2022-2023学年武汉市高二上期末考试数学模拟试卷及答案解析.pdf-淘文阁

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1、2022-2023学年武汉市高二上期末考试数学模拟试卷一.选择题（共 8 小题）1.（2015宁波模拟）已知命题p：Vx6R,X2-2X-4 为（）A.VxGR（x2-2x-4 0 B.S x o G R,x o2-2x o -4 0C.V x g R,x2-2x+4W 0 D.3x o G R,x o2-Z x o -4W 02.（2020秋武汉期末）同时掷3 枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A.2 B.5 C.3 D.A8 8 8 83.（2020秋武汉期末）样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3,m.若该样本的平均值为1,则其样本方差为（）4.（2019秋武汉期末）以下茎

2、叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,贝 U x+y 的值为（）甲组9y 27 4乙组0 915x82 4A.7 B.10C.13D.165.（2020秋武昌区校级期末）设一个线性回归方程y=3+1 2 t,当变量x每增加一个单位时，则的变化情况正确的是（）A.y平均增加约1.2个单位C.y平均减少约1.2个单位B.y平均增加约3 个单位D.y平均减少约3 个单位2 26.（2019秋武汉期末）机凡b0）的左、右焦点分别为Q、乃,左、右顶点分别为/i、/2，P为椭圆C上异于小、山的任一点，则下列结论正确的有（）

3、2 2A.椭圆C与椭圆。：。=1 有相同的焦点a2+l b2+lB.直线以 1，以2的斜率之积为32aC.存在点尸满足尸 1|,|尸/2|=2D.若 P QF 2为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为喙或近-112.（2020秋如东县期末）如图，在棱长为1 的正方体/8 C O-418 1cl 功中，尸为线段。i S第2页共2 5页上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（）A.三棱锥P的体积为定值工3B.过点尸平行于平面小8。的平面被正方体力 8。-3 8 1cg i 截得的多边形的面积为返2C.直线口I 与平面小8。所成角的正弦值的范围为夸，率D.当点P与 8 1重合时，

4、三棱锥尸-小5。的外接球的体积为返TT2三.填空题（共 4 小题）13.（2019 秋武汉期末）已知直线y=x-4 与抛物线产=2*（p0）交于48两点，O为坐标原点且P=.14.（2011 青羊区校级模拟）过点尸（2,3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为.15.（2018 秋淮安期末）已知正四棱柱的底面边长为2,侧面积为2 4,则此正四棱柱的外接球表面积为.16.（2020秋武汉期末）球。的内接正四面体Z-88中，尸、0 分别为棱4 C、上的点，过尸0 作平面a,使得/8、C。与a 平行，且/8、CD到a 的距离分别为1,2,则球O被平面a

5、所截得的圆的面积是.四.解答题（共 6 小题）17.（2020秋武昌区校级期末）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了 5 0名就餐的教师和学生.根据这5 0名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图其中样本数据分组为 40,5 0）,5 0,6 0）,9 0,100.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若采用分层抽样的方式从评分在 40,6 0）,6 0,8 0）,8 0,100 的师生中抽取1 0人，则评分在 6 0,8 0）内的师生应抽取多少人？（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于7 5 分，否则将进行内部整顿.用第3页共2 5

6、页每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿.频率组距0.028-0.022-。40 50 60 70 80 90 100 分数1 8.（2 0 1 9 聊城三模）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y （百千克）与某种液体肥料每亩使用量x （千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数/并加以说明（若网0.7 5,则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为1 2 千克时，西红柿亩产量的增加量y约

7、为多少？n _ _ _ （xx）（yy）xiyi-n x y附：相关系数公式厂=f（XX-X）2J （y-y）2 J E x -n x2参考数据：V o 7 3 o.5 5,V o T g O.9 5.4 -一 *回归方程 y =b+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =件（百千克）5-4-3,O 3 二克）1 9.（2 0 2 0 秋武汉期末）如图，四棱柱的底面4 8。为菱形，A B=2,N B 4 D=120 ,4 4 平面Z88,且 AA=，（1）求证：A Ci BD；第4页共2 5页（2）求二面角8-/1。-/的平面角的余弦值.2 0.

