《2022-2023学年南京市高二上期末考试数学模拟试卷及答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年南京市高二上期末考试数学模拟试卷及答案解析.pdf（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022-2023学年南京市高二上期末考试数学模拟试卷一.选 择 题(共 8 小题)1.(2 02 1 新疆模拟)已知 c os (-Z L.一)=2,则 s in B=()4 2 3A 工 B 工 C.-1 D.-工9 9 9 92.(2 012 矿区校级模拟)f(x)的定义域为R,且/(x)=2 I (x 0)程/(x)=x+a 有两个不同实根，则。的取值范围为()A.(-8,1)B.(-8,1 C.(0,1)D.(-8,+8)3.(2 02 0秋南京期末)命题“Ya,6 0,g+工22和 6+工22至少有一个成立”的否定为b a()A.Ya,b0,和 ba 0,少口 1 4 2 都不成立
2、b aC.Ba,b0,4 0,4.(2 02 0 秋南京期末)己知 a,b E R,则“a+b V O”是 uaa+bb 反兀）2 21 1.（2020秋南京期末）已知椭圆M：_ 匕=1 （6 0）的左、右焦点分别为为，a bF 2,若椭圆”与坐标轴分别交于4,B,C,。四点，且从Fi，F i，A,B,C,。这六点第2页 共2 5页中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆的离心率的可能取值为（）A.返 B.返 C.电二 D.2 2 2 212.（2020秋鼓楼区校级期末）设a0,b 0,称 誓 为a,6的算术平均数，4为a,6的几何平均数，2也 为a,b的调和平均数，称、产+匕2为m b的加
3、权平均数.如图,a+b V 2C为 线 段 上 的 点，且|ZC|=，CB=b,。为 中 点，以 为 直 径 作 半 圆.过 点C作”的垂线交半圆于。，连结O。，AD,B D,过点C作。的垂线，垂足为E.取弧第的中点为F,连接F C,则在图中能体现出的不等式有（）C.B-尼耳若2ab、D.J a2+b2V 2 a+b三.填 空 题（共4小题）13.（2021春扬中市校级期末）已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为x，方差为s 2,则xs2=14.（2020秋鼓楼区校级期末）已知正项等比数列 斯,a，若存在两项即”“，”使得q 2r =L,则9 _汗的最小
4、值为_ _ _ _ _ _.Vaman 2 n15.（2020秋南京期末）如图，在4 5C中，AB=,BC=2&,B=2L,将/8 C绕边4翻转至N 8 P,使面/8_1 _面/8。，。是8 c的中点，设。是线段以上的动点，则当PC与。所成角取得最小值时，线 段/。的长度为第3页 共2 5页o/二B1 6.(2020秋江宁区期末)记”项正项数列为a i，。2，as，an其前”项积为T,”定义 I gTi+I gT2+.+/g T,v 为“相对积叠加和“，如果有2020项的正项数列，ay,。3，。2020的“相对积叠加和”为为20,则有2021 项的数列1 0,a,a2,。3,，。2020的“相
5、对积叠加和”为.四.解 答 题(共 6小题)1 7.(2020 秋鼓楼区校级期末)已知/=x|1 亍0,B xxi-2x+-m2 0,机0.(1)若加=2,求 4 n 8：(2)若 在4 是 在8的充分不必要条件，求实数机的取值范围.1 8.(201 5 济宁一模)已知向量i r=1),n=(c o s,c o s2),记/(x)=r4 4 4(I )若/(x)=1,求 c o s(X+-2L.)的值；(1 1)在锐角4 力 80 中，角 力，B,C的对边分别是a,h,c,且满足(2a-c)c o s 8=6 c o s C,求/(Z 4)的取值范围.1 9.(2020北京)如 图，在正方体/
6、8 C O-/1 8 C 1 G 中，E为 的 中 点.(I )求证：平面(I I )求直线/小与平面/。波 所成角的正弦值.第4页 共2 5页20.(2020郑州三 模)已知抛物线E：F=2px(p 0)的焦点为F，直线/：y=2x-2,直线/与E的交点为4,B.同时直线“?/.直线 加 与E的交点为C、D,与y轴交于点P.(/)求抛物线E的方程；(I I )若 而=4而，求|8|的长.2 221.(20 20岳麓区校级一 模)已知椭圆：Ci：&_+1 _=1(a b 0)的右顶点与抛物线C2：2,2-1 a b#=2px(p 0)的焦点重合，椭圆。的离心率为工，过椭圆Ci的右焦点尸且垂直于
