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1、2022-2023学年广州市高二上期末考试数学模拟试卷一.选 择 题（共 8 小题）1.（2 0 1 8新课标H）!里=（）l-2i)D.acibc12.（2 0 2 0 秋荔湾区期末）若 则 下 列 结 论 正 确 的 是（A.a2 b2 B.abb2 C.2 c a B.h a c C.a h c D.c h a4.（2 0 2 0 秋海珠区期末）已知命题p：a2+a 0,则 命 题 为（）A.V a2 0,a2+a 0 B.V a2 0,ai+aQC.a2+a0 D.3 a0,a2+a 0,b 0)的左、右焦点分别为2,2a bFi，尸 2,过出的直线分别交双曲线C 的两条渐近线于M,N
2、 两 点.若 点“是线段乃N的中点，且 西 呵=0,则双曲线C 的渐近线方程为（）A.y=2 x B.y=L C.D.y=3-x2 3二.多 选 题（共 4 小题）9.（2020秋荔湾区期末）以下四个命题中，真命题的是（）A.“若 a 哈 则s in a 十 的否命题是“若 a 吟，则s in a 得”B.若切 0,则方程f+x-m n。有实数根C.若p V q 为真命题，p 为真命题，则pV（f q）是真命题D.“|x-1|1”是,（X2-X-2 0C=c 则下列等式成立的是（）A-OFB.gp a-+cN/bob人 1 1 1 1 1 1 c-F P=-y a qb q c D.o p 至
3、 a 7 b q e12.（2020秋番禺区期末）“，6 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形N8C的直角边NC所在直线与。，6 都垂直，斜边N 8 以直线Z C 为旋转轴旋转，有下列结论中正确 的 是（）第2页 共2 4页A.当直线力 8与。成 6 0 角时，48与 b成 3 0 角B.当直线48与。成 6 0 角时，A B 与 b 成 60角C.直 线 与。所成角的最小值为4 5 D.直线48与。所成角的最小值为6 0 三.填 空 题（共 4 小题）2 21 3.（20 1 5 西宁校级模拟）已知F i，放 分 别 为 椭 圆=1（。6 0）的左、右焦点，2,2a b尸 为 椭 圆
4、上 一 点，且 为 垂 直 于 x轴.若 r 1 乃|=2|P F2|，则 该 椭 圆 的 离 心 率为.1 4.（20 1 3 新课标I ）若数列 斯 的前项和为a=2+工，则数列S”的通项公式是a”3 31 5.（20 20 秋 海 珠 区 期 末）数 列 a”的 前“项 和 为 S”已 知 斯=?-则叉n（n+2）1 6.（20 20 秋荔湾区期末）某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4 8 0 0 7,深为3 m.如果池底每平方米的造价为1 5 0 元，池壁每平方米的造价为1 20 元，则建造这个水池的最低总造价是 元.四.解 答 题（共 6 小题）1 7.（20 20 郎溪县模
5、拟）在/B C 中，内角4 8,C的对边分别为a ,c,已知c o s A-2c o s cc o s B2c-a b（1）求区区的值s i n A（2）若 c o s 8=工，b=2,求 N 8 C 的面积 S.41 8.（20 20 秋越秀区期末）如图，四棱锥S-/8 C O 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面 边 长 的&倍，尸为侧棱SD的中点.用向量法解决下面的问题：（1）求证：ACVSD-,（2）若 8 c=2,求线段8 尸的长.第3页 共2 4页s1 9.（2 0 2 0 秋天河区期末）如图，直三棱柱中，A B=B C=C A=2,4 4 i =&,若 N为 X8的中点.（1）求
6、证：N G 平面N8C；（2）求 8 1 cl 与平面N 8 1 C 所成角的正弦值.2 0.（2 0 2 0 秋番禺区期末）给出以下三个条件：4 a 3,3 ，2 小成等差数列；对于Ve N*,点（，S”）均在函数y=2 -。的图象上，其中为常数：S 3=7.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.设 斯 是一个公比为4（夕 0,4#1）的等比数列，且它的首项“1=1,.（1）求数列 斯 的通项公式；（2）令 d=2 1 0 g 2 a +l （e N*）,证明数列-）的前项和丁工.。油/1 1 1 22 1.（2 0 2 0 秋海珠区期末）已知点4（1,0）,E,F为直线x=
7、-1 上的两个动点，且m 1 正，动 点 尸 满 足 而I）0 A，F 0 /0 P （其中O为坐标原点）.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若直线/与轨迹C相交于两不同点M,N,如果祈于5=-4，证明直线/必过一定点，并求出该定点的坐标.第4页 共2 4页22.(2020秋 越 秀 区 期 末)已 知 焦 点 在 x 轴上的双曲线C 的离心率为Y运，且过点3(V6,V2).(1)求双曲线c 的标准方程；(2)若直线1：y=1 x-l与双曲线C 交于4 B两 点,求弦长M网.3第5页 共2 4页2022-2023学年广州市高二上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一.选 择 题（共8小题）
