【分析】利用向量坐标运算法则先求出两向量的向量和，再由向量垂直的性质直接求解.【解答】解：空间向量2=(2,-1,3),b=(-4,2,x),:.a+b=(-2,1,3+x),第1 7页 共2 8页c-(1，-x,2),(a+b)-L c/.(a+b 1)*c=2 -x+2 (3+x)0,x=-4.故答案为：-4.【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.1 4.(2 0 2 1 佛山
32、模拟)已知三棱锥S-/8 C 的四个顶点都在球。的球面上，且 S Z、SB、SC两两垂直，S 4=3,S 8=4,S C=5,则该三棱锥的体积为1 0 ,球O的 表 面 积 为 5 0 n.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积.【专题】计算题：转化思想；综合法；空间位置关系与距离：数学运算.【分析】利用三线垂直联想长方体，结合长方体外接球直径为其体对角线长，容易求解.【解 答】解：由 S/,SB,SC 两两垂直，是长方体的一个角，三棱锥的体积为：NN 3X 4 X 5=I。，三棱锥扩展为长方体，长方体外接球直径为其体对角线长，可得球直径为：4 9+1 6+2 5=病，S 球=4T
33、T X 且 L=5 0 i t,4故答案为：1 0;5 0 n.【点评】此题考查了三棱锥外接球问题，外接球的表面积，三棱锥的体积的求法，难度不大.1 5.(2 0 1 9 黄冈模拟)已知 a R,命题p：Vx G l,2 ,x2-a O,命题 q：3 x GR,x2+2a x+2-a=0,若命题p/夕为真命题，则实数a的 取 值 范 围 是 aW-2,或 a=l .【考点】命题的真假判断与应用.【专题】探究型；定义法；简易逻辑.【分析】若命题“p/q”是真命题，则命题p,q均为真命题，进而可得答案.【解答】解：若命题p：Vx l,2 ,为真；则 1 -心 0,解得：第1 8页 共2 8页若命题
34、 g：a3x&R,x2+2a x+2-a =Ov 为真,则=4 -4 (2 -a)2 0,解得：a W -2,或 a 与l,若命题“p A q”是真命题，贝或a=l,故答案为：a W -2,或 a=l【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数恒成立问题，方程根的存在性及个数问题，难度中档.1 6.（2 0 2 0 秋南京期末）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口历/C 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点Q 上，片门位于另一个焦点尸2 上.由椭圆一个焦点Q 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点尸
35、2.已知BC _ LQ/2,|尸 闺=也，|Q&|=4,则截口3【考点】椭圆的性质.【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】由题意可得焦距及焦半径的值，再由a,4 c 之间的关系求出a,c的值，进而求出离心率.【解答】解：由题意可得2 c=4,且 _=至，c2=a2-b2,解得a=6,a 3所以离心率ea 6 3故答案为：1.3【点评】本题考查椭圆的性质，属于基础题.四.解 答 题（共 6 小题）1 7.（2 0 2 0 秋南京期末）已知命题p：方程*2-2 后+机=0有两个不相等的实数根；命题第 1 9 页 共 2 8 页q：2w+l0,解得实数，的取值范围；
36、（2）若 pVq为真命题，pA g为假命题，则p,g应一真一假，进而实数机的取值范围.【解答】解：（1）若p为真命题，则应有4=8-4 机 0,（3分）解得机 2.（4分）（2）若 g为真命题，则有m+l 2,即加 1,（6分）因为pVg为真命题，为假命题，则p,q应一真一假.（7分）当 P真 4假时，有”2，得 i W/n 2；（10分）当 假 4真时，有吃2,无解.（13 分）i n .Xj -5 xi=la=y-b=40-8.5X4=6,回归直线方程为y=8.5 x+6；(2)将x i=2,X2=3,X3=4,X4=5,4=6分别代入回归直线方程得，y 2 3 ,y 3 1 .5 y 4
37、 0,y 4 8.5 y 5 7 ,.|_ y|=|2 3 -2 5|=2 W2,属 于“正常数据”，y 2-y J =|3 1.5-3 0|=1.5 W2,属 于“正常数据”，第2 1页 共2 8页y 3-y=|4 0-4 0|=0 W 2,属 于“正常数据”,|vJ 4 -v3 4|=|4 8.5 -4 5|=3.5 2,不属于“正常数据”，|芸 _ 州=|5 7 -6 0|=3 2,不属于“正常数据”，可知5个分拣数据有3个正常数据，c2从中任取2个，2个都是“正常数据”的概率为尸=三.2 1Q【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查古典概型及其概率，考查运算求解能力，是中档题.19.（
38、2 02 0秋江宁区期末）已知等差数列 斯 的前项和S”，且“5=6,4 3+4 9=14.（1）求斯，Sn；（2）设-=s-n.设 仇 的前项和为T，若 及加恒成立，求机的取值范围.%11【考点】等差数列的前n项和；数列的求和.【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算.【分析】（1）设等差数列 斯 的公差为d,运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求念，S,；（2）求得与=2 （工-）,由数列的裂项相消求和和不等式的性质可得7“2,再由n n+1不等式恒成立思想可得m的取值范围.【解答】解：（1）设等差数列 ”的公差为，由。5=6,3+。9=14,可得 a i