7、x2轴的直线截抛物线所得的弦长为啦.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(I I)过点Z (-4,0)的直线/与椭圆C1交于N两点，点M关于X轴的对称点为E.当直线/绕点/旋转时，直线 N是否经过一定点？请判断并证明你的结论.22.(20 20秋鼓楼区校级期末)己知数列“”满足：“i=2,&=2()a (n N*)-n+i n n(1)求数列“的通项公式；(2)求数列 斯 的前”项 和Tr9n(3)设b =.数列 d 的 前 项 和 为 求S 2-S”的最小值.n 3第5页 共2 5页2022-2023学年南京市高二上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一.选 择 题(共 8小题)1.(20
8、 21 新疆模拟)已知 c o s =2,则 s i n e=()4 2 3A.2 B.工 C.-A D.-Z-9 9 9 9【考点】运用诱导公式化简求值.【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算.【分析】利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得s i n。的值.【解答】解:v c o s=2,4 2 3.c o s（-0）=2 c o s 2兀 e29s i n 9,即 s i n 0=-1,9故选：c.【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题.2.(20 12矿区校级模拟)/(x)的定义域为R,且/(x)=2 3-I (x 4 0),若方f (x-1)(x 0
9、)程f (x)=x+a 有两个不同实根，则 a的取值范围为()A.(，J)B.08,1 C.(0,1)D.8,+O O)【考点】函数的图象与图象的变换.【专题】数形结合.【分析】由已知中函数的解析式，我们易分析出函数的图象在丫 轴右侧呈周期性变化，结合函数在xWO时的解析式，我们可以画出函数的像，根据图象易分析出满足条件的a的取值范围.【解答】解：xWO时，/(%)=2=-1,0 x 0 时，/(x)是周期函数，如图，欲使方程/(x)=x+a 有两解，第6页 共2 5页即函数/(x)的图象与直线y=x+。有两个不同交点,故则。的取值范围是(-8,1).故选：AO 12 3 x【点评】本题考查的
10、知识点是函数的图象与图象变化，其中根据函数的解析式，分析函数的性质，并画出函数的图象是解答本题的关键.3.(2 0 2 0秋南京期末)命题“V a,b0,和6+工力2至少有一个成立”的否定为b a()A.Ya,b0,a 42和b d 0,a d 洌b d 2都不成立b aC.3 a,b0,a 2b d 0,加渊不成立b a【考点】命题的否定.【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；数学抽象.【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.【解答】解：根据含有量词的命题否定可知，Pa,b0,和至少有一个成立的否定为：b ab0,都不成立.b a故选：D.【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于
11、基础题.4.(2 0 2 0秋南京期末)已知m AG R,则%+(V 0”是“同+6冏 0”的()A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件第7页 共2 5页【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【专题】计算题：分类讨论；分类法；简易逻辑；数学运算.【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可.【解答】解：由+6 0,可得aWO,b 0,b-a,当“W0,6 0,时，可得间+6|切0,故“。+6 0”是“。同+6网 0”的充分条件，E tl aa+bb 0,可得当“WO 时，b 0,或 6 -a,得 a+6 0 时、可得 b 0,故ua+b On