8、1.(2018新课标 JI)l+2i=()l-2iC卫 士5 5 1【考点】复数的运算.【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数.【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可.【解答】解:l+2i=(l+2i)(l+2i)=_3_+.l-2 i(l-2 i)(l+2 i)T T1故选：D.【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查.2.（2020秋荔湾区期末）若 则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.a2Vb2 B.abbc2a b【考点】不等关系与不等式.【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；逻辑推理.【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可.【解答】解
9、：当aVbVO时，a2 b2,故4错误，当a b b2,故8错误，当 6 0时0 且 1,则回旦成立，故C正确，a b a b当c=0时、/从2不成立，故。错误，故选：C.【点评】本题主要考查不等式的性质是应用，结合不等式的关系是解决本题的关键.3.（2014海淀区校级模拟）已知。=4获，b=20 3,C=0.3 2,则0,b,c,三者的大小关系 是（）A.b c aB.b a cC.a b cD.c b a【考点】不等关系与不等式.第6页 共2 4页【专题】不等式的解法及应用.【分析】利用指数函数的单调性即可判断出.1 _【解答】解：痂=0.3y 0.3-2 1:.b c a.故选：A.【点
10、评】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键.4.（2 0 2 0秋海珠区期末）已知命题p：a2+a 0,则 命 题 为（）A.i Z2+a 0 B.V a 2 0,t z2+0C.a2+a0 D.3 a 0,a2+a0【考点】命题的否定.【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理.【分析】根据特称命题的否定是全称命题，存在改任意，否定结论即可得到所求.【解答】解：特称命题p：o+a 1 0 4 0+2,4 x 也 等=14 4 0，当且仅当4 x=1 0 即x=5 0时,等号成立，x.当x=5 0时,综 合 体 小小。5的面积最小,故选：C.【点评】本题主要考查了函数的实际应用考查了基本不等式
11、的应用，是中档题.D.y+3-x3数学运算.将 其 与-幺 联 立2 28.(2 0 2 0秋天河区期末)已知双曲线C：2匕=1 (4 0,h 0)的左、右焦点分别为2 ,2a bF i，F2,过 尸2的直线分别交双曲线c的两条渐近线于，N两 点.若 点 是 线 段 乃N的中点，且 丽;耐=0,则双曲线C的渐近线方程为()A.y+2x B.y+x C.y+-J c2【考点】双曲线的性质.【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；【分析】利用中位线的性质可得直线Q N的斜率，进而得其方程，求出点N的坐标，再结合|0 2=工4尸2尸c,进行化简运算，即可得解.2【解答】解：由题意知
12、，点M在渐近线歹=旦丫上，点N在渐近线夕=-以 上，a a第9页 共2 4页：O,也分别为尸1尸2和尸W的中点,：.FN/OM,：.k=kOMFiN a直线Q N的方程为了=旦（x+c）,a联立，_ by=xa,解得x=-，尸 区,y=Nx+c）2 2aa.点 N（-,匡）,2 2a 丽;呵=0，且。为尸1/2的中点，.|0 2=/用尸2|=。=（）2 +肾）2,化简得二双曲线C的渐近线方程为y=心.故选：C.【点评】本题考查双曲线的几何性质，主要涉及渐近线的问题，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.二.多 选 题（共4小题）9.（2 0 2 0秋荔湾区期末）以下四个命
13、题中，真命题的是（）A.“若a?，贝i J si na=工”的否命题是“若a?，贝L i n a R工”6 2 6 2B.若，0,则方程+工-加=。有实数根C.若p V q为真命题，2为真命题，则p V L q）是真命题D.“|x-1|0,方程x2+x-?=0,满足=l+4 w 0,故方程有实数根，故8正确；对 于C：若V4为真命题，0为真命题，则p为假命题，q为真命题，则p V L q）第1 0页 共2 4页是假命题，故C错误；对于。：牛-1|1 整理得：0 x 2,/-x-2 0”整理得：-1 X 2,则(0,2)c (-1,2),故“|x-1|1 是,X2-X-2 联立方程,ty2=4