8、（2 0 2 1齐齐哈尔模拟）已知抛物线C：b=2 p x（p 0）,焦点为F,准线为/,抛物线C上一点/的横坐标为3,且点/到焦点的距离为4.（1）求抛物线的方程：（2）设过点P（6,0）的直线/与抛物线交于/,8两点，若以为直径的圆过点尸，求直线/的方程.2 1.（2 0 1 9秋武汉期末）已知椭圆与抛物线/=4 x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为工,2（I）求该椭圆的标准方程：（I I ）求过点p（0,1）的直线与该椭圆交于4,8两点，。为坐标原点，若标=2而，求 4 0 8的面积.2 2.（2 0 1 9秋武汉期末）设点Z,8的坐标分别为（-1,0）,（1,0）

9、,直线4 P,B P相交于点P,且它们的斜率之积为-2,设点P的轨迹是曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）已知直线/：与曲线E相交于不同两点、N （均不在坐标轴上的点），设曲线与了轴的正半轴交于点C,若 C HL M N,垂足为且屈2二冠，而，求证：直线/恒过定点.第5页共2 5页2022-2023学年武汉市高二上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一.选择题（共8小题）1.（2 0 1 5 宁波模拟）已知命题p：Vx GR,x2-2x-4 0,则-p 为（）A.Vx GR,x2-2x-4 0 B.3 x o R,xo-2 x o _ 4 0C.Vx g R,x2-2 x+4

10、 0.故选：B.【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查.2.（2 0 2 0 秋武汉期末）同时掷3枚硬币，至少有1 枚正面向上的概率是（）A.L B.5 C.3 D.A8 8 8 8【考点】互斥事件与对立事件；等可能事件和等可能事件的概率.【专题】计算题.【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次，共有2 3=8 种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有 1 种结果，根据对立事件的概率公式得到结果.【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有2 3 =8 种结果

11、，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有 1 种结果，二至少一次正面向上的概率是1-1=1,8 8故选：A.【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是对于比较复杂的事件求概率时，可以先求对立事件的概率，这样使得运算简单.第 6 页共 2 5 页3.(2 0 2 0秋武汉期末)样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3,m.若该样本的平均值为1,则其样本方差为()A.B.c.V 2 D.25 5【考点】极差、方差与标准差.【专题】计算题：概率与统计.【分析】根据平均数公式先求出机，再求出方差.【解答】解：由已知0,1,2,3,加的平均值为/,即有(O+l+2+3+m)+

12、5 =1,易得=-1根据方差计算公式得 S 2=工(-1 -1)2+(0-1)2+(1 -1)2+(2-1)2+(3-1)25=JLX 1 0=25故选：D.【点评】本题考查了样本数据平均数、方差、标准差的计算.属于简单题.4.(2 0 1 9秋武汉期末)以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为1 5,乙组数据的平均数为1 6.8,贝i j x+y的值为()A.7甲组9y 27 4乙组95x84B.1 0C.1 3D.1 6012【考点】茎叶图.【专题】数形结合；概率与统计；数学运算.【分析】由甲组数据的中位数求出y的值，乙组数据的平均数

13、求出x的值.【解答】解：.甲组数据的中位数为1 5,故1 0+7=1 5,又 ,乙组数据的平均数为1 6.8,/.9+1 5+1 0+x+1 8+2 4 =1 6.8 X 5,1 3；第7页共2 5页故选：c.【点评】本题考查了应用茎叶图求中位数与平均值的问题，是基础题.5.（2 0 2 0秋武昌区校级期末）设一个线性回归方程y=3+1.2 x,当变量x每增加一个单位时，则y的变化情况正确的是（）A.y平均增加约1.2个单位 B.y平均增加约3个单位C.y平均减少约1.2个单位 D.y平均减少约3个单位【考点】线性回归方程.【专题】方程思想；数学模型法；概率与统计.【分析】根据回归直线方程的

14、x的系数是1.2,得到变量x增加一个单位时，函数值要平均增加1.2个单位，答案可求.【解答】解：直线回归方程为丫=3+1.2%,变量x增加一个单位时，函数值要平均增加1.2个单位，故选：A.【点评】本题考查线性回归方程，考查线性回归方程系数的意义，注意变量y增加或减少的是一个平均值，是基础题.2 26.（2 0 1 9秋武汉期末）加0是方程“J_=l表示实轴在x轴上的双曲线的（）m nA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】双曲线的性质.【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】分机 0和加 0、n 0两种情况加以讨论，可得m