39、+4 d=6,1 a+Qd=14,解得 a i=2,d=,则。=2+”-1 =+i；S=2 +L（-1）2 2（2）由，s.n=n（n+D ,L、口 2可得 h,=_ 2_=2（1-_ J _）,n（n+l）n n+1所以 Tn=2（i -A+A-A+-+A-1-）2 2 3 n n+1=2（1-1.）=2 -2 _,n+1 n+1因为6 N*,所 以%2,第2 2页 共2 8页而Tn-x-y-z=0 V5L 乙设二面角N-P A/-O 的平面角为e,经判断知二面角N-P M-D的平面角为钝角,【点评】本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础
40、知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.21.（20 20 秋鼓楼区校级期末）已知抛物线C：f=2 3:的焦点坐标为凡 焦点到准线的距离与抛物线通径长度的和为且，过点PQ,0）的直线/交C于 4 8 两点.2（1）求抛物线的方程：（2）请从以下条件中选择一个作为条件，求出直线/的方程.第2 4页 共2 8页条件：|郎|=至 迢；乐=3而；必 题?=2.3【考点】抛物线的性质；直线与抛物线的综合.【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程：数学运算.【分析】(1)由已知即可得p+2 0=,则夕=色,进而可以求解；2 2(2)选择：设出直线/的方程以及/,8两点的坐标，联立
41、直线与抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式即可求解；选择：设出力,8两点坐标，求出向量力P,P 8的坐标，然后利用已知向量关系以及抛物线方程联立即可求解；选 择 ：设出直线/的方程以及48两点的坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出4 8两点的纵坐标之间的距离，进而可以求出三角形/。8的面积，从而可以求解.【解答】解：(1)由题意可得：p+2 p=l,则。=&,2 2所以抛物线的方程为/=3 x；(2)选择条件设直线/的方程为工=少+1,A(x i,y),B(%2，/)，x=i n y+l联立方程|,消去x整理可得：/-3 少-3=0,.V=3x所以y i t F 2=3?，yy2=-3,
42、所以 M B尸、+1 1 12 y屈 +了2)2_ 4y 丫2=1 1+私2 屈%日=4亘，解得m +,一 3所以直线/的方程为x 各-1=0,即3x 2y-3=0.选择条件2 2设/(上I,v ),8 v),3yl 3 y22 2_y._y9,则A P=(1 于，一 了1 P B =(-l y9),因为A P=3 P B，(2/1 _ 2_所以1 1=y2-3,解得”=1或-1,7广3七第2 5页 共2 8页所以8（工，1）或（工，-1）,3 3所以直线/的斜率k=k p p=F-=*4=尹=17-1 T-1所 以 直 线/的 方 程 为 尸 土 匆.1）,即 3x2y-3=0.选择条件设直
43、线/的方程为x=my+l,A（xi，y）,B（如 H），一 3所以直线/的方程为3x2_y-3=0.【点评】本题考查了抛物线的方程以及直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题.2 222.（2020秋江宁区期末）已知。为坐标原点，椭 圆 C：=+=1 （a 6 0）的左、2 1 2a b右焦点分别为Q,Fi，此尸2|=2,尸为椭圆的上顶点，以尸为圆心且过尸1，尸 2的圆与直线 =相切.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线/交椭圆C 于 M,N 两点；（i）若直线/的斜率等于1,求面积的最大值；（i i）若 林 祈=-1,点。在/上，O D L I.证明：存在定点
44、少,使得Q 叼为定值.【考点】椭圆的标准方程；椭圆的性质；直线与椭圆的综合.【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】（1）利用椭圆的焦距求出c,利用椭圆的定义求解,推出6,即可得到桶圆方程.第2 6页 共2 8页2 八(2)(i )设直线/的方程为：)=京+将 =自+3 代入方-+y2=设/(x i,y),N(X 2,”)，利用韦达定理结合弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积，利用基本不等式推出结果.(i i)显然直线/的斜率一定存在，设直线/的方程为：ykx+t,求出向量的数量积，推出直线系方程得到定点，然后推出结果.【解答】解：(1)由题意知：F
45、 i (-1,0),F2(1,0),由椭圆定义知，所以2a=|P F|+|PF21=2J5,设椭圆的半焦距为C,所以庐+?=2,所以。=&,b=,C=1 ,2 八所以椭圆。的标准方程为：L+y2二(2)(i )设直线/的方程为：y=kx+t2 弓将歹代入_ -+y 2=i 得：(1+2 A2)/+4 左 6+2/2-2 =0,设N (垃，”),2所以 jq+x2=一生三一，xpC2=/t -21+2 k 2 1+212=443T 2又因为4:1,得|叫=超 7 2尸耳(X +X 2)2 _ 4 x j 2：3点O到直线I的距离d=J t l =里,心讨V 2所以 SA A 0 B 4号*Vt2
46、（3-t2）t2+3-t2 近x C 2）2等号当仅当户=3-户时取，即当t=+近 时，OA/N的面积取最大值为返.2 2(i i)显然直线/的斜率一定存在，设直线/的方程为：y=kx+t,由（i）知:X+X 2=4k t2 t 2-25，x 1 x 2=ol+2 kJ 1+2/所以了1了2=（以 +t）（k x2+t）=k 2X x2+k t（x i +%2）+t2 t2-2 k21+2 k 29 9言 3 1 _2-2 k-所以0M.ON全+了 泾 二 2 2=-L第2 7页 共2 8页解得t 2=L,f=+返，直线返过定点Z （0,返）或（0,x 3-3-3 3 _所以。在以OZ为直径的圆上，该圆的圆心为此（0,返）或（0,-返），半径等于返,6 6 6所以存在定点（0,返）或（0,-返），使得I。%为定值.6 6【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题.第2 8页 共2 8页