12、是“丽+b网VO”的必要条件,：.a,b e R,则 Z+bVO”是 aaa+bb On 的充分必要条件,故选：C.【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，属于基础题.5.（2020秋安顺期末）如图，在四面体0/8 C 中，。是 8 c 的中点，G 是/。的中点，则而等 于（）A.y0A-40B-4-0C B.-OA-4OB-4OCo o o N J Sc-yO A O B-O C D-jOAOB-t-OC【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示.【专题】转化法：平面向量及应用；空间向量及应用；直观想象.【分析】在四面体。/8 C 中，。是 8。的中点，G 是 4。的中点，可 得
13、了=工（赢+而）,20 D=（OB+OC）.即可得出.2第8页 共2 5页【解答】解：在四面体0 4 8 c 中，。是 BC的中点，G是 ND的中点，贝ij 0 G=，（0附 0 D），0 D=（O B +0 O-2 2 0 G一 O A+,O B+C C2 4 4故选：C.【点评】本题考查了空间向量运算性质、平面向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.6.（2 0 2 0 秋鼓楼区校级期末）设 S”是等差数列 斯 的前“项和，若。1+。5 =2,则$5 =（）A.5 B.7 C.9 D.1 1【考点】等差数列的前n项和.【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算
14、.【分析】数列 斯 为等差数列，S 5 =5 0 3,又 0+4 5 =2 4 3 =2,即可求解.【解答】解：因为数列 a,为等差数列，设其公差为，前”项和为S”则 我“=（2 n-1）On-所以$5 =5。3，又。1+0 5 =2,所以。3=1，所以 5 5 =5 6 7 3 =5故选：A.【点评】本题考查了等差数列的前项和.等差数列的性质，属基础题.7.（2 0 2 0 秋鼓楼区校级期末）在 九章算术中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠
15、第一天也进一尺，以后每天减半.若垣厚3 3 尺，则两鼠几日可相逢（）A.5 B.6 C.7 D.8【考点】等比数列的前n项和.【专题】计算题：对应思想；转化法；等差数列与等比数列：数学建模.【分析】根据具体大老鼠和小老鼠打洞的数值构成两个等比数列，利用等比数列的求和公式进行求解即可.【解答】解：大老鼠打洞构成首项为1,公比为2的等比数列，第9页 共2 5页小老鼠打洞构成首项为1,公比为上的等比数列，2设相遇时是第天，则满足上1 W2_n+-3,3 3,1-2-2即 2 -1+2-j-2 3 3,2n即 2-3 2,2n则/()=2 -a在上是增函数，2nV/,(5)=2 5-L=3 2-l-3
16、 2,26 32相遇时是第6天，故选：B.【点评】本题主要考查数列的应用问题，利用等比数列的前项和公式是解决本题的关键.8.(2 0 2 0武汉模拟)已知4 8分别为双曲线：*2-4=1实轴的左右两个端点，过双曲线厂的左焦点尸作直线P。交双曲线于P,。两 点(点 尸，。异于4,B),则直线/P,8 0的斜率之比SP：ICBQ=()A.B.-3 C.工 D.卫3 3 2【考点】双曲线的性质.【专题】计算题；方程思想；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】先根据双曲线方程求出a,b,c的值，再直接设直线方程为x=沙-2,代入双曲线方程，消去X,化简得到关于夕的一元二次方程，得韦达定
17、理，然后将幻p：依。借助于P,。的坐标表示出来，再将韦达定理看成方程，将，用y i,”表示出来代入前面的比值，化简即可.【解答】解：由已知得双曲线r：a,b=M，c2.故 尸(-2,0),N (-1,0),B(1,0).第1 0页 共2 5页设直线 P 0：x=m y-2,且 P （x i，y）,Q（%2，”）.由 x=iny-2v2 消去 x 整 理 得（3 加 2 -1）j2-1 2 w y+9=0,X -丁-11 2 m9两 式 相 比 得 Xy1+也，4 y wk”：kY i X?-1 y,（m y?-3）m y,y o-Sy,BQ=i x =-S一 -=12 j 1，X +l y2