15、n 0时，方程2+m n2 2=1不一定表示实轴在x轴上的双曲线.反之当方程三_ 二_=1表示实轴在x轴上的双m n曲线时，必定有机 0.由此结合充要条件的定义，即可得到本题答案.【解答】解：当机0和机 0、V0两种情况2 2当机0时，方程工 J_=l表示焦点在y轴上的双曲线；m n第8页共2 5页2 2当?0、0 时，方程江上=1 表示焦点在1轴上的双曲线m n2 2因此，加 0、V 0,必定有?0m n2 2由此可得：加 3 3n _ _ 3-L (Xt-x)(yt-y)X xtyt-3xy-52(xt-x)工 x：-3x 2t=l t=l.(174X 171+171X 177

16、+177X 183)-3X 174X 177,-(1742+1712+1772)-3X 1742第9页共25页a=y-bx=177-lX 174=?.线性回归方程为y=x+3.贝 I j y 4=1 8 3+3 =1 8 6.故预测他孙子的身高是1 8 6。.故选：B.【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题.8.(2 0 1 9 秋武汉期末)已知P为抛物线r=以上一个动点，P到其准线的距离为力。为圆(x+2)2+(厂 4)=1上一个动点，d+/0|的最小值是()A.5 B.4 C.2 7 5+1 D.7 1 3+1【考点】圆与圆锥曲线的综合.【专题】计算题；数形结合；高考

18、1 0页共2 5页【点评】本题考查抛物线的简单性质与圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题.二.多选题（共 4小题）9.（2 0 2 0 秋武昌区校级期末）下列选项中正确的有（）A.一个数据的中位数与众数均有且只有一个B.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数彳=3,7=3.5,则由该观测数据算得的回归方程可能是y=0.4 x+2.3C.将某选手的9个得分（不完全相同）去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，则平均数一定会发生变化D.方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小【考点】命题的真假判断

19、与应用；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；线性回归方程.【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学抽象.分析根据统计中的有关知识进行判断即可.【解答】解：A.众数是出现次数最多的数据，则众数可能有好几个，故/错误，B.当7=3时，y=0.4 X3+2.3 =1.2+2.3 =3.5,即回归方程过样本中心（3,3.5）,故 8正确，C.如果最高分和最低分和的平均数是平均数，则去掉之后的平均数不会发生变化，故 C错误，D.方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小，正确，故。正确第1 1页共2 5页故选：BD.【点评】本题主要考查

20、与统计有关的命题的真假判断，涉及知识点较多，比较综合，但难度不大，是基础题.1 0.（2 0 2 0 秋武汉期末）已知命题p：正四面体的任意一个面均为等边三角形，则下列结论正确的是（）A.命题p的否定是假命题B.命题p是特称命题C.命题p是全称命题D.命题p既不是全称命题也不是特称命题【考点】命题的真假判断与应用.【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理；数学运算.【分析】直接利用命题的否定，特称和全称命题的应用判定4、8、C、。的结论.【解答】解：命题p：正四面体的任意一个面均为等边三角形，则：命题p的否定是假命题，命题p是全称命题；故选：A C.【点评】本题考查的知识要点：命题的否定，

21、特称和全称命题，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题.2 21 1.（2 0 2 0 秋武汉期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为四、F 2,a bz左、右顶点分别为小、4 2,尸为椭圆。上异于小、山的任一点，则下列结论正确的有（）2 2A.椭圆c 与椭圆。：有相同的焦点a2+l b2+lB.直线山 1，以2 的斜率之积为上-2aC.存在点P满足|PFI|PF2|=2/D.若尸人乃为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为喙或&-1【考点】椭圆的性质.【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】选项儿利用求椭圆的半焦距的方法即可判断：选项8,设出尸的坐