14、x消去 x 整理可得：y2-4my-4=0,所以yi+y2=4加，yyi 4,所 以 正 而=(-2,y P，(-2,y2)=4+W2=4-4=0,所以尸C _L 7 7),即N C F D=90 ,所 以/正 确，选项8：因为|4 F|=3|M，所以m=3而,即 川=-3”,且刈+”=4加，yiy2=-4,解得机=土 返，所以直线Z 8的 斜 率 为 左=工=土 故8正确,3m选项C：由/正确，则不可能，且角C和角。不可能为直角，故C错误,第1 1页 共2 4页选项D由题意可得阴=可(y i+y2)2-4 y 丫？=靠 6m2+16=4(1+m 2)=与 故。正确，J故选：ABD.【点评】本
15、题考查了抛物线的方程以及直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题.1 1.在空间四边形0/8 C 中，E、尸分别是。力、8C 的中点，P 为线段E尸上一点，且尸尸=2EP,设 丞=；,oB=b 6 6=3 则下列等式成立的是().1 T 1 f c.1 1 *J OF j bFc E P=-7-a-b+r-c2 2 6 6 6c-祚=卷 之 卷 E 卷 3 D-OP a b【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示.【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；逻辑推理.【分析】根据空间向量基本定理进行分解即可.【解答】解：氏 尸 分别是O/、BC的中点，.-.0F=A
16、 (OB+OC)=AOB+A oc=-c.故 4 正确，2 2 2 2 2EF=OF-0 E=b+工 c-a，2 2 2：PF=2EP,:.E P=%F,FP=ZF,3 3即 E P=1E F=L(b-c-a)-a+b+c 故 8 正确，3 3 2 2 2 6 6 6而=-2 而=-2。工+工 二-；)=右-；-上 二，故 c 错误，3 3 2 2 2 3 3 30P=0E+丽=-上 京 上 飞+工 工=工 晶 工 工 二，故。正确.2 6 6 6 3 6 6故选：ABD.第1 2页 共2 4页【点评】本题主要考查空间向量基本定理，结合向量三角形法则进行转化求解是解决本题的关键，是中档题.12
17、.(2020秋番禺区期末)”，6 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形/8 C 的直角边/C 所在直线与a,b 都垂直，斜边4 8 以直线4 c 为旋转轴旋转，有下列结论中正确 的 是()A.当直线4 8 与 a 成 6 0 角时，N 8与 b 成 3 0 角B.当直线N 8与。成 6 0 角时，4 8 与 6 成 6 0 角C.直 线 与。所成角的最小值为45D.直线4 8 与。所成角的最小值为60【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】由题意知，a、6、ZC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的棱长为1 的正方体，|/C|=1,=斜边N 8 以直线4 c 为旋转轴，则4 点保
18、持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1 为半径的圆，以 C 坐标原点，以 CD为 x 轴，C 8为y 轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果.【解答】解：由题意知，a、b、NC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体棱长为1,故0cl=1,|4网=证,斜 边 以 直 线/C 为旋转轴，则/点保持不变，8 点的运动轨迹是以C 为圆心，1 为半径的圆，以 C 坐标原点，以 C。为 x 轴，C 8为y 轴，C 4为 z 轴，建立空间直角坐标系，则。(1,0,0),A(0,0,1),直线a 的方向单位向量之=(0,1,0),|1=1,直线6 的方向单位向量芯=(1
19、,0,0),|g=1,设 8 点在运动过程中的坐标中的坐标夕(cos0,sin6,0),第1 3页 共2 4页其中e为 夕 C 与 CQ 的夹角，6G0,2TE）,AB,在运动过程中的向量，AB，=(cosO,sin0,-1),|AB|=&,设A B 与之所成夹角为aw 0,2则 c o s a=c o s 8,-s i n%(。L 0)L 返 6山 峭 0,返,la l-lA B7|2 2：.ae2L,当，.(7正确，。错误.4 2设AB 与前成夹角为能0,2L,2cos=l A B X l =|(-CQSe,s i n e,1)(1,0,0)l V 2|c o.I AB7|-|b|b 1-