18、丫2（好 1）2 23%（丫1+丫2）-3 丫1 3（y2-3yi）将代入得：上式:今-=-=-3.-（y1+y2）-y2 Y1-y 2故匕P：kBQ-3.故选：B.【点评】本题考查双曲线的性质，以及学生的化筒运算能力，属于中档题.二.多 选 题（共 4 小题）9.（2 0 2 0 秋江宁区期末）在递增的等比数列 斯 中，已知公比为q,S”是其前“项和，若。1 4 =3 2,7 2+6/3=1 2 则下列说法正确的是（）A.4=2B.数列%+2 是等比数列C.$8=5 1 0D.数列 恁斯 是公差为2的等差数列【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和.【专题】方程思想；定义法；等差数列与
19、等比数列；数学运算.【分析】推导出递增的等比数列%中，怎=4,内=8,由此能求出结果.【解答】解：在递增的等比数列 斯 中，公比为4，S,是其前项和，,.,。|“4 =3 2,4 2+3=1 2,7 2 0 3 3 2,。2。3，：.a2,“3 是一元二次方程X2-1 2 x+3 2=o 的两个解，解方程/-1 2 x+3 2=0,得“2=4,3=8,第 1 1 页 共 2 5 页故力正确；4s=2Xb 2 ）=2+i _ 2,.数列&+2 是等比数列，故 B 正确：5=2（义2，=5 1 0,故 C 正确；“1-2a=2 X 2 1=2 ，/ga”=/g2 =/g2,n；数列/ga“是公差为
20、lg2的等差数列，故D错误.故选：ABC.【点评】本题考查命题真假的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.1 0.（2 0 2 0 秋江宁区期末）等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（）A.兀 B.（1+7 ）兀 C.2A兀 D.（2+历 兀）【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算.【分析】分两个情况绕的边为直角边和斜边讨论，当绕的边是直角边是，所形成的几何体的表面积为底面面积加侧面面积，当绕斜边时扇形面积既是所形成的几何体的表面积,而扇形面积等于上X c底 而 周
21、长 X/母 线 长，进而求出所形成的几何体的表面积.2【解答】解：若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1,高 为 1,所以母线长1=2 这时表面积为费*?!。1 /+“1 2=（1+b 0）的左、右焦点分别为B，2 ,2 xa bF i,若椭圆M 与坐标轴分别交于4B,C,。四点，且从尸1,尸 2,A,B,C,O 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为（）第1 2页 共2 5页A.返 B.返 C.遥D.Mi2 2 2 2【考点】椭圆的性质.【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程：数学运算.【分析】由题意可得能构成直角三角形的情况分类可得由
22、两种情况，分别求出。，6,c之间的关系，可得椭圆的离心率的值.【解 答】解：由题意可得左右焦点和上下顶点可能构成直角三角形，这 时 6=c,或者长轴的点和短轴的点和一个焦点可能构成直角三角形，如图所示：这 时/乃2=ABKBFI2,即（a+c）2=a2+b2+a2,整理可得：/+e-l=O,可得6=场 工，2故选：BC.【点评】本题考查椭圆的对称性，及构成直角三角形的情况，属于中档题.12.（2020秋鼓楼区校级期末）设。0,%0,称 誓 为 a,6 的算术平均数，J 而为6 的几何平均数，绝 为 a,6 的调和平均数，称 为a，方的加权平均数.如图,a+bC 为 线 段 上 的 点，且|/C
23、|=a,|C 8|=6,。为 Z 8 中点，以 为 直 径 作 半 圆.过 点 C作 的 垂 线 交 半 圆 于。，连结OA,AD,B D,过点。作的垂线，垂足为E.取弧窟的中点为R连接尸C,则在图中能体现出的不等式有（）第1 3页 共2 5页BA.-7 c等2【考点】基本不等式及其应用.【专题】探究型；转化思想；综合法；不等式；逻辑推理；数学运算.【分析】根据题意及圆的性质、勾股定理用a,6分别表示C F,OD,CD,由直角三角形三边大小关系判断即可.【解答】解：由题意可得：0 C=2二 之，C D=，0。=也,2 2在R t Z X OC。中，由射影定理可得：也，0 D 三也 a+b2在R