22、标，进而第 1 2 页共 2 5 页可以求出直线R 4 1，弘2的斜率，再利用点尸在椭圆上即可求解；选项C,利用椭圆的定义以及基本不等式即可判断；选项。，分别对直角顶点讨论即可求解.【解答】解：选项出在椭圆中由半焦距的求法可得：a1-h2=（0 2+i）-（庐+i）,故/正确，选项 8：由已知4（-a,0）,A i（a,0）,设 P （x,y）,b2(lK2丹，故 8正确，选项C：由椭圆的定义可得|P 3|+|p F 2|=2 a2 j|P F 1|怛2 I 所以|尸尸1|尸尸2氐2,当且仅当|PFI|=|PE2|时取等号，故c错误，选项。：若尸为直角顶点，贝I J有&a=2 c,所以离心

23、率a 2E2-若点尸1或2 2为直角顶点，|=-=2 c,则离心率e=&-l,故。正确，1 a故选:A BD.【点评】本题考查了椭圆的定义以及性质，涉及到基本不等式的应用以及等腰直角三角形的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题.1 2.（2 0 2 0秋如东县期末）如图，在棱长为1的正方体中，P 为线段D 18上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（）c BA.三棱锥尸-小8。的体积为定值工3B.过点P平行于平面4出。的平面被正方体力8 8 -截得的多边形的面积为返2C.直线Rh与平面小8。所成角的正弦值的范围为返，返）第 1 3 页共 2 5 页D.当点尸与81重合时，三棱锥尸-小

24、8。的外接球的体积为运r2【考点】命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征.【专题】转化思想；等体积法：立体几何；逻辑推理.【分析】Z 用等体积法求体积判断；8 作出截面求截面面积即可；C 把问题转化为线段最值问题即可；。正方体中心即为外接球球心，计算球体体积即可.【解答】解：对于4,因为田。18。，囱功平面由3。，所以三棱锥尸。的体积等于三棱锥Bi。的体积,体积为！（11.1）1=工,所以“错；对于B,过点P平行于平面小8。的平面被正方体A BCD -A BCD 截得的多边形为BCD,其面积为今.、巧.亚.sin60=喙，所以8 对；对于C,设直线R h 与平面小8。所成角为。，点 P

25、到平面小8。的距离为；因为平面81c5平面小8 0,所以人也是两平面距离，。=返；3sin 0=_ J,/iP e 亨，1,所以 sinOe 夸，卓，所以 C 对；对于。，设正方体中心为点。，当点P 与与重合时，三棱锥尸-418。的四个顶点到点。的距离均为返，2_所以点。为三棱锥B i-m 8。外接球的球心，其体积为此兀.（孚）3=争，所以。对.故选：BCD.【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了立体几何中线面角计算和体积计算问题，属中档题.三.填空题（共 4 小题）13.（2019秋武汉期末）已知直线y=x-4 与抛物线产=2*（p 0）交于/,8 两点，。为坐标原点

26、且ON J-08,P=2.【考点】直线与抛物线的综合.【专题】转化思想；设而不求法；向量与圆锥曲线；数学运算.第 1 4 页共 2 5 页【分析】直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再由04_L0 8 可得数量积存丽=0,求出p 的值.【解答】解:设/（xi,y i）,B（孙/）,联立方程组y=X-4,可得y2-2/?y-8p=0,y2=2px则J丫 2=-即7 i+y2=2P-O A A.O B,所以数量积赢羽=0,不工 2+以”=0,2 2所以盯吟导1&16+(-8p)=0,=p=2,故答案为：2.【点评】考查直线与抛物线的综合应用，属于基础题.14.（2011 青羊区校级模拟）

27、过点P（2,3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+n-5=0,或 3x-2y=0.【考点】直线的截距式方程.【专题】计算题.【分析】分直线的截距不为0 和为0 两种情况，用待定系数法求直线方程即可.【解答】解：若直线的截距不为0,可设为三且=i，把尸（2,3）代入，得,2 总=1，a a a a=5,直线方程为x+y-5=0若直线的截距为0,可设为y=去，把尸（2,3）代入，得 3=24，k=3,直线方程为3x2-2y0.所求直线方程为x+y-5=0,或 3x-2y=0故答案为x+y-5=0,或 3x-2y=0【点评】本题考查了直线方程的求法，属于直线方程中的基础题，应当掌握