20、lAB7|2当A B 与之夹角为60。时，即(1=工,3|sin0|=V 2 co sd =V 2 c o s=-)V cos20+sin20=1,/.cosP=rI-1V p e 0,.邛=工，此时AB,与芯的夹角为60。,2 3.8正确，4 错误.故选：BC.【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.三.填 空 题（共 4 小题）2 23 （2015西宁校级模拟）已 知 仍 分 别 为 椭 圆 七 七=乂 。）的左、右焦点,第1 4页 共2 4页产为椭圆上一点，
21、且尸尸2 垂直于X轴.若尸/2|=2|P F2|,则该椭圆的离心率为近二2【考点】椭圆的性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用椭圆的焦距与椭圆的通经相等列出方程，然后求解椭圆的离心率.2 2【解答】解：由 题 意 椭 圆 号 三=1,尸为椭圆上一点，且尸尸2 垂直于X轴.若回尸2|2=2|尸 产 2|,可知I：2 c=-2b,可得序=-0 2+/，a即：e=1 -e2,解得e=1二L2故答案为：返 工.2【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力.1 4.(2 0 1 3 新课标1 )若数列“的前项和为8=4+,则数列“”的通项公式是a”3 3-(-
22、2).【考点】等比数列的通项公式.【专题】等差数列与等比数列.【分析】把”=1代入已知式子可得数列的首项，由“N2时，a产S”可得数列为等比数列，且公比为-2,代入等比数列的通项公式分段可得答案.【解答】解：当”=1时，aS 解得a i =l当2 时，an=Sn-S-=(2 1).(2 1)=2 2an V 3 an-l 一亍 k整理可得上a ,，即 金=-2,3 n 3 k l an_ i故数列缶“是 以 1 为首项，-2为公比的等比数列，：.a=(-2)n l.故答案为：(-2)I【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题.1 5.(2 0 2 0 秋海珠区期末)数列
23、 斯 的前项和为S”，已知斯=,则 S 4=_ L.n(n+2)15【考点】数列的求和.第1 5页 共2 4页【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算.【分析】直接利用数列的通项公式的变换，进一步利用裂项相消法求出数列的和.【解答】解：已知”=-2=1 _ 1,n(n+2)n n+2n 3 2 4 3 5 n-1 n+1 n n+2 2 n+1 n+2所以 S.=1+-=4 2 5 6 15故答案为：XL.15【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的变换，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.1
24、6.(2020秋荔湾区期末)某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800 凡 深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，则建造这个水池的最低总造价是297600元.【考点】根据实际问题选择函数类型.【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.【分析】设出长方体的长宽，然后根据已知求出水池的总造价的关系式，利用基本不等式即可求解.【解答】解：设长方体的长宽分别为x,贝 ij 39=4800,所 以 卜=型 也，X水 池 总 造 价 为=150 xy+2(3x+2y)X120=(x+16Q lJ)X 720+1600X 150X国720+24000
25、O=576OO+24OOOO=2976()O 元，当且仅当x=&6,即x=40,y=4 0 时取等号，x故建造这个水池的最低总造价是297600元，故答案为：297600元.【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，涉及到基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.四.解 答 题(共 6 小题)第1 6页 共2 4页17.(2020郎溪县模拟)在A/B C中，内角48,C的对边分别为a ,c,已知2cosccosB=2c-a-b .(1)求区区的值sinA(2)若 COS8=L,b=2,求48C 的面积 S.4【考点】正弦定理；余弦定理.【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角