24、 t A OC F中，由勾股东理可得：0 P24 1 3c 2=Q+b)2 +(a-b =J a 2+b 2 ,利用直角三角形的边的关系，可得C F O D C D D E.当。和C重合时，C F=O D =CD=DE,所以近2 4 2辿，V 2 2 a+b结合选项可知A B D正确.故选：ABD.【点评】本题主要考查了圆的性质、射影定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三.填 空 题（共4小题）1 3.（2 0 2 1春扬中市校级期末）已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为彳，方差为s 2,则。2=7.【考点】众数、中位数、平均
25、数；极差、方差与标准差.【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算.第1 4页 共2 5页【分析】求出这8个数的平均数为彳=工（4 X 7+4）,方差为2=工（7 X 2+0 2）,由此能8 8求出X。/的值.【解答】解：,某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为彳=工（4 X 7+4）=4,8方差为 S 2=上（7 X 2+0 2）=工，则7 7 2=4 X 工=7.8 4 4故答案为：7.【点评】本题考查平均数、方差的求法，考查平均数、方差的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.1 4.（2 0 2 0 秋鼓楼区校级期末）己知正项等比数列%,
26、q,若存在两项即”an,使得r =L L,则9 的最小值为二一Vaman 2 n【考点】等比数列的通项公式.【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算.【分析】由已知及等比数列的通项公式可得机+=3,贝 IJ 且-1 r=+旦-3,由基本不等式n n即可求得最小值.【解答】解：因为正项等比数列 斯,qU-,存在两项斯”a,使 得 在 忘=?,所以2 m4 n-2=,Val q 2化为_ 尸也-2=（A）2,所以加+-2=2,即 什=4,所以9_丁=9.-（4-/7）=+9-4 2 2 /.旦-4=2,当且仅当=旦，即=3时取等n n n V n n号，所以旦_ 刚最小值为2
27、.n故答案为：2.【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题.1 5.（2 0 2 0 秋南京期末）如图，在 Z 8 C 中，AB=,BC=2&,B/匕 将 Z B C 绕边第1 5页 共2 5页翻转至 4 8 P,使面面/8 C,。是8 C的中点，设。是线段以 上的动点，则当P C与DQ所成角取得最小值时，线段A Q的长度为|遥_【考点】异面直线及其所成的角.【专题】计算题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离；数学建模.【分析】过 点P作P O J 平面4 8 C,交8 4延长线于点0,连结OC,以。为原点，OB为x轴，0 C为y轴，。尸为z轴，
28、建立空间直角坐标系，利用向量法能求出尸C与。所成角取得最小值时，线段N0的长.【解答】解：过点P作尸O J_平面N 8 C,交氏4延长线于点O,连结O C,以。为原点，0 8为x轴，0 C为y轴，0 P为z轴，建立空间直角坐标系，在/B C 中，4 8=1,B C=28=工，4将/8 C绕边A B翻转至/8尸，使 平 面 平 面 月8 C,。是B C的中点，设。是线段R 1上的动点，则 8 (2,0,0),A(1,0,0),O(0,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),设 0 (x,y,z),AQ=入Q=入(-1,0,2),A e 0,1 ,即（x-1,乃 z）=（-入，0,2人）,：
29、.Q（1 -A,0,2入），D（1,1,0）,D Q=（-A,-1,2入），PC=（0，2,-2）,|cos|=了?2：4厂=方 4 1+：；）2,V5 人 2+5 2&V2 V 5 X 2+1令/（入）=,（1+2 -）2A e O j”，5 入 2+1第1 6页 共2 5页”(A)：2(1+2 人)(2-5”(5 人 2+1)2，由，(A)=0,A e 0,1 ,得卜3,5A e 0,2)时，/(A)0,入 6(2,1 时，(x)0,55.当人上时，/(入)取最大值，此时PC与。0 所成角取得最小值,5【点评】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算