28、.15.（2018秋淮安期末）已知正四棱柱的底面边长为2,侧面积为2 4,则此正四棱柱的外接球表面积为 171T .【考点】球的体积和表面积；球内接多面体.第 1 5 页共 2 5 页【专题】计算题；阅读型；转化思想；数学模型法；球.【分析】先由侧面积求出正四棱柱的高儿再计算出正四棱柱底面外接圆直径2 r,然后利用公式2 R=J（2 r）2+h2 1 十算出球的半径谷最后利用球体表面积公式可计算出答案【解答】解：设正四棱柱的高为/?,则该正四棱柱的侧面积为4 X 2 X =2 4,解得=3,底面正方形的外接圆直径为2 r=V 22+22 =2 V 2,设外接球的半径为R,则2 R

29、=q（2 r）2+h2=E，因此，该正四棱柱的外接球的表面积为4 n R 2=n 至Ua的距离之和为3,故直线AB到直线8 的距离为3,因为 BH 1CD,故 B H=3,即正方体的棱长为3,因为球心是正方体的中心，故球心O到平面a的距离为d=工，2又球的直径2庐立=3对，第 1 6 页共 2 5 页所以所截得的截面圆的半径r=晶不=J（岁）2 G产二等故球0 被平面a 所截得的圆的面积为S=7r产=兀 X （琴）2=岑二故答案为：1 3 2 L.2【点评】本题考查了多面体的外接球问题，涉及了两条异面直线之间距离的应用、正方体与其外接球关系的应用，解题的关键是将正四面体放入正方体中进行

30、研究.四.解答题（共 6 小题）1 7.（2 02 0秋武昌区校级期末）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了 50名就餐的教师和学生.根据这50名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图其中样本数据分组为 4 0,50）,50,60）,9 0,1 00.（1）求频率分布直方图中的值；（2）若采用分层抽样的方式从评分在 4 0,60）,60,8 0）,8 0,1 00 的师生中抽取1 0人，则评分在 60,8 0）内的师生应抽取多少人？（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于7 5分，否则将进行内部整顿.用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务

31、质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿.频率【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；数学运算.第 1 7 页共 2 5 页【分析】(1)由频率分布直方图的性质列方程能求出(2)由图知 6 0,8 0 的人数占总人数的5 0%,一共抽取1 0 人，由此能求出 6 0,8 0 内抽取的人数.(3)利用频率分布直方图求出平均数7=7 6.2,平均数超过了 7 5,不需要整顿.【解答】解：(1)由频率分布直方图得：(0.0 0 4+。+0.0 2 2+0.0 2 8+0.0 2 2+0.0 1 8)X 1 0=1,解得 a=0.0 0 6.(2)由图知 6 0,8 0 的人数占总人数

32、的5 0%,一共抽取1 0 人，A 6 0,8 0 内抽取 5 0%X1 0=5 人.(3)7=4 5 X 0,0 4+5 5 X 0.0 6+6 5 X 0.2 2+7 5 X 0.2 8+8 5 X 0.2 2+9 5 X 0.1 8=7 6.2,平均数超过了 7 5,不需要整顿.【点评】本题考查频率、频数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力，是基础题.1 8.(2 0 1 9 聊城三模)根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y (百千克)与某种液体肥料每亩使用量x (千克)之间的对应数据的散点图，如图所示.(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型

33、拟合y与 x的关系，请计算相关系数，并加以说明(若旧0.7 5,则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；(2)求F 关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为1 2 千克时，西红柿亩产量的增加量夕约为多少？附：相关系数公式r=参考数据：Vo7 3 o.5 5,Vo7 9 o.9 5.回归方程 y =b +a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =L (xx)(yj-y)E Xiynxy第1 8页共2 5页（百千克）543O 2 克）【考点】线性回归方程.【专题】方程思想：综合法：概率与统计.【分析】（1）由已知表格中的数据求得相关系数,拟合y

34、与x的关系；结合 0.7 5,可得可用线性回归模型（2）求出卜与&的值，得到线性回归方程，取x=1 2求得y值即可.【解答】解：（1）由已知数据可得彳=2+4+5+6+8 =5,1=3+4+4+4+5 =小5 55 _ _:（x -x）（y -y）=（-3）x（-1）+（-1）x o+ox o+i x o+3 x i=6,i=l 1 1(y i-y)2=V(-1)2+02+02+02+l2=V2,i=l5 _ _X (xx)(yy)_相关系数厂5=_ 2 p _ 2=2 V/-V2 =O 9 5J z(X1r)2 忙(y.-y)2 3 5 V2 V1 0Vi=l Vi=l 0.7 5,.可用线