26、形.【分析】(1)由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简己知可得sinC=2 s iM,即可得解电泡=2.sinA(2)由正弦定理可求c=2 a,由余弦定理解得”=1,从而c=2.利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解.【解答】(本题满分为12分)解：(1)由正弦定理，则2c-a=2sinC-sinA,b sinB所 以 cosA-2cosc=2sinC-sinAcosB sinB即(cosZ-2cosC)sinB=(2sinC-siM)cosB,化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C).因为 4+8+C=n,所以 sinC=2si
27、nJ.因 此 L=2.-(6分)sinA(2)由gnC_=2,得 c=2，由余弦定理 62=2+o2 _ 2QCCOS3,及 COS3=L,b=2,sinA 4得4=2+4Q2 -42义工.解得”=i,从而c=2.4因为 cos8=1,且 s i n 8=&Z/=,因此 S=L c s in 8=L x 1 X 2 X =近 石.-2 2 4 4-(12 分)【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，熟练应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题.18.(2020秋越秀
28、区期末)如图，四棱锥S-48。的底面是正方形，每条侧棱的长都是底第1 7页 共2 4页面边长的加倍，P为侧棱S。的中点.用向量法解决下面的问题:(1)求证：ACVSD-,（2）若B C=2,求线段8尸的长【考点】直线与平面垂直；点、线、面间的距离计算.【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；数学运算.【分析】（1）取底面中心。，以。为坐标原点，分别以0 8,OC,0 S所在直线为x,az轴建立空间直角坐标系，再 由 正 外=0，证明（2）由8c=2,分别求得8与P的坐标，进一步求出|而脚可.【解答】（1）证明：由题意，四棱锥S-4 8。为正四棱锥，连接N C,B D,设N C与8。的交点
29、为。，以。为坐标原点，分别以0 8,OC,O S所在直线为x,z轴建立空间直角坐标系，设/8=2 a,则S N =SBSCSD2yJ a,可 得/（0,-近 a,0）,C（0,&软，0）,D（-&a，0,0）,S（0,0,五软），A C=（O,2&a,0 而=（-&a,0,-巫 a）V A C-S D=O A C 1 S D 则 Z CU。；（2）解：若 B C=2,则 8（&,0,0）,D（-&,0,0）,S（0,0,遍），为侧棱S O的中点，.，（包，0,运，则 而=（，o,李）第1 8页 共2 4页则 师 尸 I 而|=返.【点评】本题考查利用空间向量证明线线垂直，训练了利用空间向量求两
30、点间的距离，是基础题.1 9.（2 0 2 0 秋天河区期末）如图，直三棱柱。中，A B=B C=C A =2,4 4 尸 企,若 N为 N8 的中点.（1）求证：/C i 平面NBC；（2）求 81 cl 与平面N8 C所成角的正弦值.【考点】直线与平面平行；直线与平面所成的角.【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算.【分析】（1）连接8 G，交 8 C于点。，连接ON,推导出O N/G，由此能证明4 cl平面N 81 C.（2）以/为原点，N8 为x轴，4 4 1 为y轴，过 X作平面N 8 3 1 4 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出
31、囱G 与平面N 8iC 所成角的正弦值.【解答】解：（1）证明：连接5 C i，交 8 c 于点。，连接O N,:直三棱柱/8 C-/1 8 1 a 中，881 cl e是矩形，二。是 5 中的中点,：N 为 的 中 点，：.ON/AC,ZC 1 C 平面 N8 C O N u 平面 N8 C，.C i平面 N B C第1 9页 共2 4页(2)I三棱柱4 B C-/i3 iC j 中,A B=B C=C A=2,AAN为Z 8的中点,，以力为原点，Z 8为x轴，4 4 1为y轴，过/作 平 面/881/1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则 田（2,衣，0）,C i（1,我，愿），N （I,
32、0,0）,C（1,0,）,（-1 0 愿）,西=（1，我，0）,NC=（0,0,），设平面NBC的法向量君=（x,乃z）,firN B,=x+/2y=0贝!1 _ _ _ ,取x=&,得1 1=（加，-1，0）,n*NC=V3z=0设BC与平面NBiC所成角为。，则BxCy与平面NBC所成角的正弦值为:s in g空工=返=运|B iC/|n|2V3 62x【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值等基础知识，考查运算求解能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想.2 0.（2 0 2 0秋番禺区期末）给出以下三个条件：4 a3,3。4,2 a5成等差数列；对于VeN*,点 5,S）均