30、求解能力，考查数形结合思想，是中档题.1 6.(2 02 0秋江宁区期末)记”项正项数列为。1，ai，ay,，an,其 前 项 积 为 T ，定义/g T i+/g T 2+.+/g T,v 为“相对积叠加和“，如果有2 02 0项的正项数列a i,。2，。3，“2 02 0的“相对积叠加和”为 2 02 0,则有2 02 1 项的数列1 0,a,ai,ay,，”2 02 0的“相对积叠加和”为4041 .【考点】数列的求和.【专题】计算题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算.【分析】利用对数的运算法则和新定义即可求出.【解答】解：由于/g T i+/g 72+lgTN=lg(T
31、i F T)由题意得2 02 0项的正项数列a i，7 2。3，。2 02 0的“相对积叠加和为/g 1 0(1 0T 1)(1 072)(1 0乃)-(l O r,),=/g l 02 02 l+/g (TfF)=2 02 1+2 02 0=4041.第 1 7 页 共 2 5 页故答案为：4041.【点评】本题属阅读型试题，考查利用对数的运算法则解决问题的能力及学生的阅读理解能力，解题时要认真审题，注意准确 理 解“叠乘和”的概念.四.解 答 题(共6小题)1 7.(2 02 0 秋鼓楼区校级期末)已知 4=3 1+1 0,Bxx1-2x+-m20.(1)若机=2,求 4 n 8；(2)若
32、 是 的 充 分 不 必 要 条 件，求实数机的取值范围.【考点】交集及其运算；充分条件、必要条件、充要条件.【专题】计算题；转化思想；转化法；集合；简易逻辑；数学运算.【分析】(1)求出集合/,B,根据集合的基本运算，即可求解Z C B；(2)由x C 4”是“X6B”的充分不必要条件，得然后得到关于加的不等式组，再求出加的取值范围.【解答】解：(1)等 价 于(x-1)(x-2)0,解 得l x 2,x-2所以 4=3 1 4 A-0=X|1 X 2,x-2B x|x2-2 x+l -m2 0=x|l -m x+m,当加=2 时，B=x-l x 3,此时 4n B=x|l V x V 2.
33、(2)因为x2是 的 充 分 不 必 要 条 件，所 以/$8,所以卜 呼1且等号不能同时成立，解得机I l+m2故的取值范围为 1,+8).【点评】本题主要考查不等式的解法以及集合的基本运算，充分条件和必要条件的应用，属于中档题.1 8.(2 01 5济宁一模)已知向量 i r=,1),n=(c o s,c o s2).记/(x)=r4 4 4n.(I )若/(x)=1,求 C O S (x+L)的值；3(I I )在锐角 A B C中，角4,B,C的对边分别是用 b,c,且满足(2 a-c)co sB=6 co sC,求/(2/)的取值范围.【考点】平面向量数量积的性质及其运算.第1 8页
34、 共2 5页【专题】解三角形；平面向量及应用.【分析】(I)利用向量的数量积公式求出/(X)的解析式，然后求值；(I I)由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，利用三角函数公式化简求出角/的范围，然后求三角函数值的范围.【解答】解：(1 )向量 ir=(V 3$in-,1),n (co sW,co s?三)，记/(x)=e 口=4 4 4/in-xo s+co s2-=A co sAH-1,=sin (三/L)4 4 4 2 2 2 2 2 2 6 2因为/1(x)=1,所以 sin(I I )因 为(2-c)cosB=hcosC,由正弦定 理 得(2 sin J -sin C)cosB=s
35、inBcosC所以 2 siM co sH -sin C co sS=sin 5 co sC所以 2 sin J co s3=sin (5+C)=siit4,sirt4#0,所以co s8=工，又 08工，所以8=工，2 2 3则 z+c=2 2 L,即 z=22L-c,又 o c 2 L,3 3 2则2Lz2L,得2 L v 4+2 L 2 L,6 2 3 6 3所以Y sin (4+?L)Wl,又/(2 4)=sin (/+_ZL)2 6 6 2所 以/)的 取 值 范 围(%1,2.【点评】本题考查了向量的数量积运算以及利用正弦定理以及化简三角函数式、解三角形；角的范围的确定是关键.1