35、性回归模型拟合y与x的关系；5 _ _-(Xi-x)(y-y)i=l 1 1 6(2)b=5 7 =2 0 =0-3-(xi-x)2i=la =y-b x=4-5 X 0.3=2.&回归方程为y=0.3x+2.5.当尤=1 2 时，y=Q.2 X1 2+2.5=6.P即当液体肥料每亩使用量为1 2千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克.(x-x)2=7(-3)2+(-l)2+02+l2+32=2证,i=l第 1 9 页共 2 5 页【点评】本题考查相关关系强弱的判定，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题.1 9.(2 0 2 0秋武汉期末)如图，四棱柱4 8。-小囱。1的底面

36、Z 8 C C为菱形，A B=2,N B 4 D=120 ,/i_ L平面N 8 C D,且A A =，(1)求证：A Ci BD；(2)求二面角的平面角的余弦值.【考点】直线与平面垂直；二面角的平面角及求法.【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；数学运算.【分析】(1)连Z C,BD,A C,BD,分别交于O,O ,以O为坐标原点，所在直线为x轴，O C所在直线为y轴，。卜所在直线为z轴，利用向量数量积证明Z C i，B D；(2求得面8 D 4 1的法向量，即面4 4 1。的法向量，利用向量夹角公式即可求二面角的平面角的余弦值.【解答】解：(1)证明：连N C,

37、BD,A C,BD,分别交于。，0,以O为坐标原点，。8所在直线为x轴，O C所在直线为y轴，。卜所在直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系，则4 (0,-1.0),C (0,1,M)，B(V3 0，0)，D(-V3 0，O),故记=(0,2,V3),而=(-2 ,0,0)A C 7 B D=O,故西 1 而，则,飞(0,-1,A/3),AA B =(V3 L -y/3),D B =(2 V3。，。设面8。小的法向量1 =(x,y,y=z)，则解得江=(。，V3.1)第2 0页共2 5页同法可求得面4 4 1。的法向量&=(1,圾,0),H i I-ln2故所求二面角的平面角

38、的余弦值为3.4【点评】本题考查了空间线线、线面位置关系，考查了二面角，属于中档题.2 0.(2 0 2 1齐齐哈尔模拟)已知抛物线C：y1=2px(p 0),焦点为产，准线为/,抛物线C上一点/的横坐标为3,且点/到焦点的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)设过点尸(6,0)的直线/与抛物线交于N,8两点，若以4 8为直径的圆过点尸，求直线/的方程.【考点】抛物线的标准方程；直线与抛物线的综合.【专题】方程思想：综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】(1)求得抛物线的准线方程，运用抛物线的定义可得p的方程，解得p，可得抛物线的方程；(2)可设直线/：x=m y+6,与抛物线

39、的方程联立，运用韦达定理，由题意可得由向量垂直的条件：数量积为0,运用向量的坐标表示，化简整理，解方程可得加，进而得到直线/的方程.第 2 1 页共 2 5 页【解答】解：(1)抛物线炉=2 p x (p 0)的准线方程为x=-1，由抛物线C上一点A的横坐标为3,根据抛物线的定义可知，3售=4,解得P=2，所以抛物线C的方程是f=4 x；(2)由题意可知，直线/不垂直于y轴，2可设直线/：xmy+(),则由,丫-4 x可得y2-4皎-2 4=0,x=my+6设力(x i,y),B(X 2 ”)，则 yi+j2=4 m,yyi=2 4,因为以为直径的圆过点尸，所以即瓦而

40、=0,可得(X I -1)(X 2 -1 )+7 1 2 =0,即 kmy+5)(my2+5)+yy2(1+ZH2)yy2+5m(yi+2)+2 5=-2 4 (1+z n2)+2 0 m2+2 5=0,解得m+,2所以直线/：苫=与+6,2即/：2 x+y-1 2=0 或 2 x-y-1 2=0.【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题.2 1.(2 0 1 9秋武汉期末)已知椭圆与抛物线/=4 x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为工，2(I)求该椭圆的标准