33、在 函 数 的 图 象 上，其中“为常数；5 3=7.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.设 斯 是一个公比为g（q 0,q W l）的等比数列，且它的首项m =l,（1）求数列 斯 的通项公式；（2）令d=2 k g 2 a”+l （6 N*）,证明数列 -的前项和丁.bnbn H 1 1 2第2 0页 共2 4页【考点】数列的求和；数列与函数的综合.【专题】分类讨论；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理.【分析】本题为开放性题目，需要从三个条件选一个进行作答，若选第一个则可以将0 3,0 4,好转化为由与g进行求解；若选第二个则可以利用首项求出。的值；若选第三个条
34、件则可以利用等比数列前n项和公式作答；第二问构造新的数列并利用裂项相消法证明即可.【解答】（1）选进行作答解：因为 4。3，3 a4，2 a5 成等差数列，所以 6。4=4“3+2。5，P 6&2*q=4 a+2 a解得4=1 （舍）或4=2所以a=2n1选进行作答解：由题意得S n=2-软因为 ai=S i=2 -4=1,所以”=1所以 S n=2 n-1当 n2时，Sn_1=2n-1-V所以当 n 2 时，an=S n-S n-l=2 n T，当=1时，a =,符合上式，所以 a=2n1;n 若选作答解：由$3=7,。1+。2+。3=7 即 a j a j q+a ,q 2 =7解得夕=2
35、或4=-3又因为q 0,所以夕=2所以an =2 k l（2）证明：bn=2 1 o g22n-1+l=2 n-r-1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ L_）,bn,b/i （2nP（2 n+l）2 V2 n-1 2 n+l 第2 1页 共2 4页所以 Tn(1M -+7T7i-)=2(1-9 L)n 2 3 3 5 2n-l 2n+l 2 2n+l因为6 N+,所 以i-1，所以1 6 (6W0),联立抛物线和直线方程，得到韦达定理，然后利用0M-0N=-4求出6的值，即可得到直线/的方程，从而得到答案.
36、【解答】解：(I)设 P (x,y),E (-1,a),F (-1,m),则 AE=(-2,a),AF=(-2,m)，EP=(x+l,y-a),OA=(1,0),而=(1,-m),OP=(x,y)，由 标1标，则 有(-2,a)(-2,m)=0且点E,E不在x轴上，故。加=-4,且WO,mWO,由 E P /0 A 可得y-a=O,即由 F O/OP，可得 m x+y=0,即 y=-mx,所 以/=amx=-4x,故动点P的轨迹。的方程为/=4x (x WO)；(2)根据题意可设直线/的方程为(b WO),第2 2页 共2 4页x=ty+b由 ，可得f -4。-4b=0,Ly=4x设 M（xi
37、,yi）,N（X2 _y2）则 yitF2=43 yiy2 4b,故OM 0N=Xx2+y丫2（t2+l）y jy2+bt（yj+y2）+b2=-4b（12+l）+4b 12+b2=b2-4b）由 而 布=-4,解得b=2,故直线/的方程为x=/2,恒过定点（2,0）.【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，涉及了直线与抛物线位置关系的应用、平面向量平行与垂直的坐标表示，解题的关键是联立方程组结合韦达定理进行分析求解，综合性强，属于中档题.22.（2020秋越秀区期末）已知焦点在x轴上的双曲线C的 离心率为近,且过点3（V6,V 2）.（1）求双曲线。的标准方程；（2）若直线1：y=1 x-l与
38、双曲线C交于4,B两 点,求弦长|4用.3【考点】双曲线的性质；直线与双曲线的综合.【专题】方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】（1）由中心在原点，焦点在X轴上的双曲线C,过 点（V 6.6）且 离 心 率 为 叵,3f 6 2 1a b知且，由此能求出双曲线。的标准方程；a 32-2_ 2a+b-c（2）联立直线/和双曲线的方程，消 去/可 得x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值.【解答】解：（1）I中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C,过 点（泥，泥）且离心率为，正，3第2 3页 共2 4页6 2 1-TF=1a bc _ V l 5a 32-2_ 2a +b -c解得=3,#=2,2 2.双曲线c的 标 准 方 程 为-1-=1.3 2(2)联立直线1：丫=返乂-1 和双曲线的方程-3产=6,3可得F+2位-9=0,设4 8的横坐标分别为内，X 2，可得 x i+x 2=-2-/3 xx2 -9,则尸房5 7 2户聘(_ 2“)2_ 4X (-9)=8.【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线的简单性质的灵活运用.第2 4页 共2 4页