36、9.(2 0 2 0 北京)如 图,在 正 方 体 1 8 1 clz)i中，E为 8 小 的中点.(I )求证：8 cl 平面 ZO iE；(I I)求直线4 1 1 与平面/。加 所成角的正弦值.第1 9页 共2 5页【考点】直线与平面平行；直线与平面所成的角.【专题】转化思想；向量法；空间角：直观想象.【分析】(I)根据正方体的性质可证得5 c iNOi，再利用线面平行的判定定理即可得证；(II)解法一：以Z 为原点，2 0、/8、分别为x、y 和 z 轴建立空间直角坐标系，设直线441与平面ZO1E所成角为。，先求出平面ZO1E的法向量ir，再利用sinO=|cos|=一|以及空间向量
37、数量积的坐标运算即可得解.|m|A A j|解法二：设正方体的棱长为2 a,易知S 八一 c=2/，结合勾股定理和余弦定理可求得AAA.Dc o s N E 4 D i=H 再求得$设点小到平面E/O i的距1 0 b AE A D,2离为，根据等体积法VA _EAD=VE_AA D-可求出力的值，设直线“小 与平面ZO E1 1 1所成角为0,贝 l s i n 0=2-,从而得解.A A 1【解答】解：(1 )由正方体的性质可知，/2 C i 5 中，且；四 边 形 是 平 行 四 边 形，.那。/。,又 BC1C平面/。归，/iu平面/。氏；.8Ci 平面/G E.(II)解法一：以/为
38、原点，AD,AB、分别为x、y 和 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为。，则 4(0,0,0),A(0,0,a),D(a,0,a),E(0,a,2A A!=(0,0,a A D j=(a,0,a)，A E=(0,a,ya),第2 0页 共2 5页设平面/。芯 的法向量为孟=(x,y)，则仁m,A D =0I m A E=Oa(x+z)=01a(y+z)=0令 z=2,贝!I x=-2,y=-1,/.ir=(-2,-1,2),m .A A设直线44与平面AG E所成角为0,则 sin e=|co s|=I-1 I=1 I m l-l A A H2 a 2M3，故直线AA 与平面
39、AD iE所成角的正弦值为2.3解法二：设正方体的棱长为2 a,则4)i=2 心，/=倔，E D i3 a,人4D=,1 22a,2a2a2,由余弦定理知，cosNE AD产他A E2-ED；_ 8a2+5a2.9a2 2 A D A E2-2 V 2 aV 5 a 1 0 sin Z.E AD =3 v m,1 0c A c=lAD AE sinZE AD=3 a2,iA E A D.2设点4 到平面E 4)i的距离为，A.-E A D VE-A A.D，.1 9 1 9.4,h*3 a=7*2 a*2 a，-a3 3 3一4 a设直线N4与平面/O iE 所成角为。，则 s i n e=_
40、 M _=2-=2.A A j 2 a 3故直线AA与平面AD 1E所成角的正弦值为2.3【点评】本题考查空间中线面的位置关系和线面夹角问题，熟练掌握线面平行的判定定理和利用空间向量求线面夹角是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题.2 0.(2 02 0郑州三模)已知抛物线E：y1=2px(p 0)的焦点为凡 直线/：y=2 x-2,直线/与E的交点为4 B.同时|/尸|+出用=8,直线“?/.直线m与E的交点为C、D,与y轴交于点P.(/)求抛物线E的方程；第2 1页 共2 5页(I I)若 而=4而，求|C。的长.【考点】直线与抛物线的综合.【专题】计算题；整体思想；综合
41、法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】(I)联立直线/与抛物线方程，由韦达定理结合抛物线的定义可求出p的值，从而得到抛物线E的方程；(I I )设直线加沙=2 x+f,与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件后=祝可求得t总x 9或-8,再利用弦长公式表达出|C Z)|的长，代入t得值即可求出|C D|的值.f 2 _【解答】解 联 立 方 程|y =2 px得：2 x2-(4+p)x+2=0,y=2x-2设 力(x i，y)f B(X 2，”)，由韦达定理得一+X 2=等，由抛物线定义可得：|B F|+|A F|=X +X 2+P=+P=8，P=4.则抛物线E的方程为：/=8 x；