41、方程：(I I )求过点p (0,1)的直线与该椭圆交于/,B两点,。为坐标原点，若方=2而，求/O B的面积.【考点】圆锥曲线的综合.【专题】方程思想：综合法：圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】(I )设出椭圆方程，求得抛物线的焦点，可得所求椭圆方程；(I I )设 N (x i，)，B(豆，然)，运用向量共线定理，联立直线方程和椭圆方程，运用第2 2页共2 5页三角形的面积公式可得所求.【解答】解：（I）由题意，设椭圆的标准方程为工上=1,2,2a b由题意可得c=l,又。上小，.“=2,b2=a2-c2=3,所以椭圆的标准方程为a 2 f-x整理

42、得：（4 乒+3）/+M-8=0,y=kx+l得：+3。,将-X I =2 x 2 代入得，k2，（X +X 2）2-4X1 W 12k2+6 3S-1|0P|x2 4k2+3 2【点评】本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题.2 2.（2 019 秋武汉期末）设点4 8 的坐标分别为（-1,0）,（1,0）,直线/P,8 P 相交于点尸，且它们的斜率之积为-2,设点P的轨迹是曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）已知直线/：了=依+?与曲线E相交于不同两点/、N （均不在坐标轴上的点），设曲线E与y轴的正半轴交于点C,若 C HL M N,垂足为且而？=而而，求

43、证：直线I恒过定点.【考点】圆锥曲线的轨迹问题；直线与椭圆的综合.【专题】综合题；转化思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算.【分析】本题第（1）题设尸（x,y）,则恕P=工，口尸=工，代入MPVBP=-2,第2 3页共2 5页进行计算可得曲线E 的方程，注意x W l；第（2）题设M（x i，j i）,NCQ，）.联立直线与曲线方程，消去y 整理可得一元二次方程，根据（）初步判断出/+2 用 2.再2根据韦达定理有*1+*2=二普，X X2=8 2.然后根据题干中条而2=疝.而k2+2 k2+2可通过计算得到而而=0,而点C 坐标为（0,&）,而=（制，y&）,CN

44、=（X2,yi-&）.贝!）C T而=xix2+（yi-&）（-&）=0,代入化简可得 3层-4、历+2=0,解此关于机的一元二次方程，最后对7的两个值分别讨论是否满足题意，最终可证得直线/恒过定点.【解答】（1）解：由题意，设尸（x,y）,则谓户=工，B P=工，x+l X-1,:kAP*kBP=-2,.工工二-2,x+l x-l2整理，得 x2+=l.22，曲线E 的方程为x2+2=1 （xW 土 1）.2（2）证明：由题意，设 A/Cxi,_yi）,N（X2，）.y=kx+m联立2 y 2,卜号消去y,整理得（庐+2）x+lkmx+nr-2=0.则 4=（2km）2-4（F

45、+2）（w2-2）=8（庐+2-加2）0,即 F+2/.2Xl+、2=22k&XX2=W.2.k2+2 k2+2VCN-C N=（小而）（,而）Q .9 ，.=C H +CH-册 C#HM，HN=MH-=0.第2 4页共2 5页点 C坐标为（0,&）,CM=（X I，y i -&），而=（X 2，N 2-加）.:.C M*C N=M X2+（y i -&）（-&）=x 1X 2+（kxi+m-（kxz+m-J）=（F+l）xxi+k（m -yj2）（x i+%2）+（加-y/2）22_=（F+l）1n-2.+k（加-=2km.+（加 _ 2k2+2 k2+2_ 3m2-4V2ni+2 _nk2+2VA2+20,3 m2-4，n+2=0,解得?=返_,或m=&.均满足庐+2加2.3 当加=返时，直线/恒过定点（0,1）；3 3 当加=扬|，直线/恒过定点（0,&）,即点C,不满足题意，舍去.直线/恒过定点（0,返）.3【点评】本题主要考查椭圆的基础知识，直线、向量、椭圆三者的综合问题，考查了方程思想和转化思想的应用，向量的运算.考查了逻辑思维能力和数学运算能力.本题属偏难题.第25页共25页

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