42、(I I )设直线 mt y=2x+tfy=2 x+t联立方程 1 得：4?+(4 f-8)x+P=O,.y =8 x由4=(4/-8)2-1 6 於 0 得：t”)，D(X4 y 4)，一 一.一,X o;C P =4 D P可知 4 3=4 x 4，=4，X*-*X3+X4 2-/,x3 x4X 3 2+X乂 4 2 (/x 2X3+X4)解之得：t萼 或-8,9,*I C D I=22+1,(x3+x4)2-4X3X4=2V5 X V 1-f第2 2页 共2 5页当t*寸，|C D|=-|V 5;当，=-8 时，|C D|=6A/5-o【点评】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线
43、的位置关系，是中档题.2 22 1.（2 02 0岳麓区校级一模）己知椭圆：G：=1 60）的右顶点与抛物线C 2：y=2 p x （p 0）的焦点重合，椭 圆。的离心率为工，过椭圆。的右焦点F且垂直于x2轴的直线截抛物线所得的弦长为孰历.（I ）求椭圆C 1 和抛物线C 2 的方程；（I I）过点/（-4,0）的直线/与椭圆C l 交于M,N两点，点 M关于X轴的对称点为E.当直线/绕点/旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论.【考点】圆锥曲线的综合.【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】（1 ）利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心
44、率，列出方程组，求出a,b,即可得到椭圆方程抛物线方程；（I I ）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设 A/（x i，N（X 2，玫），E（x i，-巾），求得直线硒的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点.【解答】解：（1 ）设椭圆。的半焦距为C,依题意，可得。=R,则 C 2：炉=4 a x,2代入x=c,得/=4分，即y=所以4 y 羡=4 /万则有 a c=2,=_ L,a1-b2=c2=a=2f b =c=l,p=4,a 22 2所以椭圆G 的方程为亍+*-=1,抛物线Q 的方程为/=8 代（I I）过点/（-4,0）的直线/设为歹=4（x+4）,联立椭圆方程
45、3f+4 产=1 2,消去y 得（3+4 后）/+32 户工+6 4 庐-1 2 =0,设 M（x i,y i）,N（必 /）,E（x i，-.1），可得，.1 X 2=64k 7 2,3+4 k2 3+4 k2直线EN的方程为尹（x-x i）,x2-xl,k(x i+x9)+8 k即为尸派(x i+4)=-(x -x i),21第2 3页 共2 5页_ k(x 1 +x 9)+8k 2k x Xo+4k(x 数列 包 的前项和为S”求S2”-S,的最小值.n an【考点】数列的求和；数列递推式.【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算.【分析】(1)用累积法求通项公式；(2)用
46、倍差法求前项和；(3)用单调性求最小值.【解答】解：(1)因为 念 满足|=2,+1=2()an(n N*)-=2*-an=al-a-2-.-a-3al a2Em(吟(2.号)(2.信 尸2.故数列%的通项公式a-n 2 n(2)令Tn=l2+222+323+(n-l)2nT如4门 ，2 1=卜22+223+(n-lA2n+n,2n H，-：-Tn=2+22+-+2n-n2n+1,-Tn=z p-n-2n+UTn=2+(n-l)-2tt1)故数列 a.的前项和T=2+(n-1),2 1-由 得L*=七令广=-+-，n n+1 2n11第2 4页 共2 5页cn+l-_ cn-.2n1+l+12n+2 1 1 1 _ 1 _02n+2+2n+2 n+1，所以 Cn是单调递增数列，故 Cn*=G=工.2故S2n-S 的最小值为工.2【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.第2 5页 共2 5页